MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  resqrtcn Structured version   Unicode version

Theorem resqrtcn 23291
Description: Continuity of the real square root function. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
resqrtcn  |-  ( sqr  |`  ( 0 [,) +oo ) )  e.  ( ( 0 [,) +oo ) -cn-> RR )

Proof of Theorem resqrtcn
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sqrtf 13278 . . . . . . 7  |-  sqr : CC
--> CC
21a1i 11 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  sqr : CC --> CC )
32feqmptd 5901 . . . . 5  |-  ( T. 
->  sqr  =  ( x  e.  CC  |->  ( sqr `  x ) ) )
43reseq1d 5261 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( sqr  |`  (
0 [,) +oo )
)  =  ( ( x  e.  CC  |->  ( sqr `  x ) )  |`  ( 0 [,) +oo ) ) )
5 elrege0 11630 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )
65simplbi 458 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 0 [,) +oo )  ->  x  e.  RR )
76recnd 9611 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( 0 [,) +oo )  ->  x  e.  CC )
87ssriv 3493 . . . . 5  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  CC
9 resmpt 5311 . . . . 5  |-  ( ( 0 [,) +oo )  C_  CC  ->  ( (
x  e.  CC  |->  ( sqr `  x ) )  |`  ( 0 [,) +oo ) )  =  ( x  e.  ( 0 [,) +oo )  |->  ( sqr `  x
) ) )
108, 9mp1i 12 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( ( x  e.  CC  |->  ( sqr `  x
) )  |`  (
0 [,) +oo )
)  =  ( x  e.  ( 0 [,) +oo )  |->  ( sqr `  x ) ) )
114, 10eqtrd 2495 . . 3  |-  ( T. 
->  ( sqr  |`  (
0 [,) +oo )
)  =  ( x  e.  ( 0 [,) +oo )  |->  ( sqr `  x ) ) )
1211trud 1407 . 2  |-  ( sqr  |`  ( 0 [,) +oo ) )  =  ( x  e.  ( 0 [,) +oo )  |->  ( sqr `  x ) )
13 eqid 2454 . . . 4  |-  ( x  e.  ( 0 [,) +oo )  |->  ( sqr `  x ) )  =  ( x  e.  ( 0 [,) +oo )  |->  ( sqr `  x
) )
14 resqrtcl 13169 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  -> 
( sqr `  x
)  e.  RR )
155, 14sylbi 195 . . . 4  |-  ( x  e.  ( 0 [,) +oo )  ->  ( sqr `  x )  e.  RR )
1613, 15fmpti 6030 . . 3  |-  ( x  e.  ( 0 [,) +oo )  |->  ( sqr `  x ) ) : ( 0 [,) +oo )
--> RR
17 ax-resscn 9538 . . . 4  |-  RR  C_  CC
18 cxpsqrt 23252 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  CC  ->  (
x  ^c  ( 1  /  2 ) )  =  ( sqr `  x ) )
197, 18syl 16 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 0 [,) +oo )  ->  ( x  ^c  ( 1  /  2 ) )  =  ( sqr `  x
) )
2019mpteq2ia 4521 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( 0 [,) +oo )  |->  ( x  ^c  ( 1  /  2 ) ) )  =  ( x  e.  ( 0 [,) +oo )  |->  ( sqr `  x ) )
21 eqid 2454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
2221cnfldtopon 21456 . . . . . . . . . 10  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )
2322a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC ) )
24 resttopon 19829 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )  /\  (
0 [,) +oo )  C_  CC )  ->  (
( TopOpen ` fld )t  ( 0 [,) +oo ) )  e.  (TopOn `  ( 0 [,) +oo ) ) )
2523, 8, 24sylancl 660 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  ( ( TopOpen ` fld )t  ( 0 [,) +oo ) )  e.  (TopOn `  ( 0 [,) +oo ) ) )
2625cnmptid 20328 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  ( x  e.  ( 0 [,) +oo )  |->  x )  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( 0 [,) +oo ) )  Cn  (
( TopOpen ` fld )t  ( 0 [,) +oo ) ) ) )
27 cnvimass 5345 . . . . . . . . . . 11  |-  ( `' Re " RR+ )  C_ 
dom  Re
28 ref 13027 . . . . . . . . . . . 12  |-  Re : CC
--> RR
2928fdmi 5718 . . . . . . . . . . 11  |-  dom  Re  =  CC
3027, 29sseqtri 3521 . . . . . . . . . 10  |-  ( `' Re " RR+ )  C_  CC
31 resttopon 19829 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )  /\  ( `' Re " RR+ )  C_  CC )  ->  (
( TopOpen ` fld )t  ( `' Re "
RR+ ) )  e.  (TopOn `  ( `' Re " RR+ ) ) )
3223, 30, 31sylancl 660 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  ( ( TopOpen ` fld )t  ( `' Re "
RR+ ) )  e.  (TopOn `  ( `' Re " RR+ ) ) )
