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Theorem resqrex 12011
Description: Existence of a square root for positive reals. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2013.)
Assertion
Ref Expression
resqrex  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  ->  E. x  e.  RR  ( 0  <_  x  /\  ( x ^ 2 )  =  A ) )
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem resqrex
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0re 9047 . . . . 5  |-  0  e.  RR
2 leloe 9117 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( 0  <_  A  <->  ( 0  <  A  \/  0  =  A )
) )
31, 2mpan 652 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  (
0  <_  A  <->  ( 0  <  A  \/  0  =  A ) ) )
4 elrp 10570 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR+  <->  ( A  e.  RR  /\  0  < 
A ) )
5 01sqrex 12010 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  E. x  e.  RR+  ( x  <_ 
1  /\  ( x ^ 2 )  =  A ) )
6 rprege0 10582 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )
76anim1i 552 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  (
x ^ 2 )  =  A )  -> 
( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  /\  (
x ^ 2 )  =  A ) )
8 anass 631 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  /\  ( x ^ 2 )  =  A )  <-> 
( x  e.  RR  /\  ( 0  <_  x  /\  ( x ^ 2 )  =  A ) ) )
97, 8sylib 189 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  (
x ^ 2 )  =  A )  -> 
( x  e.  RR  /\  ( 0  <_  x  /\  ( x ^ 2 )  =  A ) ) )
109adantrl 697 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  (
x  <_  1  /\  ( x ^ 2 )  =  A ) )  ->  ( x  e.  RR  /\  ( 0  <_  x  /\  (
x ^ 2 )  =  A ) ) )
1110reximi2 2772 . . . . . . . 8  |-  ( E. x  e.  RR+  (
x  <_  1  /\  ( x ^ 2 )  =  A )  ->  E. x  e.  RR  ( 0  <_  x  /\  ( x ^ 2 )  =  A ) )
125, 11syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  E. x  e.  RR  ( 0  <_  x  /\  ( x ^
2 )  =  A ) )
134, 12sylanbr 460 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A )  /\  A  <_  1
)  ->  E. x  e.  RR  ( 0  <_  x  /\  ( x ^
2 )  =  A ) )
1413exp31 588 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  (
0  <  A  ->  ( A  <_  1  ->  E. x  e.  RR  (
0  <_  x  /\  ( x ^ 2 )  =  A ) ) ) )
15 sq0 11428 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0 ^ 2 )  =  0
16 id 20 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0  =  A  ->  0  =  A )
1715, 16syl5eq 2448 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  =  A  ->  (
0 ^ 2 )  =  A )
18 0le0 10037 . . . . . . . . 9  |-  0  <_  0
1917, 18jctil 524 . . . . . . . 8  |-  ( 0  =  A  ->  (
0  <_  0  /\  ( 0 ^ 2 )  =  A ) )
20 breq2 4176 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  0  ->  (
0  <_  x  <->  0  <_  0 ) )
21 oveq1 6047 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  0  ->  (
x ^ 2 )  =  ( 0 ^ 2 ) )
2221eqeq1d 2412 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  0  ->  (
( x ^ 2 )  =  A  <->  ( 0 ^ 2 )  =  A ) )
2320, 22anbi12d 692 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  0  ->  (
( 0  <_  x  /\  ( x ^ 2 )  =  A )  <-> 
( 0  <_  0  /\  ( 0 ^ 2 )  =  A ) ) )
2423rspcev 3012 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( 0  <_  0  /\  ( 0 ^ 2 )  =  A ) )  ->  E. x  e.  RR  ( 0  <_  x  /\  ( x ^
2 )  =  A ) )
251, 19, 24sylancr 645 . . . . . . 7  |-  ( 0  =  A  ->  E. x  e.  RR  ( 0  <_  x  /\  ( x ^
2 )  =  A ) )
2625a1d 23 . . . . . 6  |-  ( 0  =  A  ->  ( A  <_  1  ->  E. x  e.  RR  ( 0  <_  x  /\  ( x ^
2 )  =  A ) ) )
2726a1i 11 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  (
0  =  A  -> 
( A  <_  1  ->  E. x  e.  RR  ( 0  <_  x  /\  ( x ^ 2 )  =  A ) ) ) )
2814, 27jaod 370 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( 0  <  A  \/  0  =  A
)  ->  ( A  <_  1  ->  E. x  e.  RR  ( 0  <_  x  /\  ( x ^
2 )  =  A ) ) ) )
293, 28sylbid 207 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  (
0  <_  A  ->  ( A  <_  1  ->  E. x  e.  RR  (
0  <_  x  /\  ( x ^ 2 )  =  A ) ) ) )
