MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  resqcld Structured version   Unicode version

Theorem resqcld 12304
Description: Closure of square in reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
resqcld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
resqcld  |-  ( ph  ->  ( A ^ 2 )  e.  RR )

Proof of Theorem resqcld
StepHypRef Expression
1 resqcld.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 resqcl 12203 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A ^ 2 )  e.  RR )
31, 2syl 16 1  |-  ( ph  ->  ( A ^ 2 )  e.  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1767  (class class class)co 6284   RRcr 9491   2c2 10585   ^cexp 12134
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10537  df-2 10594  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-seq 12076  df-exp 12135
This theorem is referenced by:  cjmulge0  12942  sqrlem1  13039  sqrlem6  13044  sqrlem7  13045  absrele  13104  abstri  13126  amgm2  13165  sinbnd  13776  cosbnd  13777  cos01bnd  13782  cos01gt0  13787  absefi  13792  pythagtriplem10  14203  pockthg  14283  prmreclem1  14293  4sqlem12  14333  4sqlem15  14336  4sqlem16  14337  prmlem1  14451  prmlem2  14463  cphnmf  21405  reipcl  21407  ipcau2  21440  csbren  21589  trirn  21590  rrxmval  21595  rrxmet  21598  rrxdstprj1  21599  minveclem2  21604  minveclem3b  21606  minveclem3  21607  minveclem4  21610  minveclem6  21612  minveclem7  21613  pjthlem1  21615  itgabs  22004  dveflem  22143  tangtx  22659  tanregt0  22687  cxpsqrt  22840  lawcoslem1  22903  birthdaylem3  23039  cxp2limlem  23061  basellem8  23117  bposlem6  23320  2sqblem  23408  rplogsumlem2  23426  logdivsum  23474  mulog2sumlem1  23475  mulog2sumlem2  23476  vmalogdivsum2  23479  log2sumbnd  23485  selberglem2  23487  logdivbnd  23497  pntpbnd1a  23526  pntlemb  23538  pntlemr  23543  pntlemk  23547  pntlemo  23548  eqeelen  23911  brbtwn2  23912  colinearalglem4  23916  axcgrid  23923  axsegconlem2  23925  axsegconlem3  23926  axsegconlem9  23932  ax5seglem1  23935  ax5seglem2  23936  ax5seglem3  23938  ax5seg  23945  ipval2lem2  25318  ipval2lem5  25324  minvecolem2  25495  minvecolem3  25496  minvecolem4  25500  minvecolem5  25501  minvecolem6  25502  minvecolem7  25503  normpyc  25767  pjhthlem1  26013  chscllem2  26260  pjssposi  26795  hstle1  26849  hst1h  26850  hstle  26853  hstoh  26855  strlem3a  26875  sqsscirc1  27554  sinccvglem  28541  itgabsnc  29689  dvasin  29708  areacirclem1  29712  areacirclem2  29713  areacirclem4  29715  areacirc  29717  cntotbnd  29923  rrnmet  29956  rrndstprj1  29957  rrndstprj2  29958  pellexlem2  30398  pellexlem6  30402  pell14qrgt0  30427  pell1qrgaplem  30441  rmspecnonsq  30475  rmspecpos  30484  jm3.1lem2  30592  dvdivbd  31281  stirlinglem10  31411  fourierdlem56  31491
  Copyright terms: Public domain W3C validator