MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  resqrcn Structured version   Unicode version

Theorem resqrcn 22192
Description: Continuity of the real square root function. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
resqrcn  |-  ( sqr  |`  ( 0 [,) +oo ) )  e.  ( ( 0 [,) +oo ) -cn-> RR )

Proof of Theorem resqrcn
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sqrf 12856 . . . . . . 7  |-  sqr : CC
--> CC
21a1i 11 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  sqr : CC --> CC )
32feqmptd 5749 . . . . 5  |-  ( T. 
->  sqr  =  ( x  e.  CC  |->  ( sqr `  x ) ) )
43reseq1d 5114 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( sqr  |`  (
0 [,) +oo )
)  =  ( ( x  e.  CC  |->  ( sqr `  x ) )  |`  ( 0 [,) +oo ) ) )
5 elrege0 11397 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )
65simplbi 460 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 0 [,) +oo )  ->  x  e.  RR )
76recnd 9417 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( 0 [,) +oo )  ->  x  e.  CC )
87ssriv 3365 . . . . 5  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  CC
9 resmpt 5161 . . . . 5  |-  ( ( 0 [,) +oo )  C_  CC  ->  ( (
x  e.  CC  |->  ( sqr `  x ) )  |`  ( 0 [,) +oo ) )  =  ( x  e.  ( 0 [,) +oo )  |->  ( sqr `  x
) ) )
108, 9mp1i 12 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( ( x  e.  CC  |->  ( sqr `  x
) )  |`  (
0 [,) +oo )
)  =  ( x  e.  ( 0 [,) +oo )  |->  ( sqr `  x ) ) )
114, 10eqtrd 2475 . . 3  |-  ( T. 
->  ( sqr  |`  (
0 [,) +oo )
)  =  ( x  e.  ( 0 [,) +oo )  |->  ( sqr `  x ) ) )
1211trud 1378 . 2  |-  ( sqr  |`  ( 0 [,) +oo ) )  =  ( x  e.  ( 0 [,) +oo )  |->  ( sqr `  x ) )
13 eqid 2443 . . . 4  |-  ( x  e.  ( 0 [,) +oo )  |->  ( sqr `  x ) )  =  ( x  e.  ( 0 [,) +oo )  |->  ( sqr `  x
) )
14 resqrcl 12748 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  -> 
( sqr `  x
)  e.  RR )
155, 14sylbi 195 . . . 4  |-  ( x  e.  ( 0 [,) +oo )  ->  ( sqr `  x )  e.  RR )
1613, 15fmpti 5871 . . 3  |-  ( x  e.  ( 0 [,) +oo )  |->  ( sqr `  x ) ) : ( 0 [,) +oo )
--> RR
17 ax-resscn 9344 . . . 4  |-  RR  C_  CC
18 cxpsqr 22153 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  CC  ->  (
x  ^c  ( 1  /  2 ) )  =  ( sqr `  x ) )
197, 18syl 16 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 0 [,) +oo )  ->  ( x  ^c  ( 1  /  2 ) )  =  ( sqr `  x
) )
2019mpteq2ia 4379 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( 0 [,) +oo )  |->  ( x  ^c  ( 1  /  2 ) ) )  =  ( x  e.  ( 0 [,) +oo )  |->  ( sqr `  x ) )
21 eqid 2443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
2221cnfldtopon 20367 . . . . . . . . . 10  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )
2322a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC ) )
24 resttopon 18770 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )  /\  (
0 [,) +oo )  C_  CC )  ->  (
( TopOpen ` fld )t  ( 0 [,) +oo ) )  e.  (TopOn `  ( 0 [,) +oo ) ) )
2523, 8, 24sylancl 662 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  ( ( TopOpen ` fld )t  ( 0 [,) +oo ) )  e.  (TopOn `  ( 0 [,) +oo ) ) )
2625cnmptid 19239 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  ( x  e.  ( 0 [,) +oo )  |->  x )  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( 0 [,) +oo ) )  Cn  (
( TopOpen ` fld )t  ( 0 [,) +oo ) ) ) )
27 cnvimass 5194 . . . . . . . . . . 11  |-  ( `' Re " RR+ )  C_ 
dom  Re
28 ref 12606 . . . . . . . . . . . 12  |-  Re : CC
--> RR
2928fdmi 5569 . . . . . . . . . . 11  |-  dom  Re  =  CC
3027, 29sseqtri 3393 . . . . . . . . . 10  |-  ( `' Re " RR+ )  C_  CC
31 resttopon 18770 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )  /\  ( `' Re " RR+ )  C_  CC )  ->  (
( TopOpen ` fld )t  ( `' Re "
RR+ ) )  e.  (TopOn `  ( `' Re " RR+ ) ) )
3223, 30, 31sylancl 662 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  ( ( TopOpen ` fld )t  ( `' Re "
RR+ ) )  e.  (TopOn `  ( `' Re " RR+ ) ) )
33 halfcn 10546 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  /  2 )  e.  CC
34 1rp 11000 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  RR+
