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Theorem resqrex 13034
Description: Existence of a square root for positive reals. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2013.)
Assertion
Ref Expression
resqrex  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  ->  E. x  e.  RR  ( 0  <_  x  /\  ( x ^ 2 )  =  A ) )
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem resqrex
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0re 9585 . . . . 5  |-  0  e.  RR
2 leloe 9660 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( 0  <_  A  <->  ( 0  <  A  \/  0  =  A )
) )
31, 2mpan 670 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  (
0  <_  A  <->  ( 0  <  A  \/  0  =  A ) ) )
4 elrp 11211 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR+  <->  ( A  e.  RR  /\  0  < 
A ) )
5 01sqrex 13033 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  E. x  e.  RR+  ( x  <_ 
1  /\  ( x ^ 2 )  =  A ) )
6 rprege0 11223 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )
76anim1i 568 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  (
x ^ 2 )  =  A )  -> 
( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  /\  (
x ^ 2 )  =  A ) )
8 anass 649 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  /\  ( x ^ 2 )  =  A )  <-> 
( x  e.  RR  /\  ( 0  <_  x  /\  ( x ^ 2 )  =  A ) ) )
97, 8sylib 196 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  (
x ^ 2 )  =  A )  -> 
( x  e.  RR  /\  ( 0  <_  x  /\  ( x ^ 2 )  =  A ) ) )
109adantrl 715 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  (
x  <_  1  /\  ( x ^ 2 )  =  A ) )  ->  ( x  e.  RR  /\  ( 0  <_  x  /\  (
x ^ 2 )  =  A ) ) )
1110reximi2 2924 . . . . . . . 8  |-  ( E. x  e.  RR+  (
x  <_  1  /\  ( x ^ 2 )  =  A )  ->  E. x  e.  RR  ( 0  <_  x  /\  ( x ^ 2 )  =  A ) )
125, 11syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  A  <_  1 )  ->  E. x  e.  RR  ( 0  <_  x  /\  ( x ^
2 )  =  A ) )
134, 12sylanbr 473 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A )  /\  A  <_  1
)  ->  E. x  e.  RR  ( 0  <_  x  /\  ( x ^
2 )  =  A ) )
1413exp31 604 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  (
0  <  A  ->  ( A  <_  1  ->  E. x  e.  RR  (
0  <_  x  /\  ( x ^ 2 )  =  A ) ) ) )
15 sq0 12214 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0 ^ 2 )  =  0
16 id 22 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0  =  A  ->  0  =  A )
1715, 16syl5eq 2513 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  =  A  ->  (
0 ^ 2 )  =  A )
18 0le0 10614 . . . . . . . . 9  |-  0  <_  0
1917, 18jctil 537 . . . . . . . 8  |-  ( 0  =  A  ->  (
0  <_  0  /\  ( 0 ^ 2 )  =  A ) )
20 breq2 4444 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  0  ->  (
0  <_  x  <->  0  <_  0 ) )
21 oveq1 6282 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  0  ->  (
x ^ 2 )  =  ( 0 ^ 2 ) )
2221eqeq1d 2462 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  0  ->  (
( x ^ 2 )  =  A  <->  ( 0 ^ 2 )  =  A ) )
2320, 22anbi12d 710 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  0  ->  (
( 0  <_  x  /\  ( x ^ 2 )  =  A )  <-> 
( 0  <_  0  /\  ( 0 ^ 2 )  =  A ) ) )
2423rspcev 3207 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( 0  <_  0  /\  ( 0 ^ 2 )  =  A ) )  ->  E. x  e.  RR  ( 0  <_  x  /\  ( x ^
2 )  =  A ) )
251, 19, 24sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( 0  =  A  ->  E. x  e.  RR  ( 0  <_  x  /\  ( x ^
2 )  =  A ) )
2625a1d 25 . . . . . 6  |-  ( 0  =  A  ->  ( A  <_  1  ->  E. x  e.  RR  ( 0  <_  x  /\  ( x ^
2 )  =  A ) ) )
2726a1i 11 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  (
0  =  A  -> 
( A  <_  1  ->  E. x  e.  RR  ( 0  <_  x  /\  ( x ^ 2 )  =  A ) ) ) )
2814, 27jaod 380 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( 0  <  A  \/  0  =  A
)  ->  ( A  <_  1  ->  E. x  e.  RR  ( 0  <_  x  /\  ( x ^
2 )  =  A ) ) ) )
293, 28sylbid 215 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  (
0  <_  A  ->  ( A  <_  1  ->  E. x  e.  RR  (
0  <_  x  /\  ( x ^ 2 )  =  A ) ) ) )
