MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ressmulr Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem ressmulr 15298
Description:  .r is unaffected by restriction. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ressmulr.1  |-  S  =  ( Rs  A )
ressmulr.2  |-  .x.  =  ( .r `  R )
Assertion
Ref Expression
ressmulr  |-  ( A  e.  V  ->  .x.  =  ( .r `  S ) )

Proof of Theorem ressmulr
StepHypRef Expression
1 ressmulr.1 . 2  |-  S  =  ( Rs  A )
2 ressmulr.2 . 2  |-  .x.  =  ( .r `  R )
3 df-mulr 15252 . 2  |-  .r  = Slot  3
4 3nn 10796 . 2  |-  3  e.  NN
5 1lt3 10806 . 2  |-  1  <  3
61, 2, 3, 4, 5resslem 15230 1  |-  ( A  e.  V  ->  .x.  =  ( .r `  S ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1454    e. wcel 1897   ` cfv 5600  (class class class)co 6314   3c3 10687   ↾s cress 15170   .rcmulr 15239
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6609  ax-cnex 9620  ax-resscn 9621  ax-1cn 9622  ax-icn 9623  ax-addcl 9624  ax-addrcl 9625  ax-mulcl 9626  ax-mulrcl 9627  ax-mulcom 9628  ax-addass 9629  ax-mulass 9630  ax-distr 9631  ax-i2m1 9632  ax-1ne0 9633  ax-1rid 9634  ax-rnegex 9635  ax-rrecex 9636  ax-cnre 9637  ax-pre-lttri 9638  ax-pre-lttrn 9639  ax-pre-ltadd 9640  ax-pre-mulgt0 9641
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1457  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-nel 2635  df-ral 2753  df-rex 2754  df-reu 2755  df-rab 2757  df-v 3058  df-sbc 3279  df-csb 3375  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-pss 3431  df-nul 3743  df-if 3893  df-pw 3964  df-sn 3980  df-pr 3982  df-tp 3984  df-op 3986  df-uni 4212  df-iun 4293  df-br 4416  df-opab 4475  df-mpt 4476  df-tr 4511  df-eprel 4763  df-id 4767  df-po 4773  df-so 4774  df-fr 4811  df-we 4813  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-pred 5398  df-ord 5444  df-on 5445  df-lim 5446  df-suc 5447  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-f1 5605  df-fo 5606  df-f1o 5607  df-fv 5608  df-riota 6276  df-ov 6317  df-oprab 6318  df-mpt2 6319  df-om 6719  df-wrecs 7053  df-recs 7115  df-rdg 7153  df-er 7388  df-en 7595  df-dom 7596  df-sdom 7597  df-pnf 9702  df-mnf 9703  df-xr 9704  df-ltxr 9705  df-le 9706  df-sub 9887  df-neg 9888  df-nn 10637  df-2 10695  df-3 10696  df-ndx 15172  df-slot 15173  df-base 15174  df-sets 15175  df-ress 15176  df-mulr 15252
This theorem is referenced by:  mgpress  17782  subrg1  18066  subrgmcl  18068  subrgdvds  18070  subrguss  18071  subrginv  18072  subrgdv  18073  subrgunit  18074  subrgugrp  18075  issubrg2  18076  subrgpropd  18090  abvres  18115  sralmod  18458  issubassa  18596  resspsrmul  18689  resspsrvsca  18690  mplmul  18715  ressmplmul  18730  mplmulr  18862  ply1mulr  18868  ressply1mul  18872  nn0srg  19085  rge0srg  19086  zringmulr  19096  remulr  19227  dmatcrng  19575  scmatcrng  19594  scmatsrng1  19596  scmatmhm  19607  clmmul  22154  cphsubrglem  22203  ipcau2  22256  qabvexp  24512  ostthlem2  24514  padicabv  24516  ostth2lem2  24520  ostth3  24524  ress1r  28600  rdivmuldivd  28602  suborng  28626  xrge0slmod  28655  xrge0iifmhm  28793  qqhrhm  28841  cnfldsrngmul  40043  lidlmmgm  40197  lidlmsgrp  40198  lidlrng  40199  zlidlring  40200  uzlidlring  40201  aacllem  40812
  Copyright terms: Public domain W3C validator