MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ressatans Structured version   Unicode version

Theorem ressatans 22213
Description: The real number line is a subset of the domain of continuity of the arctangent. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
atansopn.d  |-  D  =  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) )
atansopn.s  |-  S  =  { y  e.  CC  |  ( 1  +  ( y ^ 2 ) )  e.  D }
Assertion
Ref Expression
ressatans  |-  RR  C_  S
Distinct variable group:    y, D
Allowed substitution hint:    S( y)

Proof of Theorem ressatans
StepHypRef Expression
1 ax-resscn 9326 . . 3  |-  RR  C_  CC
2 1re 9372 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
3 resqcl 11916 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  RR  ->  (
y ^ 2 )  e.  RR )
4 readdcl 9352 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( y ^ 2 )  e.  RR )  ->  ( 1  +  ( y ^ 2 ) )  e.  RR )
52, 3, 4sylancr 656 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  RR  ->  (
1  +  ( y ^ 2 ) )  e.  RR )
65recnd 9399 . . . . . 6  |-  ( y  e.  RR  ->  (
1  +  ( y ^ 2 ) )  e.  CC )
7 0re 9373 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  RR
87a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR  ->  0  e.  RR )
92a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR  ->  1  e.  RR )
10 0lt1 9849 . . . . . . . . . 10  |-  0  <  1
1110a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR  ->  0  <  1 )
12 sqge0 11925 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  RR  ->  0  <_  ( y ^ 2 ) )
13 addge01 9836 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( y ^ 2 )  e.  RR )  ->  ( 0  <_ 
( y ^ 2 )  <->  1  <_  (
1  +  ( y ^ 2 ) ) ) )
142, 3, 13sylancr 656 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  RR  ->  (
0  <_  ( y ^ 2 )  <->  1  <_  ( 1  +  ( y ^ 2 ) ) ) )
1512, 14mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR  ->  1  <_  ( 1  +  ( y ^ 2 ) ) )
168, 9, 5, 11, 15ltletrd 9518 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  RR  ->  0  <  ( 1  +  ( y ^ 2 ) ) )
17 ltnle 9441 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( 1  +  ( y ^ 2 ) )  e.  RR )  ->  ( 0  < 
( 1  +  ( y ^ 2 ) )  <->  -.  ( 1  +  ( y ^
2 ) )  <_ 
0 ) )
187, 5, 17sylancr 656 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  RR  ->  (
0  <  ( 1  +  ( y ^
2 ) )  <->  -.  (
1  +  ( y ^ 2 ) )  <_  0 ) )
1916, 18mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  RR  ->  -.  ( 1  +  ( y ^ 2 ) )  <_  0 )
20 mnfxr 11081 . . . . . . . . 9  |- -oo  e.  RR*
21 elioc2 11345 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  0  e.  RR )  ->  (
( 1  +  ( y ^ 2 ) )  e.  ( -oo (,] 0 )  <->  ( (
1  +  ( y ^ 2 ) )  e.  RR  /\ -oo  <  ( 1  +  ( y ^ 2 ) )  /\  ( 1  +  ( y ^
2 ) )  <_ 
0 ) ) )
2220, 7, 21mp2an 665 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  +  ( y ^ 2 ) )  e.  ( -oo (,] 0 )  <->  ( (
1  +  ( y ^ 2 ) )  e.  RR  /\ -oo  <  ( 1  +  ( y ^ 2 ) )  /\  ( 1  +  ( y ^
2 ) )  <_ 
0 ) )
2322simp3bi 998 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  +  ( y ^ 2 ) )  e.  ( -oo (,] 0 )  ->  (
1  +  ( y ^ 2 ) )  <_  0 )
2419, 23nsyl 121 . . . . . 6  |-  ( y  e.  RR  ->  -.  ( 1  +  ( y ^ 2 ) )  e.  ( -oo (,] 0 ) )
256, 24eldifd 3327 . . . . 5  |-  ( y  e.  RR  ->  (
1  +  ( y ^ 2 ) )  e.  ( CC  \ 
( -oo (,] 0 ) ) )
26 atansopn.d . . . . 5  |-  D  =  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) )
2725, 26syl6eleqr 2524 . . . 4  |-  ( y  e.  RR  ->  (
1  +  ( y ^ 2 ) )  e.  D )
2827rgen 2771 . . 3  |-  A. y  e.  RR  ( 1  +  ( y ^ 2 ) )  e.  D
29 ssrab 3418 . . 3  |-  ( RR  C_  { y  e.  CC  |  ( 1  +  ( y ^ 2 ) )  e.  D } 
<->  ( RR  C_  CC  /\ 
A. y  e.  RR  ( 1  +  ( y ^ 2 ) )  e.  D ) )
301, 28, 29mpbir2an 904 . 2  |-  RR  C_  { y  e.  CC  | 
( 1  +  ( y ^ 2 ) )  e.  D }
31 atansopn.s . 2  |-  S  =  { y  e.  CC  |  ( 1  +  ( y ^ 2 ) )  e.  D }
3230, 31sseqtr4i 3377 1  |-  RR  C_  S
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 184    /\ w3a 958    = wceq 1362    e. wcel 1755   A.wral 2705   {crab 2709    \ cdif 3313    C_ wss 3316   class class class wbr 4280  (class class class)co 6080   CCcc 9267   RRcr 9268   0cc0 9269   1c1 9270    + caddc 9272   -oocmnf 9403   RR*cxr 9404    < clt 9405    <_ cle 9406   2c2 10358   (,]cioc 11288   ^cexp 11848
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-cnex 9325  ax-resscn 9326  ax-1cn 9327  ax-icn 9328  ax-addcl 9329  ax-addrcl 9330  ax-mulcl 9331  ax-mulrcl 9332  ax-mulcom 9333  ax-addass 9334  ax-mulass 9335  ax-distr 9336  ax-i2m1 9337  ax-1ne0 9338  ax-1rid 9339  ax-rnegex 9340  ax-rrecex 9341  ax-cnre 9342  ax-pre-lttri 9343  ax-pre-lttrn 9344  ax-pre-ltadd 9345  ax-pre-mulgt0 9346
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-om 6466  df-2nd 6567  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-er 7089  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-pnf 9407  df-mnf 9408  df-xr 9409  df-ltxr 9410  df-le 9411  df-sub 9584  df-neg 9585  df-nn 10310  df-2 10367  df-n0 10567  df-z 10634  df-uz 10849  df-ioc 11292  df-seq 11790  df-exp 11849
This theorem is referenced by:  leibpi  22221
  Copyright terms: Public domain W3C validator