Theorem resqrex 13086

Description: Existence of a square root for positive reals. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2013.)

Assertion

Ref	Expression
resqrex	|- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> E. x e. RR ( 0 <_ x /\ ( x ^ 2 ) = A ) )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem resqrex

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 9507	. . . . 5 |- 0 e. RR
2		leloe 9582	. . . . 5 |- ( ( 0 e. RR /\ A e. RR ) -> ( 0 <_ A <-> ( 0 < A \/ 0 = A ) ) )
3	1, 2	mpan 668	. . . 4 |- ( A e. RR -> ( 0 <_ A <-> ( 0 < A \/ 0 = A ) ) )
4		elrp 11141	. . . . . . 7 |- ( A e. RR+ <-> ( A e. RR /\ 0 < A ) )
5		01sqrex 13085	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) -> E. x e. RR+ ( x <_ 1 /\ ( x ^ 2 ) = A ) )
6		rprege0 11153	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. RR+ -> ( x e. RR /\ 0 <_ x ) )
7	6	anim1i 566	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. RR+ /\ ( x ^ 2 ) = A ) -> ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) /\ ( x ^ 2 ) = A ) )
8		anass 647	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) /\ ( x ^ 2 ) = A ) <-> ( x e. RR /\ ( 0 <_ x /\ ( x ^ 2 ) = A ) ) )
9	7, 8	sylib 196	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. RR+ /\ ( x ^ 2 ) = A ) -> ( x e. RR /\ ( 0 <_ x /\ ( x ^ 2 ) = A ) ) )
10	9	adantrl 713	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. RR+ /\ ( x <_ 1 /\ ( x ^ 2 ) = A ) ) -> ( x e. RR /\ ( 0 <_ x /\ ( x ^ 2 ) = A ) ) )
11	10	reximi2 2849	. . . . . . . 8 |- ( E. x e. RR+ ( x <_ 1 /\ ( x ^ 2 ) = A ) -> E. x e. RR ( 0 <_ x /\ ( x ^ 2 ) = A ) )
12	5, 11	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) -> E. x e. RR ( 0 <_ x /\ ( x ^ 2 ) = A ) )
13	4, 12	sylanbr 471	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 < A ) /\ A <_ 1 ) -> E. x e. RR ( 0 <_ x /\ ( x ^ 2 ) = A ) )
14	13	exp31 602	. . . . 5 |- ( A e. RR -> ( 0 < A -> ( A <_ 1 -> E. x e. RR ( 0 <_ x /\ ( x ^ 2 ) = A ) ) ) )
15		sq0 12162	. . . . . . . . . 10 |- ( 0 ^ 2 ) = 0
16		id 22	. . . . . . . . . 10 |- ( 0 = A -> 0 = A )
17	15, 16	syl5eq 2435	. . . . . . . . 9 |- ( 0 = A -> ( 0 ^ 2 ) = A )
18		0le0 10542	. . . . . . . . 9 |- 0 <_ 0
19	17, 18	jctil 535	. . . . . . . 8 |- ( 0 = A -> ( 0 <_ 0 /\ ( 0 ^ 2 ) = A ) )
20		breq2 4371	. . . . . . . . . 10 |- ( x = 0 -> ( 0 <_ x <-> 0 <_ 0 ) )
21		oveq1 6203	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = 0 -> ( x ^ 2 ) = ( 0 ^ 2 ) )
22	21	eqeq1d 2384	. . . . . . . . . 10 |- ( x = 0 -> ( ( x ^ 2 ) = A <-> ( 0 ^ 2 ) = A ) )
23	20, 22	anbi12d 708	. . . . . . . . 9 |- ( x = 0 -> ( ( 0 <_ x /\ ( x ^ 2 ) = A ) <-> ( 0 <_ 0 /\ ( 0 ^ 2 ) = A ) ) )
24	23	rspcev 3135	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 e. RR /\ ( 0 <_ 0 /\ ( 0 ^ 2 ) = A ) ) -> E. x e. RR ( 0 <_ x /\ ( x ^ 2 ) = A ) )
25	1, 19, 24	sylancr 661	. . . . . . 7 |- ( 0 = A -> E. x e. RR ( 0 <_ x /\ ( x ^ 2 ) = A ) )
26	25	a1d 25	. . . . . 6 |- ( 0 = A -> ( A <_ 1 -> E. x e. RR ( 0 <_ x /\ ( x ^ 2 ) = A ) ) )
27	26	a1i 11	. . . . 5 |- ( A e. RR -> ( 0 = A -> ( A <_ 1 -> E. x e. RR ( 0 <_ x /\ ( x ^ 2 ) = A ) ) ) )
28	14, 27	jaod 378	. . . 4 |- ( A e. RR -> ( ( 0 < A \/ 0 = A ) -> ( A <_ 1 -> E. x e. RR ( 0 <_ x /\ ( x ^ 2 ) = A ) ) ) )
29	3, 28	sylbid 215	. . 3 |- ( A e. RR -> ( 0 <_ A -> ( A <_ 1 -> E. x e. RR ( 0 <_ x /\ ( x ^ 2 ) = A ) ) ) )
30	29	imp 427	. 2 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> ( A <_ 1 -> E. x e. RR ( 0 <_ x /\ ( x ^ 2 ) = A ) ) )
31		0lt1 9992	. . . . . . . . . 10 |- 0 < 1
32		1re 9506	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. RR
33		ltletr 9587	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 0 e. RR /\ 1 e. RR /\ A e. RR ) -> ( ( 0 < 1 /\ 1 <_ A ) -> 0 < A ) )
