MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  resscdrg Structured version   Unicode version

Theorem resscdrg 21967
Description: The real numbers are a subset of any complete subfield in the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
resscdrg.1  |-  F  =  (flds  K )
Assertion
Ref Expression
resscdrg  |-  ( ( K  e.  (SubRing ` fld )  /\  F  e.  DivRing 
/\  F  e. CMetSp )  ->  RR  C_  K )

Proof of Theorem resscdrg
StepHypRef Expression
1 eqid 2454 . . . . . 6  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
21cnfldtop 21460 . . . . 5  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  Top
3 ax-resscn 9538 . . . . 5  |-  RR  C_  CC
4 qssre 11193 . . . . 5  |-  QQ  C_  RR
51cnfldtopon 21459 . . . . . . 7  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )
65toponunii 19603 . . . . . 6  |-  CC  =  U. ( TopOpen ` fld )
71tgioo2 21477 . . . . . 6  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
86, 7restcls 19852 . . . . 5  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  Top  /\  RR  C_  CC  /\  QQ  C_  RR )  ->  (
( cls `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  QQ )  =  ( ( ( cls `  ( TopOpen ` fld )
) `  QQ )  i^i  RR ) )
92, 3, 4, 8mp3an 1322 . . . 4  |-  ( ( cls `  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  QQ )  =  (
( ( cls `  ( TopOpen
` fld
) ) `  QQ )  i^i  RR )
10 qdensere 21446 . . . 4  |-  ( ( cls `  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  QQ )  =  RR
119, 10eqtr3i 2485 . . 3  |-  ( ( ( cls `  ( TopOpen
` fld
) ) `  QQ )  i^i  RR )  =  RR
12 dfss1 3689 . . 3  |-  ( RR  C_  ( ( cls `  ( TopOpen
` fld
) ) `  QQ ) 
<->  ( ( ( cls `  ( TopOpen ` fld ) ) `  QQ )  i^i  RR )  =  RR )
1311, 12mpbir 209 . 2  |-  RR  C_  ( ( cls `  ( TopOpen
` fld
) ) `  QQ )
14 simp3 996 . . . 4  |-  ( ( K  e.  (SubRing ` fld )  /\  F  e.  DivRing 
/\  F  e. CMetSp )  ->  F  e. CMetSp )
15 cncms 21964 . . . . 5  |-fld  e. CMetSp
16 cnfldbas 18622 . . . . . . 7  |-  CC  =  ( Base ` fld )
1716subrgss 17628 . . . . . 6  |-  ( K  e.  (SubRing ` fld )  ->  K  C_  CC )
18173ad2ant1 1015 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  (SubRing ` fld )  /\  F  e.  DivRing 
/\  F  e. CMetSp )  ->  K  C_  CC )
19 resscdrg.1 . . . . . 6  |-  F  =  (flds  K )
2019, 16, 1cmsss 21958 . . . . 5  |-  ( (fld  e. CMetSp  /\  K  C_  CC )  ->  ( F  e. CMetSp  <->  K  e.  ( Clsd `  ( TopOpen
` fld
) ) ) )
2115, 18, 20sylancr 661 . . . 4  |-  ( ( K  e.  (SubRing ` fld )  /\  F  e.  DivRing 
/\  F  e. CMetSp )  ->  ( F  e. CMetSp  <->  K  e.  ( Clsd `  ( TopOpen ` fld ) ) ) )
2214, 21mpbid 210 . . 3  |-  ( ( K  e.  (SubRing ` fld )  /\  F  e.  DivRing 
/\  F  e. CMetSp )  ->  K  e.  ( Clsd `  ( TopOpen ` fld ) ) )
2319eleq1i 2531 . . . . 5  |-  ( F  e.  DivRing 
<->  (flds  K )  e.  DivRing )
24 qsssubdrg 18675 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  (SubRing ` fld )  /\  (flds  K )  e.  DivRing )  ->  QQ  C_  K )
2523, 24sylan2b 473 . . . 4  |-  ( ( K  e.  (SubRing ` fld )  /\  F  e.  DivRing )  ->  QQ  C_  K
)