35 rphalfcl 11020 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1  e.  RR+  ->  ( 1  /  2 )  e.  RR+ )
3634, 35ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR+
37 rpre 11002 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1  /  2 )  e.  RR+  ->  ( 1  /  2 )  e.  RR )
38 rere 12616 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1  /  2 )  e.  RR  ->  (
Re `  ( 1  /  2 ) )  =  ( 1  / 
2 ) )
3936, 37, 38mp2b 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Re
`  ( 1  / 
2 ) )  =  ( 1  /  2
)
4039, 36eqeltri 2513 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Re
`  ( 1  / 
2 ) )  e.  RR+
41 ffn 5564 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Re : CC --> RR  ->  Re  Fn  CC )
42 elpreima 5828 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Re  Fn  CC  ->  (
( 1  /  2
)  e.  ( `' Re " RR+ )  <->  ( ( 1  /  2
)  e.  CC  /\  ( Re `  ( 1  /  2 ) )  e.  RR+ ) ) )
4328, 41, 42mp2b 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  /  2 )  e.  ( `' Re "
RR+ )  <->  ( (
1  /  2 )  e.  CC  /\  (
Re `  ( 1  /  2 ) )  e.  RR+ ) )
4433, 40, 43mpbir2an 911 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  /  2 )  e.  ( `' Re " RR+ )
4544a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  ( 1  /  2
)  e.  ( `' Re " RR+ )
)
4625, 32, 45cnmptc 19240 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  ( x  e.  ( 0 [,) +oo )  |->  ( 1  /  2
) )  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( 0 [,) +oo ) )  Cn  (
( TopOpen ` fld )t  ( `' Re "
RR+ ) ) ) )
47 eqid 2443 . . . . . . . . . 10  |-  ( `' Re " RR+ )  =  ( `' Re "
RR+ )
48 eqid 2443 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  ( 0 [,) +oo ) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  ( 0 [,) +oo ) )
49 eqid 2443 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  ( `' Re " RR+ ) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  ( `' Re "
RR+ ) )
5047, 21, 48, 49cxpcn3 22191 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  z  e.  ( `' Re " RR+ )  |->  ( y  ^c  z ) )  e.  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( 0 [,) +oo ) )  tX  (
( TopOpen ` fld )t  ( `' Re "
RR+ ) ) )  Cn  ( TopOpen ` fld ) )
5150a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  ( y  e.  ( 0 [,) +oo ) ,  z  e.  ( `' Re " RR+ )  |->  ( y  ^c 
z ) )  e.  ( ( ( (
TopOpen ` fld )t  ( 0 [,) +oo ) )  tX  (
( TopOpen ` fld )t  ( `' Re "
RR+ ) ) )  Cn  ( TopOpen ` fld ) ) )
52 oveq12 6105 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  =  x  /\  z  =  ( 1  /  2 ) )  ->  ( y  ^c  z )  =  ( x  ^c 
( 1  /  2
) ) )
5325, 26, 46, 25, 32, 51, 52cnmpt12 19245 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  ( x  e.  ( 0 [,) +oo )  |->  ( x  ^c 
( 1  /  2
) ) )  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )t  (
0 [,) +oo )
)  Cn  ( TopOpen ` fld )
) )
54 ssid 3380 . . . . . . . 8  |-  CC  C_  CC
5522toponunii 18542 . . . . . . . . . . . 12  |-  CC  =  U. ( TopOpen ` fld )
5655restid 14377 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )  ->  ( (
TopOpen ` fld )t  CC )  =  (
TopOpen ` fld ) )
5722, 56ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  CC )  =  (
TopOpen ` fld )
5857eqcomi 2447 . . . . . . . . 9  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  CC )
5921, 48, 58cncfcn 20490 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 0 [,) +oo )  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  (
( 0 [,) +oo ) -cn-> CC )  =  ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( 0 [,) +oo ) )  Cn  ( TopOpen
` fld
) ) )
608, 54, 59mp2an 672 . . . . . . 7  |-  ( ( 0 [,) +oo ) -cn->
CC )  =  ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( 0 [,) +oo ) )  Cn  ( TopOpen
` fld
) )
6153, 60syl6eleqr 2534 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( x  e.  ( 0 [,) +oo )  |->  ( x  ^c 
( 1  /  2
) ) )  e.  ( ( 0 [,) +oo ) -cn-> CC ) )
6220, 61syl5eqelr 2528 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( x  e.  ( 0 [,) +oo )  |->  ( sqr `  x
) )  e.  ( ( 0 [,) +oo ) -cn-> CC ) )