3029imp 429 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
( A  <_  1  ->  E. x  e.  RR  ( 0  <_  x  /\  ( x ^ 2 )  =  A ) ) )
31 0lt1 10064 . . . . . . . . . 10  |-  0  <  1
32 1re 9584 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  RR
33 ltletr 9665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  (
( 0  <  1  /\  1  <_  A )  ->  0  <  A
) )
341, 32, 33mp3an12 1309 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( 0  <  1  /\  1  <_  A )  ->  0  <  A
) )
3531, 34mpani 676 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  RR  ->  (
1  <_  A  ->  0  <  A ) )
3635imp 429 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  -> 
0  <  A )
374biimpri 206 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A )  ->  A  e.  RR+ )
3836, 37syldan 470 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  ->  A  e.  RR+ )
3938rpreccld 11255 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  -> 
( 1  /  A
)  e.  RR+ )
40 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  -> 
1  <_  A )
41 lerec 10416 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 1  e.  RR  /\  0  <  1 )  /\  ( A  e.  RR  /\  0  < 
A ) )  -> 
( 1  <_  A  <->  ( 1  /  A )  <_  ( 1  / 
1 ) ) )
4232, 31, 41mpanl12 682 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A )  -> 
( 1  <_  A  <->  ( 1  /  A )  <_  ( 1  / 
1 ) ) )
4336, 42syldan 470 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  -> 
( 1  <_  A  <->  ( 1  /  A )  <_  ( 1  / 
1 ) ) )
4440, 43mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  -> 
( 1  /  A
)  <_  ( 1  /  1 ) )
45 1div1e1 10226 . . . . . . 7  |-  ( 1  /  1 )  =  1
4644, 45syl6breq 4479 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  -> 
( 1  /  A
)  <_  1 )
47 01sqrex 13033 . . . . . 6  |-  ( ( ( 1  /  A
)  e.  RR+  /\  (
1  /  A )  <_  1 )  ->  E. y  e.  RR+  (
y  <_  1  /\  ( y ^ 2 )  =  ( 1  /  A ) ) )
4839, 46, 47syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  ->  E. y  e.  RR+  (
y  <_  1  /\  ( y ^ 2 )  =  ( 1  /  A ) ) )
49 rpre 11215 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR+  ->  y  e.  RR )
50493ad2ant2 1013 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  y  e.  RR+  /\  (
y  <_  1  /\  ( y ^ 2 )  =  ( 1  /  A ) ) )  ->  y  e.  RR )
51 rpgt0 11220 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR+  ->  0  < 
y )
52513ad2ant2 1013 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  y  e.  RR+  /\  (
y  <_  1  /\  ( y ^ 2 )  =  ( 1  /  A ) ) )  ->  0  <  y )
53 gt0ne0 10006 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  RR  /\  0  <  y )  -> 
y  =/=  0 )
54 rereccl 10251 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  RR  /\  y  =/=  0 )  -> 
( 1  /  y
)  e.  RR )
5553, 54syldan 470 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  RR  /\  0  <  y )  -> 
( 1  /  y
)  e.  RR )
5650, 52, 55syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  y  e.  RR+  /\  (
y  <_  1  /\  ( y ^ 2 )  =  ( 1  /  A ) ) )  ->  ( 1  /  y )  e.  RR )
57 recgt0 10375 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  RR  /\  0  <  y )  -> 
0  <  ( 1  /  y ) )
58 ltle 9662 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( 1  /  y
)  e.  RR )  ->  ( 0  < 
( 1  /  y
)  ->  0  <_  ( 1  /  y ) ) )
591, 58mpan 670 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  /  y )  e.  RR  ->  (
0  <  ( 1  /  y )  -> 
0  <_  ( 1  /  y ) ) )
6055, 57, 59sylc 60 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  RR  /\  0  <  y )  -> 
0  <_  ( 1  /  y ) )
6150, 52, 60syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  y  e.  RR+  /\  (
y  <_  1  /\  ( y ^ 2 )  =  ( 1  /  A ) ) )  ->  0  <_  ( 1  /  y ) )
62 recn 9571 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  RR  ->  y  e.  CC )
6362adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  RR  /\  0  <  y )  -> 
y  e.  CC )
6463, 53sqrecd 12269 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  RR  /\  0  <  y )  -> 
( ( 1  / 
y ) ^ 2 )  =  ( 1  /  ( y ^
2 ) ) )
6550, 52, 64syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  y  e.  RR+  /\  (
