MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ressmplmul Structured version   Unicode version

Theorem ressmplmul 17931
Description: A restricted polynomial algebra has the same multiplication operation. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ressmpl.s  |-  S  =  ( I mPoly  R )
ressmpl.h  |-  H  =  ( Rs  T )
ressmpl.u  |-  U  =  ( I mPoly  H )
ressmpl.b  |-  B  =  ( Base `  U
)
ressmpl.1  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
ressmpl.2  |-  ( ph  ->  T  e.  (SubRing `  R
) )
ressmpl.p  |-  P  =  ( Ss  B )
Assertion
Ref Expression
ressmplmul  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( X ( .r
`  U ) Y )  =  ( X ( .r `  P
) Y ) )

Proof of Theorem ressmplmul
StepHypRef Expression
1 ressmpl.u . . . . . 6  |-  U  =  ( I mPoly  H )
2 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( I mPwSer  H )  =  ( I mPwSer  H )
3 ressmpl.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  U
)
4 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( Base `  ( I mPwSer  H ) )  =  ( Base `  ( I mPwSer  H ) )
51, 2, 3, 4mplbasss 17902 . . . . 5  |-  B  C_  ( Base `  ( I mPwSer  H ) )
65sseli 3500 . . . 4  |-  ( X  e.  B  ->  X  e.  ( Base `  (
I mPwSer  H ) ) )
75sseli 3500 . . . 4  |-  ( Y  e.  B  ->  Y  e.  ( Base `  (
I mPwSer  H ) ) )
86, 7anim12i 566 . . 3  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  e.  (
Base `  ( I mPwSer  H ) )  /\  Y  e.  ( Base `  (
I mPwSer  H ) ) ) )
9 eqid 2467 . . . 4  |-  ( I mPwSer  R )  =  ( I mPwSer  R )
10 ressmpl.h . . . 4  |-  H  =  ( Rs  T )
11 eqid 2467 . . . 4  |-  ( ( I mPwSer  R )s  ( Base `  ( I mPwSer  H ) ) )  =  ( ( I mPwSer  R )s  (
Base `  ( I mPwSer  H ) ) )
12 ressmpl.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  T  e.  (SubRing `  R
) )
139, 10, 2, 4, 11, 12resspsrmul 17883 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  ( Base `  (
I mPwSer  H ) )  /\  Y  e.  ( Base `  ( I mPwSer  H ) ) ) )  -> 
( X ( .r
`  ( I mPwSer  H
) ) Y )  =  ( X ( .r `  ( ( I mPwSer  R )s  ( Base `  ( I mPwSer  H ) ) ) ) Y ) )
148, 13sylan2 474 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( X ( .r
`  ( I mPwSer  H
) ) Y )  =  ( X ( .r `  ( ( I mPwSer  R )s  ( Base `  ( I mPwSer  H ) ) ) ) Y ) )
15 fvex 5876 . . . . 5  |-  ( Base `  U )  e.  _V
163, 15eqeltri 2551 . . . 4  |-  B  e. 
_V
171, 2, 3mplval2 17901 . . . . 5  |-  U  =  ( ( I mPwSer  H
)s 
B )
18 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( .r
`  ( I mPwSer  H
) )  =  ( .r `  ( I mPwSer  H ) )
1917, 18ressmulr 14611 . . . 4  |-  ( B  e.  _V  ->  ( .r `  ( I mPwSer  H
) )  =  ( .r `  U ) )
2016, 19ax-mp 5 . . 3  |-  ( .r
`  ( I mPwSer  H
) )  =  ( .r `  U )
2120oveqi 6298 . 2  |-  ( X ( .r `  (
I mPwSer  H ) ) Y )  =  ( X ( .r `  U
) Y )
22 fvex 5876 . . . . 5  |-  ( Base `  S )  e.  _V
23 ressmpl.s . . . . . . 7  |-  S  =  ( I mPoly  R )
24 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  ( Base `  S )  =  (
Base `  S )
2523, 9, 24mplval2 17901 . . . . . 6  |-  S  =  ( ( I mPwSer  R
)s  ( Base `  S
) )
26 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( .r
`  ( I mPwSer  R
) )  =  ( .r `  ( I mPwSer  R ) )
2725, 26ressmulr 14611 . . . . 5  |-  ( (
Base `  S )  e.  _V  ->  ( .r `  ( I mPwSer  R ) )  =  ( .r
`  S ) )
2822, 27ax-mp 5 . . . 4  |-  ( .r
`  ( I mPwSer  R
) )  =  ( .r `  S )
29 fvex 5876 . . . . 5  |-  ( Base `  ( I mPwSer  H ) )  e.  _V
3011, 26ressmulr 14611 . . . . 5  |-  ( (
Base `  ( I mPwSer  H ) )  e.  _V  ->  ( .r `  (
I mPwSer  R ) )  =  ( .r `  (
( I mPwSer  R )s  ( Base `  ( I mPwSer  H
) ) ) ) )
3129, 30ax-mp 5 . . . 4  |-  ( .r
`  ( I mPwSer  R
) )  =  ( .r `  ( ( I mPwSer  R )s  ( Base `  ( I mPwSer  H ) ) ) )
32 ressmpl.p . . . . . 6  |-  P  =  ( Ss  B )
33 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( .r
`  S )  =  ( .r `  S
)
3432, 33ressmulr 14611 . . . . 5  |-  ( B  e.  _V  ->  ( .r `  S )  =  ( .r `  P
) )
3516, 34ax-mp 5 . . . 4  |-  ( .r
`  S )  =  ( .r `  P
)
3628, 31, 353eqtr3i 2504 . . 3  |-  ( .r
`  ( ( I mPwSer  R )s  ( Base `  (
I mPwSer  H ) ) ) )  =  ( .r
`  P )
3736oveqi 6298 . 2  |-  ( X ( .r `  (
( I mPwSer  R )s  ( Base `  ( I mPwSer  H
) ) ) ) Y )  =  ( X ( .r `  P ) Y )
3814, 21, 373eqtr3g 2531 1  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( X ( .r
`  U ) Y )  =  ( X ( .r `  P
) Y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   _Vcvv 3113   ` cfv 5588  (class class class)co 6285   Basecbs 14493   ↾s cress 14494   .rcmulr 14559  SubRingcsubrg 17237   mPwSer cmps 17811   mPoly cmpl 17813
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-of 6525  df-ofr 6526  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6903  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-1o 7131  df-2o 7132  df-oadd 7135  df-er 7312  df-map 7423  df-pm 7424  df-ixp 7471  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-fin 7521  df-fsupp 7831  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-4 10597  df-5 10598  df-6 10599  df-7 10600  df-8 10601  df-9 10602  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11084  df-fz 11674  df-seq 12077  df-struct 14495  df-ndx 14496  df-slot 14497  df-base 14498  df-sets 14499  df-ress 14500  df-plusg 14571  df-mulr 14572  df-sca 14574  df-vsca 14575  df-tset 14577  df-0g 14700  df-gsum 14701  df-mnd 15735  df-submnd 15790  df-grp 15871  df-minusg 15872  df-subg 16012  df-mgp 16956  df-rng 17014  df-subrg 17239  df-psr 17816  df-mpl 17818
This theorem is referenced by:  ressply1mul  18083
  Copyright terms: Public domain W3C validator