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Theorem resixpfo 7578
Description: Restriction of elements of an infinite Cartesian product creates a surjection, if the original Cartesian product is nonempty. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
resixpfo.1  |-  F  =  ( f  e.  X_ x  e.  A  C  |->  ( f  |`  B ) )
Assertion
Ref Expression
resixpfo  |-  ( ( B  C_  A  /\  X_ x  e.  A  C  =/=  (/) )  ->  F : X_ x  e.  A  C -onto-> X_ x  e.  B  C )
Distinct variable groups:    x, f, A    B, f, x    C, f
Allowed substitution hints:    C( x)    F( x, f)

Proof of Theorem resixpfo
Dummy variables  g  h  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 resixp 7575 . . . 4  |-  ( ( B  C_  A  /\  f  e.  X_ x  e.  A  C )  -> 
( f  |`  B )  e.  X_ x  e.  B  C )
2 resixpfo.1 . . . 4  |-  F  =  ( f  e.  X_ x  e.  A  C  |->  ( f  |`  B ) )
31, 2fmptd 6061 . . 3  |-  ( B 
C_  A  ->  F : X_ x  e.  A  C
--> X_ x  e.  B  C )
43adantr 472 . 2  |-  ( ( B  C_  A  /\  X_ x  e.  A  C  =/=  (/) )  ->  F : X_ x  e.  A  C
--> X_ x  e.  B  C )
5 n0 3732 . . . 4  |-  ( X_ x  e.  A  C  =/=  (/)  <->  E. g  g  e.  X_ x  e.  A  C )
6 eleq1 2537 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  x  ->  (
z  e.  B  <->  x  e.  B ) )
76ifbid 3894 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  x  ->  if ( z  e.  B ,  h ,  g )  =  if ( x  e.  B ,  h ,  g ) )
8 id 22 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  x  ->  z  =  x )
97, 8fveq12d 5885 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  x  ->  ( if ( z  e.  B ,  h ,  g ) `
 z )  =  ( if ( x  e.  B ,  h ,  g ) `  x ) )
109cbvmptv 4488 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  A  |->  ( if ( z  e.  B ,  h ,  g ) `
 z ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( if ( x  e.  B ,  h ,  g ) `  x ) )
11 vex 3034 . . . . . . . . . . . . 13  |-  g  e. 
_V
1211elixp 7547 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g  e.  X_ x  e.  A  C 
<->  ( g  Fn  A  /\  A. x  e.  A  ( g `  x
)  e.  C ) )
1312simprbi 471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g  e.  X_ x  e.  A  C  ->  A. x  e.  A  ( g `  x
)  e.  C )
14 vex 3034 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  h  e. 
_V
1514elixp 7547 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( h  e.  X_ x  e.  B  C 
<->  ( h  Fn  B  /\  A. x  e.  B  ( h `  x
)  e.  C ) )
1615simprbi 471 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( h  e.  X_ x  e.  B  C  ->  A. x  e.  B  ( h `  x
)  e.  C )
17 fveq1 5878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( h  =  if ( x  e.  B ,  h ,  g )  -> 
( h `  x
)  =  ( if ( x  e.  B ,  h ,  g ) `
 x ) )
1817eleq1d 2533 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( h  =  if ( x  e.  B ,  h ,  g )  -> 
( ( h `  x )  e.  C  <->  ( if ( x  e.  B ,  h ,  g ) `  x
)  e.  C ) )
19 fveq1 5878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( g  =  if ( x  e.  B ,  h ,  g )  -> 
( g `  x
)  =  ( if ( x  e.  B ,  h ,  g ) `
 x ) )
2019eleq1d 2533 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( g  =  if ( x  e.  B ,  h ,  g )  -> 
