MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ressmplmul Structured version   Unicode version

Theorem ressmplmul 17537
Description: A restricted polynomial algebra has the same multiplication operation. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ressmpl.s  |-  S  =  ( I mPoly  R )
ressmpl.h  |-  H  =  ( Rs  T )
ressmpl.u  |-  U  =  ( I mPoly  H )
ressmpl.b  |-  B  =  ( Base `  U
)
ressmpl.1  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
ressmpl.2  |-  ( ph  ->  T  e.  (SubRing `  R
) )
ressmpl.p  |-  P  =  ( Ss  B )
Assertion
Ref Expression
ressmplmul  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( X ( .r
`  U ) Y )  =  ( X ( .r `  P
) Y ) )

Proof of Theorem ressmplmul
StepHypRef Expression
1 ressmpl.u . . . . . 6  |-  U  =  ( I mPoly  H )
2 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( I mPwSer  H )  =  ( I mPwSer  H )
3 ressmpl.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  U
)
4 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( Base `  ( I mPwSer  H ) )  =  ( Base `  ( I mPwSer  H ) )
51, 2, 3, 4mplbasss 17508 . . . . 5  |-  B  C_  ( Base `  ( I mPwSer  H ) )
65sseli 3352 . . . 4  |-  ( X  e.  B  ->  X  e.  ( Base `  (
I mPwSer  H ) ) )
75sseli 3352 . . . 4  |-  ( Y  e.  B  ->  Y  e.  ( Base `  (
I mPwSer  H ) ) )
86, 7anim12i 566 . . 3  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  e.  (
Base `  ( I mPwSer  H ) )  /\  Y  e.  ( Base `  (
I mPwSer  H ) ) ) )
9 eqid 2443 . . . 4  |-  ( I mPwSer  R )  =  ( I mPwSer  R )
10 ressmpl.h . . . 4  |-  H  =  ( Rs  T )
11 eqid 2443 . . . 4  |-  ( ( I mPwSer  R )s  ( Base `  ( I mPwSer  H ) ) )  =  ( ( I mPwSer  R )s  (
Base `  ( I mPwSer  H ) ) )
12 ressmpl.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  T  e.  (SubRing `  R
) )
139, 10, 2, 4, 11, 12resspsrmul 17489 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  ( Base `  (
I mPwSer  H ) )  /\  Y  e.  ( Base `  ( I mPwSer  H ) ) ) )  -> 
( X ( .r
`  ( I mPwSer  H
) ) Y )  =  ( X ( .r `  ( ( I mPwSer  R )s  ( Base `  ( I mPwSer  H ) ) ) ) Y ) )
148, 13sylan2 474 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( X ( .r
`  ( I mPwSer  H
) ) Y )  =  ( X ( .r `  ( ( I mPwSer  R )s  ( Base `  ( I mPwSer  H ) ) ) ) Y ) )
15 fvex 5701 . . . . 5  |-  ( Base `  U )  e.  _V
163, 15eqeltri 2513 . . . 4  |-  B  e. 
_V
171, 2, 3mplval2 17507 . . . . 5  |-  U  =  ( ( I mPwSer  H
)s 
B )
18 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( .r
`  ( I mPwSer  H
) )  =  ( .r `  ( I mPwSer  H ) )
1917, 18ressmulr 14291 . . . 4  |-  ( B  e.  _V  ->  ( .r `  ( I mPwSer  H
) )  =  ( .r `  U ) )
2016, 19ax-mp 5 . . 3  |-  ( .r
`  ( I mPwSer  H
) )  =  ( .r `  U )
2120oveqi 6104 . 2  |-  ( X ( .r `  (
I mPwSer  H ) ) Y )  =  ( X ( .r `  U
) Y )
22 fvex 5701 . . . . 5  |-  ( Base `  S )  e.  _V
23 ressmpl.s . . . . . . 7  |-  S  =  ( I mPoly  R )
24 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  ( Base `  S )  =  (
Base `  S )
2523, 9, 24mplval2 17507 . . . . . 6  |-  S  =  ( ( I mPwSer  R
)s  ( Base `  S
) )
26 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( .r
`  ( I mPwSer  R
) )  =  ( .r `  ( I mPwSer  R ) )
2725, 26ressmulr 14291 . . . . 5  |-  ( (
Base `  S )  e.  _V  ->  ( .r `  ( I mPwSer  R ) )  =  ( .r
`  S ) )
2822, 27ax-mp 5 . . . 4  |-  ( .r
`  ( I mPwSer  R
) )  =  ( .r `  S )
29 fvex 5701 . . . . 5  |-  ( Base `  ( I mPwSer  H ) )  e.  _V
3011, 26ressmulr 14291 . . . . 5  |-  ( (
Base `  ( I mPwSer  H ) )  e.  _V  ->  ( .r `  (
I mPwSer  R ) )  =  ( .r `  (
( I mPwSer  R )s  ( Base `  ( I mPwSer  H
) ) ) ) )
3129, 30ax-mp 5 . . . 4  |-  ( .r
`  ( I mPwSer  R
) )  =  ( .r `  ( ( I mPwSer  R )s  ( Base `  ( I mPwSer  H ) ) ) )
32 ressmpl.p . . . . . 6  |-  P  =  ( Ss  B )
33 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( .r
`  S )  =  ( .r `  S
)
3432, 33ressmulr 14291 . . . . 5  |-  ( B  e.  _V  ->  ( .r `  S )  =  ( .r `  P
) )
3516, 34ax-mp 5 . . . 4  |-  ( .r
`  S )  =  ( .r `  P
)
3628, 31, 353eqtr3i 2471 . . 3  |-  ( .r
`  ( ( I mPwSer  R )s  ( Base `  (
I mPwSer  H ) ) ) )  =  ( .r
`  P )
3736oveqi 6104 . 2  |-  ( X ( .r `  (
( I mPwSer  R )s  ( Base `  ( I mPwSer  H
) ) ) ) Y )  =  ( X ( .r `  P ) Y )
3814, 21, 373eqtr3g 2498 1  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( X ( .r
`  U ) Y )  =  ( X ( .r `  P
) Y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   _Vcvv 2972   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   Basecbs 14174   ↾s cress 14175   .rcmulr 14239  SubRingcsubrg 16861   mPwSer cmps 17418   mPoly cmpl 17420
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-of 6320  df-ofr 6321  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-supp 6691  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-2o 6921  df-oadd 6924  df-er 7101  df-map 7216  df-pm 7217  df-ixp 7264  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-fsupp 7621  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-4 10382  df-5 10383  df-6 10384  df-7 10385  df-8 10386  df-9 10387  df-n0 10580  df-z 10647  df-uz 10862  df-fz 11438  df-seq 11807  df-struct 14176  df-ndx 14177  df-slot 14178  df-base 14179  df-sets 14180  df-ress 14181  df-plusg 14251  df-mulr 14252  df-sca 14254  df-vsca 14255  df-tset 14257  df-0g 14380  df-gsum 14381  df-mnd 15415  df-submnd 15465  df-grp 15545  df-minusg 15546  df-subg 15678  df-mgp 16592  df-rng 16647  df-subrg 16863  df-psr 17423  df-mpl 17425
This theorem is referenced by:  ressply1mul  17685
  Copyright terms: Public domain W3C validator