y  <_  1  /\  ( y ^ 2 )  =  ( 1  /  A ) ) )  ->  ( (
1  /  y ) ^ 2 )  =  ( 1  /  (
y ^ 2 ) ) )
66 simp3r 1020 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  y  e.  RR+  /\  (
y  <_  1  /\  ( y ^ 2 )  =  ( 1  /  A ) ) )  ->  ( y ^ 2 )  =  ( 1  /  A
) )
6766oveq2d 6291 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  y  e.  RR+  /\  (
y  <_  1  /\  ( y ^ 2 )  =  ( 1  /  A ) ) )  ->  ( 1  /  ( y ^
2 ) )  =  ( 1  /  (
1  /  A ) ) )
68 gt0ne0 10006 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A )  ->  A  =/=  0 )
6936, 68syldan 470 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  ->  A  =/=  0 )
70 recn 9571 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  CC )
71 recrec 10230 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( 1  /  (
1  /  A ) )  =  A )
7270, 71sylan 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  =/=  0 )  -> 
( 1  /  (
1  /  A ) )  =  A )
7369, 72syldan 470 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  -> 
( 1  /  (
1  /  A ) )  =  A )
74733ad2ant1 1012 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  y  e.  RR+  /\  (
y  <_  1  /\  ( y ^ 2 )  =  ( 1  /  A ) ) )  ->  ( 1  /  ( 1  /  A ) )  =  A )
7565, 67, 743eqtrd 2505 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  y  e.  RR+  /\  (
y  <_  1  /\  ( y ^ 2 )  =  ( 1  /  A ) ) )  ->  ( (
1  /  y ) ^ 2 )  =  A )
76 breq2 4444 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( 1  / 
y )  ->  (
0  <_  x  <->  0  <_  ( 1  /  y ) ) )
77 oveq1 6282 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( 1  / 
y )  ->  (
x ^ 2 )  =  ( ( 1  /  y ) ^
2 ) )
7877eqeq1d 2462 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( 1  / 
y )  ->  (
( x ^ 2 )  =  A  <->  ( (
1  /  y ) ^ 2 )  =  A ) )
7976, 78anbi12d 710 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( 1  / 
y )  ->  (
( 0  <_  x  /\  ( x ^ 2 )  =  A )  <-> 
( 0  <_  (
1  /  y )  /\  ( ( 1  /  y ) ^
2 )  =  A ) ) )
8079rspcev 3207 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 1  /  y
)  e.  RR  /\  ( 0  <_  (
1  /  y )  /\  ( ( 1  /  y ) ^
2 )  =  A ) )  ->  E. x  e.  RR  ( 0  <_  x  /\  ( x ^
2 )  =  A ) )
8156, 61, 75, 80syl12anc 1221 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  /\  y  e.  RR+  /\  (
y  <_  1  /\  ( y ^ 2 )  =  ( 1  /  A ) ) )  ->  E. x  e.  RR  ( 0  <_  x  /\  ( x ^
2 )  =  A ) )
8281rexlimdv3a 2950 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  -> 
( E. y  e.  RR+  ( y  <_  1  /\  ( y ^ 2 )  =  ( 1  /  A ) )  ->  E. x  e.  RR  ( 0  <_  x  /\  ( x ^ 2 )  =  A ) ) )
8348, 82mpd 15 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  ->  E. x  e.  RR  ( 0  <_  x  /\  ( x ^ 2 )  =  A ) )
8483ex 434 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  (
1  <_  A  ->  E. x  e.  RR  (
0  <_  x  /\  ( x ^ 2 )  =  A ) ) )
8584adantr 465 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
( 1  <_  A  ->  E. x  e.  RR  ( 0  <_  x  /\  ( x ^ 2 )  =  A ) ) )
86 simpl 457 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  ->  A  e.  RR )
87 letric 9674 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( A  <_  1  \/  1  <_  A ) )
8886, 32, 87sylancl 662 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
( A  <_  1  \/  1  <_  A ) )
8930, 85, 88mpjaod 381 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  ->  E. x  e.  RR  ( 0  <_  x  /\  ( x ^ 2 )  =  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 968    = wceq 1374    e. wcel 1762    =/= wne 2655   E.wrex 2808   class class class wbr 4440  (class class class)co 6275   CCcc 9479   RRcr 9480   0cc0 9481   1c1 9482    < clt 9617    <_ cle 9618    / cdiv 10195   2c2 10574   RR+crp 11209   ^cexp 12122
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-sup 7890  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-div 10196  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-rp 11210  df-seq 12064  df-exp 12123
This theorem is referenced by:  resqreu  13036  resqrcl  13037
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