Theorem resqrex 12743

Description: Existence of a square root for positive reals. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2013.)

Assertion

Ref	Expression
resqrex	|- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> E. x e. RR ( 0 <_ x /\ ( x ^ 2 ) = A ) )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem resqrex

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 9389	. . . . 5 |- 0 e. RR
2		leloe 9464	. . . . 5 |- ( ( 0 e. RR /\ A e. RR ) -> ( 0 <_ A <-> ( 0 < A \/ 0 = A ) ) )
3	1, 2	mpan 670	. . . 4 |- ( A e. RR -> ( 0 <_ A <-> ( 0 < A \/ 0 = A ) ) )
4		elrp 10996	. . . . . . 7 |- ( A e. RR+ <-> ( A e. RR /\ 0 < A ) )
5		01sqrex 12742	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) -> E. x e. RR+ ( x <_ 1 /\ ( x ^ 2 ) = A ) )
6		rprege0 11008	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. RR+ -> ( x e. RR /\ 0 <_ x ) )
7	6	anim1i 568	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. RR+ /\ ( x ^ 2 ) = A ) -> ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) /\ ( x ^ 2 ) = A ) )
8		anass 649	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) /\ ( x ^ 2 ) = A ) <-> ( x e. RR /\ ( 0 <_ x /\ ( x ^ 2 ) = A ) ) )
9	7, 8	sylib 196	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. RR+ /\ ( x ^ 2 ) = A ) -> ( x e. RR /\ ( 0 <_ x /\ ( x ^ 2 ) = A ) ) )
10	9	adantrl 715	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. RR+ /\ ( x <_ 1 /\ ( x ^ 2 ) = A ) ) -> ( x e. RR /\ ( 0 <_ x /\ ( x ^ 2 ) = A ) ) )
11	10	reximi2 2825	. . . . . . . 8 |- ( E. x e. RR+ ( x <_ 1 /\ ( x ^ 2 ) = A ) -> E. x e. RR ( 0 <_ x /\ ( x ^ 2 ) = A ) )
12	5, 11	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) -> E. x e. RR ( 0 <_ x /\ ( x ^ 2 ) = A ) )
13	4, 12	sylanbr 473	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 < A ) /\ A <_ 1 ) -> E. x e. RR ( 0 <_ x /\ ( x ^ 2 ) = A ) )
14	13	exp31 604	. . . . 5 |- ( A e. RR -> ( 0 < A -> ( A <_ 1 -> E. x e. RR ( 0 <_ x /\ ( x ^ 2 ) = A ) ) ) )
15		sq0 11960	. . . . . . . . . 10 |- ( 0 ^ 2 ) = 0
16		id 22	. . . . . . . . . 10 |- ( 0 = A -> 0 = A )
17	15, 16	syl5eq 2487	. . . . . . . . 9 |- ( 0 = A -> ( 0 ^ 2 ) = A )
18		0le0 10414	. . . . . . . . 9 |- 0 <_ 0
19	17, 18	jctil 537	. . . . . . . 8 |- ( 0 = A -> ( 0 <_ 0 /\ ( 0 ^ 2 ) = A ) )
20		breq2 4299	. . . . . . . . . 10 |- ( x = 0 -> ( 0 <_ x <-> 0 <_ 0 ) )
21		oveq1 6101	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = 0 -> ( x ^ 2 ) = ( 0 ^ 2 ) )
22	21	eqeq1d 2451	. . . . . . . . . 10 |- ( x = 0 -> ( ( x ^ 2 ) = A <-> ( 0 ^ 2 ) = A ) )
23	20, 22	anbi12d 710	. . . . . . . . 9 |- ( x = 0 -> ( ( 0 <_ x /\ ( x ^ 2 ) = A ) <-> ( 0 <_ 0 /\ ( 0 ^ 2 ) = A ) ) )
24	23	rspcev 3076	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 e. RR /\ ( 0 <_ 0 /\ ( 0 ^ 2 ) = A ) ) -> E. x e. RR ( 0 <_ x /\ ( x ^ 2 ) = A ) )
25	1, 19, 24	sylancr 663	. . . . . . 7 |- ( 0 = A -> E. x e. RR ( 0 <_ x /\ ( x ^ 2 ) = A ) )
26	25	a1d 25	. . . . . 6 |- ( 0 = A -> ( A <_ 1 -> E. x e. RR ( 0 <_ x /\ ( x ^ 2 ) = A ) ) )
27	26	a1i 11	. . . . 5 |- ( A e. RR -> ( 0 = A -> ( A <_ 1 -> E. x e. RR ( 0 <_ x /\ ( x ^ 2 ) = A ) ) ) )
28	14, 27	jaod 380	. . . 4 |- ( A e. RR -> ( ( 0 < A \/ 0 = A ) -> ( A <_ 1 -> E. x e. RR ( 0 <_ x /\ ( x ^ 2 ) = A ) ) ) )
29	3, 28	sylbid 215	. . 3 |- ( A e. RR -> ( 0 <_ A -> ( A <_ 1 -> E. x e. RR ( 0 <_ x /\ ( x ^ 2 ) = A ) ) ) )
30	29	imp 429	. 2 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> ( A <_ 1 -> E. x e. RR ( 0 <_ x /\ ( x ^ 2 ) = A ) ) )
