Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ressffth Structured version   Unicode version

Theorem ressffth 15795
 Description: The inclusion functor from a full subcategory is a full and faithful functor, see also remark 4.4(2) in [Adamek] p. 49. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ressffth.d s
ressffth.i idfunc
Assertion
Ref Expression
ressffth Full Faith

Proof of Theorem ressffth
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relfunc 15719 . . 3
2 ressffth.d . . . . 5 s
3 resscat 15709 . . . . 5 s
42, 3syl5eqel 2512 . . . 4
5 ressffth.i . . . . 5 idfunc
65idfucl 15738 . . . 4
74, 6syl 17 . . 3
8 1st2nd 6844 . . 3
91, 7, 8sylancr 667 . 2
10 eqidd 2421 . . . . . . . . 9 f f
11 eqidd 2421 . . . . . . . . 9 compf compf
12 eqid 2420 . . . . . . . . . . . . . 14
1312ressinbas 15145 . . . . . . . . . . . . 13 s s
1413adantl 467 . . . . . . . . . . . 12 s s
152, 14syl5eq 2473 . . . . . . . . . . 11 s
1615fveq2d 5876 . . . . . . . . . 10 f f s
17 eqid 2420 . . . . . . . . . . . 12 f f
18 simpl 458 . . . . . . . . . . . 12
19 inss2 3680 . . . . . . . . . . . . 13
2019a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
21 eqid 2420 . . . . . . . . . . . 12 s s
22 eqid 2420 . . . . . . . . . . . 12 cat f cat f
2312, 17, 18, 20, 21, 22fullresc 15708 . . . . . . . . . . 11 f s f cat f compfs compf cat f
2423simpld 460 . . . . . . . . . 10 f s f cat f
2516, 24eqtrd 2461 . . . . . . . . 9 f f cat f
2615fveq2d 5876 . . . . . . . . . 10 compf compfs
2723simprd 464 . . . . . . . . . 10 compfs compf cat f
2826, 27eqtrd 2461 . . . . . . . . 9 compf compf cat f
29 ovex 6324 . . . . . . . . . . 11 s
302, 29eqeltri 2504 . . . . . . . . . 10
3130a1i 11 . . . . . . . . 9
32 ovex 6324 . . . . . . . . . 10 cat f
3332a1i 11 . . . . . . . . 9 cat f
3410, 11, 25, 28, 31, 31, 31, 33funcpropd 15757 . . . . . . . 8 cat f
3512, 17, 18, 20fullsubc 15707 . . . . . . . . 9 f Subcat
36 funcres2 15755 . . . . . . . . 9 f Subcat cat f
3735, 36syl 17 . . . . . . . 8 cat f
3834, 37eqsstrd 3495 . . . . . . 7
3938, 7sseldd 3462 . . . . . 6
409, 39eqeltrrd 2509 . . . . 5
41 df-br 4418 . . . . 5
4240, 41sylibr 215 . . . 4
43 f1oi 5857 . . . . . 6
44 eqid 2420 . . . . . . . 8
454adantr 466 . . . . . . . 8
46 eqid 2420 . . . . . . . 8
47 simprl 762 . . . . . . . 8
48 simprr 764 . . . . . . . 8
495, 44, 45, 46, 47, 48idfu2nd 15734 . . . . . . 7
50 eqidd 2421 . . . . . . 7
51 eqid 2420 . . . . . . . . . 10
522, 51resshom 15276 . . . . . . . . 9
5352ad2antlr 731 . . . . . . . 8
545, 44, 45, 47idfu1 15737 . . . . . . . 8
555, 44, 45, 48idfu1 15737 . . . . . . . 8
5653, 54, 55oveq123d 6317 . . . . . . 7
5749, 50, 56f1oeq123d 5819 . . . . . 6
5843, 57mpbiri 236 . . . . 5
5958ralrimivva 2844 . . . 4
6044, 46, 51isffth2 15773 . . . 4 Full Faith
6142, 59, 60sylanbrc 668 . . 3 Full Faith
62 df-br 4418 . . 3 Full Faith Full Faith
6361, 62sylib 199 . 2 Full Faith
649, 63eqeltrd 2508 1 Full Faith
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 370   wceq 1437   wcel 1867  wral 2773  cvv 3078   cin 3432   wss 3433  cop 3999   class class class wbr 4417   cid 4755   cxp 4843   cres 4847   wrel 4850  wf1o 5591  cfv 5592  (class class class)co 6296  c1st 6796  c2nd 6797  cbs 15081   ↾s cress 15082   chom 15161  ccat 15522   f chomf 15524  compfccomf 15525   cat cresc 15665  Subcatcsubc 15666   cfunc 15711  idfunccidfu 15712   Full cful 15759   Faith cfth 15760 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588  ax-cnex 9584  ax-resscn 9585  ax-1cn 9586  ax-icn 9587  ax-addcl 9588  ax-addrcl 9589  ax-mulcl 9590  ax-mulrcl 9591  ax-mulcom 9592  ax-addass 9593  ax-mulass 9594  ax-distr 9595  ax-i2m1 9596  ax-1ne0 9597  ax-1rid 9598  ax-rnegex 9599  ax-rrecex 9600  ax-cnre 9601  ax-pre-lttri 9602  ax-pre-lttrn 9603  ax-pre-ltadd 9604  ax-pre-mulgt0 9605 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-nel 2619  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rmo 2781  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-iun 4295  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4756  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-fr 4804  df-we 4806  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-pred 5390  df-ord 5436  df-on 5437  df-lim 5438  df-suc 5439  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7027  df-recs 7089  df-rdg 7127  df-er 7362  df-map 7473  df-pm 7474  df-ixp 7522  df-en 7569  df-dom 7570  df-sdom 7571  df-pnf 9666  df-mnf 9667  df-xr 9668  df-ltxr 9669  df-le 9670  df-sub 9851  df-neg 9852  df-nn 10599  df-2 10657  df-3 10658  df-4 10659  df-5 10660  df-6 10661  df-7 10662  df-8 10663  df-9 10664  df-10 10665  df-n0 10859  df-z 10927  df-dec 11041  df-ndx 15084  df-slot 15085  df-base 15086  df-sets 15087  df-ress 15088  df-hom 15174  df-cco 15175  df-cat 15526  df-cid 15527  df-homf 15528  df-comf 15529  df-ssc 15667  df-resc 15668  df-subc 15669  df-func 15715  df-idfu 15716  df-full 15761  df-fth 15762 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator