MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  resqcld Structured version   Unicode version

Theorem resqcld 12055
Description: Closure of square in reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
resqcld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
resqcld  |-  ( ph  ->  ( A ^ 2 )  e.  RR )

Proof of Theorem resqcld
StepHypRef Expression
1 resqcld.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 resqcl 11954 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A ^ 2 )  e.  RR )
31, 2syl 16 1  |-  ( ph  ->  ( A ^ 2 )  e.  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1756  (class class class)co 6112   RRcr 9302   2c2 10392   ^cexp 11886
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-iun 4194  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-om 6498  df-2nd 6599  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-er 7122  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-nn 10344  df-2 10401  df-n0 10601  df-z 10668  df-uz 10883  df-seq 11828  df-exp 11887
This theorem is referenced by:  cjmulge0  12656  sqrlem1  12753  sqrlem6  12758  sqrlem7  12759  absrele  12818  abstri  12839  amgm2  12878  sinbnd  13485  cosbnd  13486  cos01bnd  13491  cos01gt0  13496  absefi  13501  pythagtriplem10  13908  pockthg  13988  prmreclem1  13998  4sqlem12  14038  4sqlem15  14041  4sqlem16  14042  prmlem1  14156  prmlem2  14168  cphnmf  20736  reipcl  20738  ipcau2  20771  csbren  20920  trirn  20921  rrxmval  20926  rrxmet  20929  rrxdstprj1  20930  minveclem2  20935  minveclem3b  20937  minveclem3  20938  minveclem4  20941  minveclem6  20943  minveclem7  20944  pjthlem1  20946  itgabs  21334  dveflem  21473  tangtx  21989  tanregt0  22017  cxpsqr  22170  lawcoslem1  22233  birthdaylem3  22369  cxp2limlem  22391  basellem8  22447  bposlem6  22650  2sqblem  22738  rplogsumlem2  22756  logdivsum  22804  mulog2sumlem1  22805  mulog2sumlem2  22806  vmalogdivsum2  22809  log2sumbnd  22815  selberglem2  22817  logdivbnd  22827  pntpbnd1a  22856  pntlemb  22868  pntlemr  22873  pntlemk  22877  pntlemo  22878  eqeelen  23172  brbtwn2  23173  colinearalglem4  23177  axcgrid  23184  axsegconlem2  23186  axsegconlem3  23187  axsegconlem9  23193  ax5seglem1  23196  ax5seglem2  23197  ax5seglem3  23199  ax5seg  23206  ipval2lem2  24121  ipval2lem5  24127  minvecolem2  24298  minvecolem3  24299  minvecolem4  24303  minvecolem5  24304  minvecolem6  24305  minvecolem7  24306  normpyc  24570  pjhthlem1  24816  chscllem2  25063  pjssposi  25598  hstle1  25652  hst1h  25653  hstle  25656  hstoh  25658  strlem3a  25678  sqsscirc1  26360  sinccvglem  27339  itgabsnc  28487  dvasin  28506  areacirclem1  28510  areacirclem2  28511  areacirclem4  28513  areacirc  28515  cntotbnd  28721  rrnmet  28754  rrndstprj1  28755  rrndstprj2  28756  pellexlem2  29197  pellexlem6  29201  pell14qrgt0  29226  pell1qrgaplem  29240  rmspecnonsq  29274  rmspecpos  29283  jm3.1lem2  29393  stirlinglem10  29904
  Copyright terms: Public domain W3C validator