Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  resmgmhm Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem resmgmhm 39785
 Description: Restriction of a magma homomorphism to a submagma is a homomorphism. (Contributed by AV, 26-Feb-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
resmgmhm.u s
Assertion
Ref Expression
resmgmhm MgmHom SubMgm MgmHom

Proof of Theorem resmgmhm
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mgmhmrcl 39768 . . . 4 MgmHom Mgm Mgm
21simprd 465 . . 3 MgmHom Mgm
3 resmgmhm.u . . . 4 s
43submgmmgm 39782 . . 3 SubMgm Mgm
52, 4anim12ci 570 . 2 MgmHom SubMgm Mgm Mgm
6 eqid 2450 . . . . . 6
7 eqid 2450 . . . . . 6
86, 7mgmhmf 39771 . . . . 5 MgmHom
96submgmss 39779 . . . . 5 SubMgm
10 fssres 5747 . . . . 5
118, 9, 10syl2an 480 . . . 4 MgmHom SubMgm
129adantl 468 . . . . . 6 MgmHom SubMgm
133, 6ressbas2 15173 . . . . . 6
1412, 13syl 17 . . . . 5 MgmHom SubMgm
1514feq2d 5713 . . . 4 MgmHom SubMgm
1611, 15mpbid 214 . . 3 MgmHom SubMgm
17 simpll 759 . . . . . . 7 MgmHom SubMgm MgmHom
189ad2antlr 732 . . . . . . . 8 MgmHom SubMgm
19 simprl 763 . . . . . . . 8 MgmHom SubMgm
2018, 19sseldd 3432 . . . . . . 7 MgmHom SubMgm
21 simprr 765 . . . . . . . 8 MgmHom SubMgm
2218, 21sseldd 3432 . . . . . . 7 MgmHom SubMgm
23 eqid 2450 . . . . . . . 8
24 eqid 2450 . . . . . . . 8
256, 23, 24mgmhmlin 39773 . . . . . . 7 MgmHom
2617, 20, 22, 25syl3anc 1267 . . . . . 6 MgmHom SubMgm
2723submgmcl 39781 . . . . . . . . 9 SubMgm
28273expb 1208 . . . . . . . 8 SubMgm
2928adantll 719 . . . . . . 7 MgmHom SubMgm
30 fvres 5877 . . . . . . 7
3129, 30syl 17 . . . . . 6 MgmHom SubMgm
32 fvres 5877 . . . . . . . 8
33 fvres 5877 . . . . . . . 8
3432, 33oveqan12d 6307 . . . . . . 7
3534adantl 468 . . . . . 6 MgmHom SubMgm
3626, 31, 353eqtr4d 2494 . . . . 5 MgmHom SubMgm
3736ralrimivva 2808 . . . 4 MgmHom SubMgm
383, 23ressplusg 15232 . . . . . . . . . 10 SubMgm
3938adantl 468 . . . . . . . . 9 MgmHom SubMgm
4039oveqd 6305 . . . . . . . 8 MgmHom SubMgm
4140fveq2d 5867 . . . . . . 7 MgmHom SubMgm
4241eqeq1d 2452 . . . . . 6 MgmHom SubMgm
4314, 42raleqbidv 3000 . . . . 5 MgmHom SubMgm
4414, 43raleqbidv 3000 . . . 4 MgmHom SubMgm
4537, 44mpbid 214 . . 3 MgmHom SubMgm
4616, 45jca 535 . 2 MgmHom SubMgm
47 eqid 2450 . . 3
48 eqid 2450 . . 3
4947, 7, 48, 24ismgmhm 39770 . 2 MgmHom Mgm Mgm
505, 46, 49sylanbrc 669 1 MgmHom SubMgm MgmHom
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 371   wceq 1443   wcel 1886  wral 2736   wss 3403   cres 4835  wf 5577  cfv 5581  (class class class)co 6288  cbs 15114   ↾s cress 15115   cplusg 15183  Mgmcmgm 16479   MgmHom cmgmhm 39764  SubMgmcsubmgm 39765 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-om 6690  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-er 7360  df-map 7471  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-nn 10607  df-2 10665  df-ndx 15117  df-slot 15118  df-base 15119  df-sets 15120  df-ress 15121  df-plusg 15196  df-mgm 16481  df-mgmhm 39766  df-submgm 39767 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator