Theorem resopab 4252

Description: Restriction of a class abstraction of ordered pairs.

Assertion

Ref	Expression
resopab	|- ({<.x, y>. | ph} |` A) = {<.x, y>. | (x e. A /\ ph)}

Distinct variable group:   x,y,A

Proof of Theorem resopab

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-res 4006	. 2 |- ({<.x, y>. | ph} |` A) = ({<.x, y>. | ph} i^i (A X. _V))
2		df-xp 4000	. . . . 5 |- (A X. _V) = {<.x, y>. | (x e. A /\ y e. _V)}
3		visset 2295	. . . . . . 7 |- y e. _V
4	3	biantru 793	. . . . . 6 |- (x e. A <-> (x e. A /\ y e. _V))
5	4	opabbii 3402	. . . . 5 |- {<.x, y>. | x e. A} = {<.x, y>. | (x e. A /\ y e. _V)}
6	2, 5	eqtr4i 1911	. . . 4 |- (A X. _V) = {<.x, y>. | x e. A}
7	6	ineq2i 2793	. . 3 |- ({<.x, y>. | ph} i^i (A X. _V)) = ({<.x, y>. | ph} i^i {<.x, y>. | x e. A})
8		incom 2787	. . 3 |- ({<.x, y>. | ph} i^i {<.x, y>. | x e. A}) = ({<.x, y>. | x e. A} i^i {<.x, y>. | ph})
9	7, 8	eqtri 1908	. 2 |- ({<.x, y>. | ph} i^i (A X. _V)) = ({<.x, y>. | x e. A} i^i {<.x, y>. | ph})
10		inopab 4108	. 2 |- ({<.x, y>. | x e. A} i^i {<.x, y>. | ph}) = {<.x, y>. | (x e. A /\ ph)}
11	1, 9, 10	3eqtri 1912	1 |- ({<.x, y>. | ph} |` A) = {<.x, y>. | (x e. A /\ ph)}

Syntax hints:   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  _Vcvv 2292   i^i cin 2592  {copab 3395   X. cxp 3984   |` cres 3988

This theorem is referenced by:  resopab2 4256  isarep2 4499  resoprab 4938  f1stres 5034  f2ndres 5035  df1st2 5068  df2nd2 5069  seqzres2 7804  sumeq2 8245  subtop 8916  grpidvallem 9341  fiv 10212  idrval 10374  h2hlm 10482  iscst1 14519  mxlelt2 14606  mxlelt 14607  mnlelt2 14608  prodeq2 14661  trclval 15271  phtpycom 16050  phtpycolem3 16053  phtpycolem4 16054  addrfv 16469  subrfv 16470  mulvfv 16471  addrfn 16472  subrfn 16473  mulvfn 16474

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-opab 3396  df-xp 4000  df-rel 4001  df-res 4006

Copyright terms: Public domain