Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  resmhm2 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem resmhm2 16685
 Description: One direction of resmhm2b 16686. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
resmhm2.u s
Assertion
Ref Expression
resmhm2 MndHom SubMnd MndHom

Proof of Theorem resmhm2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mhmrcl1 16663 . . 3 MndHom
2 submrcl 16671 . . 3 SubMnd
31, 2anim12i 576 . 2 MndHom SubMnd
4 eqid 2471 . . . . 5
5 eqid 2471 . . . . 5
64, 5mhmf 16665 . . . 4 MndHom
7 resmhm2.u . . . . . 6 s
87submbas 16680 . . . . 5 SubMnd
9 eqid 2471 . . . . . 6
109submss 16675 . . . . 5 SubMnd
118, 10eqsstr3d 3453 . . . 4 SubMnd
12 fss 5749 . . . 4
136, 11, 12syl2an 485 . . 3 MndHom SubMnd
14 eqid 2471 . . . . . . . 8
15 eqid 2471 . . . . . . . 8
164, 14, 15mhmlin 16667 . . . . . . 7 MndHom
17163expb 1232 . . . . . 6 MndHom
1817adantlr 729 . . . . 5 MndHom SubMnd
19 eqid 2471 . . . . . . . 8
207, 19ressplusg 15317 . . . . . . 7 SubMnd
2120ad2antlr 741 . . . . . 6 MndHom SubMnd
2221oveqd 6325 . . . . 5 MndHom SubMnd
2318, 22eqtr4d 2508 . . . 4 MndHom SubMnd
2423ralrimivva 2814 . . 3 MndHom SubMnd
25 eqid 2471 . . . . . 6
26 eqid 2471 . . . . . 6
2725, 26mhm0 16668 . . . . 5 MndHom
2827adantr 472 . . . 4 MndHom SubMnd
29 eqid 2471 . . . . . 6
307, 29subm0 16681 . . . . 5 SubMnd
3130adantl 473 . . . 4 MndHom SubMnd
3228, 31eqtr4d 2508 . . 3 MndHom SubMnd
3313, 24, 323jca 1210 . 2 MndHom SubMnd
344, 9, 14, 19, 25, 29ismhm 16662 . 2 MndHom
353, 33, 34sylanbrc 677 1 MndHom SubMnd MndHom
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 376   w3a 1007   wceq 1452   wcel 1904  wral 2756   wss 3390  wf 5585  cfv 5589  (class class class)co 6308  cbs 15199   ↾s cress 15200   cplusg 15268  c0g 15416  cmnd 16613   MndHom cmhm 16658  SubMndcsubmnd 16659 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-0g 15418  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-mhm 16660  df-submnd 16661 This theorem is referenced by:  resmhm2b  16686  resghm2  16978  zrhpsgnmhm  19229  lgseisenlem4  24359
 Copyright terms: Public domain W3C validator