Theorem resmpt 5150

Description: Restriction of the mapping operation. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jul-2013.)

Assertion

Ref	Expression
resmpt	|- ( B C_ A -> ( ( x e. A |-> C ) |` B ) = ( x e. B |-> C ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Allowed substitution hint:   C( x)

Proof of Theorem resmpt

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resopab2 5149	. 2 |- ( B C_ A -> ( { <. x , y >. | ( x e. A /\ y = C ) } |` B ) = { <. x , y >. | ( x e. B /\ y = C ) } )
2		df-mpt 4228	. . 3 |- ( x e. A |-> C ) = { <. x , y >. | ( x e. A /\ y = C ) }
3	2	reseq1i 5101	. 2 |- ( ( x e. A |-> C ) |` B ) = ( { <. x , y >. | ( x e. A /\ y = C ) } |` B )
4		df-mpt 4228	. 2 |- ( x e. B |-> C ) = { <. x , y >. | ( x e. B /\ y = C ) }
5	1, 3, 4	3eqtr4g 2461	1 |- ( B C_ A -> ( ( x e. A |-> C ) |` B ) = ( x e. B |-> C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 359   = wceq 1649   e. wcel 1721   C_ wss 3280   {copab 4225   e. cmpt 4226   |` cres 4839

This theorem is referenced by:  resmpt3  5151  fvresex  5941  f1stres  6327  f2ndres  6328  tposss  6439  dftpos2  6455  dftpos4  6457  oacomf1olem  6766  resixpfo  7059  cantnfres  7589  rlimres2  12310  lo1res2  12311  o1res2  12312  rlimresb  12314  lo1eq  12317  rlimeq  12318  fsumss  12474  isumclim3  12498  bitsf1ocnv  12911  conjsubg  14992  conjsubgen  14993  odf1o2  15162  sylow1lem2  15188  sylow2blem1  15209  gsumzres  15472  gsumzsplit  15484  gsumsplit2  15486  gsum2d  15501  dmdprdsplitlem  15550  dprd2dlem1  15554  dprd2da  15555  dpjidcl  15571  ablfac1b  15583  psrass1lem  16397  psrlidm  16422  psrridm  16423  mplmonmul  16482  mplcoe1  16483  mplcoe2  16485  coe1mul2lem2  16616  tgrest  17177  cmpfi  17425  ptpjopn  17597  xkoptsub  17639  xkopjcn  17641  cnmptid  17646  cnmpt1res  17661  fmss  17931  txflf  17991  tmdgsum  18078  subgntr  18089  opnsubg  18090  clsnsg  18092  tgpconcomp  18095  snclseqg  18098  tsmssplit  18134  tsmsxplem1  18135  imasdsf1olem  18356  subgnm  18627  iscmet3lem3  19196  mbfss  19491  mbfadd  19506  mbfsub  19507  mbflimsup  19511  mbfmullem2  19569  mbfmul  19571  itg2cnlem1  19606  iblss  19649  ellimc2  19717  limcres  19726  dvreslem  19749  dvres2lem  19750  dvidlem  19755  dvcnp2  19759  dvaddbr  19777  dvmulbr  19778  dvcmulf  19784  dvcobr  19785  dvrec  19794  dvmptres3  19795  dvmptres2  19801  dvmptntr  19810  dvcnvlem  19813  lhop1lem  19850  lhop2  19852  lhop  19853  dvfsumle  19858  dvfsumabs  19860  dvfsumlem2  19864  ftc2ditglem  19882  itgparts  19884  itgsubstlem  19885  evlsval2  19894  tdeglem4  19936  mdegfval  19938  plypf1  20084  taylthlem2  20243  psercn2  20292  psercn  20295  pserdvlem2  20297  abelth  20310  abelth2  20311  pige3  20378  efifo  20402  eff1olem  20403  dvlog2  20497  resqrcn  20586  sqrcn  20587  dvatan  20728  rlimcnp2  20758  xrlimcnp  20760  efrlim  20761  cxp2lim  20768  jensenlem2  20779  chpo1ub  21127  dchrisum0lem2a  21164  pntrsumo1  21212  pnt2  21260  pnt  21261  efghgrp  21914  resmptf  24024  ressnm  24137  rmulccn  24267  xrge0mulc1cn  24280  gsumesum  24404  esumsn  24409  esumcvg  24429  lgamcvg2  24792  divcnvshft  25164  divcnvlin  25165  fprodss  25227  fprodefsum  25251  iprodclim3  25266  itggt0cn  26176  areacirclem4  26183  sdclem2  26336  cncfres  26364  pwssplit4  27059  frlmsplit2  27111  pwfi2f1o  27128  hbtlem6  27201  psgnunilem5  27285  lhe4.4ex1a  27414  cncfmptss  27584  dvcosre  27608  itgsinexplem1  27615

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pr 4363

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-xp 4843  df-rel 4844  df-res 4849