Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ressmulgnn Structured version   Unicode version

Theorem ressmulgnn 27321
Description: Values for the group multiple function in a restricted structure (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ressmulgnn.1  |-  H  =  ( Gs  A )
ressmulgnn.2  |-  A  C_  ( Base `  G )
ressmulgnn.3  |-  .*  =  (.g
`  G )
ressmulgnn.4  |-  I  =  ( invg `  G )
Assertion
Ref Expression
ressmulgnn  |-  ( ( N  e.  NN  /\  X  e.  A )  ->  ( N (.g `  H
) X )  =  ( N  .*  X
) )

Proof of Theorem ressmulgnn
StepHypRef Expression
1 ressmulgnn.2 . . . 4  |-  A  C_  ( Base `  G )
2 ressmulgnn.1 . . . . 5  |-  H  =  ( Gs  A )
3 eqid 2462 . . . . 5  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
42, 3ressbas2 14537 . . . 4  |-  ( A 
C_  ( Base `  G
)  ->  A  =  ( Base `  H )
)
51, 4ax-mp 5 . . 3  |-  A  =  ( Base `  H
)
6 eqid 2462 . . 3  |-  ( +g  `  H )  =  ( +g  `  H )
7 eqid 2462 . . 3  |-  (.g `  H
)  =  (.g `  H
)
8 fvex 5869 . . . . . 6  |-  ( Base `  G )  e.  _V
98, 1ssexi 4587 . . . . 5  |-  A  e. 
_V
10 eqid 2462 . . . . . 6  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
112, 10ressplusg 14588 . . . . 5  |-  ( A  e.  _V  ->  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  H
) )
129, 11ax-mp 5 . . . 4  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  H )
13 seqeq2 12069 . . . 4  |-  ( ( +g  `  G )  =  ( +g  `  H
)  ->  seq 1
( ( +g  `  G
) ,  ( NN 
X.  { X }
) )  =  seq 1 ( ( +g  `  H ) ,  ( NN  X.  { X } ) ) )
1412, 13ax-mp 5 . . 3  |-  seq 1
( ( +g  `  G
) ,  ( NN 
X.  { X }
) )  =  seq 1 ( ( +g  `  H ) ,  ( NN  X.  { X } ) )
155, 6, 7, 14mulgnn 15943 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  X  e.  A )  ->  ( N (.g `  H
) X )  =  (  seq 1 ( ( +g  `  G
) ,  ( NN 
X.  { X }
) ) `  N
) )
16 simpr 461 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  X  e.  A )  ->  X  e.  A )
171, 16sseldi 3497 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  X  e.  A )  ->  X  e.  ( Base `  G ) )
18 ressmulgnn.3 . . . 4  |-  .*  =  (.g
`  G )
19 eqid 2462 . . . 4  |-  seq 1
( ( +g  `  G
) ,  ( NN 
X.  { X }
) )  =  seq 1 ( ( +g  `  G ) ,  ( NN  X.  { X } ) )
203, 10, 18, 19mulgnn 15943 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  X  e.  ( Base `  G ) )  -> 
( N  .*  X
)  =  (  seq 1 ( ( +g  `  G ) ,  ( NN  X.  { X } ) ) `  N ) )
2117, 20syldan 470 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  X  e.  A )  ->  ( N  .*  X
)  =  (  seq 1 ( ( +g  `  G ) ,  ( NN  X.  { X } ) ) `  N ) )
2215, 21eqtr4d 2506 1  |-  ( ( N  e.  NN  /\  X  e.  A )  ->  ( N (.g `  H
) X )  =  ( N  .*  X
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762   _Vcvv 3108    C_ wss 3471   {csn 4022    X. cxp 4992   ` cfv 5581  (class class class)co 6277   1c1 9484   NNcn 10527    seqcseq 12065   Basecbs 14481   ↾s cress 14482   +g cplusg 14546   invgcminusg 15719  .gcmg 15722
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-rep 4553  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-inf2 8049  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-iun 4322  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6674  df-1st 6776  df-2nd 6777  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10528  df-2 10585  df-z 10856  df-seq 12066  df-ndx 14484  df-slot 14485  df-base 14486  df-sets 14487  df-ress 14488  df-plusg 14559  df-mulg 15856
This theorem is referenced by:  ressmulgnn0  27322
  Copyright terms: Public domain W3C validator