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Theorem resqrcl 12847
Description: Closure of the square root function. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2013.)
Assertion
Ref Expression
resqrcl  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
( sqr `  A
)  e.  RR )

Proof of Theorem resqrcl
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 resqrex 12844 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  ->  E. y  e.  RR  ( 0  <_  y  /\  ( y ^ 2 )  =  A ) )
2 simp1l 1012 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  y  e.  RR  /\  ( 0  <_  y  /\  ( y ^ 2 )  =  A ) )  ->  A  e.  RR )
3 recn 9475 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  CC )
4 sqrval 12830 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  ( sqr `  A )  =  ( iota_ x  e.  CC  ( ( x ^
2 )  =  A  /\  0  <_  (
Re `  x )  /\  ( _i  x.  x
)  e/  RR+ ) ) )
52, 3, 43syl 20 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  y  e.  RR  /\  ( 0  <_  y  /\  ( y ^ 2 )  =  A ) )  ->  ( sqr `  A )  =  (
iota_ x  e.  CC  ( ( x ^
2 )  =  A  /\  0  <_  (
Re `  x )  /\  ( _i  x.  x
)  e/  RR+ ) ) )
6 simp3r 1017 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  y  e.  RR  /\  ( 0  <_  y  /\  ( y ^ 2 )  =  A ) )  ->  ( y ^ 2 )  =  A )
7 simp3l 1016 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  y  e.  RR  /\  ( 0  <_  y  /\  ( y ^ 2 )  =  A ) )  ->  0  <_  y )
8 rere 12715 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR  ->  (
Re `  y )  =  y )
983ad2ant2 1010 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  y  e.  RR  /\  ( 0  <_  y  /\  ( y ^ 2 )  =  A ) )  ->  ( Re `  y )  =  y )
107, 9breqtrrd 4418 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  y  e.  RR  /\  ( 0  <_  y  /\  ( y ^ 2 )  =  A ) )  ->  0  <_  ( Re `  y ) )
11 rennim 12832 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  RR  ->  (
_i  x.  y )  e/  RR+ )
12113ad2ant2 1010 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  y  e.  RR  /\  ( 0  <_  y  /\  ( y ^ 2 )  =  A ) )  ->  ( _i  x.  y )  e/  RR+ )
136, 10, 123jca 1168 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  y  e.  RR  /\  ( 0  <_  y  /\  ( y ^ 2 )  =  A ) )  ->  ( (
y ^ 2 )  =  A  /\  0  <_  ( Re `  y
)  /\  ( _i  x.  y )  e/  RR+ )
)
14 recn 9475 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  RR  ->  y  e.  CC )
15143ad2ant2 1010 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  y  e.  RR  /\  ( 0  <_  y  /\  ( y ^ 2 )  =  A ) )  ->  y  e.  CC )
16 resqreu 12846 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  ->  E! x  e.  CC  ( ( x ^
2 )  =  A  /\  0  <_  (
Re `  x )  /\  ( _i  x.  x
)  e/  RR+ ) )
17163ad2ant1 1009 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  y  e.  RR  /\  ( 0  <_  y  /\  ( y ^ 2 )  =  A ) )  ->  E! x  e.  CC  ( ( x ^ 2 )  =  A  /\  0  <_ 
( Re `  x
)  /\  ( _i  x.  x )  e/  RR+ )
)
18 oveq1 6199 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
x ^ 2 )  =  ( y ^
2 ) )
1918eqeq1d 2453 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
( x ^ 2 )  =  A  <->  ( y ^ 2 )  =  A ) )
20 fveq2 5791 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
Re `  x )  =  ( Re `  y ) )
2120breq2d 4404 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
0  <_  ( Re `  x )  <->  0  <_  ( Re `  y ) ) )
22 oveq2 6200 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
_i  x.  x )  =  ( _i  x.  y ) )
23 neleq1 2786 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( _i  x.  x )  =  ( _i  x.  y )  ->  (
( _i  x.  x
)  e/  RR+  <->  ( _i  x.  y )  e/  RR+ )
)
2422, 23syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
( _i  x.  x
)  e/  RR+  <->  ( _i  x.  y )  e/  RR+ )
)