3029imp 419 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
( A  <_  1  ->  E. x  e.  RR  ( 0  <_  x  /\  ( x ^ 2 )  =  A ) ) )
31 0lt1 9506 . . . . . . . . . 10  |-  0  <  1
32 1re 9046 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  RR
33 ltletr 9122 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  (
( 0  <  1  /\  1  <_  A )  ->  0  <  A
) )
341, 32, 33mp3an12 1269 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( 0  <  1  /\  1  <_  A )  ->  0  <  A
) )
3531, 34mpani 658 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  RR  ->  (
1  <_  A  ->  0  <  A ) )
3635imp 419 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  -> 
0  <  A )
374biimpri 198 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A )  ->  A  e.  RR+ )
3836, 37syldan 457 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  ->  A  e.  RR+ )
3938rpreccld 10614 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  -> 
( 1  /  A
)  e.  RR+ )
40 simpr 448 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  -> 
1  <_  A )
41 lerec 9848 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 1  e.  RR  /\  0  <  1 )  /\  ( A  e.  RR  /\  0  < 
A ) )  -> 
( 1  <_  A  <->  ( 1  /  A )  <_  ( 1  / 
1 ) ) )
4232, 31, 41mpanl12 664 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A )  -> 
( 1  <_  A  <->  ( 1  /  A )  <_  ( 1  / 
1 ) ) )
4336, 42syldan 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  -> 
( 1  <_  A  <->  ( 1  /  A )  <_  ( 1  / 
1 ) ) )
4440, 43mpbid 202 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  -> 
( 1  /  A
)  <_  ( 1  /  1 ) )
45 ax-1cn 9004 . . . . . . . 8  |-  1  e.  CC
4645div1i 9698 . . . . . . 7  |-  ( 1  /  1 )  =  1
4744, 46syl6breq 4211 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  -> 
( 1  /  A
)  <_  1 )
48 01sqrex 12010 . . . . . 6  |-  ( ( ( 1  /  A
)  e.  RR+  /\  (
1  /  A )  <_  1 )  ->  E. y  e.  RR+  (
y  <_  1  /\  ( y ^ 2 )  =  ( 1  /  A ) ) )
4939, 47, 48syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  ->  E. y  e.  RR+  (
y  <_  1  /\  ( y ^ 2 )  =  ( 1  /  A ) ) )
50 rpre 10574 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR+  ->  y  e.  RR )
51503ad2ant2 979 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  y  e.  RR+  /\  (
y  <_  1  /\  ( y ^ 2 )  =  ( 1  /  A ) ) )  ->  y  e.  RR )
52 rpgt0 10579 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR+  ->  0  < 
y )
53523ad2ant2 979 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  y  e.  RR+  /\  (
y  <_  1  /\  ( y ^ 2 )  =  ( 1  /  A ) ) )  ->  0  <  y )
54 gt0ne0 9449 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  RR  /\  0  <  y )  -> 
y  =/=  0 )
55 rereccl 9688 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  RR  /\  y  =/=  0 )  -> 
( 1  /  y
)  e.  RR )
5654, 55syldan 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  RR  /\  0  <  y )  -> 
( 1  /  y
)  e.  RR )
5751, 53, 56syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  y  e.  RR+  /\  (
y  <_  1  /\  ( y ^ 2 )  =  ( 1  /  A ) ) )  ->  ( 1  /  y )  e.  RR )
58 recgt0 9810 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  RR  /\  0  <  y )  -> 
0  <  ( 1  /  y ) )
59 ltle 9119 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( 1  /  y
)  e.  RR )  ->  ( 0  < 
( 1  /  y
)  ->  0  <_  ( 1  /  y ) ) )
601, 59mpan 652 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  /  y )  e.  RR  ->  (
0  <  ( 1  /  y )  -> 
0  <_  ( 1  /  y ) ) )
6156, 58, 60sylc 58 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  RR  /\  0  <  y )  -> 
0  <_  ( 1  /  y ) )
6251, 53, 61syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  y  e.  RR+  /\  (
y  <_  1  /\  ( y ^ 2 )  =  ( 1  /  A ) ) )  ->  0  <_  ( 1  /  y ) )
63 recn 9036 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  RR  ->  y  e.  CC )
6463adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  RR  /\  0  <  y )  -> 
y  e.  CC )
6564, 54sqrecd 11482 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  RR  /\  0  <  y )  -> 
( ( 1  / 
