MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  resscdrg Structured version   Unicode version

Theorem resscdrg 20986
Description: The real numbers are a subset of any complete subfield in the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
resscdrg.1  |-  F  =  (flds  K )
Assertion
Ref Expression
resscdrg  |-  ( ( K  e.  (SubRing ` fld )  /\  F  e.  DivRing 
/\  F  e. CMetSp )  ->  RR  C_  K )

Proof of Theorem resscdrg
StepHypRef Expression
1 eqid 2451 . . . . . 6  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
21cnfldtop 20479 . . . . 5  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  Top
3 ax-resscn 9440 . . . . 5  |-  RR  C_  CC
4 qssre 11064 . . . . 5  |-  QQ  C_  RR
51cnfldtopon 20478 . . . . . . 7  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )
65toponunii 18653 . . . . . 6  |-  CC  =  U. ( TopOpen ` fld )
71tgioo2 20496 . . . . . 6  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
86, 7restcls 18901 . . . . 5  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  Top  /\  RR  C_  CC  /\  QQ  C_  RR )  ->  (
( cls `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  QQ )  =  ( ( ( cls `  ( TopOpen ` fld )
) `  QQ )  i^i  RR ) )
92, 3, 4, 8mp3an 1315 . . . 4  |-  ( ( cls `  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  QQ )  =  (
( ( cls `  ( TopOpen
` fld
) ) `  QQ )  i^i  RR )
10 qdensere 20465 . . . 4  |-  ( ( cls `  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  QQ )  =  RR
119, 10eqtr3i 2482 . . 3  |-  ( ( ( cls `  ( TopOpen
` fld
) ) `  QQ )  i^i  RR )  =  RR
12 dfss1 3653 . . 3  |-  ( RR  C_  ( ( cls `  ( TopOpen
` fld
) ) `  QQ ) 
<->  ( ( ( cls `  ( TopOpen ` fld ) ) `  QQ )  i^i  RR )  =  RR )
1311, 12mpbir 209 . 2  |-  RR  C_  ( ( cls `  ( TopOpen
` fld
) ) `  QQ )
14 simp3 990 . . . 4  |-  ( ( K  e.  (SubRing ` fld )  /\  F  e.  DivRing 
/\  F  e. CMetSp )  ->  F  e. CMetSp )
15 cncms 20983 . . . . 5  |-fld  e. CMetSp
16 cnfldbas 17931 . . . . . . 7  |-  CC  =  ( Base ` fld )
1716subrgss 16972 . . . . . 6  |-  ( K  e.  (SubRing ` fld )  ->  K  C_  CC )
18173ad2ant1 1009 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  (SubRing ` fld )  /\  F  e.  DivRing 
/\  F  e. CMetSp )  ->  K  C_  CC )
19 resscdrg.1 . . . . . 6  |-  F  =  (flds  K )
2019, 16, 1cmsss 20977 . . . . 5  |-  ( (fld  e. CMetSp  /\  K  C_  CC )  ->  ( F  e. CMetSp  <->  K  e.  ( Clsd `  ( TopOpen
` fld
) ) ) )
2115, 18, 20sylancr 663 . . . 4  |-  ( ( K  e.  (SubRing ` fld )  /\  F  e.  DivRing 
/\  F  e. CMetSp )  ->  ( F  e. CMetSp  <->  K  e.  ( Clsd `  ( TopOpen ` fld ) ) ) )
2214, 21mpbid 210 . . 3  |-  ( ( K  e.  (SubRing ` fld )  /\  F  e.  DivRing 
/\  F  e. CMetSp )  ->  K  e.  ( Clsd `  ( TopOpen ` fld ) ) )
2319eleq1i 2528 . . . . 5  |-  ( F  e.  DivRing 
<->  (flds  K )  e.  DivRing )
24 qsssubdrg 17981 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  (SubRing ` fld )  /\  (flds  K )  e.  DivRing )  ->  QQ  C_  K )
2523, 24sylan2b 475 . . . 4  |-  ( ( K  e.  (SubRing ` fld )  /\  F  e.  DivRing )  ->  QQ  C_  K
)
26253adant3 1008 . . 3  |-  ( ( K  e.  (SubRing ` fld )  /\  F  e.  DivRing 
/\  F  e. CMetSp )  ->  QQ  C_  K )
276clsss2 18792 . . 3  |-  ( ( K  e.  ( Clsd `  ( TopOpen ` fld ) )  /\  QQ  C_  K )  ->  (
( cls `  ( TopOpen
` fld
) ) `  QQ )  C_  K )
2822, 26, 27syl2anc 661 . 2  |-  ( ( K  e.  (SubRing ` fld )  /\  F  e.  DivRing 
/\  F  e. CMetSp )  ->  ( ( cls `  ( TopOpen
` fld
) ) `  QQ )  C_  K )
2913, 28syl5ss 3465 1  |-  ( ( K  e.  (SubRing ` fld )  /\  F  e.  DivRing 
