MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  resqrex Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem resqrex 13326
Description: Existence of a square root for positive reals. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2013.)
Assertion
Ref Expression
resqrex  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  ->  E. x  e.  RR  ( 0  <_  x  /\  ( x ^ 2 )  =  A ) )
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem resqrex
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0re 9648 . . . . 5  |-  0  e.  RR
2 leloe 9725 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( 0  <_  A  <->  ( 0  <  A  \/  0  =  A )
) )
31, 2mpan 677 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  (
0  <_  A  <->  ( 0  <  A  \/  0  =  A ) ) )
4 elrp 11311 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR+  <->  ( A  e.  RR  /\  0  < 
A ) )
5 01sqrex 13325 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  E. x  e.  RR+  ( x  <_ 
1  /\  ( x ^ 2 )  =  A ) )
6 rprege0 11323 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )
76anim1i 572 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  (
x ^ 2 )  =  A )  -> 
( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  /\  (
x ^ 2 )  =  A ) )
8 anass 655 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  /\  ( x ^ 2 )  =  A )  <-> 
( x  e.  RR  /\  ( 0  <_  x  /\  ( x ^ 2 )  =  A ) ) )
97, 8sylib 200 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  (
x ^ 2 )  =  A )  -> 
( x  e.  RR  /\  ( 0  <_  x  /\  ( x ^ 2 )  =  A ) ) )
109adantrl 723 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  (
x  <_  1  /\  ( x ^ 2 )  =  A ) )  ->  ( x  e.  RR  /\  ( 0  <_  x  /\  (
x ^ 2 )  =  A ) ) )
1110reximi2 2856 . . . . . . . 8  |-  ( E. x  e.  RR+  (
x  <_  1  /\  ( x ^ 2 )  =  A )  ->  E. x  e.  RR  ( 0  <_  x  /\  ( x ^ 2 )  =  A ) )
125, 11syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  E. x  e.  RR  ( 0  <_  x  /\  ( x ^
2 )  =  A ) )
134, 12sylanbr 476 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A )  /\  A  <_  1
)  ->  E. x  e.  RR  ( 0  <_  x  /\  ( x ^
2 )  =  A ) )
1413exp31 609 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  (
0  <  A  ->  ( A  <_  1  ->  E. x  e.  RR  (
0  <_  x  /\  ( x ^ 2 )  =  A ) ) ) )
15 sq0 12373 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0 ^ 2 )  =  0
16 id 22 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0  =  A  ->  0  =  A )
1715, 16syl5eq 2499 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  =  A  ->  (
0 ^ 2 )  =  A )
18 0le0 10706 . . . . . . . . 9  |-  0  <_  0
1917, 18jctil 540 . . . . . . . 8  |-  ( 0  =  A  ->  (
0  <_  0  /\  ( 0 ^ 2 )  =  A ) )
20 breq2 4409 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  0  ->  (
0  <_  x  <->  0  <_  0 ) )
21 oveq1 6302 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  0  ->  (
x ^ 2 )  =  ( 0 ^ 2 ) )
2221eqeq1d 2455 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  0  ->  (
( x ^ 2 )  =  A  <->  ( 0 ^ 2 )  =  A ) )
2320, 22anbi12d 718 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  0  ->  (
( 0  <_  x  /\  ( x ^ 2 )  =  A )  <-> 
( 0  <_  0  /\  ( 0 ^ 2 )  =  A ) ) )
2423rspcev 3152 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( 0  <_  0  /\  ( 0 ^ 2 )  =  A ) )  ->  E. x  e.  RR  ( 0  <_  x  /\  ( x ^
2 )  =  A ) )
251, 19, 24sylancr 670 . . . . . . 7  |-  ( 0  =  A  ->  E. x  e.  RR  ( 0  <_  x  /\  ( x ^
2 )  =  A ) )
2625a1d 26 . . . . . 6  |-  ( 0  =  A  ->  ( A  <_  1  ->  E. x  e.  RR  ( 0  <_  x  /\  ( x ^
2 )  =  A ) ) )
2726a1i 11 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  (
0  =  A  -> 
( A  <_  1  ->  E. x  e.  RR  ( 0  <_  x  /\  ( x ^ 2 )  =  A ) ) ) )
2814, 27jaod 382 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( 0  <  A  \/  0  =  A
)  ->  ( A  <_  1  ->  E. x  e.  RR  ( 0  <_  x  /\  ( x ^
2 )  =  A ) ) ) )
293, 28sylbid 219 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  (
0  <_  A  ->  ( A  <_  1  ->  E. x  e.  RR  (
0  <_  x  /\  ( x ^ 2 )  =  A ) ) ) )
3029imp 431 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
