MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ressascl Structured version   Unicode version

Theorem ressascl 18106
Description: The injection of scalars is invariant between subalgebras and superalgebras. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ressascl.a  |-  A  =  (algSc `  W )
ressascl.x  |-  X  =  ( Ws  S )
Assertion
Ref Expression
ressascl  |-  ( S  e.  (SubRing `  W
)  ->  A  =  (algSc `  X ) )

Proof of Theorem ressascl
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ressascl.x . . . . 5  |-  X  =  ( Ws  S )
2 eqid 2382 . . . . 5  |-  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  W )
31, 2resssca 14784 . . . 4  |-  ( S  e.  (SubRing `  W
)  ->  (Scalar `  W
)  =  (Scalar `  X ) )
43fveq2d 5778 . . 3  |-  ( S  e.  (SubRing `  W
)  ->  ( Base `  (Scalar `  W )
)  =  ( Base `  (Scalar `  X )
) )
5 eqid 2382 . . . . 5  |-  ( .s
`  W )  =  ( .s `  W
)
61, 5ressvsca 14785 . . . 4  |-  ( S  e.  (SubRing `  W
)  ->  ( .s `  W )  =  ( .s `  X ) )
7 eqidd 2383 . . . 4  |-  ( S  e.  (SubRing `  W
)  ->  x  =  x )
8 eqid 2382 . . . . 5  |-  ( 1r
`  W )  =  ( 1r `  W
)
91, 8subrg1 17552 . . . 4  |-  ( S  e.  (SubRing `  W
)  ->  ( 1r `  W )  =  ( 1r `  X ) )
106, 7, 9oveq123d 6217 . . 3  |-  ( S  e.  (SubRing `  W
)  ->  ( x
( .s `  W
) ( 1r `  W ) )  =  ( x ( .s
`  X ) ( 1r `  X ) ) )
114, 10mpteq12dv 4445 . 2  |-  ( S  e.  (SubRing `  W
)  ->  ( x  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  |->  ( x ( .s `  W ) ( 1r
`  W ) ) )  =  ( x  e.  ( Base `  (Scalar `  X ) )  |->  ( x ( .s `  X ) ( 1r
`  X ) ) ) )
12 ressascl.a . . 3  |-  A  =  (algSc `  W )
13 eqid 2382 . . 3  |-  ( Base `  (Scalar `  W )
)  =  ( Base `  (Scalar `  W )
)
1412, 2, 13, 5, 8asclfval 18096 . 2  |-  A  =  ( x  e.  (
Base `  (Scalar `  W
) )  |->  ( x ( .s `  W
) ( 1r `  W ) ) )
15 eqid 2382 . . 3  |-  (algSc `  X )  =  (algSc `  X )
16 eqid 2382 . . 3  |-  (Scalar `  X )  =  (Scalar `  X )
17 eqid 2382 . . 3  |-  ( Base `  (Scalar `  X )
)  =  ( Base `  (Scalar `  X )
)
18 eqid 2382 . . 3  |-  ( .s
`  X )  =  ( .s `  X
)
19 eqid 2382 . . 3  |-  ( 1r
`  X )  =  ( 1r `  X
)
2015, 16, 17, 18, 19asclfval 18096 . 2  |-  (algSc `  X )  =  ( x  e.  ( Base `  (Scalar `  X )
)  |->  ( x ( .s `  X ) ( 1r `  X
) ) )
2111, 14, 203eqtr4g 2448 1  |-  ( S  e.  (SubRing `  W
)  ->  A  =  (algSc `  X ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1399    e. wcel 1826    |-> cmpt 4425   ` cfv 5496  (class class class)co 6196   Basecbs 14634   ↾s cress 14635  Scalarcsca 14705   .scvsca 14706   1rcur 17266  SubRingcsubrg 17538  algSccascl 18073
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-om 6600  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-er 7229  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-nn 10453  df-2 10511  df-3 10512  df-4 10513  df-5 10514  df-6 10515  df-ndx 14637  df-slot 14638  df-base 14639  df-sets 14640  df-ress 14641  df-plusg 14715  df-mulr 14716  df-sca 14718  df-vsca 14719  df-0g 14849  df-mgm 15989  df-sgrp 16028  df-mnd 16038  df-subg 16315  df-mgp 17255  df-ur 17267  df-ring 17313  df-subrg 17540  df-ascl 18076
This theorem is referenced by:  evlseu  18298
  Copyright terms: Public domain W3C validator