/\  F  e. CMetSp )  ->  RR  C_  K )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758    i^i cin 3425    C_ wss 3426   ran crn 4939   ` cfv 5516  (class class class)co 6190   CCcc 9381   RRcr 9382   QQcq 11054   (,)cioo 11401   ↾s cress 14277   TopOpenctopn 14462   topGenctg 14478   DivRingcdr 16938  SubRingcsubrg 16967  ℂfldccnfld 17927   Topctop 18614   Clsdccld 18736   clsccl 18738  CMetSpccms 20959
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4501  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629  ax-un 6472  ax-inf2 7948  ax-cnex 9439  ax-resscn 9440  ax-1cn 9441  ax-icn 9442  ax-addcl 9443  ax-addrcl 9444  ax-mulcl 9445  ax-mulrcl 9446  ax-mulcom 9447  ax-addass 9448  ax-mulass 9449  ax-distr 9450  ax-i2m1 9451  ax-1ne0 9452  ax-1rid 9453  ax-rnegex 9454  ax-rrecex 9455  ax-cnre 9456  ax-pre-lttri 9457  ax-pre-lttrn 9458  ax-pre-ltadd 9459  ax-pre-mulgt0 9460  ax-pre-sup 9461  ax-addf 9462  ax-mulf 9463
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-csb 3387  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-pss 3442  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-tp 3980  df-op 3982  df-uni 4190  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-tr 4484  df-eprel 4730  df-id 4734  df-po 4739  df-so 4740  df-fr 4777  df-se 4778  df-we 4779  df-ord 4820  df-on 4821  df-lim 4822  df-suc 4823  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-res 4950  df-ima 4951  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fn 5519  df-f 5520  df-f1 5521  df-fo 5522  df-f1o 5523  df-fv 5524  df-isom 5525  df-riota 6151  df-ov 6193  df-oprab 6194  df-mpt2 6195  df-of 6420  df-om 6577  df-1st 6677  df-2nd 6678  df-supp 6791  df-tpos 6845  df-recs 6932  df-rdg 6966  df-1o 7020  df-2o 7021  df-oadd 7024  df-er 7201  df-map 7316  df-ixp 7364  df-en 7411  df-dom 7412  df-sdom 7413  df-fin 7414  df-fsupp 7722  df-fi 7762  df-sup 7792  df-oi 7825  df-card 8210  df-cda 8438  df-pnf 9521  df-mnf 9522  df-xr 9523  df-ltxr 9524  df-le 9525  df-sub 9698  df-neg 9699  df-div 10095  df-nn 10424  df-2 10481  df-3 10482  df-4 10483  df-5 10484  df-6 10485  df-7 10486  df-8 10487  df-9 10488  df-10 10489  df-n0 10681  df-z 10748  df-dec 10857  df-uz 10963  df-q 11055  df-rp 11093  df-xneg 11190  df-xadd 11191  df-xmul 11192  df-ioo 11405  df-ico 11407  df-icc 11408  df-fz 11539  df-fzo 11650  df-seq 11908  df-exp 11967  df-hash 12205  df-cj 12690  df-re 12691  df-im 12692  df-sqr 12826  df-abs 12827  df-struct 14278  df-ndx 14279  df-slot 14280  df-base 14281  df-sets 14282  df-ress 14283  df-plusg 14353  df-mulr 14354  df-starv 14355  df-sca 14356  df-vsca 14357  df-ip 14358  df-tset 14359  df-ple 14360  df-ds 14362  df-unif 14363  df-hom 14364  df-cco 14365  df-rest 14463  df-topn 14464  df-0g 14482  df-gsum 14483  df-topgen 14484  df-pt 14485  df-prds 14488  df-xrs 14542  df-qtop 14547  df-imas 14548  df-xps 14550  df-mre 14626  df-mrc 14627  df-acs 14629  df-mnd 15517  df-submnd 15567  df-grp 15647  df-minusg 15648  df-mulg 15650  df-subg 15780  df-cntz 15937  df-cmn 16383  df-mgp 16697  df-ur 16709  df-rng 16753  df-cring 16754  df-oppr 16821  df-dvdsr 16839  df-unit 16840  df-invr 16870  df-dvr 16881  df-drng 16940  df-subrg 16969  df-psmet 17918  df-xmet 17919  df-met 17920  df-bl 17921  df-mopn 17922  df-fbas 17923  df-fg 17924  df-cnfld 17928  df-top 18619  df-bases 18621  df-topon 18622  df-topsp 18623  df-cld 18739  df-ntr 18740  df-cls 18741  df-nei 18818  df-cn 18947  df-cnp 18948  df-haus 19035  df-cmp 19106  df-tx 19251  df-hmeo 19444  df-fil 19535  df-flim 19628  df-fcls 19630  df-xms 20011  df-ms 20012  df-tms 20013  df-cncf 20570  df-cfil 20882  df-cmet 20884  df-cms 20962
This theorem is referenced by:  cncdrg  20987  hlress  20996
  Copyright terms: Public domain W3C validator