Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  reslmhm2b Structured version   Unicode version

Theorem reslmhm2b 17571
 Description: Expansion of the codomain of a homomorphism. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
reslmhm2.u s
reslmhm2.l
Assertion
Ref Expression
reslmhm2b LMHom LMHom

Proof of Theorem reslmhm2b
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2467 . . 3
2 eqid 2467 . . 3
3 eqid 2467 . . 3
4 eqid 2467 . . 3 Scalar Scalar
5 eqid 2467 . . 3 Scalar Scalar
6 eqid 2467 . . 3 Scalar Scalar
7 lmhmlmod1 17550 . . . 4 LMHom
87adantl 466 . . 3 LMHom
9 simpl1 999 . . . 4 LMHom
10 simpl2 1000 . . . 4 LMHom
11 reslmhm2.u . . . . 5 s
12 reslmhm2.l . . . . 5
1311, 12lsslmod 17477 . . . 4
149, 10, 13syl2anc 661 . . 3 LMHom
15 eqid 2467 . . . . . 6 Scalar Scalar
1611, 15resssca 14650 . . . . 5 Scalar Scalar
17163ad2ant2 1018 . . . 4 Scalar Scalar
184, 15lmhmsca 17547 . . . 4 LMHom Scalar Scalar
1917, 18sylan9req 2529 . . 3 LMHom Scalar Scalar
20 lmghm 17548 . . . 4 LMHom
2112lsssubg 17474 . . . . . . 7 SubGrp
22213adant3 1016 . . . . . 6 SubGrp
23 simp3 998 . . . . . 6
2411resghm2b 16157 . . . . . 6 SubGrp
2522, 23, 24syl2anc 661 . . . . 5
2625biimpa 484 . . . 4
2720, 26sylan2 474 . . 3 LMHom
28 eqid 2467 . . . . . . 7
294, 6, 1, 2, 28lmhmlin 17552 . . . . . 6 LMHom Scalar
30293expb 1197 . . . . 5 LMHom Scalar
3130adantll 713 . . . 4 LMHom Scalar
32 simpll2 1036 . . . . 5 LMHom Scalar
3311, 28ressvsca 14651 . . . . . 6
3433oveqd 6312 . . . . 5
3532, 34syl 16 . . . 4 LMHom Scalar
3631, 35eqtrd 2508 . . 3 LMHom Scalar
371, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 14, 19, 27, 36islmhmd 17556 . 2 LMHom LMHom
38 simpr 461 . . 3 LMHom LMHom
39 simpl1 999 . . 3 LMHom
40 simpl2 1000 . . 3 LMHom
4111, 12reslmhm2 17570 . . 3 LMHom LMHom
4238, 39, 40, 41syl3anc 1228 . 2 LMHom LMHom
4337, 42impbida 830 1 LMHom LMHom
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   w3a 973   wceq 1379   wcel 1767   wss 3481   crn 5006  cfv 5594  (class class class)co 6295  cbs 14507   ↾s cress 14508  Scalarcsca 14575  cvsca 14576  SubGrpcsubg 16067   cghm 16136  clmod 17383  clss 17449   LMHom clmhm 17536 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-er 7323  df-map 7434  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514  df-plusg 14585  df-sca 14588  df-vsca 14589  df-0g 14714  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-mhm 15839  df-submnd 15840  df-grp 15929  df-minusg 15930  df-sbg 15931  df-subg 16070  df-ghm 16137  df-mgp 17014  df-ur 17026  df-ring 17072  df-lmod 17385  df-lss 17450  df-lmhm 17539 This theorem is referenced by:  pj1lmhm2  17618  frlmsplit2  18672
 Copyright terms: Public domain W3C validator