MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ressbasss Structured version   Unicode version

Theorem ressbasss 14564
Description: The base set of a restriction is a subset of the base set of the original structure. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ressbas.r  |-  R  =  ( Ws  A )
ressbas.b  |-  B  =  ( Base `  W
)
Assertion
Ref Expression
ressbasss  |-  ( Base `  R )  C_  B

Proof of Theorem ressbasss
StepHypRef Expression
1 ressbas.r . . . 4  |-  R  =  ( Ws  A )
2 ressbas.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  W
)
31, 2ressbas 14562 . . 3  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A  i^i  B )  =  ( Base `  R
) )
4 inss2 3724 . . 3  |-  ( A  i^i  B )  C_  B
53, 4syl6eqssr 3560 . 2  |-  ( A  e.  _V  ->  ( Base `  R )  C_  B )
6 reldmress 14558 . . . . . 6  |-  Rel  doms
76ovprc2 6324 . . . . 5  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( Ws  A )  =  (/) )
81, 7syl5eq 2520 . . . 4  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  R  =  (/) )
98fveq2d 5876 . . 3  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  (
Base `  R )  =  ( Base `  (/) ) )
10 base0 14546 . . . 4  |-  (/)  =  (
Base `  (/) )
11 0ss 3819 . . . 4  |-  (/)  C_  B
1210, 11eqsstr3i 3540 . . 3  |-  ( Base `  (/) )  C_  B
139, 12syl6eqss 3559 . 2  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  (
Base `  R )  C_  B )
145, 13pm2.61i 164 1  |-  ( Base `  R )  C_  B
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    = wceq 1379    e. wcel 1767   _Vcvv 3118    i^i cin 3480    C_ wss 3481   (/)c0 3790   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   Basecbs 14507   ↾s cress 14508
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-nn 10549  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514
This theorem is referenced by:  funcres2c  15145  resscatc  15307  submnd0  15823  resscntz  16241  subcmn  16718  resspsrvsca  17943  subrgpsr  17944  ply1bascl  18112  evpmss  18491  frlmplusgval  18666  frlmvscafval  18668  lsslindf  18734  islinds3  18738  ressprdsds  20742  cphsubrglem  21492
  Copyright terms: Public domain W3C validator