2519, 21, 243anbi123d 1290 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( x ^
2 )  =  A  /\  0  <_  (
Re `  x )  /\  ( _i  x.  x
)  e/  RR+ )  <->  ( (
y ^ 2 )  =  A  /\  0  <_  ( Re `  y
)  /\  ( _i  x.  y )  e/  RR+ )
) )
2625riota2 6176 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  CC  /\  E! x  e.  CC  ( ( x ^
2 )  =  A  /\  0  <_  (
Re `  x )  /\  ( _i  x.  x
)  e/  RR+ ) )  ->  ( ( ( y ^ 2 )  =  A  /\  0  <_  ( Re `  y
)  /\  ( _i  x.  y )  e/  RR+ )  <->  (
iota_ x  e.  CC  ( ( x ^
2 )  =  A  /\  0  <_  (
Re `  x )  /\  ( _i  x.  x
)  e/  RR+ ) )  =  y ) )
2715, 17, 26syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  y  e.  RR  /\  ( 0  <_  y  /\  ( y ^ 2 )  =  A ) )  ->  ( (
( y ^ 2 )  =  A  /\  0  <_  ( Re `  y )  /\  (
_i  x.  y )  e/  RR+ )  <->  ( iota_ x  e.  CC  ( ( x ^ 2 )  =  A  /\  0  <_  ( Re `  x
)  /\  ( _i  x.  x )  e/  RR+ )
)  =  y ) )
2813, 27mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  y  e.  RR  /\  ( 0  <_  y  /\  ( y ^ 2 )  =  A ) )  ->  ( iota_ x  e.  CC  ( ( x ^ 2 )  =  A  /\  0  <_  ( Re `  x
)  /\  ( _i  x.  x )  e/  RR+ )
)  =  y )
295, 28eqtrd 2492 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  y  e.  RR  /\  ( 0  <_  y  /\  ( y ^ 2 )  =  A ) )  ->  ( sqr `  A )  =  y )
30 simp2 989 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  y  e.  RR  /\  ( 0  <_  y  /\  ( y ^ 2 )  =  A ) )  ->  y  e.  RR )
3129, 30eqeltrd 2539 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  y  e.  RR  /\  ( 0  <_  y  /\  ( y ^ 2 )  =  A ) )  ->  ( sqr `  A )  e.  RR )
3231rexlimdv3a 2941 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
( E. y  e.  RR  ( 0  <_ 
y  /\  ( y ^ 2 )  =  A )  ->  ( sqr `  A )  e.  RR ) )
331, 32mpd 15 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
( sqr `  A
)  e.  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758    e/ wnel 2645   E.wrex 2796   E!wreu 2797   class class class wbr 4392   ` cfv 5518   iota_crio 6152  (class class class)co 6192   CCcc 9383   RRcr 9384   0cc0 9385   _ici 9387    x. cmul 9390    <_ cle 9522   2c2 10474   RR+crp 11094   ^cexp 11968   Recre 12690   sqrcsqr 12826
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474  ax-cnex 9441  ax-resscn 9442  ax-1cn 9443  ax-icn 9444  ax-addcl 9445  ax-addrcl 9446  ax-mulcl 9447  ax-mulrcl 9448  ax-mulcom 9449  ax-addass 9450  ax-mulass 9451  ax-distr 9452  ax-i2m1 9453  ax-1ne0 9454  ax-1rid 9455  ax-rnegex 9456  ax-rrecex 9457  ax-cnre 9458  ax-pre-lttri 9459  ax-pre-lttrn 9460  ax-pre-ltadd 9461  ax-pre-mulgt0 9462  ax-pre-sup 9463
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-pss 3444  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-tp 3982  df-op 3984  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4486  df-eprel 4732  df-id 4736  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-riota 6153  df-ov 6195  df-oprab 6196  df-mpt2 6197  df-om 6579  df-2nd 6680  df-recs 6934  df-rdg 6968  df-er 7203  df-en 7413  df-dom 7414  df-sdom 7415  df-sup 7794  df-pnf 9523  df-mnf 9524  df-xr 9525  df-ltxr 9526  df-le 9527  df-sub 9700  df-neg 9701  df-div 10097  df-nn 10426  df-2 10483  df-3 10484  df-n0 10683  df-z 10750  df-uz 10965  df-rp 11095  df-seq 11910  df-exp 11969  df-cj 12692  df-re 12693  df-im 12694  df-sqr 12828
This theorem is referenced by:  resqrthlem  12848  remsqsqr  12850  sqrge0  12851  sqrgt0  12852  sqrmul  12853  sqrle  12854  sqrlt  12855  sqr11  12856  rpsqrcl  12858  sqrdiv  12859  sqrneglem  12860  sqrneg  12861  sqrsq2  12862  abscl  12871  sqreulem  12951  sqreu  12952  amgm2  12961  sqrcli  12963  resqrcld  13008  resqrcn  22305  loglesqr  22314  1cubrlem  22354  ftc1anclem3  28609
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