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Theorem resscntz 16495
Description: Centralizer in a substructure. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
resscntz.p  |-  H  =  ( Gs  A )
resscntz.z  |-  Z  =  (Cntz `  G )
resscntz.y  |-  Y  =  (Cntz `  H )
Assertion
Ref Expression
resscntz  |-  ( ( A  e.  V  /\  S  C_  A )  -> 
( Y `  S
)  =  ( ( Z `  S )  i^i  A ) )

Proof of Theorem resscntz
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2457 . . . . . . 7  |-  ( Base `  H )  =  (
Base `  H )
2 resscntz.y . . . . . . 7  |-  Y  =  (Cntz `  H )
31, 2cntzrcl 16491 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( Y `  S )  ->  ( H  e.  _V  /\  S  C_  ( Base `  H
) ) )
43simprd 463 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( Y `  S )  ->  S  C_  ( Base `  H
) )
5 resscntz.p . . . . . 6  |-  H  =  ( Gs  A )
6 eqid 2457 . . . . . 6  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
75, 6ressbasss 14702 . . . . 5  |-  ( Base `  H )  C_  ( Base `  G )
84, 7syl6ss 3511 . . . 4  |-  ( x  e.  ( Y `  S )  ->  S  C_  ( Base `  G
) )
98a1i 11 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  S  C_  A )  -> 
( x  e.  ( Y `  S )  ->  S  C_  ( Base `  G ) ) )
10 inss1 3714 . . . . . 6  |-  ( ( Z `  S )  i^i  A )  C_  ( Z `  S )
1110sseli 3495 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( ( Z `
 S )  i^i 
A )  ->  x  e.  ( Z `  S
) )
12 resscntz.z . . . . . . 7  |-  Z  =  (Cntz `  G )
136, 12cntzrcl 16491 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( Z `  S )  ->  ( G  e.  _V  /\  S  C_  ( Base `  G
) ) )
1413simprd 463 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( Z `  S )  ->  S  C_  ( Base `  G
) )
1511, 14syl 16 . . . 4  |-  ( x  e.  ( ( Z `
 S )  i^i 
A )  ->  S  C_  ( Base `  G
) )
1615a1i 11 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  S  C_  A )  -> 
( x  e.  ( ( Z `  S
)  i^i  A )  ->  S  C_  ( Base `  G ) ) )
17 anass 649 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  x  e.  ( Base `  G ) )  /\  A. y  e.  S  ( x ( +g  `  G ) y )  =  ( y ( +g  `  G
) x ) )  <-> 
( x  e.  A  /\  ( x  e.  (
Base `  G )  /\  A. y  e.  S  ( x ( +g  `  G ) y )  =  ( y ( +g  `  G ) x ) ) ) )
18 elin 3683 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( A  i^i  ( Base `  G )
)  <->  ( x  e.  A  /\  x  e.  ( Base `  G
) ) )
195, 6ressbas 14700 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  V  ->  ( A  i^i  ( Base `  G
) )  =  (
Base `  H )
)
2019eleq2d 2527 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  V  ->  (
x  e.  ( A  i^i  ( Base `  G
) )  <->  x  e.  ( Base `  H )
) )
2118, 20syl5bbr 259 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  V  ->  (
( x  e.  A  /\  x  e.  ( Base `  G ) )  <-> 
x  e.  ( Base `  H ) ) )
22 eqid 2457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
235, 22ressplusg 14757 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  V  ->  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  H
) )
2423oveqd 6313 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  V  ->  (
x ( +g  `  G
) y )  =  ( x ( +g  `  H ) y ) )
2523oveqd 6313 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  V  ->  (
y ( +g  `  G
) x )  =  ( y ( +g  `  H ) x ) )
2624, 25eqeq12d 2479 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  V  ->  (
( x ( +g  `  G ) y )  =  ( y ( +g  `  G ) x )  <->  ( x
( +g  `  H ) y )  =  ( y ( +g  `  H
) x ) ) )
2726ralbidv 2896 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  V  ->  ( A. y  e.  S  ( x ( +g  `  G ) y )  =  ( y ( +g  `  G ) x )  <->  A. y  e.  S  ( x
( +g  `  H ) y )  =  ( y ( +g  `  H
) x ) ) )
2821, 27anbi12d 710 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  V  ->  (
( ( x  e.  A  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  /\  A. y  e.  S  (
x ( +g  `  G
) y )  =  ( y ( +g  `  G ) x ) )  <->  ( x  e.  ( Base `  H
)  /\  A. y  e.  S  ( x
( +g  `  H ) y )  =  ( y ( +g  `  H
) x ) ) ) )
2928ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  S  C_  A )  /\  S  C_  ( Base `  G ) )  ->  ( ( ( x  e.  A  /\  x  e.  ( Base `  G ) )  /\  A. y  e.  S  ( x ( +g  `  G
) y )  =  ( y ( +g  `  G ) x ) )  <->  ( x  e.  ( Base `  H
)  /\  A. y  e.  S  ( x
