MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ressmpladd Structured version   Unicode version

Theorem ressmpladd 18097
Description: A restricted polynomial algebra has the same addition operation. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ressmpl.s  |-  S  =  ( I mPoly  R )
ressmpl.h  |-  H  =  ( Rs  T )
ressmpl.u  |-  U  =  ( I mPoly  H )
ressmpl.b  |-  B  =  ( Base `  U
)
ressmpl.1  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
ressmpl.2  |-  ( ph  ->  T  e.  (SubRing `  R
) )
ressmpl.p  |-  P  =  ( Ss  B )
Assertion
Ref Expression
ressmpladd  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( X ( +g  `  U ) Y )  =  ( X ( +g  `  P ) Y ) )

Proof of Theorem ressmpladd
StepHypRef Expression
1 ressmpl.u . . . . . 6  |-  U  =  ( I mPoly  H )
2 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( I mPwSer  H )  =  ( I mPwSer  H )
3 ressmpl.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  U
)
4 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( Base `  ( I mPwSer  H ) )  =  ( Base `  ( I mPwSer  H ) )
51, 2, 3, 4mplbasss 18069 . . . . 5  |-  B  C_  ( Base `  ( I mPwSer  H ) )
65sseli 3485 . . . 4  |-  ( X  e.  B  ->  X  e.  ( Base `  (
I mPwSer  H ) ) )
75sseli 3485 . . . 4  |-  ( Y  e.  B  ->  Y  e.  ( Base `  (
I mPwSer  H ) ) )
86, 7anim12i 566 . . 3  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  e.  (
Base `  ( I mPwSer  H ) )  /\  Y  e.  ( Base `  (
I mPwSer  H ) ) ) )
9 eqid 2443 . . . 4  |-  ( I mPwSer  R )  =  ( I mPwSer  R )
10 ressmpl.h . . . 4  |-  H  =  ( Rs  T )
11 eqid 2443 . . . 4  |-  ( ( I mPwSer  R )s  ( Base `  ( I mPwSer  H ) ) )  =  ( ( I mPwSer  R )s  (
Base `  ( I mPwSer  H ) ) )
12 ressmpl.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  T  e.  (SubRing `  R
) )
139, 10, 2, 4, 11, 12resspsradd 18049 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  ( Base `  (
I mPwSer  H ) )  /\  Y  e.  ( Base `  ( I mPwSer  H ) ) ) )  -> 
( X ( +g  `  ( I mPwSer  H ) ) Y )  =  ( X ( +g  `  ( ( I mPwSer  R
)s  ( Base `  (
I mPwSer  H ) ) ) ) Y ) )
148, 13sylan2 474 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( X ( +g  `  ( I mPwSer  H ) ) Y )  =  ( X ( +g  `  ( ( I mPwSer  R
)s  ( Base `  (
I mPwSer  H ) ) ) ) Y ) )
15 fvex 5866 . . . . 5  |-  ( Base `  U )  e.  _V
163, 15eqeltri 2527 . . . 4  |-  B  e. 
_V
171, 2, 3mplval2 18068 . . . . 5  |-  U  =  ( ( I mPwSer  H
)s 
B )
18 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( +g  `  ( I mPwSer  H ) )  =  ( +g  `  ( I mPwSer  H ) )
1917, 18ressplusg 14720 . . . 4  |-  ( B  e.  _V  ->  ( +g  `  ( I mPwSer  H
) )  =  ( +g  `  U ) )
2016, 19ax-mp 5 . . 3  |-  ( +g  `  ( I mPwSer  H ) )  =  ( +g  `  U )
2120oveqi 6294 . 2  |-  ( X ( +g  `  (
I mPwSer  H ) ) Y )  =  ( X ( +g  `  U
) Y )
22 fvex 5866 . . . . 5  |-  ( Base `  S )  e.  _V
23 ressmpl.s . . . . . . 7  |-  S  =  ( I mPoly  R )
24 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  ( Base `  S )  =  (
Base `  S )
2523, 9, 24mplval2 18068 . . . . . 6  |-  S  =  ( ( I mPwSer  R
)s  ( Base `  S
) )
26 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( +g  `  ( I mPwSer  R ) )  =  ( +g  `  ( I mPwSer  R ) )
2725, 26ressplusg 14720 . . . . 5  |-  ( (
Base `  S )  e.  _V  ->  ( +g  `  ( I mPwSer  R ) )  =  ( +g  `  S ) )
2822, 27ax-mp 5 . . . 4  |-  ( +g  `  ( I mPwSer  R ) )  =  ( +g  `  S )
29 fvex 5866 . . . . 5  |-  ( Base `  ( I mPwSer  H ) )  e.  _V
3011, 26ressplusg 14720 . . . . 5  |-  ( (
Base `  ( I mPwSer  H ) )  e.  _V  ->  ( +g  `  (
I mPwSer  R ) )  =  ( +g  `  (
( I mPwSer  R )s  ( Base `  ( I mPwSer  H
) ) ) ) )
3129, 30ax-mp 5 . . . 4  |-  ( +g  `  ( I mPwSer  R ) )  =  ( +g  `  ( ( I mPwSer  R
)s  ( Base `  (
I mPwSer  H ) ) ) )
32 ressmpl.p . . . . . 6  |-  P  =  ( Ss  B )
33 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( +g  `  S )  =  ( +g  `  S )
3432, 33ressplusg 14720 . . . . 5  |-  ( B  e.  _V  ->  ( +g  `  S )  =  ( +g  `  P
) )
3516, 34ax-mp 5 . . . 4  |-  ( +g  `  S )  =  ( +g  `  P )
3628, 31, 353eqtr3i 2480 . . 3  |-  ( +g  `  ( ( I mPwSer  R
)s  ( Base `  (
I mPwSer  H ) ) ) )  =  ( +g  `  P )
3736oveqi 6294 . 2  |-  ( X ( +g  `  (
( I mPwSer  R )s  ( Base `  ( I mPwSer  H
) ) ) ) Y )  =  ( X ( +g  `  P
) Y )
3814, 21, 373eqtr3g 2507 1  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( X ( +g  `  U ) Y )  =  ( X ( +g  `  P ) Y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1383    e. wcel 1804   _Vcvv 3095   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   Basecbs 14613   ↾s cress 14614   +g cplusg 14678  SubRingcsubrg 17403   mPwSer cmps 17978   mPoly cmpl 17980
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-of 6525  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6904  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-fsupp 7832  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10544  df-2 10601  df-3 10602  df-4 10603  df-5 10604  df-6 10605  df-7 10606  df-8 10607  df-9 10608  df-n0 10803  df-z 10872  df-uz 11092  df-fz 11683  df-struct 14615  df-ndx 14616  df-slot 14617  df-base 14618  df-sets 14619  df-ress 14620  df-plusg 14691  df-mulr 14692  df-sca 14694  df-vsca 14695  df-tset 14697  df-subg 16176  df-ring 17178  df-subrg 17405  df-psr 17983  df-mpl 17985
This theorem is referenced by:  ressply1add  18249
  Copyright terms: Public domain W3C validator