Theorem resqrex 13034

Description: Existence of a square root for positive reals. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2013.)

Assertion

Ref	Expression
resqrex	|- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> E. x e. RR ( 0 <_ x /\ ( x ^ 2 ) = A ) )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem resqrex

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 9585	. . . . 5 |- 0 e. RR
2		leloe 9660	. . . . 5 |- ( ( 0 e. RR /\ A e. RR ) -> ( 0 <_ A <-> ( 0 < A \/ 0 = A ) ) )
3	1, 2	mpan 670	. . . 4 |- ( A e. RR -> ( 0 <_ A <-> ( 0 < A \/ 0 = A ) ) )
4		elrp 11211	. . . . . . 7 |- ( A e. RR+ <-> ( A e. RR /\ 0 < A ) )
5		01sqrex 13033	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) -> E. x e. RR+ ( x <_ 1 /\ ( x ^ 2 ) = A ) )
6		rprege0 11223	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. RR+ -> ( x e. RR /\ 0 <_ x ) )
7	6	anim1i 568	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. RR+ /\ ( x ^ 2 ) = A ) -> ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) /\ ( x ^ 2 ) = A ) )
8		anass 649	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) /\ ( x ^ 2 ) = A ) <-> ( x e. RR /\ ( 0 <_ x /\ ( x ^ 2 ) = A ) ) )
9	7, 8	sylib 196	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. RR+ /\ ( x ^ 2 ) = A ) -> ( x e. RR /\ ( 0 <_ x /\ ( x ^ 2 ) = A ) ) )
10	9	adantrl 715	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. RR+ /\ ( x <_ 1 /\ ( x ^ 2 ) = A ) ) -> ( x e. RR /\ ( 0 <_ x /\ ( x ^ 2 ) = A ) ) )
11	10	reximi2 2924	. . . . . . . 8 |- ( E. x e. RR+ ( x <_ 1 /\ ( x ^ 2 ) = A ) -> E. x e. RR ( 0 <_ x /\ ( x ^ 2 ) = A ) )
12	5, 11	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR+ /\ A <_ 1 ) -> E. x e. RR ( 0 <_ x /\ ( x ^ 2 ) = A ) )
13	4, 12	sylanbr 473	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 < A ) /\ A <_ 1 ) -> E. x e. RR ( 0 <_ x /\ ( x ^ 2 ) = A ) )
14	13	exp31 604	. . . . 5 |- ( A e. RR -> ( 0 < A -> ( A <_ 1 -> E. x e. RR ( 0 <_ x /\ ( x ^ 2 ) = A ) ) ) )
15		sq0 12214	. . . . . . . . . 10 |- ( 0 ^ 2 ) = 0
16		id 22	. . . . . . . . . 10 |- ( 0 = A -> 0 = A )
17	15, 16	syl5eq 2513	. . . . . . . . 9 |- ( 0 = A -> ( 0 ^ 2 ) = A )
18		0le0 10614	. . . . . . . . 9 |- 0 <_ 0
19	17, 18	jctil 537	. . . . . . . 8 |- ( 0 = A -> ( 0 <_ 0 /\ ( 0 ^ 2 ) = A ) )
20		breq2 4444	. . . . . . . . . 10 |- ( x = 0 -> ( 0 <_ x <-> 0 <_ 0 ) )
21		oveq1 6282	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = 0 -> ( x ^ 2 ) = ( 0 ^ 2 ) )
22	21	eqeq1d 2462	. . . . . . . . . 10 |- ( x = 0 -> ( ( x ^ 2 ) = A <-> ( 0 ^ 2 ) = A ) )
23	20, 22	anbi12d 710	. . . . . . . . 9 |- ( x = 0 -> ( ( 0 <_ x /\ ( x ^ 2 ) = A ) <-> ( 0 <_ 0 /\ ( 0 ^ 2 ) = A ) ) )
24	23	rspcev 3207	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 e. RR /\ ( 0 <_ 0 /\ ( 0 ^ 2 ) = A ) ) -> E. x e. RR ( 0 <_ x /\ ( x ^ 2 ) = A ) )
25	1, 19, 24	sylancr 663	. . . . . . 7 |- ( 0 = A -> E. x e. RR ( 0 <_ x /\ ( x ^ 2 ) = A ) )
26	25	a1d 25	. . . . . 6 |- ( 0 = A -> ( A <_ 1 -> E. x e. RR ( 0 <_ x /\ ( x ^ 2 ) = A ) ) )
27	26	a1i 11	. . . . 5 |- ( A e. RR -> ( 0 = A -> ( A <_ 1 -> E. x e. RR ( 0 <_ x /\ ( x ^ 2 ) = A ) ) ) )
28	14, 27	jaod 380	. . . 4 |- ( A e. RR -> ( ( 0 < A \/ 0 = A ) -> ( A <_ 1 -> E. x e. RR ( 0 <_ x /\ ( x ^ 2 ) = A ) ) ) )
29	3, 28	sylbid 215	. . 3 |- ( A e. RR -> ( 0 <_ A -> ( A <_ 1 -> E. x e. RR ( 0 <_ x /\ ( x ^ 2 ) = A ) ) ) )
30	29	imp 429	. 2 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> ( A <_ 1 -> E. x e. RR ( 0 <_ x /\ ( x ^ 2 ) = A ) ) )
31		0lt1 10064	. . . . . . . . . 10 |- 0 < 1
32		1re 9584	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. RR
