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Theorem resqrex 12724
Description: Existence of a square root for positive reals. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2013.)
Assertion
Ref Expression
resqrex  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  ->  E. x  e.  RR  ( 0  <_  x  /\  ( x ^ 2 )  =  A ) )
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem resqrex
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0re 9374 . . . . 5  |-  0  e.  RR
2 leloe 9449 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( 0  <_  A  <->  ( 0  <  A  \/  0  =  A )
) )
31, 2mpan 663 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  (
0  <_  A  <->  ( 0  <  A  \/  0  =  A ) ) )
4 elrp 10981 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR+  <->  ( A  e.  RR  /\  0  < 
A ) )
5 01sqrex 12723 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  E. x  e.  RR+  ( x  <_ 
1  /\  ( x ^ 2 )  =  A ) )
6 rprege0 10993 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )
76anim1i 563 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  (
x ^ 2 )  =  A )  -> 
( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  /\  (
x ^ 2 )  =  A ) )
8 anass 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  /\  ( x ^ 2 )  =  A )  <-> 
( x  e.  RR  /\  ( 0  <_  x  /\  ( x ^ 2 )  =  A ) ) )
97, 8sylib 196 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  (
x ^ 2 )  =  A )  -> 
( x  e.  RR  /\  ( 0  <_  x  /\  ( x ^ 2 )  =  A ) ) )
109adantrl 708 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  (
x  <_  1  /\  ( x ^ 2 )  =  A ) )  ->  ( x  e.  RR  /\  ( 0  <_  x  /\  (
x ^ 2 )  =  A ) ) )
1110reximi2 2812 . . . . . . . 8  |-  ( E. x  e.  RR+  (
x  <_  1  /\  ( x ^ 2 )  =  A )  ->  E. x  e.  RR  ( 0  <_  x  /\  ( x ^ 2 )  =  A ) )
125, 11syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  E. x  e.  RR  ( 0  <_  x  /\  ( x ^
2 )  =  A ) )
134, 12sylanbr 470 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A )  /\  A  <_  1
)  ->  E. x  e.  RR  ( 0  <_  x  /\  ( x ^
2 )  =  A ) )
1413exp31 599 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  (
0  <  A  ->  ( A  <_  1  ->  E. x  e.  RR  (
0  <_  x  /\  ( x ^ 2 )  =  A ) ) ) )
15 sq0 11941 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0 ^ 2 )  =  0
16 id 22 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0  =  A  ->  0  =  A )
1715, 16syl5eq 2477 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  =  A  ->  (
0 ^ 2 )  =  A )
18 0le0 10399 . . . . . . . . 9  |-  0  <_  0
1917, 18jctil 534 . . . . . . . 8  |-  ( 0  =  A  ->  (
0  <_  0  /\  ( 0 ^ 2 )  =  A ) )
20 breq2 4284 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  0  ->  (
0  <_  x  <->  0  <_  0 ) )
21 oveq1 6087 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  0  ->  (
x ^ 2 )  =  ( 0 ^ 2 ) )
2221eqeq1d 2441 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  0  ->  (
( x ^ 2 )  =  A  <->  ( 0 ^ 2 )  =  A ) )
2320, 22anbi12d 703 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  0  ->  (
( 0  <_  x  /\  ( x ^ 2 )  =  A )  <-> 
( 0  <_  0  /\  ( 0 ^ 2 )  =  A ) ) )
2423rspcev 3062 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( 0  <_  0  /\  ( 0 ^ 2 )  =  A ) )  ->  E. x  e.  RR  ( 0  <_  x  /\  ( x ^
2 )  =  A ) )
251, 19, 24sylancr 656 . . . . . . 7  |-  ( 0  =  A  ->  E. x  e.  RR  ( 0  <_  x  /\  ( x ^
2 )  =  A ) )
2625a1d 25 . . . . . 6  |-  ( 0  =  A  ->  ( A  <_  1  ->  E. x  e.  RR  ( 0  <_  x  /\  ( x ^
2 )  =  A ) ) )
2726a1i 11 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  (
0  =  A  -> 
( A  <_  1  ->  E. x  e.  RR  ( 0  <_  x  /\  ( x ^ 2 )  =  A ) ) ) )
2814, 27jaod 380 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( 0  <  A  \/  0  =  A
)  ->  ( A  <_  1  ->  E. x  e.  RR  ( 0  <_  x  /\  ( x ^
2 )  =  A ) ) ) )
293, 28sylbid 215 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  (
0  <_  A  ->  ( A  <_  1  ->  E. x  e.  RR  (
0  <_  x  /\  ( x ^ 2 )  =  A ) ) ) )
3029imp 429 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
( A  <_  1  ->  E. x  e.  RR  ( 0  <_  x  /\  ( x ^ 2 )  =  A ) ) )
31 0lt1 9850 . . . . . . . . . 10  |-  0  <  1
32 1re 9373 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  RR
33 ltletr 9454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  (