33 halfcn 10751 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  /  2 )  e.  CC
34 1rp 11225 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  RR+
35 rphalfcl 11246 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1  e.  RR+  ->  ( 1  /  2 )  e.  RR+ )
3634, 35ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR+
37 rpre 11227 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1  /  2 )  e.  RR+  ->  ( 1  /  2 )  e.  RR )
38 rere 13037 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1  /  2 )  e.  RR  ->  (
Re `  ( 1  /  2 ) )  =  ( 1  / 
2 ) )
3936, 37, 38mp2b 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Re
`  ( 1  / 
2 ) )  =  ( 1  /  2
)
4039, 36eqeltri 2538 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Re
`  ( 1  / 
2 ) )  e.  RR+
41 ffn 5713 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Re : CC --> RR  ->  Re  Fn  CC )
42 elpreima 5983 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Re  Fn  CC  ->  (
( 1  /  2
)  e.  ( `' Re " RR+ )  <->  ( ( 1  /  2
)  e.  CC  /\  ( Re `  ( 1  /  2 ) )  e.  RR+ ) ) )
4328, 41, 42mp2b 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  /  2 )  e.  ( `' Re "
RR+ )  <->  ( (
1  /  2 )  e.  CC  /\  (
Re `  ( 1  /  2 ) )  e.  RR+ ) )
4433, 40, 43mpbir2an 918 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  /  2 )  e.  ( `' Re " RR+ )
4544a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  ( 1  /  2
)  e.  ( `' Re " RR+ )
)
4625, 32, 45cnmptc 20329 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  ( x  e.  ( 0 [,) +oo )  |->  ( 1  /  2
) )  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( 0 [,) +oo ) )  Cn  (
( TopOpen ` fld )t  ( `' Re "
RR+ ) ) ) )
47 eqid 2454 . . . . . . . . . 10  |-  ( `' Re " RR+ )  =  ( `' Re "
RR+ )
48 eqid 2454 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  ( 0 [,) +oo ) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  ( 0 [,) +oo ) )
49 eqid 2454 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  ( `' Re " RR+ ) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  ( `' Re "
RR+ ) )
5047, 21, 48, 49cxpcn3 23290 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  z  e.  ( `' Re " RR+ )  |->  ( y  ^c  z ) )  e.  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( 0 [,) +oo ) )  tX  (
( TopOpen ` fld )t  ( `' Re "
RR+ ) ) )  Cn  ( TopOpen ` fld ) )
5150a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  ( y  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  z  e.  ( `' Re " RR+ )  |->  ( y  ^c 
z ) )  e.  ( ( ( (
TopOpen ` fld )t  ( 0 [,) +oo ) )  tX  (
( TopOpen ` fld )t  ( `' Re "
RR+ ) ) )  Cn  ( TopOpen ` fld ) ) )
52 oveq12 6279 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  =  x  /\  z  =  ( 1  /  2 ) )  ->  ( y  ^c  z )  =  ( x  ^c 
( 1  /  2
) ) )
5325, 26, 46, 25, 32, 51, 52cnmpt12 20334 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  ( x  e.  ( 0 [,) +oo )  |->  ( x  ^c 
( 1  /  2
) ) )  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )t  (
0 [,) +oo )
)  Cn  ( TopOpen ` fld )
) )
54 ssid 3508 . . . . . . . 8  |-  CC  C_  CC
5522toponunii 19600 . . . . . . . . . . . 12  |-  CC  =  U. ( TopOpen ` fld )
5655restid 14923 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )  ->  ( (
TopOpen ` fld )t  CC )  =  (
TopOpen ` fld ) )
5722, 56ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  CC )  =  (
TopOpen ` fld )
5857eqcomi 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  CC )
5921, 48, 58cncfcn 21579 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 0 [,) +oo )  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  (
( 0 [,) +oo ) -cn-> CC )  =  ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( 0 [,) +oo ) )  Cn  ( TopOpen
` fld
) ) )
608, 54, 59mp2an 670 . . . . . . 7  |-  ( ( 0 [,) +oo ) -cn->
CC )  =  ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( 0 [,) +oo ) )  Cn  ( TopOpen
` fld
) )