34	1, 32, 33	mp3an12 1312	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. RR -> ( ( 0 < 1 /\ 1 <_ A ) -> 0 < A ) )
35	31, 34	mpani 674	. . . . . . . . 9 |- ( A e. RR -> ( 1 <_ A -> 0 < A ) )
36	35	imp 427	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) -> 0 < A )
37	4	biimpri 206	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR /\ 0 < A ) -> A e. RR+ )
38	36, 37	syldan 468	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) -> A e. RR+ )
39	38	rpreccld 11187	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) -> ( 1 / A ) e. RR+ )
40		simpr 459	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) -> 1 <_ A )
41		lerec 10343	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 1 e. RR /\ 0 < 1 ) /\ ( A e. RR /\ 0 < A ) ) -> ( 1 <_ A <-> ( 1 / A ) <_ ( 1 / 1 ) ) )
42	32, 31, 41	mpanl12 680	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR /\ 0 < A ) -> ( 1 <_ A <-> ( 1 / A ) <_ ( 1 / 1 ) ) )
43	36, 42	syldan 468	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) -> ( 1 <_ A <-> ( 1 / A ) <_ ( 1 / 1 ) ) )
44	40, 43	mpbid 210	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) -> ( 1 / A ) <_ ( 1 / 1 ) )
45		1div1e1 10154	. . . . . . 7 |- ( 1 / 1 ) = 1
46	44, 45	syl6breq 4406	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) -> ( 1 / A ) <_ 1 )
47		01sqrex 13085	. . . . . 6 |- ( ( ( 1 / A ) e. RR+ /\ ( 1 / A ) <_ 1 ) -> E. y e. RR+ ( y <_ 1 /\ ( y ^ 2 ) = ( 1 / A ) ) )
48	39, 46, 47	syl2anc 659	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) -> E. y e. RR+ ( y <_ 1 /\ ( y ^ 2 ) = ( 1 / A ) ) )
49		rpre 11145	. . . . . . . . 9 |- ( y e. RR+ -> y e. RR )
50	49	3ad2ant2 1016	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ y e. RR+ /\ ( y <_ 1 /\ ( y ^ 2 ) = ( 1 / A ) ) ) -> y e. RR )
51		rpgt0 11150	. . . . . . . . 9 |- ( y e. RR+ -> 0 < y )
52	51	3ad2ant2 1016	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ y e. RR+ /\ ( y <_ 1 /\ ( y ^ 2 ) = ( 1 / A ) ) ) -> 0 < y )
53		gt0ne0 9935	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. RR /\ 0 < y ) -> y =/= 0 )
54		rereccl 10179	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. RR /\ y =/= 0 ) -> ( 1 / y ) e. RR )
55	53, 54	syldan 468	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. RR /\ 0 < y ) -> ( 1 / y ) e. RR )
56	50, 52, 55	syl2anc 659	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ y e. RR+ /\ ( y <_ 1 /\ ( y ^ 2 ) = ( 1 / A ) ) ) -> ( 1 / y ) e. RR )
57		recgt0 10303	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. RR /\ 0 < y ) -> 0 < ( 1 / y ) )
58		ltle 9584	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 e. RR /\ ( 1 / y ) e. RR ) -> ( 0 < ( 1 / y ) -> 0 <_ ( 1 / y ) ) )
59	1, 58	mpan 668	. . . . . . . . 9 |- ( ( 1 / y ) e. RR -> ( 0 < ( 1 / y ) -> 0 <_ ( 1 / y ) ) )
60	55, 57, 59	sylc 60	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. RR /\ 0 < y ) -> 0 <_ ( 1 / y ) )
61	50, 52, 60	syl2anc 659	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ y e. RR+ /\ ( y <_ 1 /\ ( y ^ 2 ) = ( 1 / A ) ) ) -> 0 <_ ( 1 / y ) )
62		recn 9493	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. RR -> y e. CC )
63	62	adantr 463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. RR /\ 0 < y ) -> y e. CC )
64	63, 53	sqrecd 12216	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. RR /\ 0 < y ) -> ( ( 1 / y ) ^ 2 ) = ( 1 / ( y ^ 2 ) ) )
65	50, 52, 64	syl2anc 659	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ y e. RR+ /\ ( y <_ 1 /\ ( y ^ 2 ) = ( 1 / A ) ) ) -> ( ( 1 / y ) ^ 2 ) = ( 1 / ( y ^ 2 ) ) )
66		simp3r 1023	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ y e. RR+ /\ ( y <_ 1 /\ ( y ^ 2 ) = ( 1 / A ) ) ) -> ( y ^ 2 ) = ( 1 / A ) )
