MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ressmulr Structured version   Unicode version

Theorem ressmulr 14608
Description:  .r is unaffected by restriction. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ressmulr.1  |-  S  =  ( Rs  A )
ressmulr.2  |-  .x.  =  ( .r `  R )
Assertion
Ref Expression
ressmulr  |-  ( A  e.  V  ->  .x.  =  ( .r `  S ) )

Proof of Theorem ressmulr
StepHypRef Expression
1 ressmulr.1 . 2  |-  S  =  ( Rs  A )
2 ressmulr.2 . 2  |-  .x.  =  ( .r `  R )
3 df-mulr 14569 . 2  |-  .r  = Slot  3
4 3nn 10694 . 2  |-  3  e.  NN
5 1lt3 10704 . 2  |-  1  <  3
61, 2, 3, 4, 5resslem 14548 1  |-  ( A  e.  V  ->  .x.  =  ( .r `  S ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1379    e. wcel 1767   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   3c3 10586   ↾s cress 14491   .rcmulr 14556
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-ndx 14493  df-slot 14494  df-base 14495  df-sets 14496  df-ress 14497  df-mulr 14569
This theorem is referenced by:  mgpress  16954  subrg1  17239  subrgmcl  17241  subrgdvds  17243  subrguss  17244  subrginv  17245  subrgdv  17246  subrgunit  17247  subrgugrp  17248  issubrg2  17249  subrgpropd  17263  abvres  17288  sralmod  17633  issubassa  17772  resspsrmul  17871  resspsrvsca  17872  mplmul  17904  ressmplmul  17919  mplmulr  18061  ply1mulr  18067  ressply1mul  18071  nn0srg  18282  rge0srg  18283  zringmulr  18293  zrngmulr  18299  dvdsrz  18303  zlpirlem3  18311  prmirredlemOLD  18321  mulgrhmOLD  18330  remulr  18442  dmatcrng  18799  scmatcrng  18818  scmatsrng1  18820  scmatmhm  18831  clmmul  21338  cphsubrglem  21387  ipcau2  21440  qabvexp  23567  ostthlem2  23569  padicabv  23571  ostth2lem2  23575  ostth3  23579  ress1r  27470  rdivmuldivd  27472  suborng  27496  xrge0slmod  27525  xrge0iifmhm  27585  qqhrhm  27634  mzpmfpOLD  30312
  Copyright terms: Public domain W3C validator