Theorem resqrex 12011

Description: Existence of a square root for positive reals. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2013.)

Assertion

Ref	Expression
resqrex	|- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> E. x e. RR ( 0 <_ x /\ ( x ^ 2 ) = A ) )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem resqrex

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 9047	. . . . 5 |- 0 e. RR
2		leloe 9117	. . . . 5 |- ( ( 0 e. RR /\ A e. RR ) -> ( 0 <_ A <-> ( 0 < A \/ 0 = A ) ) )
3	1, 2	mpan 652	. . . 4 |- ( A e. RR -> ( 0 <_ A <-> ( 0 < A \/ 0 = A ) ) )
4		elrp 10570	. . . . . . 7 |- ( A e. RR+ <-> ( A e. RR /\ 0 < A ) )
5		01sqrex 12010	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) -> E. x e. RR+ ( x <_ 1 /\ ( x ^ 2 ) = A ) )
6		rprege0 10582	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. RR+ -> ( x e. RR /\ 0 <_ x ) )
7	6	anim1i 552	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. RR+ /\ ( x ^ 2 ) = A ) -> ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) /\ ( x ^ 2 ) = A ) )
8		anass 631	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) /\ ( x ^ 2 ) = A ) <-> ( x e. RR /\ ( 0 <_ x /\ ( x ^ 2 ) = A ) ) )
9	7, 8	sylib 189	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. RR+ /\ ( x ^ 2 ) = A ) -> ( x e. RR /\ ( 0 <_ x /\ ( x ^ 2 ) = A ) ) )
10	9	adantrl 697	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. RR+ /\ ( x <_ 1 /\ ( x ^ 2 ) = A ) ) -> ( x e. RR /\ ( 0 <_ x /\ ( x ^ 2 ) = A ) ) )
11	10	reximi2 2772	. . . . . . . 8 |- ( E. x e. RR+ ( x <_ 1 /\ ( x ^ 2 ) = A ) -> E. x e. RR ( 0 <_ x /\ ( x ^ 2 ) = A ) )
12	5, 11	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) -> E. x e. RR ( 0 <_ x /\ ( x ^ 2 ) = A ) )
13	4, 12	sylanbr 460	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 < A ) /\ A <_ 1 ) -> E. x e. RR ( 0 <_ x /\ ( x ^ 2 ) = A ) )
14	13	exp31 588	. . . . 5 |- ( A e. RR -> ( 0 < A -> ( A <_ 1 -> E. x e. RR ( 0 <_ x /\ ( x ^ 2 ) = A ) ) ) )
15		sq0 11428	. . . . . . . . . 10 |- ( 0 ^ 2 ) = 0
16		id 20	. . . . . . . . . 10 |- ( 0 = A -> 0 = A )
17	15, 16	syl5eq 2448	. . . . . . . . 9 |- ( 0 = A -> ( 0 ^ 2 ) = A )
18		0le0 10037	. . . . . . . . 9 |- 0 <_ 0
19	17, 18	jctil 524	. . . . . . . 8 |- ( 0 = A -> ( 0 <_ 0 /\ ( 0 ^ 2 ) = A ) )
20		breq2 4176	. . . . . . . . . 10 |- ( x = 0 -> ( 0 <_ x <-> 0 <_ 0 ) )
21		oveq1 6047	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = 0 -> ( x ^ 2 ) = ( 0 ^ 2 ) )
22	21	eqeq1d 2412	. . . . . . . . . 10 |- ( x = 0 -> ( ( x ^ 2 ) = A <-> ( 0 ^ 2 ) = A ) )
23	20, 22	anbi12d 692	. . . . . . . . 9 |- ( x = 0 -> ( ( 0 <_ x /\ ( x ^ 2 ) = A ) <-> ( 0 <_ 0 /\ ( 0 ^ 2 ) = A ) ) )
24	23	rspcev 3012	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 e. RR /\ ( 0 <_ 0 /\ ( 0 ^ 2 ) = A ) ) -> E. x e. RR ( 0 <_ x /\ ( x ^ 2 ) = A ) )
25	1, 19, 24	sylancr 645	. . . . . . 7 |- ( 0 = A -> E. x e. RR ( 0 <_ x /\ ( x ^ 2 ) = A ) )
26	25	a1d 23	. . . . . 6 |- ( 0 = A -> ( A <_ 1 -> E. x e. RR ( 0 <_ x /\ ( x ^ 2 ) = A ) ) )
27	26	a1i 11	. . . . 5 |- ( A e. RR -> ( 0 = A -> ( A <_ 1 -> E. x e. RR ( 0 <_ x /\ ( x ^ 2 ) = A ) ) ) )
28	14, 27	jaod 370	. . . 4 |- ( A e. RR -> ( ( 0 < A \/ 0 = A ) -> ( A <_ 1 -> E. x e. RR ( 0 <_ x /\ ( x ^ 2 ) = A ) ) ) )
29	3, 28	sylbid 207	. . 3 |- ( A e. RR -> ( 0 <_ A -> ( A <_ 1 -> E. x e. RR ( 0 <_ x /\ ( x ^ 2 ) = A ) ) ) )
30	29	imp 419	. 2 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> ( A <_ 1 -> E. x e. RR ( 0 <_ x /\ ( x ^ 2 ) = A ) ) )
31		0lt1 9506	. . . . . . . . . 10 |- 0 < 1
32		1re 9046	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. RR