( ( g `  x )  e.  C  <->  ( if ( x  e.  B ,  h ,  g ) `  x
)  e.  C ) )
21 simpl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( x  e.  B  ->  ( h `  x
)  e.  C )  /\  ( x  e.  A  /\  ( g `
 x )  e.  C ) )  -> 
( x  e.  B  ->  ( h `  x
)  e.  C ) )
2221imp 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( x  e.  B  ->  ( h `  x )  e.  C
)  /\  ( x  e.  A  /\  (
g `  x )  e.  C ) )  /\  x  e.  B )  ->  ( h `  x
)  e.  C )
23 simplrr 779 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( x  e.  B  ->  ( h `  x )  e.  C
)  /\  ( x  e.  A  /\  (
g `  x )  e.  C ) )  /\  -.  x  e.  B
)  ->  ( g `  x )  e.  C
)
2418, 20, 22, 23ifbothda 3907 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( x  e.  B  ->  ( h `  x
)  e.  C )  /\  ( x  e.  A  /\  ( g `
 x )  e.  C ) )  -> 
( if ( x  e.  B ,  h ,  g ) `  x )  e.  C
)
2524exp32 616 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  B  -> 
( h `  x
)  e.  C )  ->  ( x  e.  A  ->  ( (
g `  x )  e.  C  ->  ( if ( x  e.  B ,  h ,  g ) `
 x )  e.  C ) ) )
2625ralimi2 2793 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. x  e.  B  (
h `  x )  e.  C  ->  A. x  e.  A  ( (
g `  x )  e.  C  ->  ( if ( x  e.  B ,  h ,  g ) `
 x )  e.  C ) )
2716, 26syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( h  e.  X_ x  e.  B  C  ->  A. x  e.  A  ( ( g `  x )  e.  C  ->  ( if ( x  e.  B ,  h ,  g ) `  x )  e.  C
) )
2827adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  C_  A  /\  h  e.  X_ x  e.  B  C )  ->  A. x  e.  A  ( ( g `  x )  e.  C  ->  ( if ( x  e.  B ,  h ,  g ) `  x )  e.  C
) )
29 ralim 2792 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. x  e.  A  (
( g `  x
)  e.  C  -> 
( if ( x  e.  B ,  h ,  g ) `  x )  e.  C
)  ->  ( A. x  e.  A  (
g `  x )  e.  C  ->  A. x  e.  A  ( if ( x  e.  B ,  h ,  g ) `
 x )  e.  C ) )
3028, 29syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  C_  A  /\  h  e.  X_ x  e.  B  C )  -> 
( A. x  e.  A  ( g `  x )  e.  C  ->  A. x  e.  A  ( if ( x  e.  B ,  h ,  g ) `  x
)  e.  C ) )
3130imp 436 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  C_  A  /\  h  e.  X_ x  e.  B  C )  /\  A. x  e.  A  ( g `  x
)  e.  C )  ->  A. x  e.  A  ( if ( x  e.  B ,  h ,  g ) `  x
)  e.  C )
3213, 31sylan2 482 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  C_  A  /\  h  e.  X_ x  e.  B  C )  /\  g  e.  X_ x  e.  A  C )  ->  A. x  e.  A  ( if ( x  e.  B ,  h ,  g ) `  x
)  e.  C )
33 n0i 3727 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g  e.  X_ x  e.  A  C  ->  -.  X_ x  e.  A  C  =  (/) )
34 ixpprc 7561 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  X_ x  e.  A  C  =  (/) )
3533, 34nsyl2 132 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g  e.  X_ x  e.  A  C  ->  A  e.  _V )
3635adantl 473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  C_  A  /\  h  e.  X_ x  e.  B  C )  /\  g  e.  X_ x  e.  A  C )  ->  A  e.  _V )
37 mptelixpg 7577 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  _V  ->  (
( x  e.  A  |->  ( if ( x  e.  B ,  h ,  g ) `  x ) )  e.  X_ x  e.  A  C 
<-> 