( 0  <  1  /\  1  <_  A )  ->  0  <  A
) )
341, 32, 33mp3an12 1297 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( 0  <  1  /\  1  <_  A )  ->  0  <  A
) )
3531, 34mpani 669 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  RR  ->  (
1  <_  A  ->  0  <  A ) )
3635imp 429 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  -> 
0  <  A )
374biimpri 206 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A )  ->  A  e.  RR+ )
3836, 37syldan 467 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  ->  A  e.  RR+ )
3938rpreccld 11025 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  -> 
( 1  /  A
)  e.  RR+ )
40 simpr 458 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  -> 
1  <_  A )
41 lerec 10202 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 1  e.  RR  /\  0  <  1 )  /\  ( A  e.  RR  /\  0  < 
A ) )  -> 
( 1  <_  A  <->  ( 1  /  A )  <_  ( 1  / 
1 ) ) )
4232, 31, 41mpanl12 675 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A )  -> 
( 1  <_  A  <->  ( 1  /  A )  <_  ( 1  / 
1 ) ) )
4336, 42syldan 467 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  -> 
( 1  <_  A  <->  ( 1  /  A )  <_  ( 1  / 
1 ) ) )
4440, 43mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  -> 
( 1  /  A
)  <_  ( 1  /  1 ) )
45 1div1e1 10012 . . . . . . 7  |-  ( 1  /  1 )  =  1
4644, 45syl6breq 4319 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  -> 
( 1  /  A
)  <_  1 )
47 01sqrex 12723 . . . . . 6  |-  ( ( ( 1  /  A
)  e.  RR+  /\  (
1  /  A )  <_  1 )  ->  E. y  e.  RR+  (
y  <_  1  /\  ( y ^ 2 )  =  ( 1  /  A ) ) )
4839, 46, 47syl2anc 654 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  ->  E. y  e.  RR+  (
y  <_  1  /\  ( y ^ 2 )  =  ( 1  /  A ) ) )
49 rpre 10985 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR+  ->  y  e.  RR )
50493ad2ant2 1003 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  y  e.  RR+  /\  (
y  <_  1  /\  ( y ^ 2 )  =  ( 1  /  A ) ) )  ->  y  e.  RR )
51 rpgt0 10990 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR+  ->  0  < 
y )
52513ad2ant2 1003 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  y  e.  RR+  /\  (
y  <_  1  /\  ( y ^ 2 )  =  ( 1  /  A ) ) )  ->  0  <  y )
53 gt0ne0 9792 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  RR  /\  0  <  y )  -> 
y  =/=  0 )
54 rereccl 10037 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  RR  /\  y  =/=  0 )  -> 
( 1  /  y
)  e.  RR )
5553, 54syldan 467 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  RR  /\  0  <  y )  -> 
( 1  /  y
)  e.  RR )
5650, 52, 55syl2anc 654 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  y  e.  RR+  /\  (
y  <_  1  /\  ( y ^ 2 )  =  ( 1  /  A ) ) )  ->  ( 1  /  y )  e.  RR )
57 recgt0 10161 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  RR  /\  0  <  y )  -> 
0  <  ( 1  /  y ) )
58 ltle 9451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( 1  /  y
)  e.  RR )  ->  ( 0  < 
( 1  /  y
)  ->  0  <_  ( 1  /  y ) ) )
591, 58mpan 663 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  /  y )  e.  RR  ->  (
0  <  ( 1  /  y )  -> 
0  <_  ( 1  /  y ) ) )
6055, 57, 59sylc 60 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  RR  /\  0  <  y )  -> 
0  <_  ( 1  /  y ) )
6150, 52, 60syl2anc 654 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  y  e.  RR+  /\  (
y  <_  1  /\  ( y ^ 2 )  =  ( 1  /  A ) ) )  ->  0  <_  ( 1  /  y ) )
62 recn 9360 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  RR  ->  y  e.  CC )
6362adantr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  RR  /\  0  <  y )  -> 
y  e.  CC )
6463, 53sqrecd 11996 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  RR  /\  0  <  y )  -> 
( ( 1  / 
y ) ^ 2 )  =  ( 1  /  ( y ^
2 ) ) )
6550, 52, 64syl2anc 654 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  y  e.  RR+  /\  (
y  <_  1  /\  ( y ^ 2 )  =  ( 1  /  A ) ) )  ->  ( (
1  /  y ) ^ 2 )  =  ( 1  /  (
y ^ 2 ) ) )
66 simp3r 1010 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  y  e.  RR+  /\  (
y  <_  1  /\  ( y ^ 2 )  =  ( 1  /  A ) ) )  ->  ( y ^ 2 )  =  ( 1  /  A
) )
6766oveq2d 6096 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  y  e.  RR+  /\  (
y  <_  1  /\  ( y ^ 2 )  =  ( 1  /  A ) ) )  ->  ( 1  /  ( y ^
