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Theorem resscntz 15870
Description: Centralizer in a substructure. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
resscntz.p  |-  H  =  ( Gs  A )
resscntz.z  |-  Z  =  (Cntz `  G )
resscntz.y  |-  Y  =  (Cntz `  H )
Assertion
Ref Expression
resscntz  |-  ( ( A  e.  V  /\  S  C_  A )  -> 
( Y `  S
)  =  ( ( Z `  S )  i^i  A ) )

Proof of Theorem resscntz
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  ( Base `  H )  =  (
Base `  H )
2 resscntz.y . . . . . . 7  |-  Y  =  (Cntz `  H )
31, 2cntzrcl 15866 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( Y `  S )  ->  ( H  e.  _V  /\  S  C_  ( Base `  H
) ) )
43simprd 463 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( Y `  S )  ->  S  C_  ( Base `  H
) )
5 resscntz.p . . . . . 6  |-  H  =  ( Gs  A )
6 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
75, 6ressbasss 14251 . . . . 5  |-  ( Base `  H )  C_  ( Base `  G )
84, 7syl6ss 3389 . . . 4  |-  ( x  e.  ( Y `  S )  ->  S  C_  ( Base `  G
) )
98a1i 11 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  S  C_  A )  -> 
( x  e.  ( Y `  S )  ->  S  C_  ( Base `  G ) ) )
10 inss1 3591 . . . . . 6  |-  ( ( Z `  S )  i^i  A )  C_  ( Z `  S )
1110sseli 3373 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( ( Z `
 S )  i^i 
A )  ->  x  e.  ( Z `  S
) )
12 resscntz.z . . . . . . 7  |-  Z  =  (Cntz `  G )
136, 12cntzrcl 15866 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( Z `  S )  ->  ( G  e.  _V  /\  S  C_  ( Base `  G
) ) )
1413simprd 463 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( Z `  S )  ->  S  C_  ( Base `  G
) )
1511, 14syl 16 . . . 4  |-  ( x  e.  ( ( Z `
 S )  i^i 
A )  ->  S  C_  ( Base `  G
) )
1615a1i 11 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  S  C_  A )  -> 
( x  e.  ( ( Z `  S
)  i^i  A )  ->  S  C_  ( Base `  G ) ) )
17 anass 649 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  x  e.  ( Base `  G ) )  /\  A. y  e.  S  ( x ( +g  `  G ) y )  =  ( y ( +g  `  G
) x ) )  <-> 
( x  e.  A  /\  ( x  e.  (
Base `  G )  /\  A. y  e.  S  ( x ( +g  `  G ) y )  =  ( y ( +g  `  G ) x ) ) ) )
18 elin 3560 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( A  i^i  ( Base `  G )
)  <->  ( x  e.  A  /\  x  e.  ( Base `  G
) ) )
195, 6ressbas 14249 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  V  ->  ( A  i^i  ( Base `  G
) )  =  (
Base `  H )
)
2019eleq2d 2510 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  V  ->  (
x  e.  ( A  i^i  ( Base `  G
) )  <->  x  e.  ( Base `  H )
) )
2118, 20syl5bbr 259 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  V  ->  (
( x  e.  A  /\  x  e.  ( Base `  G ) )  <-> 
x  e.  ( Base `  H ) ) )
22 eqid 2443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
235, 22ressplusg 14301 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  V  ->  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  H
) )
2423oveqd 6129 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  V  ->  (
x ( +g  `  G
) y )  =  ( x ( +g  `  H ) y ) )
2523oveqd 6129 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  V  ->  (
y ( +g  `  G
) x )  =  ( y ( +g  `  H ) x ) )
2624, 25eqeq12d 2457 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  V  ->  (
( x ( +g  `  G ) y )  =  ( y ( +g  `  G ) x )  <->  ( x
( +g  `  H ) y )  =  ( y ( +g  `  H
) x ) ) )
2726ralbidv 2756 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  V  ->  ( A. y  e.  S  ( x ( +g  `  G ) y )  =  ( y ( +g  `  G ) x )  <->  A. y  e.  S  ( x
( +g  `  H ) y )  =  ( y ( +g  `  H
) x ) ) )
2821, 27anbi12d 710 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  V  ->  (
( ( x  e.  A  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  /\  A. y  e.  S  (
x ( +g  `  G
) y )  =  ( y ( +g  `  G ) x ) )  <->  ( x  e.  ( Base `  H
)  /\  A. y  e.  S  ( x
( +g  `  H ) y )  =  ( y ( +g  `  H
) x ) ) ) )
2928ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  S  C_  A )  /\  S  C_  ( Base `  G ) )  ->  ( ( ( x  e.  A  /\  x  e.  ( Base `  G ) )  /\  A. y  e.  S  ( x ( +g  `  G
) y )  =  ( y ( +g  `  G ) x ) )  <->  ( x  e.  ( Base `  H
)  /\  A. y  e.  S  ( x
( +g  `  H ) y )  =  ( y ( +g  `  H
) x ) ) ) )
3017, 29syl5rbbr 260 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  S  C_  A )  /\  S  C_  ( Base `  G ) )  ->  ( ( x  e.  ( Base `  H
