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Theorem resinf1o 22124
Description: The sine function is a bijection when restricted to its principal domain. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
resinf1o  |-  ( sin  |`  ( -u ( pi 
/  2 ) [,] ( pi  /  2
) ) ) : ( -u ( pi 
/  2 ) [,] ( pi  /  2
) ) -1-1-onto-> ( -u 1 [,] 1 )

Proof of Theorem resinf1o
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 recosf1o 22123 . . 3  |-  ( cos  |`  ( 0 [,] pi ) ) : ( 0 [,] pi ) -1-1-onto-> (
-u 1 [,] 1
)
2 eqid 2454 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) )  |->  ( ( pi  /  2
)  -  x ) )  =  ( x  e.  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) )  |->  ( ( pi  /  2
)  -  x ) )
3 halfpire 22058 . . . . . . . 8  |-  ( pi 
/  2 )  e.  RR
4 neghalfpire 22059 . . . . . . . . . 10  |-  -u (
pi  /  2 )  e.  RR
5 iccssre 11487 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
-u ( pi  / 
2 )  e.  RR  /\  ( pi  /  2
)  e.  RR )  ->  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) )  C_  RR )
64, 3, 5mp2an 672 . . . . . . . . 9  |-  ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) ) 
C_  RR
76sseli 3459 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) )  ->  x  e.  RR )
8 resubcl 9783 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( pi  /  2
)  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( pi  / 
2 )  -  x
)  e.  RR )
93, 7, 8sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) )  -> 
( ( pi  / 
2 )  -  x
)  e.  RR )
104, 3elicc2i 11471 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) )  <->  ( x  e.  RR  /\  -u (
pi  /  2 )  <_  x  /\  x  <_  ( pi  /  2
) ) )
1110simp3bi 1005 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) )  ->  x  <_  ( pi  / 
2 ) )
12 subge0 9962 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( pi  /  2
)  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( 0  <_  (
( pi  /  2
)  -  x )  <-> 
x  <_  ( pi  /  2 ) ) )
133, 7, 12sylancr 663 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) )  -> 
( 0  <_  (
( pi  /  2
)  -  x )  <-> 
x  <_  ( pi  /  2 ) ) )
1411, 13mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) )  -> 
0  <_  ( (
pi  /  2 )  -  x ) )
153recni 9508 . . . . . . . . . 10  |-  ( pi 
/  2 )  e.  CC
16 picn 22054 . . . . . . . . . 10  |-  pi  e.  CC
1715negcli 9786 . . . . . . . . . 10  |-  -u (
pi  /  2 )  e.  CC
1816, 15negsubi 9796 . . . . . . . . . . 11  |-  ( pi  +  -u ( pi  / 
2 ) )  =  ( pi  -  (
pi  /  2 ) )
19 pidiv2halves 22061 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( pi  /  2 )  +  ( pi  / 
2 ) )  =  pi
2016, 15, 15, 19subaddrii 9807 . . . . . . . . . . 11  |-  ( pi 
-  ( pi  / 
2 ) )  =  ( pi  /  2
)
2118, 20eqtri 2483 . . . . . . . . . 10  |-  ( pi  +  -u ( pi  / 
2 ) )  =  ( pi  /  2
)
2215, 16, 17, 21subaddrii 9807 . . . . . . . . 9  |-  ( ( pi  /  2 )  -  pi )  = 
-u ( pi  / 
2 )
2310simp2bi 1004 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) )  ->  -u ( pi  /  2
)  <_  x )
2422, 23syl5eqbr 4432 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) )  -> 
( ( pi  / 
2 )  -  pi )  <_  x )
25 pire 22053 . . . . . . . . . 10  |-  pi  e.  RR
26 suble 9927 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( pi  /  2
)  e.  RR  /\  pi  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  (
( ( pi  / 
2 )  -  pi )  <_  x  <->  ( (
pi  /  2 )  -  x )  <_  pi ) )
273, 25, 26mp3an12 1305 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( ( pi  / 
2 )  -  pi )  <_  x  <->  ( (
pi  /  2 )  -  x )  <_  pi ) )
287, 27syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) )  -> 
( ( ( pi 
/  2 )  -  pi )  <_  x  <->  ( (
pi  /  2 )  -  x )  <_  pi ) )
2924, 28mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) )  -> 