33		ltletr 9122	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 0 e. RR /\ 1 e. RR /\ A e. RR ) -> ( ( 0 < 1 /\ 1 <_ A ) -> 0 < A ) )
34	1, 32, 33	mp3an12 1269	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. RR -> ( ( 0 < 1 /\ 1 <_ A ) -> 0 < A ) )
35	31, 34	mpani 658	. . . . . . . . 9 |- ( A e. RR -> ( 1 <_ A -> 0 < A ) )
36	35	imp 419	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) -> 0 < A )
37	4	biimpri 198	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR /\ 0 < A ) -> A e. RR+ )
38	36, 37	syldan 457	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) -> A e. RR+ )
39	38	rpreccld 10614	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) -> ( 1 / A ) e. RR+ )
40		simpr 448	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) -> 1 <_ A )
41		lerec 9848	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 1 e. RR /\ 0 < 1 ) /\ ( A e. RR /\ 0 < A ) ) -> ( 1 <_ A <-> ( 1 / A ) <_ ( 1 / 1 ) ) )
42	32, 31, 41	mpanl12 664	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR /\ 0 < A ) -> ( 1 <_ A <-> ( 1 / A ) <_ ( 1 / 1 ) ) )
43	36, 42	syldan 457	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) -> ( 1 <_ A <-> ( 1 / A ) <_ ( 1 / 1 ) ) )
44	40, 43	mpbid 202	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) -> ( 1 / A ) <_ ( 1 / 1 ) )
45		ax-1cn 9004	. . . . . . . 8 |- 1 e. CC
46	45	div1i 9698	. . . . . . 7 |- ( 1 / 1 ) = 1
47	44, 46	syl6breq 4211	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) -> ( 1 / A ) <_ 1 )
48		01sqrex 12010	. . . . . 6 |- ( ( ( 1 / A ) e. RR+ /\ ( 1 / A ) <_ 1 ) -> E. y e. RR+ ( y <_ 1 /\ ( y ^ 2 ) = ( 1 / A ) ) )
49	39, 47, 48	syl2anc 643	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) -> E. y e. RR+ ( y <_ 1 /\ ( y ^ 2 ) = ( 1 / A ) ) )
50		rpre 10574	. . . . . . . . 9 |- ( y e. RR+ -> y e. RR )
51	50	3ad2ant2 979	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ y e. RR+ /\ ( y <_ 1 /\ ( y ^ 2 ) = ( 1 / A ) ) ) -> y e. RR )
52		rpgt0 10579	. . . . . . . . 9 |- ( y e. RR+ -> 0 < y )
53	52	3ad2ant2 979	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ y e. RR+ /\ ( y <_ 1 /\ ( y ^ 2 ) = ( 1 / A ) ) ) -> 0 < y )
54		gt0ne0 9449	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. RR /\ 0 < y ) -> y =/= 0 )
55		rereccl 9688	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. RR /\ y =/= 0 ) -> ( 1 / y ) e. RR )
56	54, 55	syldan 457	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. RR /\ 0 < y ) -> ( 1 / y ) e. RR )
57	51, 53, 56	syl2anc 643	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ y e. RR+ /\ ( y <_ 1 /\ ( y ^ 2 ) = ( 1 / A ) ) ) -> ( 1 / y ) e. RR )
58		recgt0 9810	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. RR /\ 0 < y ) -> 0 < ( 1 / y ) )
59		ltle 9119	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 e. RR /\ ( 1 / y ) e. RR ) -> ( 0 < ( 1 / y ) -> 0 <_ ( 1 / y ) ) )
60	1, 59	mpan 652	. . . . . . . . 9 |- ( ( 1 / y ) e. RR -> ( 0 < ( 1 / y ) -> 0 <_ ( 1 / y ) ) )
61	56, 58, 60	sylc 58	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. RR /\ 0 < y ) -> 0 <_ ( 1 / y ) )
62	51, 53, 61	syl2anc 643	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ y e. RR+ /\ ( y <_ 1 /\ ( y ^ 2 ) = ( 1 / A ) ) ) -> 0 <_ ( 1 / y ) )
63		recn 9036	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. RR -> y e. CC )
64	63	adantr 452	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. RR /\ 0 < y ) -> y e. CC )
65	64, 54	sqrecd 11482	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. RR /\ 0 < y ) -> ( ( 1 / y ) ^ 2 ) = ( 1 / ( y ^ 2 ) ) )
66	51, 53, 65	syl2anc 643	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ y e. RR+ /\ ( y <_ 1 /\ ( y ^ 2 ) = ( 1 / A ) ) ) -> ( ( 1 / y ) ^ 2 ) = ( 1 / ( y ^ 2 ) ) )
