MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  resinval Structured version   Unicode version

Theorem resinval 13851
Description: The sine of a real number in terms of the exponential function. (Contributed by NM, 30-Apr-2005.)
Assertion
Ref Expression
resinval  |-  ( A  e.  RR  ->  ( sin `  A )  =  ( Im `  ( exp `  ( _i  x.  A ) ) ) )

Proof of Theorem resinval
StepHypRef Expression
1 ax-icn 9554 . . . . . . . 8  |-  _i  e.  CC
2 recn 9585 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  CC )
3 cjmul 12956 . . . . . . . 8  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( * `  (
_i  x.  A )
)  =  ( ( * `  _i )  x.  ( * `  A ) ) )
41, 2, 3sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  (
* `  ( _i  x.  A ) )  =  ( ( * `  _i )  x.  (
* `  A )
) )
5 cji 12973 . . . . . . . . 9  |-  ( * `
 _i )  = 
-u _i
65oveq1i 6291 . . . . . . . 8  |-  ( ( * `  _i )  x.  ( * `  A ) )  =  ( -u _i  x.  ( * `  A
) )
7 cjre 12953 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  RR  ->  (
* `  A )  =  A )
87oveq2d 6297 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR  ->  ( -u _i  x.  ( * `
 A ) )  =  ( -u _i  x.  A ) )
96, 8syl5eq 2496 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( * `  _i )  x.  ( * `  A ) )  =  ( -u _i  x.  A ) )
104, 9eqtrd 2484 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  (
* `  ( _i  x.  A ) )  =  ( -u _i  x.  A ) )
1110fveq2d 5860 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  ( exp `  ( * `  ( _i  x.  A
) ) )  =  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) )
12 mulcl 9579 . . . . . . 7  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( _i  x.  A
)  e.  CC )
131, 2, 12sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  (
_i  x.  A )  e.  CC )
14 efcj 13808 . . . . . 6  |-  ( ( _i  x.  A )  e.  CC  ->  ( exp `  ( * `  ( _i  x.  A
) ) )  =  ( * `  ( exp `  ( _i  x.  A ) ) ) )
1513, 14syl 16 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  ( exp `  ( * `  ( _i  x.  A
) ) )  =  ( * `  ( exp `  ( _i  x.  A ) ) ) )
1611, 15eqtr3d 2486 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) )  =  ( * `  ( exp `  ( _i  x.  A ) ) ) )
1716oveq2d 6297 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( exp `  (
_i  x.  A )
)  -  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) )  =  ( ( exp `  ( _i  x.  A
) )  -  (
* `  ( exp `  ( _i  x.  A
) ) ) ) )
1817oveq1d 6296 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( ( exp `  (
_i  x.  A )
)  -  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) )  /  ( 2  x.  _i ) )  =  ( ( ( exp `  ( _i  x.  A
) )  -  (
* `  ( exp `  ( _i  x.  A
) ) ) )  /  ( 2  x.  _i ) ) )
19 sinval 13838 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  ( sin `  A )  =  ( ( ( exp `  ( _i  x.  A
) )  -  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) )  /  ( 2  x.  _i ) ) )
202, 19syl 16 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  ( sin `  A )  =  ( ( ( exp `  ( _i  x.  A
) )  -  ( exp `  ( -u _i  x.  A ) ) )  /  ( 2  x.  _i ) ) )
21 efcl 13799 . . 3  |-  ( ( _i  x.  A )  e.  CC  ->  ( exp `  ( _i  x.  A ) )  e.  CC )
22 imval2 12965 . . 3  |-  ( ( exp `  ( _i  x.  A ) )  e.  CC  ->  (
Im `  ( exp `  ( _i  x.  A
) ) )  =  ( ( ( exp `  ( _i  x.  A
) )  -  (
* `  ( exp `  ( _i  x.  A
) ) ) )  /  ( 2  x.  _i ) ) )
2313, 21, 223syl 20 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  (
Im `  ( exp `  ( _i  x.  A
) ) )  =  ( ( ( exp `  ( _i  x.  A
) )  -  (
* `  ( exp `  ( _i  x.  A
) ) ) )  /  ( 2  x.  _i ) ) )
2418, 20, 233eqtr4d 2494 1  |-  ( A  e.  RR  ->  ( sin `  A )  =  ( Im `  ( exp `  ( _i  x.  A ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1383    e. wcel 1804   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   CCcc 9493   RRcr 9494   _ici 9497    x. cmul 9500    - cmin 9810   -ucneg 9811    / cdiv 10213   2c2 10592   *ccj 12910   Imcim 12912   expce 13778   sincsin 13780
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-inf2 8061  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573  ax-addf 9574  ax-mulf 9575
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-fal 1389  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-se 4829  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-pm 7425  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-sup 7903  df-oi 7938  df-card 8323  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10214  df-nn 10544  df-2 10601  df-3 10602  df-n0 10803  df-z 10872  df-uz 11092  df-rp 11231  df-ico 11545  df-fz 11683  df-fzo 11806  df-fl 11910  df-seq 12089  df-exp 12148  df-fac 12335  df-hash 12387  df-shft 12881  df-cj 12913  df-re 12914  df-im 12915  df-sqrt 13049  df-abs 13050  df-limsup 13275  df-clim 13292  df-rlim 13293  df-sum 13490  df-ef 13784  df-sin 13786
This theorem is referenced by:  resin4p  13854  resincl  13856  argimgt0  22973
  Copyright terms: Public domain W3C validator