( ( pi  / 
2 )  -  x
)  <_  pi )
30 0re 9496 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
3130, 25elicc2i 11471 . . . . . . 7  |-  ( ( ( pi  /  2
)  -  x )  e.  ( 0 [,] pi )  <->  ( (
( pi  /  2
)  -  x )  e.  RR  /\  0  <_  ( ( pi  / 
2 )  -  x
)  /\  ( (
pi  /  2 )  -  x )  <_  pi ) )
329, 14, 29, 31syl3anbrc 1172 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) )  -> 
( ( pi  / 
2 )  -  x
)  e.  ( 0 [,] pi ) )
3332adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) [,] ( pi  /  2
) ) )  -> 
( ( pi  / 
2 )  -  x
)  e.  ( 0 [,] pi ) )
3430, 25elicc2i 11471 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( 0 [,] pi )  <->  ( y  e.  RR  /\  0  <_ 
y  /\  y  <_  pi ) )
3534simp1bi 1003 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( 0 [,] pi )  ->  y  e.  RR )
36 resubcl 9783 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( pi  /  2
)  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( pi  / 
2 )  -  y
)  e.  RR )
373, 35, 36sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( 0 [,] pi )  ->  (
( pi  /  2
)  -  y )  e.  RR )
3834simp3bi 1005 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( 0 [,] pi )  ->  y  <_  pi )
3915, 15subnegi 9797 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( pi  /  2 )  -  -u ( pi  / 
2 ) )  =  ( ( pi  / 
2 )  +  ( pi  /  2 ) )
4039, 19eqtri 2483 . . . . . . . . 9  |-  ( ( pi  /  2 )  -  -u ( pi  / 
2 ) )  =  pi
4138, 40syl6breqr 4439 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( 0 [,] pi )  ->  y  <_  ( ( pi  / 
2 )  -  -u (
pi  /  2 ) ) )
42 lesub 9928 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  RR  /\  ( pi  /  2
)  e.  RR  /\  -u ( pi  /  2
)  e.  RR )  ->  ( y  <_ 
( ( pi  / 
2 )  -  -u (
pi  /  2 ) )  <->  -u ( pi  / 
2 )  <_  (
( pi  /  2
)  -  y ) ) )
433, 4, 42mp3an23 1307 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR  ->  (
y  <_  ( (
pi  /  2 )  -  -u ( pi  / 
2 ) )  <->  -u ( pi 
/  2 )  <_ 
( ( pi  / 
2 )  -  y
) ) )
4435, 43syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( 0 [,] pi )  ->  (
y  <_  ( (
pi  /  2 )  -  -u ( pi  / 
2 ) )  <->  -u ( pi 
/  2 )  <_ 
( ( pi  / 
2 )  -  y
) ) )
4541, 44mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( 0 [,] pi )  ->  -u (
pi  /  2 )  <_  ( ( pi 
/  2 )  -  y ) )
4615subidi 9789 . . . . . . . . 9  |-  ( ( pi  /  2 )  -  ( pi  / 
2 ) )  =  0
4734simp2bi 1004 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( 0 [,] pi )  ->  0  <_  y )
4846, 47syl5eqbr 4432 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( 0 [,] pi )  ->  (
( pi  /  2
)  -  ( pi 
/  2 ) )  <_  y )
49 suble 9927 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( pi  /  2
)  e.  RR  /\  ( pi  /  2
)  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( ( pi 
/  2 )  -  ( pi  /  2
) )  <_  y  <->  ( ( pi  /  2
)  -  y )  <_  ( pi  / 
2 ) ) )
503, 3, 49mp3an12 1305 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR  ->  (
( ( pi  / 
2 )  -  (
pi  /  2 ) )  <_  y  <->  ( (
pi  /  2 )  -  y )  <_ 
( pi  /  2
) ) )
5135, 50syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( 0 [,] pi )  ->  (
( ( pi  / 
2 )  -  (
pi  /  2 ) )  <_  y  <->  ( (
pi  /  2 )  -  y )  <_ 
( pi  /  2
) ) )
5248, 51mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( 0 [,] pi )  ->  (
( pi  /  2
)  -  y )  <_  ( pi  / 
2 ) )
534, 3elicc2i 11471 . . . . . . 7  |-  ( ( ( pi  /  2
)  -  y )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) )  <->  ( (
( pi  /  2
)  -  y )  e.  RR  /\  -u (
pi  /  2 )  <_  ( ( pi 
/  2 )  -  y )  /\  (
( pi  /  2
)  -  y )  <_  ( pi  / 
2 ) ) )
5437, 45, 52, 53syl3anbrc 1172 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( 0 [,] pi )  ->  (
( pi  /  2
