Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ressinbas Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem ressinbas 15263
 Description: Restriction only cares about the part of the second set which intersects the base of the first. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
ressid.1
Assertion
Ref Expression
ressinbas s s

Proof of Theorem ressinbas
StepHypRef Expression
1 elex 3040 . 2
2 eqid 2471 . . . . . . 7 s s
3 ressid.1 . . . . . . 7
42, 3ressid2 15255 . . . . . 6 s
5 ssid 3437 . . . . . . . 8
6 incom 3616 . . . . . . . . 9
7 df-ss 3404 . . . . . . . . . 10
87biimpi 199 . . . . . . . . 9
96, 8syl5eq 2517 . . . . . . . 8
105, 9syl5sseqr 3467 . . . . . . 7
11 elex 3040 . . . . . . 7
12 inex1g 4539 . . . . . . 7
13 eqid 2471 . . . . . . . 8 s s
1413, 3ressid2 15255 . . . . . . 7 s
1510, 11, 12, 14syl3an 1334 . . . . . 6 s
164, 15eqtr4d 2508 . . . . 5 s s
17163expb 1232 . . . 4 s s
18 inass 3633 . . . . . . . . 9
19 inidm 3632 . . . . . . . . . 10
2019ineq2i 3622 . . . . . . . . 9
2118, 20eqtr2i 2494 . . . . . . . 8
2221opeq2i 4162 . . . . . . 7
2322oveq2i 6319 . . . . . 6 sSet sSet
242, 3ressval2 15256 . . . . . 6 s sSet
25 inss1 3643 . . . . . . . . 9
26 sstr 3426 . . . . . . . . 9
2725, 26mpan2 685 . . . . . . . 8
2827con3i 142 . . . . . . 7
2913, 3ressval2 15256 . . . . . . 7 s sSet
3028, 11, 12, 29syl3an 1334 . . . . . 6 s sSet
3123, 24, 303eqtr4a 2531 . . . . 5 s s
32313expb 1232 . . . 4 s s
3317, 32pm2.61ian 807 . . 3 s s
34 reldmress 15253 . . . . . 6 s
3534ovprc1 6339 . . . . 5 s
3634ovprc1 6339 . . . . 5 s
3735, 36eqtr4d 2508 . . . 4 s s
3837adantr 472 . . 3 s s
3933, 38pm2.61ian 807 . 2 s s
401, 39syl 17 1 s s
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 376   w3a 1007   wceq 1452   wcel 1904  cvv 3031   cin 3389   wss 3390  c0 3722  cop 3965  cfv 5589  (class class class)co 6308  cnx 15196   sSet csts 15197  cbs 15199   ↾s cress 15200 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-br 4396  df-opab 4455  df-id 4754  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-ress 15206 This theorem is referenced by:  ressress  15265  rescabs  15816  resscat  15835  funcres2c  15884  ressffth  15921  cphsubrglem  22233  suborng  28652
 Copyright terms: Public domain W3C validator