26253adant3 1014 . . 3  |-  ( ( K  e.  (SubRing ` fld )  /\  F  e.  DivRing 
/\  F  e. CMetSp )  ->  QQ  C_  K )
276clsss2 19743 . . 3  |-  ( ( K  e.  ( Clsd `  ( TopOpen ` fld ) )  /\  QQ  C_  K )  ->  (
( cls `  ( TopOpen
` fld
) ) `  QQ )  C_  K )
2822, 26, 27syl2anc 659 . 2  |-  ( ( K  e.  (SubRing ` fld )  /\  F  e.  DivRing 
/\  F  e. CMetSp )  ->  ( ( cls `  ( TopOpen
` fld
) ) `  QQ )  C_  K )
2913, 28syl5ss 3500 1  |-  ( ( K  e.  (SubRing ` fld )  /\  F  e.  DivRing 
/\  F  e. CMetSp )  ->  RR  C_  K )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ w3a 971    = wceq 1398    e. wcel 1823    i^i cin 3460    C_ wss 3461   ran crn 4989   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   CCcc 9479   RRcr 9480   QQcq 11183   (,)cioo 11532   ↾s cress 14720   TopOpenctopn 14914   topGenctg 14930   DivRingcdr 17594  SubRingcsubrg 17623  ℂfldccnfld 18618   Topctop 19564   Clsdccld 19687   clsccl 19689  CMetSpccms 21940
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-addf 9560  ax-mulf 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-of 6513  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-supp 6892  df-tpos 6947  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-ixp 7463  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-fsupp 7822  df-fi 7863  df-sup 7893  df-oi 7927  df-card 8311  df-cda 8539  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10977  df-uz 11083  df-q 11184  df-rp 11222  df-xneg 11321  df-xadd 11322  df-xmul 11323  df-ioo 11536  df-ico 11538  df-icc 11539  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-seq 12093  df-exp 12152  df-hash 12391  df-cj 13017  df-re 13018  df-im 13019  df-sqrt 13153  df-abs 13154  df-struct 14721  df-ndx 14722  df-slot 14723  df-base 14724  df-sets 14725  df-ress 14726  df-plusg 14800  df-mulr 14801  df-starv 14802  df-sca 14803  df-vsca 14804  df-ip 14805  df-tset 14806  df-ple 14807  df-ds 14809  df-unif 14810  df-hom 14811  df-cco 14812  df-rest 14915  df-topn 14916  df-0g 14934  df-gsum 14935  df-topgen 14936  df-pt 14937  df-prds 14940  df-xrs 14994  df-qtop 14999  df-imas 15000  df-xps 15002  df-mre 15078  df-mrc 15079  df-acs 15081  df-mgm 16074  df-sgrp 16113  df-mnd 16123  df-submnd 16169  df-grp 16259  df-minusg 16260  df-mulg 16262  df-subg 16400  df-cntz 16557  df-cmn 17002  df-mgp 17340  df-ur 17352  df-ring 17398  df-cring 17399  df-oppr 17470  df-dvdsr 17488  df-unit 17489  df-invr 17519  df-dvr 17530  df-drng 17596  df-subrg 17625  df-psmet 18609  df-xmet 18610  df-met 18611  df-bl 18612  df-mopn 18613  df-fbas 18614  df-fg 18615  df-cnfld 18619  df-top 19569  df-bases 19571  df-topon 19572  df-topsp 19573  df-cld 19690  df-ntr 19691  df-cls 19692  df-nei 19769  df-cn 19898  df-cnp 19899  df-haus 19986  df-cmp 20057  df-tx 20232  df-hmeo 20425  df-fil 20516  df-flim 20609  df-fcls 20611  df-xms 20992  df-ms 20993  df-tms 20994  df-cncf 21551  df-cfil 21863  df-cmet 21865  df-cms 21943
This theorem is referenced by:  cncdrg  21968  hlress  21977
  Copyright terms: Public domain W3C validator