MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ressabs Structured version   Unicode version

Theorem ressabs 14248
Description: Restriction absorption law. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
ressabs  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  C_  A )  -> 
( ( Ws  A )s  B )  =  ( Ws  B ) )

Proof of Theorem ressabs
StepHypRef Expression
1 ssexg 4450 . . . 4  |-  ( ( B  C_  A  /\  A  e.  X )  ->  B  e.  _V )
21ancoms 453 . . 3  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  C_  A )  ->  B  e.  _V )
3 ressress 14247 . . 3  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  _V )  ->  ( ( Ws  A )s  B )  =  ( Ws  ( A  i^i  B ) ) )
42, 3syldan 470 . 2  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  C_  A )  -> 
( ( Ws  A )s  B )  =  ( Ws  ( A  i^i  B ) ) )
5 simpr 461 . . . 4  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  C_  A )  ->  B  C_  A )
6 dfss1 3567 . . . 4  |-  ( B 
C_  A  <->  ( A  i^i  B )  =  B )
75, 6sylib 196 . . 3  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  C_  A )  -> 
( A  i^i  B
)  =  B )
87oveq2d 6119 . 2  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  C_  A )  -> 
( Ws  ( A  i^i  B ) )  =  ( Ws  B ) )
94, 8eqtrd 2475 1  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  C_  A )  -> 
( ( Ws  A )s  B )  =  ( Ws  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   _Vcvv 2984    i^i cin 3339    C_ wss 3340  (class class class)co 6103   ↾s cress 14187
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384  ax-cnex 9350  ax-resscn 9351  ax-1cn 9352  ax-icn 9353  ax-addcl 9354  ax-addrcl 9355  ax-mulcl 9356  ax-mulrcl 9357  ax-i2m1 9362  ax-1ne0 9363  ax-rrecex 9366  ax-cnre 9367
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-pss 3356  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-tp 3894  df-op 3896  df-uni 4104  df-iun 4185  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-tr 4398  df-eprel 4644  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-fr 4691  df-we 4693  df-ord 4734  df-on 4735  df-lim 4736  df-suc 4737  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-om 6489  df-recs 6844  df-rdg 6878  df-nn 10335  df-ndx 14189  df-slot 14190  df-base 14191  df-sets 14192  df-ress 14193
This theorem is referenced by:  rescabs  14758  rescabs2  14759  subsubm  15497  subsubg  15716  subgslw  16127  pgpfaclem1  16594  ablfaclem3  16600  subsubrg  16903  lsslss  17054  xrge0cmn  17867  zringunit  17926  zrngunit  17927  cnmsgngrp  18021  psgninv  18024  zrhpsgnmhm  18026  xrge0gsumle  20422  xrge0tsms  20423  reefgim  21927  xrge0tsmsd  26265  nn0omnd  26321  nn0archi  26323  rrhcn  26438  lnmlsslnm  29446  lmhmlnmsplit  29452
  Copyright terms: Public domain W3C validator