31		0lt1 9865	. . . . . . . . . 10 |- 0 < 1
32		1re 9388	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. RR
33		ltletr 9469	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 0 e. RR /\ 1 e. RR /\ A e. RR ) -> ( ( 0 < 1 /\ 1 <_ A ) -> 0 < A ) )
34	1, 32, 33	mp3an12 1304	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. RR -> ( ( 0 < 1 /\ 1 <_ A ) -> 0 < A ) )
35	31, 34	mpani 676	. . . . . . . . 9 |- ( A e. RR -> ( 1 <_ A -> 0 < A ) )
36	35	imp 429	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) -> 0 < A )
37	4	biimpri 206	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR /\ 0 < A ) -> A e. RR+ )
38	36, 37	syldan 470	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) -> A e. RR+ )
39	38	rpreccld 11040	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) -> ( 1 / A ) e. RR+ )
40		simpr 461	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) -> 1 <_ A )
41		lerec 10217	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 1 e. RR /\ 0 < 1 ) /\ ( A e. RR /\ 0 < A ) ) -> ( 1 <_ A <-> ( 1 / A ) <_ ( 1 / 1 ) ) )
42	32, 31, 41	mpanl12 682	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR /\ 0 < A ) -> ( 1 <_ A <-> ( 1 / A ) <_ ( 1 / 1 ) ) )
43	36, 42	syldan 470	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) -> ( 1 <_ A <-> ( 1 / A ) <_ ( 1 / 1 ) ) )
44	40, 43	mpbid 210	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) -> ( 1 / A ) <_ ( 1 / 1 ) )
45		1div1e1 10027	. . . . . . 7 |- ( 1 / 1 ) = 1
46	44, 45	syl6breq 4334	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) -> ( 1 / A ) <_ 1 )
47		01sqrex 12742	. . . . . 6 |- ( ( ( 1 / A ) e. RR+ /\ ( 1 / A ) <_ 1 ) -> E. y e. RR+ ( y <_ 1 /\ ( y ^ 2 ) = ( 1 / A ) ) )
48	39, 46, 47	syl2anc 661	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) -> E. y e. RR+ ( y <_ 1 /\ ( y ^ 2 ) = ( 1 / A ) ) )
49		rpre 11000	. . . . . . . . 9 |- ( y e. RR+ -> y e. RR )
50	49	3ad2ant2 1010	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ y e. RR+ /\ ( y <_ 1 /\ ( y ^ 2 ) = ( 1 / A ) ) ) -> y e. RR )
51		rpgt0 11005	. . . . . . . . 9 |- ( y e. RR+ -> 0 < y )
52	51	3ad2ant2 1010	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ y e. RR+ /\ ( y <_ 1 /\ ( y ^ 2 ) = ( 1 / A ) ) ) -> 0 < y )
53		gt0ne0 9807	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. RR /\ 0 < y ) -> y =/= 0 )
54		rereccl 10052	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. RR /\ y =/= 0 ) -> ( 1 / y ) e. RR )
55	53, 54	syldan 470	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. RR /\ 0 < y ) -> ( 1 / y ) e. RR )
56	50, 52, 55	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ y e. RR+ /\ ( y <_ 1 /\ ( y ^ 2 ) = ( 1 / A ) ) ) -> ( 1 / y ) e. RR )
57		recgt0 10176	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. RR /\ 0 < y ) -> 0 < ( 1 / y ) )
58		ltle 9466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 e. RR /\ ( 1 / y ) e. RR ) -> ( 0 < ( 1 / y ) -> 0 <_ ( 1 / y ) ) )
59	1, 58	mpan 670	. . . . . . . . 9 |- ( ( 1 / y ) e. RR -> ( 0 < ( 1 / y ) -> 0 <_ ( 1 / y ) ) )
60	55, 57, 59	sylc 60	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. RR /\ 0 < y ) -> 0 <_ ( 1 / y ) )
61	50, 52, 60	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ y e. RR+ /\ ( y <_ 1 /\ ( y ^ 2 ) = ( 1 / A ) ) ) -> 0 <_ ( 1 / y ) )
62		recn 9375	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. RR -> y e. CC )
63	62	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. RR /\ 0 < y ) -> y e. CC )
64	63, 53	sqrecd 12015	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. RR /\ 0 < y ) -> ( ( 1 / y ) ^ 2 ) = ( 1 / ( y ^ 2 ) ) )
