MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  resqcld Structured version   Unicode version

Theorem resqcld 12017
Description: Closure of square in reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
resqcld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
resqcld  |-  ( ph  ->  ( A ^ 2 )  e.  RR )

Proof of Theorem resqcld
StepHypRef Expression
1 resqcld.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 resqcl 11916 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A ^ 2 )  e.  RR )
31, 2syl 16 1  |-  ( ph  ->  ( A ^ 2 )  e.  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1755  (class class class)co 6080   RRcr 9268   2c2 10358   ^cexp 11848
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-cnex 9325  ax-resscn 9326  ax-1cn 9327  ax-icn 9328  ax-addcl 9329  ax-addrcl 9330  ax-mulcl 9331  ax-mulrcl 9332  ax-mulcom 9333  ax-addass 9334  ax-mulass 9335  ax-distr 9336  ax-i2m1 9337  ax-1ne0 9338  ax-1rid 9339  ax-rnegex 9340  ax-rrecex 9341  ax-cnre 9342  ax-pre-lttri 9343  ax-pre-lttrn 9344  ax-pre-ltadd 9345  ax-pre-mulgt0 9346
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-om 6466  df-2nd 6567  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-er 7089  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-pnf 9407  df-mnf 9408  df-xr 9409  df-ltxr 9410  df-le 9411  df-sub 9584  df-neg 9585  df-nn 10310  df-2 10367  df-n0 10567  df-z 10634  df-uz 10849  df-seq 11790  df-exp 11849
This theorem is referenced by:  cjmulge0  12618  sqrlem1  12715  sqrlem6  12720  sqrlem7  12721  absrele  12780  abstri  12801  amgm2  12840  sinbnd  13446  cosbnd  13447  cos01bnd  13452  cos01gt0  13457  absefi  13462  pythagtriplem10  13869  pockthg  13949  prmreclem1  13959  4sqlem12  13999  4sqlem15  14002  4sqlem16  14003  prmlem1  14117  prmlem2  14129  cphnmf  20555  reipcl  20557  ipcau2  20590  csbren  20739  trirn  20740  rrxmval  20745  rrxmet  20748  rrxdstprj1  20749  minveclem2  20754  minveclem3b  20756  minveclem3  20757  minveclem4  20760  minveclem6  20762  minveclem7  20763  pjthlem1  20765  itgabs  21153  dveflem  21292  tangtx  21851  tanregt0  21879  cxpsqr  22032  lawcoslem1  22095  birthdaylem3  22231  cxp2limlem  22253  basellem8  22309  bposlem6  22512  2sqblem  22600  rplogsumlem2  22618  logdivsum  22666  mulog2sumlem1  22667  mulog2sumlem2  22668  vmalogdivsum2  22671  log2sumbnd  22677  selberglem2  22679  logdivbnd  22689  pntpbnd1a  22718  pntlemb  22730  pntlemr  22735  pntlemk  22739  pntlemo  22740  eqeelen  22972  brbtwn2  22973  colinearalglem4  22977  axcgrid  22984  axsegconlem2  22986  axsegconlem3  22987  axsegconlem9  22993  ax5seglem1  22996  ax5seglem2  22997  ax5seglem3  22999  ax5seg  23006  ipval2lem2  23921  ipval2lem5  23927  minvecolem2  24098  minvecolem3  24099  minvecolem4  24103  minvecolem5  24104  minvecolem6  24105  minvecolem7  24106  normpyc  24370  pjhthlem1  24616  chscllem2  24863  pjssposi  25398  hstle1  25452  hst1h  25453  hstle  25456  hstoh  25458  strlem3a  25478  sqsscirc1  26191  sinccvglem  27163  itgabsnc  28302  dvasin  28321  areacirclem1  28325  areacirclem2  28326  areacirclem4  28328  areacirc  28330  cntotbnd  28536  rrnmet  28569  rrndstprj1  28570  rrndstprj2  28571  pellexlem2  29013  pellexlem6  29017  pell14qrgt0  29042  pell1qrgaplem  29056  rmspecnonsq  29090  rmspecpos  29099  jm3.1lem2  29209  stirlinglem10  29721
  Copyright terms: Public domain W3C validator