MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ressbasss Structured version   Unicode version

Theorem ressbasss 14353
Description: The base set of a restriction is a subset of the base set of the original structure. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ressbas.r  |-  R  =  ( Ws  A )
ressbas.b  |-  B  =  ( Base `  W
)
Assertion
Ref Expression
ressbasss  |-  ( Base `  R )  C_  B

Proof of Theorem ressbasss
StepHypRef Expression
1 ressbas.r . . . 4  |-  R  =  ( Ws  A )
2 ressbas.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  W
)
31, 2ressbas 14351 . . 3  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A  i^i  B )  =  ( Base `  R
) )
4 inss2 3682 . . 3  |-  ( A  i^i  B )  C_  B
53, 4syl6eqssr 3518 . 2  |-  ( A  e.  _V  ->  ( Base `  R )  C_  B )
6 reldmress 14347 . . . . . 6  |-  Rel  doms
76ovprc2 6232 . . . . 5  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( Ws  A )  =  (/) )
81, 7syl5eq 2507 . . . 4  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  R  =  (/) )
98fveq2d 5806 . . 3  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  (
Base `  R )  =  ( Base `  (/) ) )
10 base0 14335 . . . 4  |-  (/)  =  (
Base `  (/) )
11 0ss 3777 . . . 4  |-  (/)  C_  B
1210, 11eqsstr3i 3498 . . 3  |-  ( Base `  (/) )  C_  B
139, 12syl6eqss 3517 . 2  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  (
Base `  R )  C_  B )
145, 13pm2.61i 164 1  |-  ( Base `  R )  C_  B
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    = wceq 1370    e. wcel 1758   _Vcvv 3078    i^i cin 3438    C_ wss 3439   (/)c0 3748   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   Basecbs 14296   ↾s cress 14297
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9453  ax-resscn 9454  ax-1cn 9455  ax-icn 9456  ax-addcl 9457  ax-addrcl 9458  ax-mulcl 9459  ax-mulrcl 9460  ax-i2m1 9465  ax-1ne0 9466  ax-rrecex 9469  ax-cnre 9470
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-nn 10438  df-ndx 14299  df-slot 14300  df-base 14301  df-sets 14302  df-ress 14303
This theorem is referenced by:  funcres2c  14934  resscatc  15096  submnd0  15574  resscntz  15972  subcmn  16446  resspsrvsca  17624  subrgpsr  17625  ply1bascl  17793  evpmss  18151  frlmplusgval  18326  frlmvscafval  18328  lsslindf  18394  islinds3  18398  ressprdsds  20088  cphsubrglem  20838
  Copyright terms: Public domain W3C validator