y ) ^ 2 )  =  ( 1  /  ( y ^
2 ) ) )
6651, 53, 65syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  y  e.  RR+  /\  (
y  <_  1  /\  ( y ^ 2 )  =  ( 1  /  A ) ) )  ->  ( (
1  /  y ) ^ 2 )  =  ( 1  /  (
y ^ 2 ) ) )
67 simp3r 986 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  y  e.  RR+  /\  (
y  <_  1  /\  ( y ^ 2 )  =  ( 1  /  A ) ) )  ->  ( y ^ 2 )  =  ( 1  /  A
) )
6867oveq2d 6056 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  y  e.  RR+  /\  (
y  <_  1  /\  ( y ^ 2 )  =  ( 1  /  A ) ) )  ->  ( 1  /  ( y ^
2 ) )  =  ( 1  /  (
1  /  A ) ) )
69 gt0ne0 9449 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A )  ->  A  =/=  0 )
7036, 69syldan 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  ->  A  =/=  0 )
71 recn 9036 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  CC )
72 recrec 9667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( 1  /  (
1  /  A ) )  =  A )
7371, 72sylan 458 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  =/=  0 )  -> 
( 1  /  (
1  /  A ) )  =  A )
7470, 73syldan 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  -> 
( 1  /  (
1  /  A ) )  =  A )
75743ad2ant1 978 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  y  e.  RR+  /\  (
y  <_  1  /\  ( y ^ 2 )  =  ( 1  /  A ) ) )  ->  ( 1  /  ( 1  /  A ) )  =  A )
7666, 68, 753eqtrd 2440 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  y  e.  RR+  /\  (
y  <_  1  /\  ( y ^ 2 )  =  ( 1  /  A ) ) )  ->  ( (
1  /  y ) ^ 2 )  =  A )
77 breq2 4176 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( 1  / 
y )  ->  (
0  <_  x  <->  0  <_  ( 1  /  y ) ) )
78 oveq1 6047 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( 1  / 
y )  ->  (
x ^ 2 )  =  ( ( 1  /  y ) ^
2 ) )
7978eqeq1d 2412 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( 1  / 
y )  ->  (
( x ^ 2 )  =  A  <->  ( (
1  /  y ) ^ 2 )  =  A ) )
8077, 79anbi12d 692 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( 1  / 
y )  ->  (
( 0  <_  x  /\  ( x ^ 2 )  =  A )  <-> 
( 0  <_  (
1  /  y )  /\  ( ( 1  /  y ) ^
2 )  =  A ) ) )
8180rspcev 3012 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 1  /  y
)  e.  RR  /\  ( 0  <_  (
1  /  y )  /\  ( ( 1  /  y ) ^
2 )  =  A ) )  ->  E. x  e.  RR  ( 0  <_  x  /\  ( x ^
2 )  =  A ) )
8257, 62, 76, 81syl12anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  y  e.  RR+  /\  (
y  <_  1  /\  ( y ^ 2 )  =  ( 1  /  A ) ) )  ->  E. x  e.  RR  ( 0  <_  x  /\  ( x ^
2 )  =  A ) )
8382rexlimdv3a 2792 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  -> 
( E. y  e.  RR+  ( y  <_  1  /\  ( y ^ 2 )  =  ( 1  /  A ) )  ->  E. x  e.  RR  ( 0  <_  x  /\  ( x ^ 2 )  =  A ) ) )
8449, 83mpd 15 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  ->  E. x  e.  RR  ( 0  <_  x  /\  ( x ^ 2 )  =  A ) )
8584ex 424 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  (
1  <_  A  ->  E. x  e.  RR  (
0  <_  x  /\  ( x ^ 2 )  =  A ) ) )
8685adantr 452 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
( 1  <_  A  ->  E. x  e.  RR  ( 0  <_  x  /\  ( x ^ 2 )  =  A ) ) )
87 simpl 444 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  ->  A  e.  RR )
88 letric 9130 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( A  <_  1  \/  1  <_  A ) )
8987, 32, 88sylancl 644 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
( A  <_  1  \/  1  <_  A ) )
9030, 86, 89mpjaod 371 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  ->  E. x  e.  RR  ( 0  <_  x  /\  ( x ^ 2 )  =  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   E.wrex 2667   class class class wbr 4172  (class class class)co 6040   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947    < clt 9076    <_ cle 9077    / cdiv 9633   2c2 10005   RR+crp 10568   ^cexp 11337
This theorem is referenced by:  resqreu  12013  resqrcl  12014
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-sup 7404  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-rp 10569  df-seq 11279  df-exp 11338
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