( +g  `  H ) y )  =  ( y ( +g  `  H
) x ) ) ) )
3017, 29syl5rbbr 260 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  S  C_  A )  /\  S  C_  ( Base `  G ) )  ->  ( ( x  e.  ( Base `  H
)  /\  A. y  e.  S  ( x
( +g  `  H ) y )  =  ( y ( +g  `  H
) x ) )  <-> 
( x  e.  A  /\  ( x  e.  (
Base `  G )  /\  A. y  e.  S  ( x ( +g  `  G ) y )  =  ( y ( +g  `  G ) x ) ) ) ) )
31 ssin 3716 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  C_  A  /\  S  C_  ( Base `  G
) )  <->  S  C_  ( A  i^i  ( Base `  G
) ) )
3219sseq2d 3527 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  V  ->  ( S  C_  ( A  i^i  ( Base `  G )
)  <->  S  C_  ( Base `  H ) ) )
3331, 32syl5bb 257 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  V  ->  (
( S  C_  A  /\  S  C_  ( Base `  G ) )  <->  S  C_  ( Base `  H ) ) )
3433biimpd 207 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  V  ->  (
( S  C_  A  /\  S  C_  ( Base `  G ) )  ->  S  C_  ( Base `  H
) ) )
3534impl 620 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  S  C_  A )  /\  S  C_  ( Base `  G ) )  ->  S  C_  ( Base `  H ) )
36 eqid 2457 . . . . . . 7  |-  ( +g  `  H )  =  ( +g  `  H )
371, 36, 2elcntz 16486 . . . . . 6  |-  ( S 
C_  ( Base `  H
)  ->  ( x  e.  ( Y `  S
)  <->  ( x  e.  ( Base `  H
)  /\  A. y  e.  S  ( x
( +g  `  H ) y )  =  ( y ( +g  `  H
) x ) ) ) )
3835, 37syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  S  C_  A )  /\  S  C_  ( Base `  G ) )  ->  ( x  e.  ( Y `  S
)  <->  ( x  e.  ( Base `  H
)  /\  A. y  e.  S  ( x
( +g  `  H ) y )  =  ( y ( +g  `  H
) x ) ) ) )
39 elin 3683 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( ( Z `
 S )  i^i 
A )  <->  ( x  e.  ( Z `  S
)  /\  x  e.  A ) )
40 ancom 450 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( Z `
 S )  /\  x  e.  A )  <->  ( x  e.  A  /\  x  e.  ( Z `  S ) ) )
4139, 40bitri 249 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( ( Z `
 S )  i^i 
A )  <->  ( x  e.  A  /\  x  e.  ( Z `  S
) ) )
426, 22, 12elcntz 16486 . . . . . . . 8  |-  ( S 
C_  ( Base `  G
)  ->  ( x  e.  ( Z `  S
)  <->  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  A. y  e.  S  ( x
( +g  `  G ) y )  =  ( y ( +g  `  G
) x ) ) ) )
4342adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  S  C_  A )  /\  S  C_  ( Base `  G ) )  ->  ( x  e.  ( Z `  S
)  <->  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  A. y  e.  S  ( x
( +g  `  G ) y )  =  ( y ( +g  `  G
) x ) ) ) )
4443anbi2d 703 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  S  C_  A )  /\  S  C_  ( Base `  G ) )  ->  ( ( x  e.  A  /\  x  e.  ( Z `  S
) )  <->  ( x  e.  A  /\  (
x  e.  ( Base `  G )  /\  A. y  e.  S  (
x ( +g  `  G
) y )  =  ( y ( +g  `  G ) x ) ) ) ) )
4541, 44syl5bb 257 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  S  C_  A )  /\  S  C_  ( Base `  G ) )  ->  ( x  e.  ( ( Z `  S )  i^i  A
)  <->  ( x  e.  A  /\  ( x  e.  ( Base `  G
)  /\  A. y  e.  S  ( x
( +g  `  G ) y )  =  ( y ( +g  `  G
) x ) ) ) ) )
4630, 38, 453bitr4d 285 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  S  C_  A )  /\  S  C_  ( Base `  G ) )  ->  ( x  e.  ( Y `  S
)  <->  x  e.  (
( Z `  S
)  i^i  A )
) )
4746ex 434 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  S  C_  A )  -> 
( S  C_  ( Base `  G )  -> 
( x  e.  ( Y `  S )  <-> 
x  e.  ( ( Z `  S )  i^i  A ) ) ) )
489, 16, 47pm5.21ndd 354 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  S  C_  A )  -> 
( x  e.  ( Y `  S )  <-> 
x  e.  ( ( Z `  S )  i^i  A ) ) )
4948eqrdv 2454 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  S  C_  A )  -> 
( Y `  S
)  =  ( ( Z `  S )  i^i  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819   A.wral 2807   _Vcvv 3109    i^i cin 3470    C_ wss 3471   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   Basecbs 14643   ↾s cress 14644   +g cplusg 14711  Cntzccntz 16479
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-ndx 14646  df-slot 14647  df-base 14648  df-sets 14649  df-ress 14650  df-plusg 14724  df-cntz 16481
This theorem is referenced by:  gsumzsubmcl  17054  gsumzsubmclOLD  17055  subgdmdprd  17207  cntzsdrg  31313
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