Theorem ressnop0 6058

Description: If A is not in C, then the restriction of a singleton of <. A , B >. to C is null. (Contributed by Scott Fenton, 15-Apr-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ressnop0	|- ( -. A e. C -> ( { <. A , B >. } |` C ) = (/) )

Proof of Theorem ressnop0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelxp1 4856	. . 3 |- ( <. A , B >. e. ( C X. _V ) -> A e. C )
2	1	con3i 135	. 2 |- ( -. A e. C -> -. <. A , B >. e. ( C X. _V ) )
3		df-res 4835	. . . 4 |- ( { <. A , B >. } |` C ) = ( { <. A , B >. } i^i ( C X. _V ) )
4		incom 3632	. . . 4 |- ( { <. A , B >. } i^i ( C X. _V ) ) = ( ( C X. _V ) i^i { <. A , B >. } )
5	3, 4	eqtri 2431	. . 3 |- ( { <. A , B >. } |` C ) = ( ( C X. _V ) i^i { <. A , B >. } )
6		disjsn 4032	. . . 4 |- ( ( ( C X. _V ) i^i { <. A , B >. } ) = (/) <-> -. <. A , B >. e. ( C X. _V ) )
7	6	biimpri 206	. . 3 |- ( -. <. A , B >. e. ( C X. _V ) -> ( ( C X. _V ) i^i { <. A , B >. } ) = (/) )
8	5, 7	syl5eq 2455	. 2 |- ( -. <. A , B >. e. ( C X. _V ) -> ( { <. A , B >. } |` C ) = (/) )
9	2, 8	syl 17	1 |- ( -. A e. C -> ( { <. A , B >. } |` C ) = (/) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   = wceq 1405   e. wcel 1842   _Vcvv 3059   i^i cin 3413   (/)c0 3738   {csn 3972   <.cop 3978   X. cxp 4821   |` cres 4825

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pr 4630

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2759  df-rex 2760  df-rab 2763  df-v 3061  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-nul 3739  df-if 3886  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-opab 4454  df-xp 4829  df-res 4835

This theorem is referenced by:  fvunsn  6083  fsnunres  6092  wfrlem14  7034  constr3pthlem1  25072  ex-res  25579