6362trud 1378 . . . 4  |-  ( x  e.  ( 0 [,) +oo )  |->  ( sqr `  x ) )  e.  ( ( 0 [,) +oo ) -cn-> CC )
64 cncffvrn 20479 . . . 4  |-  ( ( RR  C_  CC  /\  (
x  e.  ( 0 [,) +oo )  |->  ( sqr `  x ) )  e.  ( ( 0 [,) +oo ) -cn->
CC ) )  -> 
( ( x  e.  ( 0 [,) +oo )  |->  ( sqr `  x
) )  e.  ( ( 0 [,) +oo ) -cn-> RR )  <->  ( x  e.  ( 0 [,) +oo )  |->  ( sqr `  x
) ) : ( 0 [,) +oo ) --> RR ) )
6517, 63, 64mp2an 672 . . 3  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,) +oo )  |->  ( sqr `  x ) )  e.  ( ( 0 [,) +oo ) -cn->
RR )  <->  ( x  e.  ( 0 [,) +oo )  |->  ( sqr `  x
) ) : ( 0 [,) +oo ) --> RR )
6616, 65mpbir 209 . 2  |-  ( x  e.  ( 0 [,) +oo )  |->  ( sqr `  x ) )  e.  ( ( 0 [,) +oo ) -cn-> RR )
6712, 66eqeltri 2513 1  |-  ( sqr  |`  ( 0 [,) +oo ) )  e.  ( ( 0 [,) +oo ) -cn-> RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369   T. wtru 1370    e. wcel 1756    C_ wss 3333   class class class wbr 4297    e. cmpt 4355   `'ccnv 4844   dom cdm 4845    |` cres 4847   "cima 4848    Fn wfn 5418   -->wf 5419   ` cfv 5423  (class class class)co 6096    e. cmpt2 6098   CCcc 9285   RRcr 9286   0cc0 9287   1c1 9288   +oocpnf 9420    <_ cle 9424    / cdiv 9998   2c2 10376   RR+crp 10996   [,)cico 11307   Recre 12591   sqrcsqr 12727   ↾t crest 14364   TopOpenctopn 14365  ℂfldccnfld 17823  TopOnctopon 18504    Cn ccn 18833    tX ctx 19138   -cn->ccncf 20457    ^c ccxp 22012
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-inf2 7852  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364  ax-pre-sup 9365  ax-addf 9366  ax-mulf 9367
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-iin 4179  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-se 4685  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-isom 5432  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-of 6325  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-supp 6696  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-1o 6925  df-2o 6926  df-oadd 6929  df-er 7106  df-map 7221  df-pm 7222  df-ixp 7269  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-fin 7319  df-fsupp 7626  df-fi 7666  df-sup 7696  df-oi 7729  df-card 8114  df-cda 8342  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-div 9999  df-nn 10328  df-2 10385  df-3 10386  df-4 10387  df-5 10388  df-6 10389  df-7 10390  df-8 10391  df-9 10392  df-10 10393  df-n0 10585  df-z 10652  df-dec 10761  df-uz 10867  df-q 10959  df-rp 10997  df-xneg 11094  df-xadd 11095  df-xmul 11096  df-ioo 11309  df-ioc 11310  df-ico 11311  df-icc 11312  df-fz 11443  df-fzo 11554  df-fl 11647  df-mod 11714  df-seq 11812  df-exp 11871  df-fac 12057  df-bc 12084  df-hash 12109  df-shft 12561  df-cj 12593  df-re 12594  df-im 12595  df-sqr 12729  df-abs 12730  df-limsup 12954  df-clim 12971  df-rlim 12972  df-sum 13169  df-ef 13358  df-sin 13360  df-cos 13361  df-tan 13362  df-pi 13363  df-struct 14181  df-ndx 14182  df-slot 14183  df-base 14184  df-sets 14185  df-ress 14186  df-plusg 14256  df-mulr 14257  df-starv 14258  df-sca 14259  df-vsca 14260  df-ip 14261  df-tset 14262  df-ple 14263  df-ds 14265  df-unif 14266  df-hom 14267  df-cco 14268  df-rest 14366  df-topn 14367  df-0g 14385  df-gsum 14386  df-topgen 14387  df-pt 14388  df-prds 14391  df-xrs 14445  df-qtop 14450  df-imas 14451  df-xps 14453  df-mre 14529  df-mrc 14530  df-acs 14532  df-mnd 15420  df-submnd 15470  df-mulg 15553  df-cntz 15840  df-cmn 16284  df-psmet 17814  df-xmet 17815  df-met 17816  df-bl 17817  df-mopn 17818  df-fbas 17819  df-fg 17820  df-cnfld 17824  df-top 18508  df-bases 18510  df-topon 18511  df-topsp 18512  df-cld 18628  df-ntr 18629  df-cls 18630  df-nei 18707  df-lp 18745  df-perf 18746  df-cn 18836  df-cnp 18837  df-haus 18924  df-cmp 18995  df-tx 19140  df-hmeo 19333  df-fil 19424  df-fm 19516  df-flim 19517  df-flf 19518  df-xms 19900  df-ms 19901  df-tms 19902  df-cncf 20459  df-limc 21346  df-dv 21347  df-log 22013  df-cxp 22014
This theorem is referenced by:  loglesqr  22201  areacirclem2  28490
  Copyright terms: Public domain W3C validator