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Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > resqrex | Structured version Visualization version Unicode version |
Description: Existence of a square root for positive reals. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2013.) |
Ref | Expression |
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resqrex |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | 0re 9648 |
. . . . 5
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2 | leloe 9725 |
. . . . 5
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3 | 1, 2 | mpan 677 |
. . . 4
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4 | elrp 11311 |
. . . . . . 7
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5 | 01sqrex 13325 |
. . . . . . . 8
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6 | rprege0 11323 |
. . . . . . . . . . . 12
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7 | 6 | anim1i 572 |
. . . . . . . . . . 11
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8 | anass 655 |
. . . . . . . . . . 11
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9 | 7, 8 | sylib 200 |
. . . . . . . . . 10
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10 | 9 | adantrl 723 |
. . . . . . . . 9
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11 | 10 | reximi2 2856 |
. . . . . . . 8
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12 | 5, 11 | syl 17 |
. . . . . . 7
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13 | 4, 12 | sylanbr 476 |
. . . . . 6
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14 | 13 | exp31 609 |
. . . . 5
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15 | sq0 12373 |
. . . . . . . . . 10
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16 | id 22 |
. . . . . . . . . 10
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17 | 15, 16 | syl5eq 2499 |
. . . . . . . . 9
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18 | 0le0 10706 |
. . . . . . . . 9
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19 | 17, 18 | jctil 540 |
. . . . . . . 8
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20 | breq2 4409 |
. . . . . . . . . 10
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21 | oveq1 6302 |
. . . . . . . . . . 11
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22 | 21 | eqeq1d 2455 |
. . . . . . . . . 10
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23 | 20, 22 | anbi12d 718 |
. . . . . . . . 9
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24 | 23 | rspcev 3152 |
. . . . . . . 8
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25 | 1, 19, 24 | sylancr 670 |
. . . . . . 7
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26 | 25 | a1d 26 |
. . . . . 6
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27 | 26 | a1i 11 |
. . . . 5
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28 | 14, 27 | jaod 382 |
. . . 4
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29 | 3, 28 | sylbid 219 |
. . 3
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30 | 29 | imp 431 |
. 2
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31 | 0lt1 10143 |
. . . . . . . . . 10
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32 | 1re 9647 |
. . . . . . . . . . 11
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33 | ltletr 9730 |
. . . . . . . . . . 11
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34 | 1, 32, 33 | mp3an12 1356 |
. . . . . . . . . 10
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35 | 31, 34 | mpani 683 |
. . . . . . . . 9
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36 | 35 | imp 431 |
. . . . . . . 8
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37 | 4 | biimpri 210 |
. . . . . . . 8
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38 | 36, 37 | syldan 473 |
. . . . . . 7
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39 | 38 | rpreccld 11358 |
. . . . . 6
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40 | simpr 463 |
. . . . . . . 8
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41 | lerec 10496 |
. . . . . . . . . 10
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42 | 32, 31, 41 | mpanl12 689 |
. . . . . . . . 9
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43 | 36, 42 | syldan 473 |
. . . . . . . 8
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44 | 40, 43 | mpbid 214 |
. . . . . . 7
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45 | 1div1e1 10307 |
. . . . . . 7
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46 | 44, 45 | syl6breq 4445 |
. . . . . 6
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47 | 01sqrex 13325 |
. . . . . 6
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48 | 39, 46, 47 | syl2anc 667 |
. . . . 5
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49 | rpre 11315 |
. . . . . . . . 9
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50 | 49 | 3ad2ant2 1031 |
. . . . . . . 8
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51 | rpgt0 11320 |
. . . . . . . . 9
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52 | 51 | 3ad2ant2 1031 |
. . . . . . . 8
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53 | gt0ne0 10086 |
