MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ressmulr Structured version   Unicode version

Theorem ressmulr 14290
Description:  .r is unaffected by restriction. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ressmulr.1  |-  S  =  ( Rs  A )
ressmulr.2  |-  .x.  =  ( .r `  R )
Assertion
Ref Expression
ressmulr  |-  ( A  e.  V  ->  .x.  =  ( .r `  S ) )

Proof of Theorem ressmulr
StepHypRef Expression
1 ressmulr.1 . 2  |-  S  =  ( Rs  A )
2 ressmulr.2 . 2  |-  .x.  =  ( .r `  R )
3 df-mulr 14251 . 2  |-  .r  = Slot  3
4 3nn 10479 . 2  |-  3  e.  NN
5 1lt3 10489 . 2  |-  1  <  3
61, 2, 3, 4, 5resslem 14230 1  |-  ( A  e.  V  ->  .x.  =  ( .r `  S ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1369    e. wcel 1756   ` cfv 5417  (class class class)co 6090   3c3 10371   ↾s cress 14174   .rcmulr 14238
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4412  ax-nul 4420  ax-pow 4469  ax-pr 4530  ax-un 6371  ax-cnex 9337  ax-resscn 9338  ax-1cn 9339  ax-icn 9340  ax-addcl 9341  ax-addrcl 9342  ax-mulcl 9343  ax-mulrcl 9344  ax-mulcom 9345  ax-addass 9346  ax-mulass 9347  ax-distr 9348  ax-i2m1 9349  ax-1ne0 9350  ax-1rid 9351  ax-rnegex 9352  ax-rrecex 9353  ax-cnre 9354  ax-pre-lttri 9355  ax-pre-lttrn 9356  ax-pre-ltadd 9357  ax-pre-mulgt0 9358
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rab 2723  df-v 2973  df-sbc 3186  df-csb 3288  df-dif 3330  df-un 3332  df-in 3334  df-ss 3341  df-pss 3343  df-nul 3637  df-if 3791  df-pw 3861  df-sn 3877  df-pr 3879  df-tp 3881  df-op 3883  df-uni 4091  df-iun 4172  df-br 4292  df-opab 4350  df-mpt 4351  df-tr 4385  df-eprel 4631  df-id 4635  df-po 4640  df-so 4641  df-fr 4678  df-we 4680  df-ord 4721  df-on 4722  df-lim 4723  df-suc 4724  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5380  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-riota 6051  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-recs 6831  df-rdg 6865  df-er 7100  df-en 7310  df-dom 7311  df-sdom 7312  df-pnf 9419  df-mnf 9420  df-xr 9421  df-ltxr 9422  df-le 9423  df-sub 9596  df-neg 9597  df-nn 10322  df-2 10379  df-3 10380  df-ndx 14176  df-slot 14177  df-base 14178  df-sets 14179  df-ress 14180  df-mulr 14251
This theorem is referenced by:  mgpress  16601  subrg1  16874  subrgmcl  16876  subrgdvds  16878  subrguss  16879  subrginv  16880  subrgdv  16881  subrgunit  16882  subrgugrp  16883  issubrg2  16884  subrgpropd  16898  abvres  16923  sralmod  17267  issubassa  17394  resspsrmul  17488  resspsrvsca  17489  mplmul  17521  ressmplmul  17536  mplmulr  17674  ply1mulr  17680  ressply1mul  17684  nn0srg  17880  rge0srg  17881  zringmulr  17891  zrngmulr  17897  dvdsrz  17901  zlpirlem3  17909  prmirredlemOLD  17919  mulgrhmOLD  17928  remulr  18040  clmmul  20646  cphsubrglem  20695  ipcau2  20748  qabvexp  22874  ostthlem2  22876  padicabv  22878  ostth2lem2  22882  ostth3  22886  ress1r  26256  rdivmuldivd  26258  suborng  26282  xrge0slmod  26311  xrge0iifmhm  26368  qqhrhm  26417  mzpmfpOLD  29082  dmatcrng  30879  scmatcrng  30886  scmatsrng1  30888
  Copyright terms: Public domain W3C validator