A. x  e.  A  ( if ( x  e.  B ,  h ,  g ) `  x
)  e.  C ) )
3836, 37syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  C_  A  /\  h  e.  X_ x  e.  B  C )  /\  g  e.  X_ x  e.  A  C )  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( if ( x  e.  B ,  h ,  g ) `  x ) )  e.  X_ x  e.  A  C 
<-> 
A. x  e.  A  ( if ( x  e.  B ,  h ,  g ) `  x
)  e.  C ) )
3932, 38mpbird 240 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  C_  A  /\  h  e.  X_ x  e.  B  C )  /\  g  e.  X_ x  e.  A  C )  ->  ( x  e.  A  |->  ( if ( x  e.  B ,  h ,  g ) `  x ) )  e.  X_ x  e.  A  C )
4010, 39syl5eqel 2553 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  C_  A  /\  h  e.  X_ x  e.  B  C )  /\  g  e.  X_ x  e.  A  C )  ->  ( z  e.  A  |->  ( if ( z  e.  B ,  h ,  g ) `  z ) )  e.  X_ x  e.  A  C )
41 iftrue 3878 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  B  ->  if ( z  e.  B ,  h ,  g )  =  h )
4241fveq1d 5881 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  B  ->  ( if ( z  e.  B ,  h ,  g ) `
 z )  =  ( h `  z
) )
4342mpteq2ia 4478 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  B  |->  ( if ( z  e.  B ,  h ,  g ) `
 z ) )  =  ( z  e.  B  |->  ( h `  z ) )
44 resmpt 5160 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B 
C_  A  ->  (
( z  e.  A  |->  ( if ( z  e.  B ,  h ,  g ) `  z ) )  |`  B )  =  ( z  e.  B  |->  ( if ( z  e.  B ,  h ,  g ) `  z
) ) )
4544ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( B  C_  A  /\  h  e.  X_ x  e.  B  C )  /\  g  e.  X_ x  e.  A  C )  ->  ( ( z  e.  A  |->  ( if ( z  e.  B ,  h ,  g ) `  z ) )  |`  B )  =  ( z  e.  B  |->  ( if ( z  e.  B ,  h ,  g ) `  z
) ) )
46 ixpfn 7546 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( h  e.  X_ x  e.  B  C  ->  h  Fn  B
)
4746ad2antlr 741 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( B  C_  A  /\  h  e.  X_ x  e.  B  C )  /\  g  e.  X_ x  e.  A  C )  ->  h  Fn  B )
48 dffn5 5924 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( h  Fn  B  <->  h  =  ( z  e.  B  |->  ( h `  z
) ) )
4947, 48sylib 201 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( B  C_  A  /\  h  e.  X_ x  e.  B  C )  /\  g  e.  X_ x  e.  A  C )  ->  h  =  ( z  e.  B  |->  ( h `
 z ) ) )
5043, 45, 493eqtr4a 2531 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  C_  A  /\  h  e.  X_ x  e.  B  C )  /\  g  e.  X_ x  e.  A  C )  ->  ( ( z  e.  A  |->  ( if ( z  e.  B ,  h ,  g ) `  z ) )  |`  B )  =  h )
5150, 14syl6eqel 2557 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  C_  A  /\  h  e.  X_ x  e.  B  C )  /\  g  e.  X_ x  e.  A  C )  ->  ( ( z  e.  A  |->  ( if ( z  e.  B ,  h ,  g ) `  z ) )  |`  B )  e.  _V )
52 reseq1 5105 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  ( z  e.  A  |->  ( if ( z  e.  B ,  h ,  g ) `  z ) )  -> 
( f  |`  B )  =  ( ( z  e.  A  |->  ( if ( z  e.  B ,  h ,  g ) `
 z ) )  |`  B ) )
5352, 2fvmptg 5961 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  e.  A  |->  ( if ( z  e.  B ,  h ,  g ) `  z ) )  e.  X_ x  e.  A  C  /\  ( ( z  e.  A  |->  ( if ( z  e.  B ,  h ,  g ) `
