MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ressatans Structured version   Unicode version

Theorem ressatans 23590
Description: The real number line is a subset of the domain of continuity of the arctangent. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
atansopn.d  |-  D  =  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) )
atansopn.s  |-  S  =  { y  e.  CC  |  ( 1  +  ( y ^ 2 ) )  e.  D }
Assertion
Ref Expression
ressatans  |-  RR  C_  S
Distinct variable group:    y, D
Allowed substitution hint:    S( y)

Proof of Theorem ressatans
StepHypRef Expression
1 ax-resscn 9579 . . 3  |-  RR  C_  CC
2 1re 9625 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
3 resqcl 12280 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  RR  ->  (
y ^ 2 )  e.  RR )
4 readdcl 9605 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( y ^ 2 )  e.  RR )  ->  ( 1  +  ( y ^ 2 ) )  e.  RR )
52, 3, 4sylancr 661 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  RR  ->  (
1  +  ( y ^ 2 ) )  e.  RR )
65recnd 9652 . . . . . 6  |-  ( y  e.  RR  ->  (
1  +  ( y ^ 2 ) )  e.  CC )
7 0re 9626 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  RR
87a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR  ->  0  e.  RR )
92a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR  ->  1  e.  RR )
10 0lt1 10115 . . . . . . . . . 10  |-  0  <  1
1110a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR  ->  0  <  1 )
12 sqge0 12289 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  RR  ->  0  <_  ( y ^ 2 ) )
13 addge01 10103 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( y ^ 2 )  e.  RR )  ->  ( 0  <_ 
( y ^ 2 )  <->  1  <_  (
1  +  ( y ^ 2 ) ) ) )
142, 3, 13sylancr 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  RR  ->  (
0  <_  ( y ^ 2 )  <->  1  <_  ( 1  +  ( y ^ 2 ) ) ) )
1512, 14mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR  ->  1  <_  ( 1  +  ( y ^ 2 ) ) )
168, 9, 5, 11, 15ltletrd 9776 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  RR  ->  0  <  ( 1  +  ( y ^ 2 ) ) )
17 ltnle 9695 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( 1  +  ( y ^ 2 ) )  e.  RR )  ->  ( 0  < 
( 1  +  ( y ^ 2 ) )  <->  -.  ( 1  +  ( y ^
2 ) )  <_ 
0 ) )
187, 5, 17sylancr 661 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  RR  ->  (
0  <  ( 1  +  ( y ^
2 ) )  <->  -.  (
1  +  ( y ^ 2 ) )  <_  0 ) )
1916, 18mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  RR  ->  -.  ( 1  +  ( y ^ 2 ) )  <_  0 )
20 mnfxr 11376 . . . . . . . . 9  |- -oo  e.  RR*
21 elioc2 11641 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  0  e.  RR )  ->  (
( 1  +  ( y ^ 2 ) )  e.  ( -oo (,] 0 )  <->  ( (
1  +  ( y ^ 2 ) )  e.  RR  /\ -oo  <  ( 1  +  ( y ^ 2 ) )  /\  ( 1  +  ( y ^
2 ) )  <_ 
0 ) ) )
2220, 7, 21mp2an 670 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  +  ( y ^ 2 ) )  e.  ( -oo (,] 0 )  <->  ( (
1  +  ( y ^ 2 ) )  e.  RR  /\ -oo  <  ( 1  +  ( y ^ 2 ) )  /\  ( 1  +  ( y ^
2 ) )  <_ 
0 ) )
2322simp3bi 1014 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  +  ( y ^ 2 ) )  e.  ( -oo (,] 0 )  ->  (
1  +  ( y ^ 2 ) )  <_  0 )
2419, 23nsyl 121 . . . . . 6  |-  ( y  e.  RR  ->  -.  ( 1  +  ( y ^ 2 ) )  e.  ( -oo (,] 0 ) )
256, 24eldifd 3425 . . . . 5  |-  ( y  e.  RR  ->  (
1  +  ( y ^ 2 ) )  e.  ( CC  \ 
( -oo (,] 0 ) ) )
26 atansopn.d . . . . 5  |-  D  =  ( CC  \  ( -oo (,] 0 ) )
2725, 26syl6eleqr 2501 . . . 4  |-  ( y  e.  RR  ->  (
1  +  ( y ^ 2 ) )  e.  D )
2827rgen 2764 . . 3  |-  A. y  e.  RR  ( 1  +  ( y ^ 2 ) )  e.  D
29 ssrab 3517 . . 3  |-  ( RR  C_  { y  e.  CC  |  ( 1  +  ( y ^ 2 ) )  e.  D } 
<->  ( RR  C_  CC  /\ 
A. y  e.  RR  ( 1  +  ( y ^ 2 ) )  e.  D ) )
301, 28, 29mpbir2an 921 . 2  |-  RR  C_  { y  e.  CC  | 
( 1  +  ( y ^ 2 ) )  e.  D }
31 atansopn.s . 2  |-  S  =  { y  e.  CC  |  ( 1  +  ( y ^ 2 ) )  e.  D }
3230, 31sseqtr4i 3475 1  |-  RR  C_  S
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 184    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842   A.wral 2754   {crab 2758    \ cdif 3411    C_ wss 3414   class class class wbr 4395  (class class class)co 6278   CCcc 9520   RRcr 9521   0cc0 9522   1c1 9523    + caddc 9525   -oocmnf 9656   RR*cxr 9657    < clt 9658    <_ cle 9659   2c2 10626   (,]cioc 11583   ^cexp 12210
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-2nd 6785  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-er 7348  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-nn 10577  df-2 10635  df-n0 10837  df-z 10906  df-uz 11128  df-ioc 11587  df-seq 12152  df-exp 12211
This theorem is referenced by:  leibpi  23598
  Copyright terms: Public domain W3C validator