67	66	oveq2d 6212	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ y e. RR+ /\ ( y <_ 1 /\ ( y ^ 2 ) = ( 1 / A ) ) ) -> ( 1 / ( y ^ 2 ) ) = ( 1 / ( 1 / A ) ) )
68		gt0ne0 9935	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. RR /\ 0 < A ) -> A =/= 0 )
69	36, 68	syldan 468	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) -> A =/= 0 )
70		recn 9493	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. RR -> A e. CC )
71		recrec 10158	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 ) -> ( 1 / ( 1 / A ) ) = A )
72	70, 71	sylan 469	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. RR /\ A =/= 0 ) -> ( 1 / ( 1 / A ) ) = A )
73	69, 72	syldan 468	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) -> ( 1 / ( 1 / A ) ) = A )
74	73	3ad2ant1 1015	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ y e. RR+ /\ ( y <_ 1 /\ ( y ^ 2 ) = ( 1 / A ) ) ) -> ( 1 / ( 1 / A ) ) = A )
75	65, 67, 74	3eqtrd 2427	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ y e. RR+ /\ ( y <_ 1 /\ ( y ^ 2 ) = ( 1 / A ) ) ) -> ( ( 1 / y ) ^ 2 ) = A )
76		breq2 4371	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( 1 / y ) -> ( 0 <_ x <-> 0 <_ ( 1 / y ) ) )
77		oveq1 6203	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( 1 / y ) -> ( x ^ 2 ) = ( ( 1 / y ) ^ 2 ) )
78	77	eqeq1d 2384	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( 1 / y ) -> ( ( x ^ 2 ) = A <-> ( ( 1 / y ) ^ 2 ) = A ) )
79	76, 78	anbi12d 708	. . . . . . . 8 |- ( x = ( 1 / y ) -> ( ( 0 <_ x /\ ( x ^ 2 ) = A ) <-> ( 0 <_ ( 1 / y ) /\ ( ( 1 / y ) ^ 2 ) = A ) ) )
80	79	rspcev 3135	. . . . . . 7 |- ( ( ( 1 / y ) e. RR /\ ( 0 <_ ( 1 / y ) /\ ( ( 1 / y ) ^ 2 ) = A ) ) -> E. x e. RR ( 0 <_ x /\ ( x ^ 2 ) = A ) )
81	56, 61, 75, 80	syl12anc 1224	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ y e. RR+ /\ ( y <_ 1 /\ ( y ^ 2 ) = ( 1 / A ) ) ) -> E. x e. RR ( 0 <_ x /\ ( x ^ 2 ) = A ) )
82	81	rexlimdv3a 2876	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) -> ( E. y e. RR+ ( y <_ 1 /\ ( y ^ 2 ) = ( 1 / A ) ) -> E. x e. RR ( 0 <_ x /\ ( x ^ 2 ) = A ) ) )
83	48, 82	mpd 15	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) -> E. x e. RR ( 0 <_ x /\ ( x ^ 2 ) = A ) )
84	83	ex 432	. . 3 |- ( A e. RR -> ( 1 <_ A -> E. x e. RR ( 0 <_ x /\ ( x ^ 2 ) = A ) ) )
85	84	adantr 463	. 2 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> ( 1 <_ A -> E. x e. RR ( 0 <_ x /\ ( x ^ 2 ) = A ) ) )
86		simpl 455	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> A e. RR )
87		letric 9596	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( A <_ 1 \/ 1 <_ A ) )
88	86, 32, 87	sylancl 660	. 2 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> ( A <_ 1 \/ 1 <_ A ) )
89	30, 85, 88	mpjaod 379	1 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> E. x e. RR ( 0 <_ x /\ ( x ^ 2 ) = A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 366   /\ wa 367   /\ w3a 971   = wceq 1399   e. wcel 1826   =/= wne 2577   E.wrex 2733   class class class wbr 4367  (class class class)co 6196   CCcc 9401   RRcr 9402   0cc0 9403   1c1 9404   < clt 9539   <_ cle 9540   / cdiv 10123   2c2 10502   RR+crp 11139   ^cexp 12069

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480  ax-pre-sup 9481

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-om 6600  df-2nd 6700  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-er 7229  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-sup 7816  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-div 10124  df-nn 10453  df-2 10511  df-3 10512  df-n0 10713  df-z 10782  df-uz 11002  df-rp 11140  df-seq 12011  df-exp 12070

This theorem is referenced by:  resqreu  13088  resqrtcl  13089