Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ressmulgnn Structured version   Unicode version

Theorem ressmulgnn 27649
Description: Values for the group multiple function in a restricted structure (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ressmulgnn.1  |-  H  =  ( Gs  A )
ressmulgnn.2  |-  A  C_  ( Base `  G )
ressmulgnn.3  |-  .*  =  (.g
`  G )
ressmulgnn.4  |-  I  =  ( invg `  G )
Assertion
Ref Expression
ressmulgnn  |-  ( ( N  e.  NN  /\  X  e.  A )  ->  ( N (.g `  H
) X )  =  ( N  .*  X
) )

Proof of Theorem ressmulgnn
StepHypRef Expression
1 ressmulgnn.2 . . . 4  |-  A  C_  ( Base `  G )
2 ressmulgnn.1 . . . . 5  |-  H  =  ( Gs  A )
3 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
42, 3ressbas2 14670 . . . 4  |-  ( A 
C_  ( Base `  G
)  ->  A  =  ( Base `  H )
)
51, 4ax-mp 5 . . 3  |-  A  =  ( Base `  H
)
6 eqid 2443 . . 3  |-  ( +g  `  H )  =  ( +g  `  H )
7 eqid 2443 . . 3  |-  (.g `  H
)  =  (.g `  H
)
8 fvex 5866 . . . . . 6  |-  ( Base `  G )  e.  _V
98, 1ssexi 4582 . . . . 5  |-  A  e. 
_V
10 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
112, 10ressplusg 14721 . . . . 5  |-  ( A  e.  _V  ->  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  H
) )
129, 11ax-mp 5 . . . 4  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  H )
13 seqeq2 12093 . . . 4  |-  ( ( +g  `  G )  =  ( +g  `  H
)  ->  seq 1
( ( +g  `  G
) ,  ( NN 
X.  { X }
) )  =  seq 1 ( ( +g  `  H ) ,  ( NN  X.  { X } ) ) )
1412, 13ax-mp 5 . . 3  |-  seq 1
( ( +g  `  G
) ,  ( NN 
X.  { X }
) )  =  seq 1 ( ( +g  `  H ) ,  ( NN  X.  { X } ) )
155, 6, 7, 14mulgnn 16127 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  X  e.  A )  ->  ( N (.g `  H
) X )  =  (  seq 1 ( ( +g  `  G
) ,  ( NN 
X.  { X }
) ) `  N
) )
16 simpr 461 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  X  e.  A )  ->  X  e.  A )
171, 16sseldi 3487 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  X  e.  A )  ->  X  e.  ( Base `  G ) )
18 ressmulgnn.3 . . . 4  |-  .*  =  (.g
`  G )
19 eqid 2443 . . . 4  |-  seq 1
( ( +g  `  G
) ,  ( NN 
X.  { X }
) )  =  seq 1 ( ( +g  `  G ) ,  ( NN  X.  { X } ) )
203, 10, 18, 19mulgnn 16127 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  X  e.  ( Base `  G ) )  -> 
( N  .*  X
)  =  (  seq 1 ( ( +g  `  G ) ,  ( NN  X.  { X } ) ) `  N ) )
2117, 20syldan 470 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  X  e.  A )  ->  ( N  .*  X
)  =  (  seq 1 ( ( +g  `  G ) ,  ( NN  X.  { X } ) ) `  N ) )
2215, 21eqtr4d 2487 1  |-  ( ( N  e.  NN  /\  X  e.  A )  ->  ( N (.g `  H
) X )  =  ( N  .*  X
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1383    e. wcel 1804   _Vcvv 3095    C_ wss 3461   {csn 4014    X. cxp 4987   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   1c1 9496   NNcn 10543    seqcseq 12089   Basecbs 14614   ↾s cress 14615   +g cplusg 14679   invgcminusg 16033  .gcmg 16035
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-inf2 8061  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10544  df-2 10601  df-z 10872  df-seq 12090  df-ndx 14617  df-slot 14618  df-base 14619  df-sets 14620  df-ress 14621  df-plusg 14692  df-mulg 16039
This theorem is referenced by:  ressmulgnn0  27650
  Copyright terms: Public domain W3C validator