MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ressid Structured version   Unicode version

Theorem ressid 14795
Description: Behavior of trivial restriction. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
ressid.1  |-  B  =  ( Base `  W
)
Assertion
Ref Expression
ressid  |-  ( W  e.  X  ->  ( Ws  B )  =  W )

Proof of Theorem ressid
StepHypRef Expression
1 ssid 3460 . 2  |-  B  C_  B
2 ressid.1 . . 3  |-  B  =  ( Base `  W
)
3 fvex 5815 . . 3  |-  ( Base `  W )  e.  _V
42, 3eqeltri 2486 . 2  |-  B  e. 
_V
5 eqid 2402 . . 3  |-  ( Ws  B )  =  ( Ws  B )
65, 2ressid2 14788 . 2  |-  ( ( B  C_  B  /\  W  e.  X  /\  B  e.  _V )  ->  ( Ws  B )  =  W )
71, 4, 6mp3an13 1317 1  |-  ( W  e.  X  ->  ( Ws  B )  =  W )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1405    e. wcel 1842   _Vcvv 3058    C_ wss 3413   ` cfv 5525  (class class class)co 6234   Basecbs 14733   ↾s cress 14734
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pr 4629
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2758  df-rex 2759  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-nul 3738  df-if 3885  df-sn 3972  df-pr 3974  df-op 3978  df-uni 4191  df-br 4395  df-opab 4453  df-id 4737  df-xp 4948  df-rel 4949  df-cnv 4950  df-co 4951  df-dm 4952  df-iota 5489  df-fun 5527  df-fv 5533  df-ov 6237  df-oprab 6238  df-mpt2 6239  df-ress 14740
This theorem is referenced by:  ressval3d  14797  submid  16198  subgid  16419  gaid2  16557  subrgid  17643  rlmval2  18052  rlmsca  18058  rlmsca2  18059  evlrhm  18406  evlsscasrng  18407  evlsvarsrng  18409  evl1sca  18582  evl1var  18584  evls1scasrng  18587  evls1varsrng  18588  pf1ind  18603  evl1gsumadd  18606  evl1varpw  18609  pjff  18933  dsmmfi  18959  frlmip  18997  rlmbn  21985  ishl2  21994  rrxprds  22005  dchrptlem2  23813  lnmfg  35371  lmhmfgsplit  35375  pwslnmlem2  35382  submgmid  38090
  Copyright terms: Public domain W3C validator