( A  <_  1  ->  E. x  e.  RR  ( 0  <_  x  /\  ( x ^ 2 )  =  A ) ) )
31 0lt1 10143 . . . . . . . . . 10  |-  0  <  1
32 1re 9647 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  RR
33 ltletr 9730 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  (
( 0  <  1  /\  1  <_  A )  ->  0  <  A
) )
341, 32, 33mp3an12 1356 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( 0  <  1  /\  1  <_  A )  ->  0  <  A
) )
3531, 34mpani 683 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  RR  ->  (
1  <_  A  ->  0  <  A ) )
3635imp 431 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  -> 
0  <  A )
374biimpri 210 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A )  ->  A  e.  RR+ )
3836, 37syldan 473 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  ->  A  e.  RR+ )
3938rpreccld 11358 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  -> 
( 1  /  A
)  e.  RR+ )
40 simpr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  -> 
1  <_  A )
41 lerec 10496 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 1  e.  RR  /\  0  <  1 )  /\  ( A  e.  RR  /\  0  < 
A ) )  -> 
( 1  <_  A  <->  ( 1  /  A )  <_  ( 1  / 
1 ) ) )
4232, 31, 41mpanl12 689 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A )  -> 
( 1  <_  A  <->  ( 1  /  A )  <_  ( 1  / 
1 ) ) )
4336, 42syldan 473 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  -> 
( 1  <_  A  <->  ( 1  /  A )  <_  ( 1  / 
1 ) ) )
4440, 43mpbid 214 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  -> 
( 1  /  A
)  <_  ( 1  /  1 ) )
45 1div1e1 10307 . . . . . . 7  |-  ( 1  /  1 )  =  1
4644, 45syl6breq 4445 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  -> 
( 1  /  A
)  <_  1 )
47 01sqrex 13325 . . . . . 6  |-  ( ( ( 1  /  A
)  e.  RR+  /\  (
1  /  A )  <_  1 )  ->  E. y  e.  RR+  (
y  <_  1  /\  ( y ^ 2 )  =  ( 1  /  A ) ) )
4839, 46, 47syl2anc 667 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  ->  E. y  e.  RR+  (
y  <_  1  /\  ( y ^ 2 )  =  ( 1  /  A ) ) )
49 rpre 11315 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR+  ->  y  e.  RR )
50493ad2ant2 1031 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  y  e.  RR+  /\  (
y  <_  1  /\  ( y ^ 2 )  =  ( 1  /  A ) ) )  ->  y  e.  RR )
51 rpgt0 11320 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR+  ->  0  < 
y )
52513ad2ant2 1031 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  y  e.  RR+  /\  (
y  <_  1  /\  ( y ^ 2 )  =  ( 1  /  A ) ) )  ->  0  <  y )
53 gt0ne0 10086 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  RR  /\  0  <  y )  -> 
y  =/=  0 )
54 rereccl 10332 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  RR  /\  y  =/=  0 )  -> 
( 1  /  y
)  e.  RR )
5553, 54syldan 473 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  RR  /\  0  <  y )  -> 
( 1  /  y
)  e.  RR )
5650, 52, 55syl2anc 667 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  y  e.  RR+  /\  (
y  <_  1  /\  ( y ^ 2 )  =  ( 1  /  A ) ) )  ->  ( 1  /  y )  e.  RR )
57 recgt0 10456 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  RR  /\  0  <  y )  -> 
0  <  ( 1  /  y ) )
58 ltle 9727 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( 1  /  y
)  e.  RR )  ->  ( 0  < 
( 1  /  y
)  ->  0  <_  ( 1  /  y ) ) )
591, 58mpan 677 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  /  y )  e.  RR  ->  (
0  <  ( 1  /  y )  -> 
0  <_  ( 1  /  y ) ) )
6055, 57, 59sylc 62 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  RR  /\  0  <  y )  -> 
0  <_  ( 1  /  y ) )
6150, 52, 60syl2anc 667 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  y  e.  RR+  /\  (
y  <_  1  /\  ( y ^ 2 )  =  ( 1  /  A ) ) )  ->  0  <_  ( 1  /  y ) )
62 recn 9634 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  RR  ->  y  e.  CC )
6362adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  RR  /\  0  <  y )  -> 
y  e.  CC )
6463, 53sqrecd 12427 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  RR  /\  0  <  y )  -> 
( ( 1  / 
y ) ^ 2 )  =  ( 1  /  ( y ^
2 ) ) )
6550, 52, 64syl2anc 667 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  y  e.  RR+  /\  (
y  <_  1  /\  ( y ^ 2 )  =  ( 1  /  A ) ) )  ->  ( (