2 ) )  =  ( 1  /  (
1  /  A ) ) )
68 gt0ne0 9792 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A )  ->  A  =/=  0 )
6936, 68syldan 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  ->  A  =/=  0 )
70 recn 9360 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  CC )
71 recrec 10016 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( 1  /  (
1  /  A ) )  =  A )
7270, 71sylan 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  =/=  0 )  -> 
( 1  /  (
1  /  A ) )  =  A )
7369, 72syldan 467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  -> 
( 1  /  (
1  /  A ) )  =  A )
74733ad2ant1 1002 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  y  e.  RR+  /\  (
y  <_  1  /\  ( y ^ 2 )  =  ( 1  /  A ) ) )  ->  ( 1  /  ( 1  /  A ) )  =  A )
7565, 67, 743eqtrd 2469 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  y  e.  RR+  /\  (
y  <_  1  /\  ( y ^ 2 )  =  ( 1  /  A ) ) )  ->  ( (
1  /  y ) ^ 2 )  =  A )
76 breq2 4284 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( 1  / 
y )  ->  (
0  <_  x  <->  0  <_  ( 1  /  y ) ) )
77 oveq1 6087 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( 1  / 
y )  ->  (
x ^ 2 )  =  ( ( 1  /  y ) ^
2 ) )
7877eqeq1d 2441 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( 1  / 
y )  ->  (
( x ^ 2 )  =  A  <->  ( (
1  /  y ) ^ 2 )  =  A ) )
7976, 78anbi12d 703 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( 1  / 
y )  ->  (
( 0  <_  x  /\  ( x ^ 2 )  =  A )  <-> 
( 0  <_  (
1  /  y )  /\  ( ( 1  /  y ) ^
2 )  =  A ) ) )
8079rspcev 3062 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 1  /  y
)  e.  RR  /\  ( 0  <_  (
1  /  y )  /\  ( ( 1  /  y ) ^
2 )  =  A ) )  ->  E. x  e.  RR  ( 0  <_  x  /\  ( x ^
2 )  =  A ) )
8156, 61, 75, 80syl12anc 1209 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  y  e.  RR+  /\  (
y  <_  1  /\  ( y ^ 2 )  =  ( 1  /  A ) ) )  ->  E. x  e.  RR  ( 0  <_  x  /\  ( x ^
2 )  =  A ) )
8281rexlimdv3a 2833 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  -> 
( E. y  e.  RR+  ( y  <_  1  /\  ( y ^ 2 )  =  ( 1  /  A ) )  ->  E. x  e.  RR  ( 0  <_  x  /\  ( x ^ 2 )  =  A ) ) )
8348, 82mpd 15 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  ->  E. x  e.  RR  ( 0  <_  x  /\  ( x ^ 2 )  =  A ) )
8483ex 434 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  (
1  <_  A  ->  E. x  e.  RR  (
0  <_  x  /\  ( x ^ 2 )  =  A ) ) )
8584adantr 462 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
( 1  <_  A  ->  E. x  e.  RR  ( 0  <_  x  /\  ( x ^ 2 )  =  A ) ) )
86 simpl 454 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  ->  A  e.  RR )
87 letric 9463 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( A  <_  1  \/  1  <_  A ) )
8886, 32, 87sylancl 655 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
( A  <_  1  \/  1  <_  A ) )
8930, 85, 88mpjaod 381 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  ->  E. x  e.  RR  ( 0  <_  x  /\  ( x ^ 2 )  =  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 958    = wceq 1362    e. wcel 1755    =/= wne 2596   E.wrex 2706   class class class wbr 4280  (class class class)co 6080   CCcc 9268   RRcr 9269   0cc0 9270   1c1 9271    < clt 9406    <_ cle 9407    / cdiv 9981   2c2 10359   RR+crp 10979   ^cexp 11849
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-cnex 9326  ax-resscn 9327  ax-1cn 9328  ax-icn 9329  ax-addcl 9330  ax-addrcl 9331  ax-mulcl 9332  ax-mulrcl 9333  ax-mulcom 9334  ax-addass 9335  ax-mulass 9336  ax-distr 9337  ax-i2m1 9338  ax-1ne0 9339  ax-1rid 9340  ax-rnegex 9341  ax-rrecex 9342  ax-cnre 9343  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345  ax-pre-ltadd 9346  ax-pre-mulgt0 9347  ax-pre-sup 9348
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-om 6466  df-2nd 6567  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-er 7089  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-sup 7679  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-xr 9410  df-ltxr 9411  df-le 9412  df-sub 9585  df-neg 9586  df-div 9982  df-nn 10311  df-2 10368  df-3 10369  df-n0 10568  df-z 10635  df-uz 10850  df-rp 10980  df-seq 11791  df-exp 11850
This theorem is referenced by:  resqreu  12726  resqrcl  12727
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