MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  resqcld Unicode version

Theorem resqcld 11504
Description: Closure of square in reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
resqcld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
resqcld  |-  ( ph  ->  ( A ^ 2 )  e.  RR )

Proof of Theorem resqcld
StepHypRef Expression
1 resqcld.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 resqcl 11404 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A ^ 2 )  e.  RR )
31, 2syl 16 1  |-  ( ph  ->  ( A ^ 2 )  e.  RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1721  (class class class)co 6040   RRcr 8945   2c2 10005   ^cexp 11337
This theorem is referenced by:  cjmulge0  11906  sqrlem1  12003  sqrlem6  12008  sqrlem7  12009  absrele  12068  abstri  12089  amgm2  12128  sinbnd  12736  cosbnd  12737  cos01bnd  12742  cos01gt0  12747  absefi  12752  pythagtriplem10  13149  pockthg  13229  prmreclem1  13239  4sqlem12  13279  4sqlem15  13282  4sqlem16  13283  prmlem1  13385  prmlem2  13397  cphnmf  19111  reipcl  19113  ipcau2  19144  minveclem2  19280  minveclem3b  19282  minveclem3  19283  minveclem4  19286  minveclem6  19288  minveclem7  19289  pjthlem1  19291  itgabs  19679  dveflem  19816  tangtx  20366  tanregt0  20394  cxpsqr  20547  lawcoslem1  20610  birthdaylem3  20745  cxp2limlem  20767  basellem8  20823  bposlem6  21026  2sqblem  21114  rplogsumlem2  21132  logdivsum  21180  mulog2sumlem1  21181  mulog2sumlem2  21182  vmalogdivsum2  21185  log2sumbnd  21191  selberglem2  21193  logdivbnd  21203  pntpbnd1a  21232  pntlemb  21244  pntlemr  21249  pntlemk  21253  pntlemo  21254  ipval2lem2  22153  ipval2lem5  22159  minvecolem2  22330  minvecolem3  22331  minvecolem4  22335  minvecolem5  22336  minvecolem6  22337  minvecolem7  22338  normpyc  22601  pjhthlem1  22846  chscllem2  23093  pjssposi  23628  hstle1  23682  hst1h  23683  hstle  23686  hstoh  23688  strlem3a  23708  sqsscirc1  24259  sinccvglem  25062  eqeelen  25747  brbtwn2  25748  colinearalglem4  25752  axcgrid  25759  axsegconlem2  25761  axsegconlem3  25762  axsegconlem9  25768  ax5seglem1  25771  ax5seglem2  25772  ax5seglem3  25774  ax5seg  25781  itgabsnc  26173  dvreasin  26179  areacirclem2  26181  areacirclem3  26182  areacirclem4  26183  areacirclem5  26185  areacirc  26187  csbrn  26346  trirn  26347  cntotbnd  26395  rrnmet  26428  rrndstprj1  26429  rrndstprj2  26430  pellexlem2  26783  pellexlem6  26787  pell14qrgt0  26812  pell1qrgaplem  26826  rmspecnonsq  26860  rmspecpos  26869  jm3.1lem2  26979  stirlinglem10  27699
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-2 10014  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-seq 11279  df-exp 11338
  Copyright terms: Public domain W3C validator