67		simp3r 986	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ y e. RR+ /\ ( y <_ 1 /\ ( y ^ 2 ) = ( 1 / A ) ) ) -> ( y ^ 2 ) = ( 1 / A ) )
68	67	oveq2d 6056	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ y e. RR+ /\ ( y <_ 1 /\ ( y ^ 2 ) = ( 1 / A ) ) ) -> ( 1 / ( y ^ 2 ) ) = ( 1 / ( 1 / A ) ) )
69		gt0ne0 9449	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. RR /\ 0 < A ) -> A =/= 0 )
70	36, 69	syldan 457	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) -> A =/= 0 )
71		recn 9036	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. RR -> A e. CC )
72		recrec 9667	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 ) -> ( 1 / ( 1 / A ) ) = A )
73	71, 72	sylan 458	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. RR /\ A =/= 0 ) -> ( 1 / ( 1 / A ) ) = A )
74	70, 73	syldan 457	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) -> ( 1 / ( 1 / A ) ) = A )
75	74	3ad2ant1 978	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ y e. RR+ /\ ( y <_ 1 /\ ( y ^ 2 ) = ( 1 / A ) ) ) -> ( 1 / ( 1 / A ) ) = A )
76	66, 68, 75	3eqtrd 2440	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ y e. RR+ /\ ( y <_ 1 /\ ( y ^ 2 ) = ( 1 / A ) ) ) -> ( ( 1 / y ) ^ 2 ) = A )
77		breq2 4176	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( 1 / y ) -> ( 0 <_ x <-> 0 <_ ( 1 / y ) ) )
78		oveq1 6047	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( 1 / y ) -> ( x ^ 2 ) = ( ( 1 / y ) ^ 2 ) )
79	78	eqeq1d 2412	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( 1 / y ) -> ( ( x ^ 2 ) = A <-> ( ( 1 / y ) ^ 2 ) = A ) )
80	77, 79	anbi12d 692	. . . . . . . 8 |- ( x = ( 1 / y ) -> ( ( 0 <_ x /\ ( x ^ 2 ) = A ) <-> ( 0 <_ ( 1 / y ) /\ ( ( 1 / y ) ^ 2 ) = A ) ) )
81	80	rspcev 3012	. . . . . . 7 |- ( ( ( 1 / y ) e. RR /\ ( 0 <_ ( 1 / y ) /\ ( ( 1 / y ) ^ 2 ) = A ) ) -> E. x e. RR ( 0 <_ x /\ ( x ^ 2 ) = A ) )
82	57, 62, 76, 81	syl12anc 1182	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ y e. RR+ /\ ( y <_ 1 /\ ( y ^ 2 ) = ( 1 / A ) ) ) -> E. x e. RR ( 0 <_ x /\ ( x ^ 2 ) = A ) )
83	82	rexlimdv3a 2792	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) -> ( E. y e. RR+ ( y <_ 1 /\ ( y ^ 2 ) = ( 1 / A ) ) -> E. x e. RR ( 0 <_ x /\ ( x ^ 2 ) = A ) ) )
84	49, 83	mpd 15	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) -> E. x e. RR ( 0 <_ x /\ ( x ^ 2 ) = A ) )
85	84	ex 424	. . 3 |- ( A e. RR -> ( 1 <_ A -> E. x e. RR ( 0 <_ x /\ ( x ^ 2 ) = A ) ) )
86	85	adantr 452	. 2 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> ( 1 <_ A -> E. x e. RR ( 0 <_ x /\ ( x ^ 2 ) = A ) ) )
87		simpl 444	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> A e. RR )
88		letric 9130	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( A <_ 1 \/ 1 <_ A ) )
89	87, 32, 88	sylancl 644	. 2 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> ( A <_ 1 \/ 1 <_ A ) )
90	30, 86, 89	mpjaod 371	1 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> E. x e. RR ( 0 <_ x /\ ( x ^ 2 ) = A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 177   \/ wo 358   /\ wa 359   /\ w3a 936   = wceq 1649   e. wcel 1721   =/= wne 2567   E.wrex 2667   class class class wbr 4172  (class class class)co 6040   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947   < clt 9076   <_ cle 9077   / cdiv 9633   2c2 10005   RR+crp 10568   ^cexp 11337

This theorem is referenced by:  resqreu  12013  resqrcl  12014

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-sup 7404  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-rp 10569  df-seq 11279  df-exp 11338