1  /  y ) ^ 2 )  =  ( 1  /  (
y ^ 2 ) ) )
66 simp3r 1038 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  y  e.  RR+  /\  (
y  <_  1  /\  ( y ^ 2 )  =  ( 1  /  A ) ) )  ->  ( y ^ 2 )  =  ( 1  /  A
) )
6766oveq2d 6311 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  y  e.  RR+  /\  (
y  <_  1  /\  ( y ^ 2 )  =  ( 1  /  A ) ) )  ->  ( 1  /  ( y ^
2 ) )  =  ( 1  /  (
1  /  A ) ) )
68 gt0ne0 10086 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A )  ->  A  =/=  0 )
6936, 68syldan 473 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  ->  A  =/=  0 )
70 recn 9634 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  CC )
71 recrec 10311 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( 1  /  (
1  /  A ) )  =  A )
7270, 71sylan 474 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  =/=  0 )  -> 
( 1  /  (
1  /  A ) )  =  A )
7369, 72syldan 473 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  -> 
( 1  /  (
1  /  A ) )  =  A )
74733ad2ant1 1030 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  y  e.  RR+  /\  (
y  <_  1  /\  ( y ^ 2 )  =  ( 1  /  A ) ) )  ->  ( 1  /  ( 1  /  A ) )  =  A )
7565, 67, 743eqtrd 2491 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  y  e.  RR+  /\  (
y  <_  1  /\  ( y ^ 2 )  =  ( 1  /  A ) ) )  ->  ( (
1  /  y ) ^ 2 )  =  A )
76 breq2 4409 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( 1  / 
y )  ->  (
0  <_  x  <->  0  <_  ( 1  /  y ) ) )
77 oveq1 6302 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( 1  / 
y )  ->  (
x ^ 2 )  =  ( ( 1  /  y ) ^
2 ) )
7877eqeq1d 2455 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( 1  / 
y )  ->  (
( x ^ 2 )  =  A  <->  ( (
1  /  y ) ^ 2 )  =  A ) )
7976, 78anbi12d 718 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( 1  / 
y )  ->  (
( 0  <_  x  /\  ( x ^ 2 )  =  A )  <-> 
( 0  <_  (
1  /  y )  /\  ( ( 1  /  y ) ^
2 )  =  A ) ) )
8079rspcev 3152 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 1  /  y
)  e.  RR  /\  ( 0  <_  (
1  /  y )  /\  ( ( 1  /  y ) ^
2 )  =  A ) )  ->  E. x  e.  RR  ( 0  <_  x  /\  ( x ^
2 )  =  A ) )
8156, 61, 75, 80syl12anc 1267 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  y  e.  RR+  /\  (
y  <_  1  /\  ( y ^ 2 )  =  ( 1  /  A ) ) )  ->  E. x  e.  RR  ( 0  <_  x  /\  ( x ^
2 )  =  A ) )
8281rexlimdv3a 2883 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  -> 
( E. y  e.  RR+  ( y  <_  1  /\  ( y ^ 2 )  =  ( 1  /  A ) )  ->  E. x  e.  RR  ( 0  <_  x  /\  ( x ^ 2 )  =  A ) ) )
8348, 82mpd 15 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  ->  E. x  e.  RR  ( 0  <_  x  /\  ( x ^ 2 )  =  A ) )
8483ex 436 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  (
1  <_  A  ->  E. x  e.  RR  (
0  <_  x  /\  ( x ^ 2 )  =  A ) ) )
8584adantr 467 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
( 1  <_  A  ->  E. x  e.  RR  ( 0  <_  x  /\  ( x ^ 2 )  =  A ) ) )
86 simpl 459 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  ->  A  e.  RR )
87 letric 9739 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( A  <_  1  \/  1  <_  A ) )
8886, 32, 87sylancl 669 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
( A  <_  1  \/  1  <_  A ) )
8930, 85, 88mpjaod 383 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  ->  E. x  e.  RR  ( 0  <_  x  /\  ( x ^ 2 )  =  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    \/ wo 370    /\ wa 371    /\ w3a 986    = wceq 1446    e. wcel 1889    =/= wne 2624   E.wrex 2740   class class class wbr 4405  (class class class)co 6295   CCcc 9542   RRcr 9543   0cc0 9544   1c1 9545    < clt 9680    <_ cle 9681    / cdiv 10276   2c2 10666   RR+crp 11309   ^cexp 12279
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621  ax-pre-sup 9622
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6698  df-2nd 6799  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-er 7368  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-sup 7961  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-rp 11310  df-seq 12221  df-exp 12280
This theorem is referenced by:  resqreu  13328  resqrtcl  13329
  Copyright terms: Public domain W3C validator