)  /\  A. y  e.  S  ( x
( +g  `  H ) y )  =  ( y ( +g  `  H
) x ) )  <-> 
( x  e.  A  /\  ( x  e.  (
Base `  G )  /\  A. y  e.  S  ( x ( +g  `  G ) y )  =  ( y ( +g  `  G ) x ) ) ) ) )
31 ssin 3593 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  C_  A  /\  S  C_  ( Base `  G
) )  <->  S  C_  ( A  i^i  ( Base `  G
) ) )
3219sseq2d 3405 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  V  ->  ( S  C_  ( A  i^i  ( Base `  G )
)  <->  S  C_  ( Base `  H ) ) )
3331, 32syl5bb 257 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  V  ->  (
( S  C_  A  /\  S  C_  ( Base `  G ) )  <->  S  C_  ( Base `  H ) ) )
3433biimpd 207 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  V  ->  (
( S  C_  A  /\  S  C_  ( Base `  G ) )  ->  S  C_  ( Base `  H
) ) )
3534impl 620 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  S  C_  A )  /\  S  C_  ( Base `  G ) )  ->  S  C_  ( Base `  H ) )
36 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  ( +g  `  H )  =  ( +g  `  H )
371, 36, 2elcntz 15861 . . . . . 6  |-  ( S 
C_  ( Base `  H
)  ->  ( x  e.  ( Y `  S
)  <->  ( x  e.  ( Base `  H
)  /\  A. y  e.  S  ( x
( +g  `  H ) y )  =  ( y ( +g  `  H
) x ) ) ) )
3835, 37syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  S  C_  A )  /\  S  C_  ( Base `  G ) )  ->  ( x  e.  ( Y `  S
)  <->  ( x  e.  ( Base `  H
)  /\  A. y  e.  S  ( x
( +g  `  H ) y )  =  ( y ( +g  `  H
) x ) ) ) )
39 elin 3560 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( ( Z `
 S )  i^i 
A )  <->  ( x  e.  ( Z `  S
)  /\  x  e.  A ) )
40 ancom 450 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( Z `
 S )  /\  x  e.  A )  <->  ( x  e.  A  /\  x  e.  ( Z `  S ) ) )
4139, 40bitri 249 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( ( Z `
 S )  i^i 
A )  <->  ( x  e.  A  /\  x  e.  ( Z `  S
) ) )
426, 22, 12elcntz 15861 . . . . . . . 8  |-  ( S 
C_  ( Base `  G
)  ->  ( x  e.  ( Z `  S
)  <->  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  A. y  e.  S  ( x
( +g  `  G ) y )  =  ( y ( +g  `  G
) x ) ) ) )
4342adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  S  C_  A )  /\  S  C_  ( Base `  G ) )  ->  ( x  e.  ( Z `  S
)  <->  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  A. y  e.  S  ( x
( +g  `  G ) y )  =  ( y ( +g  `  G
) x ) ) ) )
4443anbi2d 703 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  S  C_  A )  /\  S  C_  ( Base `  G ) )  ->  ( ( x  e.  A  /\  x  e.  ( Z `  S
) )  <->  ( x  e.  A  /\  (
x  e.  ( Base `  G )  /\  A. y  e.  S  (
x ( +g  `  G
) y )  =  ( y ( +g  `  G ) x ) ) ) ) )
4541, 44syl5bb 257 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  S  C_  A )  /\  S  C_  ( Base `  G ) )  ->  ( x  e.  ( ( Z `  S )  i^i  A
)  <->  ( x  e.  A  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  A. y  e.  S  ( x
( +g  `  G ) y )  =  ( y ( +g  `  G
) x ) ) ) ) )
4630, 38, 453bitr4d 285 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  S  C_  A )  /\  S  C_  ( Base `  G ) )  ->  ( x  e.  ( Y `  S
)  <->  x  e.  (
( Z `  S
)  i^i  A )
) )
4746ex 434 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  S  C_  A )  -> 
( S  C_  ( Base `  G )  -> 
( x  e.  ( Y `  S )  <-> 
x  e.  ( ( Z `  S )  i^i  A ) ) ) )
489, 16, 47pm5.21ndd 354 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  S  C_  A )  -> 
( x  e.  ( Y `  S )  <-> 
x  e.  ( ( Z `  S )  i^i  A ) ) )
4948eqrdv 2441 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  S  C_  A )  -> 
( Y `  S
)  =  ( ( Z `  S )  i^i  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2736   _Vcvv 2993    i^i cin 3348    C_ wss 3349   ` cfv 5439  (class class class)co 6112   Basecbs 14195   ↾s cress 14196   +g cplusg 14259  Cntzccntz 15854
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4424  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-iun 4194  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-om 6498  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-er 7122  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-nn 10344  df-2 10401  df-ndx 14198  df-slot 14199  df-base 14200  df-sets 14201  df-ress 14202  df-plusg 14272  df-cntz 15856
This theorem is referenced by:  gsumzsubmcl  16423  gsumzsubmclOLD  16424  subgdmdprd  16553  cntzsdrg  29585
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