 z ) )  |`  B )  e.  _V )  ->  ( F `  ( z  e.  A  |->  ( if ( z  e.  B ,  h ,  g ) `  z ) ) )  =  ( ( z  e.  A  |->  ( if ( z  e.  B ,  h ,  g ) `
 z ) )  |`  B ) )
5440, 51, 53syl2anc 673 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  C_  A  /\  h  e.  X_ x  e.  B  C )  /\  g  e.  X_ x  e.  A  C )  ->  ( F `  (
z  e.  A  |->  ( if ( z  e.  B ,  h ,  g ) `  z
) ) )  =  ( ( z  e.  A  |->  ( if ( z  e.  B ,  h ,  g ) `  z ) )  |`  B ) )
5554, 50eqtr2d 2506 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  C_  A  /\  h  e.  X_ x  e.  B  C )  /\  g  e.  X_ x  e.  A  C )  ->  h  =  ( F `
 ( z  e.  A  |->  ( if ( z  e.  B ,  h ,  g ) `  z ) ) ) )
56 fveq2 5879 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( z  e.  A  |->  ( if ( z  e.  B ,  h ,  g ) `  z ) )  -> 
( F `  y
)  =  ( F `
 ( z  e.  A  |->  ( if ( z  e.  B ,  h ,  g ) `  z ) ) ) )
5756eqeq2d 2481 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( z  e.  A  |->  ( if ( z  e.  B ,  h ,  g ) `  z ) )  -> 
( h  =  ( F `  y )  <-> 
h  =  ( F `
 ( z  e.  A  |->  ( if ( z  e.  B ,  h ,  g ) `  z ) ) ) ) )
5857rspcev 3136 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( z  e.  A  |->  ( if ( z  e.  B ,  h ,  g ) `  z ) )  e.  X_ x  e.  A  C  /\  h  =  ( F `  ( z  e.  A  |->  ( if ( z  e.  B ,  h ,  g ) `
 z ) ) ) )  ->  E. y  e.  X_  x  e.  A  C h  =  ( F `  y )
)
5940, 55, 58syl2anc 673 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  C_  A  /\  h  e.  X_ x  e.  B  C )  /\  g  e.  X_ x  e.  A  C )  ->  E. y  e.  X_  x  e.  A  C h  =  ( F `  y ) )
6059ex 441 . . . . . 6  |-  ( ( B  C_  A  /\  h  e.  X_ x  e.  B  C )  -> 
( g  e.  X_ x  e.  A  C  ->  E. y  e.  X_  x  e.  A  C h  =  ( F `  y ) ) )
6160ralrimdva 2812 . . . . 5  |-  ( B 
C_  A  ->  (
g  e.  X_ x  e.  A  C  ->  A. h  e.  X_  x  e.  B  C E. y  e.  X_  x  e.  A  C h  =  ( F `  y
) ) )
6261exlimdv 1787 . . . 4  |-  ( B 
C_  A  ->  ( E. g  g  e.  X_ x  e.  A  C  ->  A. h  e.  X_  x  e.  B  C E. y  e.  X_  x  e.  A  C h  =  ( F `  y ) ) )
635, 62syl5bi 225 . . 3  |-  ( B 
C_  A  ->  ( X_ x  e.  A  C  =/=  (/)  ->  A. h  e.  X_  x  e.  B  C E. y  e.  X_  x  e.  A  C h  =  ( F `  y ) ) )
6463imp 436 . 2  |-  ( ( B  C_  A  /\  X_ x  e.  A  C  =/=  (/) )  ->  A. h  e.  X_  x  e.  B  C E. y  e.  X_  x  e.  A  C h  =  ( F `  y ) )
65 dffo3 6052 . 2  |-  ( F : X_ x  e.  A  C -onto-> X_ x  e.  B  C  <->  ( F : X_ x  e.  A  C
--> X_ x  e.  B  C  /\  A. h  e.  X_  x  e.  B  C E. y  e.  X_  x  e.  A  C h  =  ( F `  y ) ) )
664, 64, 65sylanbrc 677 1  |-  ( ( B  C_  A  /\  X_ x  e.  A  C  =/=  (/) )  ->  F : X_ x  e.  A  C -onto-> X_ x  e.  B  C )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    = wceq 1452   E.wex 1671    e. wcel 1904    =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757   _Vcvv 3031    C_ wss 3390   (/)c0 3722   ifcif 3872    |-> cmpt 4454    |` cres 4841    Fn wfn 5584   -->wf 5585   -onto->wfo 5587   ` cfv 5589   X_cixp 7540
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ixp 7541
This theorem is referenced by:  ptcmplem2  21146
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