MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  resqreu Structured version   Unicode version

Theorem resqreu 13036
Description: Existence and uniqueness for the real square root function. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2013.)
Assertion
Ref Expression
resqreu  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  ->  E! x  e.  CC  ( ( x ^
2 )  =  A  /\  0  <_  (
Re `  x )  /\  ( _i  x.  x
)  e/  RR+ ) )
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem resqreu
StepHypRef Expression
1 resqrex 13034 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  ->  E. x  e.  RR  ( 0  <_  x  /\  ( x ^ 2 )  =  A ) )
2 recn 9571 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  CC )
32adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  RR  /\  ( 0  <_  x  /\  ( x ^ 2 )  =  A ) )  ->  x  e.  CC )
4 simprr 756 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  RR  /\  ( 0  <_  x  /\  ( x ^ 2 )  =  A ) )  ->  ( x ^ 2 )  =  A )
5 rere 12905 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR  ->  (
Re `  x )  =  x )
65breq2d 4452 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR  ->  (
0  <_  ( Re `  x )  <->  0  <_  x ) )
76biimpar 485 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  -> 
0  <_  ( Re `  x ) )
87adantrr 716 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  RR  /\  ( 0  <_  x  /\  ( x ^ 2 )  =  A ) )  ->  0  <_  ( Re `  x ) )
9 rennim 13022 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR  ->  (
_i  x.  x )  e/  RR+ )
109adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  RR  /\  ( 0  <_  x  /\  ( x ^ 2 )  =  A ) )  ->  ( _i  x.  x )  e/  RR+ )
114, 8, 103jca 1171 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  RR  /\  ( 0  <_  x  /\  ( x ^ 2 )  =  A ) )  ->  ( (
x ^ 2 )  =  A  /\  0  <_  ( Re `  x
)  /\  ( _i  x.  x )  e/  RR+ )
)
123, 11jca 532 . . . 4  |-  ( ( x  e.  RR  /\  ( 0  <_  x  /\  ( x ^ 2 )  =  A ) )  ->  ( x  e.  CC  /\  ( ( x ^ 2 )  =  A  /\  0  <_  ( Re `  x
)  /\  ( _i  x.  x )  e/  RR+ )
) )
1312reximi2 2924 . . 3  |-  ( E. x  e.  RR  (
0  <_  x  /\  ( x ^ 2 )  =  A )  ->  E. x  e.  CC  ( ( x ^
2 )  =  A  /\  0  <_  (
Re `  x )  /\  ( _i  x.  x
)  e/  RR+ ) )
141, 13syl 16 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  ->  E. x  e.  CC  ( ( x ^
2 )  =  A  /\  0  <_  (
Re `  x )  /\  ( _i  x.  x
)  e/  RR+ ) )
15 recn 9571 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  CC )
1615adantr 465 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  ->  A  e.  CC )
17 sqrmo 13035 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  E* x  e.  CC  (
( x ^ 2 )  =  A  /\  0  <_  ( Re `  x )  /\  (
_i  x.  x )  e/  RR+ ) )
1816, 17syl 16 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  ->  E* x  e.  CC  ( ( x ^
2 )  =  A  /\  0  <_  (
Re `  x )  /\  ( _i  x.  x
)  e/  RR+ ) )
19 reu5 3070 . 2  |-  ( E! x  e.  CC  (
( x ^ 2 )  =  A  /\  0  <_  ( Re `  x )  /\  (
_i  x.  x )  e/  RR+ )  <->  ( E. x  e.  CC  (
( x ^ 2 )  =  A  /\  0  <_  ( Re `  x )  /\  (
_i  x.  x )  e/  RR+ )  /\  E* x  e.  CC  (
( x ^ 2 )  =  A  /\  0  <_  ( Re `  x )  /\  (
_i  x.  x )  e/  RR+ ) ) )
2014, 18, 19sylanbrc 664 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  ->  E! x  e.  CC  ( ( x ^
2 )  =  A  /\  0  <_  (
Re `  x )  /\  ( _i  x.  x
)  e/  RR+ ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 968    = wceq 1374    e. wcel 1762    e/ wnel 2656   E.wrex 2808   E!wreu 2809   E*wrmo 2810   class class class wbr 4440   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   CCcc 9479   RRcr 9480   0cc0 9481   _ici 9483    x. cmul 9486    <_ cle 9618   2c2 10574   RR+crp 11209   ^cexp 12122   Recre 12880
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-sup 7890  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-div 10196  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-rp 11210  df-seq 12064  df-exp 12123  df-cj 12882  df-re 12883  df-im 12884
This theorem is referenced by:  resqrcl  13037  resqrthlem  13038
  Copyright terms: Public domain W3C validator