Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ressplusf Structured version   Unicode version

Theorem ressplusf 27286
Description: The group operation function  +f of a structure's restriction is the operation function's restriction to the new base. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Mar-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ressplusf.1  |-  B  =  ( Base `  G
)
ressplusf.2  |-  H  =  ( Gs  A )
ressplusf.3  |-  .+^  =  ( +g  `  G )
ressplusf.4  |-  .+^  Fn  ( B  X.  B )
ressplusf.5  |-  A  C_  B
Assertion
Ref Expression
ressplusf  |-  ( +f `  H )  =  (  .+^  |`  ( A  X.  A ) )

Proof of Theorem ressplusf
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ressplusf.5 . . 3  |-  A  C_  B
2 resmpt2 6375 . . 3  |-  ( ( A  C_  B  /\  A  C_  B )  -> 
( ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  .+^  y ) )  |`  ( A  X.  A
) )  =  ( x  e.  A , 
y  e.  A  |->  ( x  .+^  y )
) )
31, 1, 2mp2an 672 . 2  |-  ( ( x  e.  B , 
y  e.  B  |->  ( x  .+^  y )
)  |`  ( A  X.  A ) )  =  ( x  e.  A ,  y  e.  A  |->  ( x  .+^  y ) )
4 ressplusf.4 . . . 4  |-  .+^  Fn  ( B  X.  B )
5 fnov 6385 . . . 4  |-  (  .+^  Fn  ( B  X.  B
)  <->  .+^  =  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x 
.+^  y ) ) )
64, 5mpbi 208 . . 3  |-  .+^  =  ( x  e.  B , 
y  e.  B  |->  ( x  .+^  y )
)
76reseq1i 5260 . 2  |-  (  .+^  |`  ( A  X.  A
) )  =  ( ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  .+^  y ) )  |`  ( A  X.  A ) )
8 ressplusf.2 . . . . 5  |-  H  =  ( Gs  A )
9 ressplusf.1 . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  G
)
108, 9ressbas2 14535 . . . 4  |-  ( A 
C_  B  ->  A  =  ( Base `  H
) )
111, 10ax-mp 5 . . 3  |-  A  =  ( Base `  H
)
12 ressplusf.3 . . . 4  |-  .+^  =  ( +g  `  G )
13 fvex 5867 . . . . . . 7  |-  ( Base `  G )  e.  _V
149, 13eqeltri 2544 . . . . . 6  |-  B  e. 
_V
1514, 1ssexi 4585 . . . . 5  |-  A  e. 
_V
16 eqid 2460 . . . . . 6  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
178, 16ressplusg 14586 . . . . 5  |-  ( A  e.  _V  ->  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  H
) )
1815, 17ax-mp 5 . . . 4  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  H )
1912, 18eqtri 2489 . . 3  |-  .+^  =  ( +g  `  H )
20 eqid 2460 . . 3  |-  ( +f `  H )  =  ( +f `  H )
2111, 19, 20plusffval 15733 . 2  |-  ( +f `  H )  =  ( x  e.  A ,  y  e.  A  |->  ( x  .+^  y ) )
223, 7, 213eqtr4ri 2500 1  |-  ( +f `  H )  =  (  .+^  |`  ( A  X.  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1374    e. wcel 1762   _Vcvv 3106    C_ wss 3469    X. cxp 4990    |` cres 4994    Fn wfn 5574   ` cfv 5579  (class class class)co 6275    |-> cmpt2 6277   Basecbs 14479   ↾s cress 14480   +g cplusg 14544   +fcplusf 15718
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-nn 10526  df-2 10583  df-ndx 14482  df-slot 14483  df-base 14484  df-sets 14485  df-ress 14486  df-plusg 14557  df-plusf 15722
This theorem is referenced by:  xrge0pluscn  27544  xrge0tmdOLD  27549
  Copyright terms: Public domain W3C validator