)  -  y )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) ) )
5554adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  y  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  (
( pi  /  2
)  -  y )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) ) )
56 iccssre 11487 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  -> 
( 0 [,] pi )  C_  RR )
5730, 25, 56mp2an 672 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0 [,] pi )  C_  RR
58 ax-resscn 9449 . . . . . . . . . 10  |-  RR  C_  CC
5957, 58sstri 3472 . . . . . . . . 9  |-  ( 0 [,] pi )  C_  CC
6059sseli 3459 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( 0 [,] pi )  ->  y  e.  CC )
616, 58sstri 3472 . . . . . . . . 9  |-  ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) ) 
C_  CC
6261sseli 3459 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) )  ->  x  e.  CC )
63 subsub23 9725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( pi  /  2
)  e.  CC  /\  y  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  (
( ( pi  / 
2 )  -  y
)  =  x  <->  ( (
pi  /  2 )  -  x )  =  y ) )
6415, 63mp3an1 1302 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( ( ( pi 
/  2 )  -  y )  =  x  <-> 
( ( pi  / 
2 )  -  x
)  =  y ) )
6560, 62, 64syl2anr 478 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) )  /\  y  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  ( (
( pi  /  2
)  -  y )  =  x  <->  ( (
pi  /  2 )  -  x )  =  y ) )
6665adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( 0 [,] pi ) ) )  ->  ( (
( pi  /  2
)  -  y )  =  x  <->  ( (
pi  /  2 )  -  x )  =  y ) )
67 eqcom 2463 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( ( pi 
/  2 )  -  y )  <->  ( (
pi  /  2 )  -  y )  =  x )
68 eqcom 2463 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( ( pi 
/  2 )  -  x )  <->  ( (
pi  /  2 )  -  x )  =  y )
6966, 67, 683bitr4g 288 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( 0 [,] pi ) ) )  ->  ( x  =  ( ( pi 
/  2 )  -  y )  <->  y  =  ( ( pi  / 
2 )  -  x
) ) )
702, 33, 55, 69f1o2d 6421 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) [,] (
pi  /  2 ) )  |->  ( ( pi 
/  2 )  -  x ) ) : ( -u ( pi 
/  2 ) [,] ( pi  /  2
) ) -1-1-onto-> ( 0 [,] pi ) )
7170trud 1379 . . 3  |-  ( x  e.  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) )  |->  ( ( pi  /  2
)  -  x ) ) : ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) ) -1-1-onto-> ( 0 [,] pi )
72 f1oco 5770 . . 3  |-  ( ( ( cos  |`  (
0 [,] pi ) ) : ( 0 [,] pi ) -1-1-onto-> ( -u
1 [,] 1 )  /\  ( x  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) [,] ( pi  /  2
) )  |->  ( ( pi  /  2 )  -  x ) ) : ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) ) -1-1-onto-> ( 0 [,] pi ) )  ->  ( ( cos  |`  ( 0 [,] pi ) )  o.  (
x  e.  ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) ) 
|->  ( ( pi  / 
2 )  -  x
) ) ) : ( -u ( pi 
/  2 ) [,] ( pi  /  2
) ) -1-1-onto-> ( -u 1 [,] 1 ) )
731, 71, 72mp2an 672 . 2  |-  ( ( cos  |`  ( 0 [,] pi ) )  o.  ( x  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) [,] ( pi  /  2
) )  |->  ( ( pi  /  2 )  -  x ) ) ) : ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) ) -1-1-onto-> (
-u 1 [,] 1
)
74 cosf 13526 . . . . . . . 8  |-  cos : CC
--> CC
75 ffn 5666 . . . . . . . 8  |-  ( cos
: CC --> CC  ->  cos 
Fn  CC )
7674, 75ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  cos  Fn  CC
77 fnssres 5631 . . . . . . 7  |-  ( ( cos  Fn  CC  /\  ( 0 [,] pi )  C_  CC )  -> 
( cos  |`  ( 0 [,] pi ) )  Fn  ( 0 [,] pi ) )
7876, 59, 77mp2an 672 . . . . . 6  |-  ( cos  |`  ( 0 [,] pi ) )  Fn  (
0 [,] pi )
792, 32fmpti 5974 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) )  |->  ( ( pi  /  2
)  -  x ) ) : ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) ) --> ( 0 [,] pi )