. . . . . . . . 9
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54 | rereccl 10332 |
. . . . . . . . 9
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55 | 53, 54 | syldan 473 |
. . . . . . . 8
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56 | 50, 52, 55 | syl2anc 667 |
. . . . . . 7
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57 | recgt0 10456 |
. . . . . . . . 9
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58 | ltle 9727 |
. . . . . . . . . 10
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59 | 1, 58 | mpan 677 |
. . . . . . . . 9
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60 | 55, 57, 59 | sylc 62 |
. . . . . . . 8
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61 | 50, 52, 60 | syl2anc 667 |
. . . . . . 7
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62 | recn 9634 |
. . . . . . . . . . 11
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63 | 62 | adantr 467 |
. . . . . . . . . 10
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64 | 63, 53 | sqrecd 12427 |
. . . . . . . . 9
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65 | 50, 52, 64 | syl2anc 667 |
. . . . . . . 8
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66 | simp3r 1038 |
. . . . . . . . 9
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67 | 66 | oveq2d 6311 |
. . . . . . . 8
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68 | gt0ne0 10086 |
. . . . . . . . . . 11
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69 | 36, 68 | syldan 473 |
. . . . . . . . . 10
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70 | recn 9634 |
. . . . . . . . . . 11
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71 | recrec 10311 |
. . . . . . . . . . 11
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72 | 70, 71 | sylan 474 |
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73 | 69, 72 | syldan 473 |
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74 | 73 | 3ad2ant1 1030 |
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75 | 65, 67, 74 | 3eqtrd 2491 |
. . . . . . 7
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76 | breq2 4409 |
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77 | oveq1 6302 |
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78 | 77 | eqeq1d 2455 |
. . . . . . . . 9
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79 | 76, 78 | anbi12d 718 |
. . . . . . . 8
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80 | 79 | rspcev 3152 |
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81 | 56, 61, 75, 80 | syl12anc 1267 |
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82 | 81 | rexlimdv3a 2883 |
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83 | 48, 82 | mpd 15 |
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84 | 83 | ex 436 |
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85 | 84 | adantr 467 |
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86 | simpl 459 |
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87 | letric 9739 |
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88 | 86, 32, 87 | sylancl 669 |
. 2
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89 | 30, 85, 88 | mpjaod 383 |
1
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Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1671 ax-4 1684 ax-5 1760 ax-6 1807 ax-7 1853 ax-8 1891 ax-9 1898 ax-10 1917 ax-11 1922 ax-12 1935 ax-13 2093 ax-ext 2433 ax-sep 4528 ax-nul 4537 ax-pow 4584 ax-pr 4642 ax-un 6588 ax-cnex 9600 ax-resscn 9601 ax-1cn 9602 ax-icn 9603 ax-addcl 9604 ax-addrcl 9605 ax-mulcl 9606 ax-mulrcl 9607 ax-mulcom 9608 ax-addass 9609 ax-mulass 9610 ax-distr 9611 ax-i2m1 9612 ax-1ne0 9613 ax-1rid 9614 ax-rnegex 9615 ax-rrecex 9616 ax-cnre 9617 ax-pre-lttri 9618 ax-pre-lttrn 9619 ax-pre-ltadd 9620 ax-pre-mulgt0 9621 ax-pre-sup 9622 |
This theorem depends on definitions: df-bi 189 df-or 372 df-an 373 df-3or 987 df-3an 988 df-tru 1449 df-ex 1666 df-nf 1670 df-sb 1800 df-eu 2305 df-mo 2306 df-clab 2440 df-cleq 2446 df-clel 2449 df-nfc 2583 df-ne 2626 df-nel 2627 df-ral 2744 df-rex 2745 df-reu 2746 df-rmo 2747 df-rab 2748 df-v 3049 df-sbc 3270 df-csb 3366 df-dif 3409 df-un 3411 df-in 3413 df-ss 3420 df-pss 3422 df-nul 3734 df-if 3884 df-pw 3955 df-sn 3971 df-pr 3973 df-tp 3975 df-op 3977 df-uni 4202 df-iun 4283 df-br 4406 df-opab 4465 df-mpt 4466 df-tr 4501 df-eprel 4748 df-id 4752 df-po 4758 df-so 4759 df-fr 4796 df-we 4798 df-xp 4843 df-rel 4844 df-cnv 4845 df-co 4846 df-dm 4847 df-rn 4848 df-res 4849 df-ima 4850 df-pred 5383 df-ord 5429 df-on 5430 df-lim 5431 df-suc 5432 df-iota 5549 df-fun 5587 df-fn 5588 df-f 5589 df-f1 5590 df-fo 5591 df-f1o 5592 df-fv 5593 df-riota 6257 df-ov 6298 df-oprab 6299 df-mpt2 6300 df-om 6698 df-2nd 6799 df-wrecs 7033 df-recs 7095 df-rdg 7133 df-er 7368 df-en 7575 df-dom 7576 df-sdom 7577 df-sup 7961 df-pnf 9682 df-mnf 9683 df-xr 9684 df-ltxr 9685 df-le 9686 df-sub 9867 df-neg 9868 df-div 10277 df-nn 10617 df-2 10675 df-3 10676 df-n0 10877 df-z 10945 df-uz 11167 df-rp 11310 df-seq 12221 df-exp 12280 |
This theorem is referenced by: resqreu 13328 resqrtcl 13329 |
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