65	50, 52, 64	syl2anc 661	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ y e. RR+ /\ ( y <_ 1 /\ ( y ^ 2 ) = ( 1 / A ) ) ) -> ( ( 1 / y ) ^ 2 ) = ( 1 / ( y ^ 2 ) ) )
66		simp3r 1017	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ y e. RR+ /\ ( y <_ 1 /\ ( y ^ 2 ) = ( 1 / A ) ) ) -> ( y ^ 2 ) = ( 1 / A ) )
67	66	oveq2d 6110	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ y e. RR+ /\ ( y <_ 1 /\ ( y ^ 2 ) = ( 1 / A ) ) ) -> ( 1 / ( y ^ 2 ) ) = ( 1 / ( 1 / A ) ) )
68		gt0ne0 9807	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. RR /\ 0 < A ) -> A =/= 0 )
69	36, 68	syldan 470	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) -> A =/= 0 )
70		recn 9375	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. RR -> A e. CC )
71		recrec 10031	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 ) -> ( 1 / ( 1 / A ) ) = A )
72	70, 71	sylan 471	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. RR /\ A =/= 0 ) -> ( 1 / ( 1 / A ) ) = A )
73	69, 72	syldan 470	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) -> ( 1 / ( 1 / A ) ) = A )
74	73	3ad2ant1 1009	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ y e. RR+ /\ ( y <_ 1 /\ ( y ^ 2 ) = ( 1 / A ) ) ) -> ( 1 / ( 1 / A ) ) = A )
75	65, 67, 74	3eqtrd 2479	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ y e. RR+ /\ ( y <_ 1 /\ ( y ^ 2 ) = ( 1 / A ) ) ) -> ( ( 1 / y ) ^ 2 ) = A )
76		breq2 4299	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( 1 / y ) -> ( 0 <_ x <-> 0 <_ ( 1 / y ) ) )
77		oveq1 6101	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( 1 / y ) -> ( x ^ 2 ) = ( ( 1 / y ) ^ 2 ) )
78	77	eqeq1d 2451	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( 1 / y ) -> ( ( x ^ 2 ) = A <-> ( ( 1 / y ) ^ 2 ) = A ) )
79	76, 78	anbi12d 710	. . . . . . . 8 |- ( x = ( 1 / y ) -> ( ( 0 <_ x /\ ( x ^ 2 ) = A ) <-> ( 0 <_ ( 1 / y ) /\ ( ( 1 / y ) ^ 2 ) = A ) ) )
80	79	rspcev 3076	. . . . . . 7 |- ( ( ( 1 / y ) e. RR /\ ( 0 <_ ( 1 / y ) /\ ( ( 1 / y ) ^ 2 ) = A ) ) -> E. x e. RR ( 0 <_ x /\ ( x ^ 2 ) = A ) )
81	56, 61, 75, 80	syl12anc 1216	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ y e. RR+ /\ ( y <_ 1 /\ ( y ^ 2 ) = ( 1 / A ) ) ) -> E. x e. RR ( 0 <_ x /\ ( x ^ 2 ) = A ) )
82	81	rexlimdv3a 2846	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) -> ( E. y e. RR+ ( y <_ 1 /\ ( y ^ 2 ) = ( 1 / A ) ) -> E. x e. RR ( 0 <_ x /\ ( x ^ 2 ) = A ) ) )
83	48, 82	mpd 15	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) -> E. x e. RR ( 0 <_ x /\ ( x ^ 2 ) = A ) )
84	83	ex 434	. . 3 |- ( A e. RR -> ( 1 <_ A -> E. x e. RR ( 0 <_ x /\ ( x ^ 2 ) = A ) ) )
85	84	adantr 465	. 2 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> ( 1 <_ A -> E. x e. RR ( 0 <_ x /\ ( x ^ 2 ) = A ) ) )
86		simpl 457	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> A e. RR )
87		letric 9478	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( A <_ 1 \/ 1 <_ A ) )
88	86, 32, 87	sylancl 662	. 2 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> ( A <_ 1 \/ 1 <_ A ) )
89	30, 85, 88	mpjaod 381	1 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> E. x e. RR ( 0 <_ x /\ ( x ^ 2 ) = A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1369   e. wcel 1756   =/= wne 2609   E.wrex 2719   class class class wbr 4295  (class class class)co 6094   CCcc 9283   RRcr 9284   0cc0 9285   1c1 9286   < clt 9421   <_ cle 9422   / cdiv 9996   2c2 10374   RR+crp 10994   ^cexp 11868

