MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ressmplmul Structured version   Unicode version

Theorem ressmplmul 18617
Description: A restricted polynomial algebra has the same multiplication operation. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ressmpl.s  |-  S  =  ( I mPoly  R )
ressmpl.h  |-  H  =  ( Rs  T )
ressmpl.u  |-  U  =  ( I mPoly  H )
ressmpl.b  |-  B  =  ( Base `  U
)
ressmpl.1  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
ressmpl.2  |-  ( ph  ->  T  e.  (SubRing `  R
) )
ressmpl.p  |-  P  =  ( Ss  B )
Assertion
Ref Expression
ressmplmul  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( X ( .r
`  U ) Y )  =  ( X ( .r `  P
) Y ) )

Proof of Theorem ressmplmul
StepHypRef Expression
1 ressmpl.u . . . . . 6  |-  U  =  ( I mPoly  H )
2 eqid 2429 . . . . . 6  |-  ( I mPwSer  H )  =  ( I mPwSer  H )
3 ressmpl.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  U
)
4 eqid 2429 . . . . . 6  |-  ( Base `  ( I mPwSer  H ) )  =  ( Base `  ( I mPwSer  H ) )
51, 2, 3, 4mplbasss 18591 . . . . 5  |-  B  C_  ( Base `  ( I mPwSer  H ) )
65sseli 3466 . . . 4  |-  ( X  e.  B  ->  X  e.  ( Base `  (
I mPwSer  H ) ) )
75sseli 3466 . . . 4  |-  ( Y  e.  B  ->  Y  e.  ( Base `  (
I mPwSer  H ) ) )
86, 7anim12i 568 . . 3  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  e.  (
Base `  ( I mPwSer  H ) )  /\  Y  e.  ( Base `  (
I mPwSer  H ) ) ) )
9 eqid 2429 . . . 4  |-  ( I mPwSer  R )  =  ( I mPwSer  R )
10 ressmpl.h . . . 4  |-  H  =  ( Rs  T )
11 eqid 2429 . . . 4  |-  ( ( I mPwSer  R )s  ( Base `  ( I mPwSer  H ) ) )  =  ( ( I mPwSer  R )s  (
Base `  ( I mPwSer  H ) ) )
12 ressmpl.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  T  e.  (SubRing `  R
) )
139, 10, 2, 4, 11, 12resspsrmul 18576 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  ( Base `  (
I mPwSer  H ) )  /\  Y  e.  ( Base `  ( I mPwSer  H ) ) ) )  -> 
( X ( .r
`  ( I mPwSer  H
) ) Y )  =  ( X ( .r `  ( ( I mPwSer  R )s  ( Base `  ( I mPwSer  H ) ) ) ) Y ) )
148, 13sylan2 476 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( X ( .r
`  ( I mPwSer  H
) ) Y )  =  ( X ( .r `  ( ( I mPwSer  R )s  ( Base `  ( I mPwSer  H ) ) ) ) Y ) )
15 fvex 5891 . . . . 5  |-  ( Base `  U )  e.  _V
163, 15eqeltri 2513 . . . 4  |-  B  e. 
_V
171, 2, 3mplval2 18590 . . . . 5  |-  U  =  ( ( I mPwSer  H
)s 
B )
18 eqid 2429 . . . . 5  |-  ( .r
`  ( I mPwSer  H
) )  =  ( .r `  ( I mPwSer  H ) )
1917, 18ressmulr 15209 . . . 4  |-  ( B  e.  _V  ->  ( .r `  ( I mPwSer  H
) )  =  ( .r `  U ) )
2016, 19ax-mp 5 . . 3  |-  ( .r
`  ( I mPwSer  H
) )  =  ( .r `  U )
2120oveqi 6318 . 2  |-  ( X ( .r `  (
I mPwSer  H ) ) Y )  =  ( X ( .r `  U
) Y )
22 fvex 5891 . . . . 5  |-  ( Base `  S )  e.  _V
23 ressmpl.s . . . . . . 7  |-  S  =  ( I mPoly  R )
24 eqid 2429 . . . . . . 7  |-  ( Base `  S )  =  (
Base `  S )
2523, 9, 24mplval2 18590 . . . . . 6  |-  S  =  ( ( I mPwSer  R
)s  ( Base `  S
) )
26 eqid 2429 . . . . . 6  |-  ( .r
`  ( I mPwSer  R
) )  =  ( .r `  ( I mPwSer  R ) )
2725, 26ressmulr 15209 . . . . 5  |-  ( (
Base `  S )  e.  _V  ->  ( .r `  ( I mPwSer  R ) )  =  ( .r
`  S ) )
2822, 27ax-mp 5 . . . 4  |-  ( .r
`  ( I mPwSer  R
) )  =  ( .r `  S )
29 fvex 5891 . . . . 5  |-  ( Base `  ( I mPwSer  H ) )  e.  _V
3011, 26ressmulr 15209 . . . . 5  |-  ( (
Base `  ( I mPwSer  H ) )  e.  _V  ->  ( .r `  (
I mPwSer  R ) )  =  ( .r `  (
( I mPwSer  R )s  ( Base `  ( I mPwSer  H
) ) ) ) )
3129, 30ax-mp 5 . . . 4  |-  ( .r
`  ( I mPwSer  R
) )  =  ( .r `  ( ( I mPwSer  R )s  ( Base `  ( I mPwSer  H ) ) ) )
32 ressmpl.p . . . . . 6  |-  P  =  ( Ss  B )
33 eqid 2429 . . . . . 6  |-  ( .r
`  S )  =  ( .r `  S
)
3432, 33ressmulr 15209 . . . . 5  |-  ( B  e.  _V  ->  ( .r `  S )  =  ( .r `  P
) )
3516, 34ax-mp 5 . . . 4  |-  ( .r
`  S )  =  ( .r `  P
)
3628, 31, 353eqtr3i 2466 . . 3  |-  ( .r
`  ( ( I mPwSer  R )s  ( Base `  (
I mPwSer  H ) ) ) )  =  ( .r
`  P )
3736oveqi 6318 . 2  |-  ( X ( .r `  (
( I mPwSer  R )s  ( Base `  ( I mPwSer  H
) ) ) ) Y )  =  ( X ( .r `  P ) Y )
3814, 21, 373eqtr3g 2493 1  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( X ( .r
`  U ) Y )  =  ( X ( .r `  P
) Y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1870   _Vcvv 3087   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   Basecbs 15084   ↾s cress 15085   .rcmulr 15153  SubRingcsubrg 17939   mPwSer cmps 18510   mPoly cmpl 18512
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-ofr 6546  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-supp 6926  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-2o 7191  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-pm 7483  df-ixp 7531  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-fsupp 7890  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11783  df-seq 12211  df-struct 15086  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-sets 15090  df-ress 15091  df-plusg 15165  df-mulr 15166  df-sca 15168  df-vsca 15169  df-tset 15171  df-0g 15299  df-gsum 15300  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-submnd 16534  df-grp 16624  df-minusg 16625  df-subg 16765  df-mgp 17659  df-ring 17717  df-subrg 17941  df-psr 18515  df-mpl 18517
This theorem is referenced by:  ressply1mul  18759
  Copyright terms: Public domain W3C validator