6153, 60syl6eleqr 2553 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( x  e.  ( 0 [,) +oo )  |->  ( x  ^c 
( 1  /  2
) ) )  e.  ( ( 0 [,) +oo ) -cn-> CC ) )
6220, 61syl5eqelr 2547 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( x  e.  ( 0 [,) +oo )  |->  ( sqr `  x
) )  e.  ( ( 0 [,) +oo ) -cn-> CC ) )
6362trud 1407 . . . 4  |-  ( x  e.  ( 0 [,) +oo )  |->  ( sqr `  x ) )  e.  ( ( 0 [,) +oo ) -cn-> CC )
64 cncffvrn 21568 . . . 4  |-  ( ( RR  C_  CC  /\  (
x  e.  ( 0 [,) +oo )  |->  ( sqr `  x ) )  e.  ( ( 0 [,) +oo ) -cn->
CC ) )  -> 
( ( x  e.  ( 0 [,) +oo )  |->  ( sqr `  x
) )  e.  ( ( 0 [,) +oo ) -cn-> RR )  <->  ( x  e.  ( 0 [,) +oo )  |->  ( sqr `  x
) ) : ( 0 [,) +oo ) --> RR ) )
6517, 63, 64mp2an 670 . . 3  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) +oo )  |->  ( sqr `  x ) )  e.  ( ( 0 [,) +oo ) -cn->
RR )  <->  ( x  e.  ( 0 [,) +oo )  |->  ( sqr `  x
) ) : ( 0 [,) +oo ) --> RR )
6616, 65mpbir 209 . 2  |-  ( x  e.  ( 0 [,) +oo )  |->  ( sqr `  x ) )  e.  ( ( 0 [,) +oo ) -cn-> RR )
6712, 66eqeltri 2538 1  |-  ( sqr  |`  ( 0 [,) +oo ) )  e.  ( ( 0 [,) +oo ) -cn-> RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1398   T. wtru 1399    e. wcel 1823    C_ wss 3461   class class class wbr 4439    |-> cmpt 4497   `'ccnv 4987   dom cdm 4988    |` cres 4990   "cima 4991    Fn wfn 5565   -->wf 5566   ` cfv 5570  (class class class)co 6270    |-> cmpt2 6272   CCcc 9479   RRcr 9480   0cc0 9481   1c1 9482   +oocpnf 9614    <_ cle 9618    / cdiv 10202   2c2 10581   RR+crp 11221   [,)cico 11534   Recre 13012   sqrcsqrt 13148   ↾t crest 14910   TopOpenctopn 14911  ℂfldccnfld 18615  TopOnctopon 19562    Cn ccn 19892    tX ctx 20227   -cn->ccncf 21546    ^c ccxp 23109
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-addf 9560  ax-mulf 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-fal 1404  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-of 6513  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-supp 6892  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-ixp 7463  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-fsupp 7822  df-fi 7863  df-sup 7893  df-oi 7927  df-card 8311  df-cda 8539  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10977  df-uz 11083  df-q 11184  df-rp 11222  df-xneg 11321  df-xadd 11322  df-xmul 11323  df-ioo 11536  df-ioc 11537  df-ico 11538  df-icc 11539  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-fl 11910  df-mod 11979  df-seq 12090  df-exp 12149  df-fac 12336  df-bc 12363  df-hash 12388  df-shft 12982  df-cj 13014  df-re 13015  df-im 13016  df-sqrt 13150  df-abs 13151  df-limsup 13376  df-clim 13393  df-rlim 13394  df-sum 13591  df-ef 13885  df-sin 13887  df-cos 13888  df-tan 13889  df-pi 13890  df-struct 14718  df-ndx 14719  df-slot 14720  df-base 14721  df-sets 14722  df-ress 14723  df-plusg 14797  df-mulr 14798  df-starv 14799  df-sca 14800  df-vsca 14801  df-ip 14802  df-tset 14803  df-ple 14804  df-ds 14806  df-unif 14807  df-hom 14808  df-cco 14809  df-rest 14912  df-topn 14913  df-0g 14931  df-gsum 14932  df-topgen 14933  df-pt 14934  df-prds 14937  df-xrs 14991  df-qtop 14996  df-imas 14997  df-xps 14999  df-mre 15075  df-mrc 15076  df-acs 15078  df-mgm 16071  df-sgrp 16110  df-mnd 16120  df-submnd 16166  df-mulg 16259  df-cntz 16554  df-cmn 16999  df-psmet 18606  df-xmet 18607  df-met 18608  df-bl 18609  df-mopn 18610  df-fbas 18611  df-fg 18612  df-cnfld 18616  df-top 19566  df-bases 19568  df-topon 19569  df-topsp 19570  df-cld 19687  df-ntr 19688  df-cls 19689  df-nei 19766  df-lp 19804  df-perf 19805  df-cn 19895  df-cnp 19896  df-haus 19983  df-cmp 20054  df-tx 20229  df-hmeo 20422  df-fil 20513  df-fm 20605  df-flim 20606  df-flf 20607  df-xms 20989  df-ms 20990  df-tms 20991  df-cncf 21548  df-limc 22436  df-dv 22437  df-log 23110  df-cxp 23111
This theorem is referenced by:  loglesqrt  23300  areacirclem2  30348
  Copyright terms: Public domain W3C validator