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4416  ax-nul 4424  ax-pow 4473  ax-pr 4534  ax-un 6375  ax-cnex 9341  ax-resscn 9342  ax-1cn 9343  ax-icn 9344  ax-addcl 9345  ax-addrcl 9346  ax-mulcl 9347  ax-mulrcl 9348  ax-mulcom 9349  ax-addass 9350  ax-mulass 9351  ax-distr 9352  ax-i2m1 9353  ax-1ne0 9354  ax-1rid 9355  ax-rnegex 9356  ax-rrecex 9357  ax-cnre 9358  ax-pre-lttri 9359  ax-pre-lttrn 9360  ax-pre-ltadd 9361  ax-pre-mulgt0 9362  ax-pre-sup 9363

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2571  df-ne 2611  df-nel 2612  df-ral 2723  df-rex 2724  df-reu 2725  df-rmo 2726  df-rab 2727  df-v 2977  df-sbc 3190  df-csb 3292  df-dif 3334  df-un 3336  df-in 3338  df-ss 3345  df-pss 3347  df-nul 3641  df-if 3795  df-pw 3865  df-sn 3881  df-pr 3883  df-tp 3885  df-op 3887  df-uni 4095  df-iun 4176  df-br 4296  df-opab 4354  df-mpt 4355  df-tr 4389  df-eprel 4635  df-id 4639  df-po 4644  df-so 4645  df-fr 4682  df-we 4684  df-ord 4725  df-on 4726  df-lim 4727  df-suc 4728  df-xp 4849  df-rel 4850  df-cnv 4851  df-co 4852  df-dm 4853  df-rn 4854  df-res 4855  df-ima 4856  df-iota 5384  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-riota 6055  df-ov 6097  df-oprab 6098  df-mpt2 6099  df-om 6480  df-2nd 6581  df-recs 6835  df-rdg 6869  df-er 7104  df-en 7314  df-dom 7315  df-sdom 7316  df-sup 7694  df-pnf 9423  df-mnf 9424  df-xr 9425  df-ltxr 9426  df-le 9427  df-sub 9600  df-neg 9601  df-div 9997  df-nn 10326  df-2 10383  df-3 10384  df-n0 10583  df-z 10650  df-uz 10865  df-rp 10995  df-seq 11810  df-exp 11869

This theorem is referenced by:  resqreu  12745  resqrcl  12746