Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  reslmhm Structured version   Unicode version

Theorem reslmhm 17255
 Description: Restriction of a homomorphism to a subspace. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
reslmhm.u
reslmhm.r s
Assertion
Ref Expression
reslmhm LMHom LMHom

Proof of Theorem reslmhm
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmhmlmod1 17236 . . . 4 LMHom
2 reslmhm.r . . . . 5 s
3 reslmhm.u . . . . 5
42, 3lsslmod 17163 . . . 4
51, 4sylan 471 . . 3 LMHom
6 lmhmlmod2 17235 . . . 4 LMHom
76adantr 465 . . 3 LMHom
85, 7jca 532 . 2 LMHom
9 lmghm 17234 . . . . 5 LMHom
109adantr 465 . . . 4 LMHom
113lsssubg 17160 . . . . 5 SubGrp
121, 11sylan 471 . . . 4 LMHom SubGrp
132resghm 15881 . . . 4 SubGrp
1410, 12, 13syl2anc 661 . . 3 LMHom
15 eqid 2454 . . . . 5 Scalar Scalar
16 eqid 2454 . . . . 5 Scalar Scalar
1715, 16lmhmsca 17233 . . . 4 LMHom Scalar Scalar
182, 15resssca 14434 . . . 4 Scalar Scalar
1917, 18sylan9eq 2515 . . 3 LMHom Scalar Scalar
20 simpll 753 . . . . . . 7 LMHom Scalar LMHom
21 simprl 755 . . . . . . 7 LMHom Scalar Scalar
22 eqid 2454 . . . . . . . . . . 11
2322, 3lssss 17140 . . . . . . . . . 10
2423adantl 466 . . . . . . . . 9 LMHom
2524adantr 465 . . . . . . . 8 LMHom Scalar
262, 22ressbas2 14347 . . . . . . . . . . . 12
2724, 26syl 16 . . . . . . . . . . 11 LMHom
2827eleq2d 2524 . . . . . . . . . 10 LMHom
2928biimpar 485 . . . . . . . . 9 LMHom
3029adantrl 715 . . . . . . . 8 LMHom Scalar
3125, 30sseldd 3464 . . . . . . 7 LMHom Scalar
32 eqid 2454 . . . . . . . 8 Scalar Scalar
33 eqid 2454 . . . . . . . 8
34 eqid 2454 . . . . . . . 8
3515, 32, 22, 33, 34lmhmlin 17238 . . . . . . 7 LMHom Scalar
3620, 21, 31, 35syl3anc 1219 . . . . . 6 LMHom Scalar
371adantr 465 . . . . . . . . 9 LMHom
3837adantr 465 . . . . . . . 8 LMHom Scalar
39 simplr 754 . . . . . . . 8 LMHom Scalar
4015, 33, 32, 3lssvscl 17158 . . . . . . . 8 Scalar
4138, 39, 21, 30, 40syl22anc 1220 . . . . . . 7 LMHom Scalar
42 fvres 5812 . . . . . . 7
4341, 42syl 16 . . . . . 6 LMHom Scalar
44 fvres 5812 . . . . . . . 8
4544oveq2d 6215 . . . . . . 7
4630, 45syl 16 . . . . . 6 LMHom Scalar
4736, 43, 463eqtr4d 2505 . . . . 5 LMHom Scalar
4847ralrimivva 2912 . . . 4 LMHom Scalar
4918adantl 466 . . . . . 6 LMHom Scalar Scalar
5049fveq2d 5802 . . . . 5 LMHom Scalar Scalar
512, 33ressvsca 14435 . . . . . . . . . 10
5251adantl 466 . . . . . . . . 9 LMHom
5352oveqd 6216 . . . . . . . 8 LMHom
5453fveq2d 5802 . . . . . . 7 LMHom
5554eqeq1d 2456 . . . . . 6 LMHom
5655ralbidv 2845 . . . . 5 LMHom
5750, 56raleqbidv 3035 . . . 4 LMHom Scalar Scalar
5848, 57mpbid 210 . . 3 LMHom Scalar
5914, 19, 583jca 1168 . 2 LMHom Scalar Scalar Scalar
60 eqid 2454 . . 3 Scalar Scalar
61 eqid 2454 . . 3 Scalar Scalar
62 eqid 2454 . . 3
63 eqid 2454 . . 3
6460, 16, 61, 62, 63, 34islmhm 17230 . 2 LMHom Scalar Scalar Scalar
658, 59, 64sylanbrc 664 1 LMHom LMHom
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   w3a 965   wceq 1370   wcel 1758  wral 2798   wss 3435   cres 4949  cfv 5525  (class class class)co 6199  cbs 14291   ↾s cress 14292  Scalarcsca 14359  cvsca 14360  SubGrpcsubg 15793   cghm 15862  clmod 17070  clss 17135   LMHom clmhm 17222 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4510  ax-sep 4520  ax-nul 4528  ax-pow 4577  ax-pr 4638  ax-un 6481  ax-cnex 9448  ax-resscn 9449  ax-1cn 9450  ax-icn 9451  ax-addcl 9452  ax-addrcl 9453  ax-mulcl 9454  ax-mulrcl 9455  ax-mulcom 9456  ax-addass 9457  ax-mulass 9458  ax-distr 9459  ax-i2m1 9460  ax-1ne0 9461  ax-1rid 9462  ax-rnegex 9463  ax-rrecex 9464  ax-cnre 9465  ax-pre-lttri 9466  ax-pre-lttrn 9467  ax-pre-ltadd 9468  ax-pre-mulgt0 9469 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2649  df-nel 2650  df-ral 2803  df-rex 2804  df-reu 2805  df-rmo 2806  df-rab 2807  df-v 3078  df-sbc 3293  df-csb 3395  df-dif 3438  df-un 3440  df-in 3442  df-ss 3449  df-pss 3451  df-nul 3745  df-if 3899  df-pw 3969  df-sn 3985  df-pr 3987  df-tp 3989  df-op 3991  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4400  df-opab 4458  df-mpt 4459  df-tr 4493  df-eprel 4739  df-id 4743  df-po 4748  df-so 4749  df-fr 4786  df-we 4788  df-ord 4829  df-on 4830  df-lim 4831  df-suc 4832  df-xp 4953  df-rel 4954  df-cnv 4955  df-co 4956  df-dm 4957  df-rn 4958  df-res 4959  df-ima 4960  df-iota 5488  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-riota 6160  df-ov 6202  df-oprab 6203  df-mpt2 6204  df-om 6586  df-1st 6686  df-2nd 6687  df-recs 6941  df-rdg 6975  df-er 7210  df-en 7420  df-dom 7421  df-sdom 7422  df-pnf 9530  df-mnf 9531  df-xr 9532  df-ltxr 9533  df-le 9534  df-sub 9707  df-neg 9708  df-nn 10433  df-2 10490  df-3 10491  df-4 10492  df-5 10493  df-6 10494  df-ndx 14294  df-slot 14295  df-base 14296  df-sets 14297  df-ress 14298  df-plusg 14369  df-sca 14372  df-vsca 14373  df-0g 14498  df-mnd 15533  df-grp 15663  df-minusg 15664  df-sbg 15665  df-subg 15796  df-ghm 15863  df-mgp 16713  df-ur 16725  df-rng 16769  df-lmod 17072  df-lss 17136  df-lmhm 17225 This theorem is referenced by:  frlmsplit2  18321  lmhmlnmsplit  29587  pwssplit4  29589
 Copyright terms: Public domain W3C validator