Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  resscatc Structured version   Unicode version

Theorem resscatc 15279
 Description: The restriction of the category of categories to a subset is the category of categories in the subset. Thus, the CatCat categories for different are full subcategories of each other. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
resscatc.c CatCat
resscatc.d CatCat
resscatc.1
resscatc.2
Assertion
Ref Expression
resscatc f s f compfs compf

Proof of Theorem resscatc
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 resscatc.d . . . . . 6 CatCat
2 eqid 2460 . . . . . 6
3 resscatc.1 . . . . . . . 8
4 resscatc.2 . . . . . . . 8
53, 4ssexd 4587 . . . . . . 7
65adantr 465 . . . . . 6
7 eqid 2460 . . . . . 6
8 simprl 755 . . . . . . 7
91, 2, 5catcbas 15271 . . . . . . . 8
109adantr 465 . . . . . . 7
118, 10eleqtrrd 2551 . . . . . 6
12 simprr 756 . . . . . . 7
1312, 10eleqtrrd 2551 . . . . . 6
141, 2, 6, 7, 11, 13catchom 15273 . . . . 5
15 resscatc.c . . . . . 6 CatCat
16 eqid 2460 . . . . . 6
173adantr 465 . . . . . 6
18 eqid 2460 . . . . . 6
1915, 16, 3catcbas 15271 . . . . . . . . . . . 12
2019ineq2d 3693 . . . . . . . . . . 11
21 inass 3701 . . . . . . . . . . 11
2220, 21syl6reqr 2520 . . . . . . . . . 10
23 df-ss 3483 . . . . . . . . . . . 12
244, 23sylib 196 . . . . . . . . . . 11
2524ineq1d 3692 . . . . . . . . . 10
26 eqid 2460 . . . . . . . . . . . 12 s s
2726, 16ressbas 14534 . . . . . . . . . . 11 s
285, 27syl 16 . . . . . . . . . 10 s
2922, 25, 283eqtr3d 2509 . . . . . . . . 9 s
3026, 16ressbasss 14536 . . . . . . . . 9 s
3129, 30syl6eqss 3547 . . . . . . . 8
3231adantr 465 . . . . . . 7
3332, 8sseldd 3498 . . . . . 6
3432, 12sseldd 3498 . . . . . 6
3515, 16, 17, 18, 33, 34catchom 15273 . . . . 5
3626, 18resshom 14663 . . . . . . 7 s
375, 36syl 16 . . . . . 6 s
3837proplem3 14935 . . . . 5 s
3914, 35, 383eqtr2rd 2508 . . . 4 s
4039ralrimivva 2878 . . 3 s
41 eqid 2460 . . . 4 s s
429eqcomd 2468 . . . 4
4341, 7, 29, 42homfeq 14939 . . 3 f s f s
4440, 43mpbird 232 . 2 f s f
455ad2antrr 725 . . . . . . . 8
46 eqid 2460 . . . . . . . 8 comp comp
47 simplr1 1033 . . . . . . . . 9
489ad2antrr 725 . . . . . . . . 9
4947, 48eleqtrrd 2551 . . . . . . . 8
50 simplr2 1034 . . . . . . . . 9
5150, 48eleqtrrd 2551 . . . . . . . 8
52 simplr3 1035 . . . . . . . . 9
5352, 48eleqtrrd 2551 . . . . . . . 8
54 simprl 755 . . . . . . . . 9
551, 2, 45, 7, 49, 51catchom 15273 . . . . . . . . 9
5654, 55eleqtrd 2550 . . . . . . . 8
57 simprr 756 . . . . . . . . 9
581, 2, 45, 7, 51, 53catchom 15273 . . . . . . . . 9
5957, 58eleqtrd 2550 . . . . . . . 8
601, 2, 45, 46, 49, 51, 53, 56, 59catcco 15275 . . . . . . 7 comp func
613ad2antrr 725 . . . . . . . 8
62 eqid 2460 . . . . . . . 8 comp comp
6331ad2antrr 725 . . . . . . . . 9
6463, 47sseldd 3498 . . . . . . . 8
6563, 50sseldd 3498 . . . . . . . 8
6663, 52sseldd 3498 . . . . . . . 8
6715, 16, 61, 62, 64, 65, 66, 56, 59catcco 15275 . . . . . . 7 comp func
6826, 62ressco 14664 . . . . . . . . . . 11 comp comps
695, 68syl 16 . . . . . . . . . 10 comp comps
7069ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 comp comps
7170oveqd 6292 . . . . . . . 8 comp comps
7271oveqd 6292 . . . . . . 7 comp comps
7360, 67, 723eqtr2d 2507 . . . . . 6 comp comps
7473ralrimivva 2878 . . . . 5 comp comps
7574ralrimivvva 2879 . . . 4 comp comps
76 eqid 2460 . . . . 5 comps comps
7744eqcomd 2468 . . . . 5 f f s
7846, 76, 7, 42, 29, 77comfeq 14951 . . . 4 compf compfs comp comps
7975, 78mpbird 232 . . 3 compf compfs
8079eqcomd 2468 . 2 compfs compf
8144, 80jca 532 1 f s f compfs compf
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   w3a 968   wceq 1374   wcel 1762  wral 2807  cvv 3106   cin 3468   wss 3469  cop 4026  cfv 5579  (class class class)co 6275  cbs 14479   ↾s cress 14480   chom 14555  compcco 14556  ccat 14908   f chomf 14910  compfccomf 14911   cfunc 15070   func ccofu 15072  CatCatccatc 15268 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-oadd 7124  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-4 10585  df-5 10586  df-6 10587  df-7 10588  df-8 10589  df-9 10590  df-10 10591  df-n0 10785  df-z 10854  df-dec 10966  df-uz 11072  df-fz 11662  df-struct 14481  df-ndx 14482  df-slot 14483  df-base 14484  df-sets 14485  df-ress 14486  df-hom 14568  df-cco 14569  df-homf 14914  df-comf 14915  df-catc 15269 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator