MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  resqreu Structured version   Unicode version

Theorem resqreu 13295
Description: Existence and uniqueness for the real square root function. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2013.)
Assertion
Ref Expression
resqreu  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  ->  E! x  e.  CC  ( ( x ^
2 )  =  A  /\  0  <_  (
Re `  x )  /\  ( _i  x.  x
)  e/  RR+ ) )
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem resqreu
StepHypRef Expression
1 resqrex 13293 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  ->  E. x  e.  RR  ( 0  <_  x  /\  ( x ^ 2 )  =  A ) )
2 recn 9628 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  CC )
32adantr 466 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  RR  /\  ( 0  <_  x  /\  ( x ^ 2 )  =  A ) )  ->  x  e.  CC )
4 simprr 764 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  RR  /\  ( 0  <_  x  /\  ( x ^ 2 )  =  A ) )  ->  ( x ^ 2 )  =  A )
5 rere 13164 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR  ->  (
Re `  x )  =  x )
65breq2d 4438 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR  ->  (
0  <_  ( Re `  x )  <->  0  <_  x ) )
76biimpar 487 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  -> 
0  <_  ( Re `  x ) )
87adantrr 721 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  RR  /\  ( 0  <_  x  /\  ( x ^ 2 )  =  A ) )  ->  0  <_  ( Re `  x ) )
9 rennim 13281 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR  ->  (
_i  x.  x )  e/  RR+ )
109adantr 466 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  RR  /\  ( 0  <_  x  /\  ( x ^ 2 )  =  A ) )  ->  ( _i  x.  x )  e/  RR+ )
114, 8, 103jca 1185 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  RR  /\  ( 0  <_  x  /\  ( x ^ 2 )  =  A ) )  ->  ( (
x ^ 2 )  =  A  /\  0  <_  ( Re `  x
)  /\  ( _i  x.  x )  e/  RR+ )
)
123, 11jca 534 . . . 4  |-  ( ( x  e.  RR  /\  ( 0  <_  x  /\  ( x ^ 2 )  =  A ) )  ->  ( x  e.  CC  /\  ( ( x ^ 2 )  =  A  /\  0  <_  ( Re `  x
)  /\  ( _i  x.  x )  e/  RR+ )
) )
1312reximi2 2899 . . 3  |-  ( E. x  e.  RR  (
0  <_  x  /\  ( x ^ 2 )  =  A )  ->  E. x  e.  CC  ( ( x ^
2 )  =  A  /\  0  <_  (
Re `  x )  /\  ( _i  x.  x
)  e/  RR+ ) )
141, 13syl 17 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  ->  E. x  e.  CC  ( ( x ^
2 )  =  A  /\  0  <_  (
Re `  x )  /\  ( _i  x.  x
)  e/  RR+ ) )
15 recn 9628 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  CC )
1615adantr 466 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  ->  A  e.  CC )
17 sqrmo 13294 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  E* x  e.  CC  (
( x ^ 2 )  =  A  /\  0  <_  ( Re `  x )  /\  (
_i  x.  x )  e/  RR+ ) )
1816, 17syl 17 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  ->  E* x  e.  CC  ( ( x ^
2 )  =  A  /\  0  <_  (
Re `  x )  /\  ( _i  x.  x
)  e/  RR+ ) )
19 reu5 3051 . 2  |-  ( E! x  e.  CC  (
( x ^ 2 )  =  A  /\  0  <_  ( Re `  x )  /\  (
_i  x.  x )  e/  RR+ )  <->  ( E. x  e.  CC  (
( x ^ 2 )  =  A  /\  0  <_  ( Re `  x )  /\  (
_i  x.  x )  e/  RR+ )  /\  E* x  e.  CC  (
( x ^ 2 )  =  A  /\  0  <_  ( Re `  x )  /\  (
_i  x.  x )  e/  RR+ ) ) )
2014, 18, 19sylanbrc 668 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  ->  E! x  e.  CC  ( ( x ^
2 )  =  A  /\  0  <_  (
Re `  x )  /\  ( _i  x.  x
)  e/  RR+ ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1870    e/ wnel 2626   E.wrex 2783   E!wreu 2784   E*wrmo 2785   class class class wbr 4426   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   CCcc 9536   RRcr 9537   0cc0 9538   _ici 9540    x. cmul 9543    <_ cle 9675   2c2 10659   RR+crp 11302   ^cexp 12269   Recre 13139
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-sup 7962  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-seq 12211  df-exp 12270  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143
This theorem is referenced by:  resqrtcl  13296  resqrtthlem  13297
  Copyright terms: Public domain W3C validator