MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ressid2 Structured version   Unicode version

Theorem ressid2 14224
Description: General behavior of trivial restriction. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ressbas.r  |-  R  =  ( Ws  A )
ressbas.b  |-  B  =  ( Base `  W
)
Assertion
Ref Expression
ressid2  |-  ( ( B  C_  A  /\  W  e.  X  /\  A  e.  Y )  ->  R  =  W )

Proof of Theorem ressid2
StepHypRef Expression
1 ressbas.r . . . 4  |-  R  =  ( Ws  A )
2 ressbas.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  W
)
31, 2ressval 14223 . . 3  |-  ( ( W  e.  X  /\  A  e.  Y )  ->  R  =  if ( B  C_  A ,  W ,  ( W sSet  <.
( Base `  ndx ) ,  ( A  i^i  B
) >. ) ) )
4 iftrue 3795 . . 3  |-  ( B 
C_  A  ->  if ( B  C_  A ,  W ,  ( W sSet  <.
( Base `  ndx ) ,  ( A  i^i  B
) >. ) )  =  W )
53, 4sylan9eqr 2495 . 2  |-  ( ( B  C_  A  /\  ( W  e.  X  /\  A  e.  Y
) )  ->  R  =  W )
653impb 1183 1  |-  ( ( B  C_  A  /\  W  e.  X  /\  A  e.  Y )  ->  R  =  W )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    i^i cin 3325    C_ wss 3326   ifcif 3789   <.cop 3881   ` cfv 5416  (class class class)co 6089   ndxcnx 14169   sSet csts 14170   Basecbs 14172   ↾s cress 14173
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pr 4529
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-nul 3636  df-if 3790  df-sn 3876  df-pr 3878  df-op 3882  df-uni 4090  df-br 4291  df-opab 4349  df-id 4634  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fv 5424  df-ov 6092  df-oprab 6093  df-mpt2 6094  df-ress 14179
This theorem is referenced by:  ressbas  14226  resslem  14229  ress0  14230  ressid  14231  ressinbas  14232  ressress  14233  rescabs  14744  mgpress  16600  psgnghm2  18009  resvsca  26296
  Copyright terms: Public domain W3C validator