MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  resqcld Structured version   Unicode version

Theorem resqcld 12318
Description: Closure of square in reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
resqcld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
resqcld  |-  ( ph  ->  ( A ^ 2 )  e.  RR )

Proof of Theorem resqcld
StepHypRef Expression
1 resqcld.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 resqcl 12217 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A ^ 2 )  e.  RR )
31, 2syl 16 1  |-  ( ph  ->  ( A ^ 2 )  e.  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1823  (class class class)co 6270   RRcr 9480   2c2 10581   ^cexp 12148
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-2 10590  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-seq 12090  df-exp 12149
This theorem is referenced by:  cjmulge0  13061  sqrlem1  13158  sqrlem6  13163  sqrlem7  13164  absrele  13223  abstri  13245  amgm2  13284  sinbnd  13997  cosbnd  13998  cos01bnd  14003  cos01gt0  14008  absefi  14013  pythagtriplem10  14428  pockthg  14508  prmreclem1  14518  4sqlem12  14558  4sqlem15  14561  4sqlem16  14562  prmlem1  14677  prmlem2  14689  cphnmf  21808  reipcl  21810  ipcau2  21843  csbren  21992  trirn  21993  rrxmval  21998  rrxmet  22001  rrxdstprj1  22002  minveclem2  22007  minveclem3b  22009  minveclem3  22010  minveclem4  22013  minveclem6  22015  minveclem7  22016  pjthlem1  22018  itgabs  22407  dveflem  22546  tangtx  23064  tanregt0  23092  cxpsqrt  23252  lawcoslem1  23346  birthdaylem3  23481  cxp2limlem  23503  basellem8  23559  bposlem6  23762  2sqblem  23850  rplogsumlem2  23868  logdivsum  23916  mulog2sumlem1  23917  mulog2sumlem2  23918  vmalogdivsum2  23921  log2sumbnd  23927  selberglem2  23929  logdivbnd  23939  pntpbnd1a  23968  pntlemb  23980  pntlemr  23985  pntlemk  23989  pntlemo  23990  eqeelen  24409  brbtwn2  24410  colinearalglem4  24414  axcgrid  24421  axsegconlem2  24423  axsegconlem3  24424  axsegconlem9  24430  ax5seglem1  24433  ax5seglem2  24434  ax5seglem3  24436  ax5seg  24443  ipval2lem2  25812  ipval2lem5  25818  minvecolem2  25989  minvecolem3  25990  minvecolem4  25994  minvecolem5  25995  minvecolem6  25996  minvecolem7  25997  normpyc  26261  pjhthlem1  26507  chscllem2  26754  pjssposi  27289  hstle1  27343  hst1h  27344  hstle  27347  hstoh  27349  strlem3a  27369  2sqmod  27870  sqsscirc1  28125  sinccvglem  29302  itgabsnc  30324  dvasin  30343  areacirclem1  30347  areacirclem2  30348  areacirclem4  30350  areacirc  30352  cntotbnd  30532  rrnmet  30565  rrndstprj1  30566  rrndstprj2  30567  pellexlem2  31005  pellexlem6  31009  pell14qrgt0  31034  pell1qrgaplem  31048  rmspecnonsq  31082  rmspecpos  31091  jm3.1lem2  31199  dvdivbd  31959  stirlinglem10  32104  fourierdlem56  32184  fourierdlem57  32185
  Copyright terms: Public domain W3C validator