Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ressplusf Structured version   Unicode version

Theorem ressplusf 27615
Description: The group operation function  +f of a structure's restriction is the operation function's restriction to the new base. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Mar-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ressplusf.1  |-  B  =  ( Base `  G
)
ressplusf.2  |-  H  =  ( Gs  A )
ressplusf.3  |-  .+^  =  ( +g  `  G )
ressplusf.4  |-  .+^  Fn  ( B  X.  B )
ressplusf.5  |-  A  C_  B
Assertion
Ref Expression
ressplusf  |-  ( +f `  H )  =  (  .+^  |`  ( A  X.  A ) )

Proof of Theorem ressplusf
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ressplusf.5 . . 3  |-  A  C_  B
2 resmpt2 6385 . . 3  |-  ( ( A  C_  B  /\  A  C_  B )  -> 
( ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  .+^  y ) )  |`  ( A  X.  A
) )  =  ( x  e.  A , 
y  e.  A  |->  ( x  .+^  y )
) )
31, 1, 2mp2an 672 . 2  |-  ( ( x  e.  B , 
y  e.  B  |->  ( x  .+^  y )
)  |`  ( A  X.  A ) )  =  ( x  e.  A ,  y  e.  A  |->  ( x  .+^  y ) )
4 ressplusf.4 . . . 4  |-  .+^  Fn  ( B  X.  B )
5 fnov 6395 . . . 4  |-  (  .+^  Fn  ( B  X.  B
)  <->  .+^  =  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x 
.+^  y ) ) )
64, 5mpbi 208 . . 3  |-  .+^  =  ( x  e.  B , 
y  e.  B  |->  ( x  .+^  y )
)
76reseq1i 5259 . 2  |-  (  .+^  |`  ( A  X.  A
) )  =  ( ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( x  .+^  y ) )  |`  ( A  X.  A ) )
8 ressplusf.2 . . . . 5  |-  H  =  ( Gs  A )
9 ressplusf.1 . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  G
)
108, 9ressbas2 14669 . . . 4  |-  ( A 
C_  B  ->  A  =  ( Base `  H
) )
111, 10ax-mp 5 . . 3  |-  A  =  ( Base `  H
)
12 ressplusf.3 . . . 4  |-  .+^  =  ( +g  `  G )
13 fvex 5866 . . . . . . 7  |-  ( Base `  G )  e.  _V
149, 13eqeltri 2527 . . . . . 6  |-  B  e. 
_V
1514, 1ssexi 4582 . . . . 5  |-  A  e. 
_V
16 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
178, 16ressplusg 14720 . . . . 5  |-  ( A  e.  _V  ->  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  H
) )
1815, 17ax-mp 5 . . . 4  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  H )
1912, 18eqtri 2472 . . 3  |-  .+^  =  ( +g  `  H )
20 eqid 2443 . . 3  |-  ( +f `  H )  =  ( +f `  H )
2111, 19, 20plusffval 15855 . 2  |-  ( +f `  H )  =  ( x  e.  A ,  y  e.  A  |->  ( x  .+^  y ) )
223, 7, 213eqtr4ri 2483 1  |-  ( +f `  H )  =  (  .+^  |`  ( A  X.  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1383    e. wcel 1804   _Vcvv 3095    C_ wss 3461    X. cxp 4987    |` cres 4991    Fn wfn 5573   ` cfv 5578  (class class class)co 6281    |-> cmpt2 6283   Basecbs 14613   ↾s cress 14614   +g cplusg 14678   +fcplusf 15847
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10544  df-2 10601  df-ndx 14616  df-slot 14617  df-base 14618  df-sets 14619  df-ress 14620  df-plusg 14691  df-plusf 15849
This theorem is referenced by:  xrge0pluscn  27899  xrge0tmdOLD  27904
  Copyright terms: Public domain W3C validator