33		ltletr 9665	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 0 e. RR /\ 1 e. RR /\ A e. RR ) -> ( ( 0 < 1 /\ 1 <_ A ) -> 0 < A ) )
34	1, 32, 33	mp3an12 1309	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. RR -> ( ( 0 < 1 /\ 1 <_ A ) -> 0 < A ) )
35	31, 34	mpani 676	. . . . . . . . 9 |- ( A e. RR -> ( 1 <_ A -> 0 < A ) )
36	35	imp 429	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) -> 0 < A )
37	4	biimpri 206	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR /\ 0 < A ) -> A e. RR+ )
38	36, 37	syldan 470	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) -> A e. RR+ )
39	38	rpreccld 11255	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) -> ( 1 / A ) e. RR+ )
40		simpr 461	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) -> 1 <_ A )
41		lerec 10416	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 1 e. RR /\ 0 < 1 ) /\ ( A e. RR /\ 0 < A ) ) -> ( 1 <_ A <-> ( 1 / A ) <_ ( 1 / 1 ) ) )
42	32, 31, 41	mpanl12 682	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR /\ 0 < A ) -> ( 1 <_ A <-> ( 1 / A ) <_ ( 1 / 1 ) ) )
43	36, 42	syldan 470	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) -> ( 1 <_ A <-> ( 1 / A ) <_ ( 1 / 1 ) ) )
44	40, 43	mpbid 210	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) -> ( 1 / A ) <_ ( 1 / 1 ) )
45		1div1e1 10226	. . . . . . 7 |- ( 1 / 1 ) = 1
46	44, 45	syl6breq 4479	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) -> ( 1 / A ) <_ 1 )
47		01sqrex 13033	. . . . . 6 |- ( ( ( 1 / A ) e. RR+ /\ ( 1 / A ) <_ 1 ) -> E. y e. RR+ ( y <_ 1 /\ ( y ^ 2 ) = ( 1 / A ) ) )
48	39, 46, 47	syl2anc 661	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) -> E. y e. RR+ ( y <_ 1 /\ ( y ^ 2 ) = ( 1 / A ) ) )
49		rpre 11215	. . . . . . . . 9 |- ( y e. RR+ -> y e. RR )
50	49	3ad2ant2 1013	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ y e. RR+ /\ ( y <_ 1 /\ ( y ^ 2 ) = ( 1 / A ) ) ) -> y e. RR )
51		rpgt0 11220	. . . . . . . . 9 |- ( y e. RR+ -> 0 < y )
52	51	3ad2ant2 1013	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ y e. RR+ /\ ( y <_ 1 /\ ( y ^ 2 ) = ( 1 / A ) ) ) -> 0 < y )
53		gt0ne0 10006	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. RR /\ 0 < y ) -> y =/= 0 )
54		rereccl 10251	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. RR /\ y =/= 0 ) -> ( 1 / y ) e. RR )
55	53, 54	syldan 470	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. RR /\ 0 < y ) -> ( 1 / y ) e. RR )
56	50, 52, 55	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ y e. RR+ /\ ( y <_ 1 /\ ( y ^ 2 ) = ( 1 / A ) ) ) -> ( 1 / y ) e. RR )
57		recgt0 10375	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. RR /\ 0 < y ) -> 0 < ( 1 / y ) )
58		ltle 9662	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 e. RR /\ ( 1 / y ) e. RR ) -> ( 0 < ( 1 / y ) -> 0 <_ ( 1 / y ) ) )
59	1, 58	mpan 670	. . . . . . . . 9 |- ( ( 1 / y ) e. RR -> ( 0 < ( 1 / y ) -> 0 <_ ( 1 / y ) ) )
60	55, 57, 59	sylc 60	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. RR /\ 0 < y ) -> 0 <_ ( 1 / y ) )
61	50, 52, 60	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ y e. RR+ /\ ( y <_ 1 /\ ( y ^ 2 ) = ( 1 / A ) ) ) -> 0 <_ ( 1 / y ) )
62		recn 9571	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. RR -> y e. CC )
63	62	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. RR /\ 0 < y ) -> y e. CC )
64	63, 53	sqrecd 12269	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. RR /\ 0 < y ) -> ( ( 1 / y ) ^ 2 ) = ( 1 / ( y ^ 2 ) ) )
65	50, 52, 64	syl2anc 661	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ y e. RR+ /\ ( y <_ 1 /\ ( y ^ 2 ) = ( 1 / A ) ) ) -> ( ( 1 / y ) ^ 2 ) = ( 1 / ( y ^ 2 ) ) )
66		simp3r 1020	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ y e. RR+ /\ ( y <_ 1 /\ ( y ^ 2 ) = ( 1 / A ) ) ) -> ( y ^ 2 ) = ( 1 / A ) )
67	66	oveq2d 6291	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ y e. RR+ /\ ( y <_ 1 /\ ( y ^ 2 ) = ( 1 / A ) ) ) -> ( 1 / ( y ^ 2 ) ) = ( 1 / ( 1 / A ) ) )
68		gt0ne0 10006	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. RR /\ 0 < A ) -> A =/= 0 )
69	36, 68	syldan 470	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) -> A =/= 0 )
70		recn 9571	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. RR -> A e. CC )
71		recrec 10230	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 ) -> ( 1 / ( 1 / A ) ) = A )
72	70, 71	sylan 471	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. RR /\ A =/= 0 ) -> ( 1 / ( 1 / A ) ) = A )
73	69, 72	syldan 470	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) -> ( 1 / ( 1 / A ) ) = A )
74	73	3ad2ant1 1012	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ y e. RR+ /\ ( y <_ 1 /\ ( y ^ 2 ) = ( 1 / A ) ) ) -> ( 1 / ( 1 / A ) ) = A )
75	65, 67, 74	3eqtrd 2505	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ y e. RR+ /\ ( y <_ 1 /\ ( y ^ 2 ) = ( 1 / A ) ) ) -> ( ( 1 / y ) ^ 2 ) = A )
76		breq2 4444	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( 1 / y ) -> ( 0 <_ x <-> 0 <_ ( 1 / y ) ) )
77		oveq1 6282	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( 1 / y ) -> ( x ^ 2 ) = ( ( 1 / y ) ^ 2 ) )
78	77	eqeq1d 2462	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( 1 / y ) -> ( ( x ^ 2 ) = A <-> ( ( 1 / y ) ^ 2 ) = A ) )
79	76, 78	anbi12d 710	. . . . . . . 8 |- ( x = ( 1 / y ) -> ( ( 0 <_ x /\ ( x ^ 2 ) = A ) <-> ( 0 <_ ( 1 / y ) /\ ( ( 1 / y ) ^ 2 ) = A ) ) )
80	79	rspcev 3207	. . . . . . 7 |- ( ( ( 1 / y ) e. RR /\ ( 0 <_ ( 1 / y ) /\ ( ( 1 / y ) ^ 2 ) = A ) ) -> E. x e. RR ( 0 <_ x /\ ( x ^ 2 ) = A ) )
81	56, 61, 75, 80	syl12anc 1221	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) /\ y e. RR+ /\ ( y <_ 1 /\ ( y ^ 2 ) = ( 1 / A ) ) ) -> E. x e. RR ( 0 <_ x /\ ( x ^ 2 ) = A ) )
82	81	rexlimdv3a 2950	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) -> ( E. y e. RR+ ( y <_ 1 /\ ( y ^ 2 ) = ( 1 / A ) ) -> E. x e. RR ( 0 <_ x /\ ( x ^ 2 ) = A ) ) )
83	48, 82	mpd 15	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ 1 <_ A ) -> E. x e. RR ( 0 <_ x /\ ( x ^ 2 ) = A ) )
84	83	ex 434	. . 3 |- ( A e. RR -> ( 1 <_ A -> E. x e. RR ( 0 <_ x /\ ( x ^ 2 ) = A ) ) )
85	84	adantr 465	. 2 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> ( 1 <_ A -> E. x e. RR ( 0 <_ x /\ ( x ^ 2 ) = A ) ) )
86		simpl 457	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> A e. RR )
87		letric 9674	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( A <_ 1 \/ 1 <_ A ) )
88	86, 32, 87	sylancl 662	. 2 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> ( A <_ 1 \/ 1 <_ A ) )
89	30, 85, 88	mpjaod 381	1 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> E. x e. RR ( 0 <_ x /\ ( x ^ 2 ) = A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   /\ w3a 968   = wceq 1374   e. wcel 1762   =/= wne 2655   E.wrex 2808   class class class wbr 4440  (class class class)co 6275   CCcc 9479   RRcr 9480   0cc0 9481   1c1 9482   < clt 9617   <_ cle 9618   / cdiv 10195   2c2 10574   RR+crp 11209   ^cexp 12122

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-sup 7890  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-div 10196  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-rp 11210  df-seq 12064  df-exp 12123

This theorem is referenced by:  resqreu  13036  resqrcl  13037