80 fnfco 5684 . . . . . 6  |-  ( ( ( cos  |`  (
0 [,] pi ) )  Fn  ( 0 [,] pi )  /\  ( x  e.  ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) ) 
|->  ( ( pi  / 
2 )  -  x
) ) : (
-u ( pi  / 
2 ) [,] (
pi  /  2 ) ) --> ( 0 [,] pi ) )  -> 
( ( cos  |`  (
0 [,] pi ) )  o.  ( x  e.  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) )  |->  ( ( pi  /  2
)  -  x ) ) )  Fn  ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) ) )
8178, 79, 80mp2an 672 . . . . 5  |-  ( ( cos  |`  ( 0 [,] pi ) )  o.  ( x  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) [,] ( pi  /  2
) )  |->  ( ( pi  /  2 )  -  x ) ) )  Fn  ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) )
82 sinf 13525 . . . . . . 7  |-  sin : CC
--> CC
83 ffn 5666 . . . . . . 7  |-  ( sin
: CC --> CC  ->  sin 
Fn  CC )
8482, 83ax-mp 5 . . . . . 6  |-  sin  Fn  CC
85 fnssres 5631 . . . . . 6  |-  ( ( sin  Fn  CC  /\  ( -u ( pi  / 
2 ) [,] (
pi  /  2 ) )  C_  CC )  ->  ( sin  |`  ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) ) )  Fn  ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) ) )
8684, 61, 85mp2an 672 . . . . 5  |-  ( sin  |`  ( -u ( pi 
/  2 ) [,] ( pi  /  2
) ) )  Fn  ( -u ( pi 
/  2 ) [,] ( pi  /  2
) )
87 eqfnfv 5905 . . . . 5  |-  ( ( ( ( cos  |`  (
0 [,] pi ) )  o.  ( x  e.  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) )  |->  ( ( pi  /  2
)  -  x ) ) )  Fn  ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) )  /\  ( sin  |`  ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) ) )  Fn  ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) ) )  ->  ( (
( cos  |`  ( 0 [,] pi ) )  o.  ( x  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) [,] ( pi  /  2
) )  |->  ( ( pi  /  2 )  -  x ) ) )  =  ( sin  |`  ( -u ( pi 
/  2 ) [,] ( pi  /  2
) ) )  <->  A. y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) [,] ( pi  /  2
) ) ( ( ( cos  |`  (
0 [,] pi ) )  o.  ( x  e.  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) )  |->  ( ( pi  /  2
)  -  x ) ) ) `  y
)  =  ( ( sin  |`  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) ) ) `
 y ) ) )
8881, 86, 87mp2an 672 . . . 4  |-  ( ( ( cos  |`  (
0 [,] pi ) )  o.  ( x  e.  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) )  |->  ( ( pi  /  2
)  -  x ) ) )  =  ( sin  |`  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) ) )  <->  A. y  e.  ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) ) ( ( ( cos  |`  ( 0 [,] pi ) )  o.  (
x  e.  ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) ) 
|->  ( ( pi  / 
2 )  -  x
) ) ) `  y )  =  ( ( sin  |`  ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) ) ) `  y ) )
8979ffvelrni 5950 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) )  -> 
( ( x  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) [,] ( pi  /  2
) )  |->  ( ( pi  /  2 )  -  x ) ) `
 y )  e.  ( 0 [,] pi ) )
90 fvres 5812 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) [,] (
pi  /  2 ) )  |->  ( ( pi 
/  2 )  -  x ) ) `  y )  e.  ( 0 [,] pi )  ->  ( ( cos  |`  ( 0 [,] pi ) ) `  (
( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) [,] (
pi  /  2 ) )  |->  ( ( pi 
/  2 )  -  x ) ) `  y ) )  =  ( cos `  (
( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) [,] (
pi  /  2 ) )  |->  ( ( pi 
/  2 )  -  x ) ) `  y ) ) )
9189, 90syl 16 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) )  -> 
( ( cos  |`  (
0 [,] pi ) ) `  ( ( x  e.  ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) ) 
|->  ( ( pi  / 
2 )  -  x
) ) `  y
) )  =  ( cos `  ( ( x  e.  ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) ) 
|->  ( ( pi  / 
2 )  -  x
) ) `  y
) ) )
92 oveq2 6207 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
( pi  /  2
)  -  x )  =  ( ( pi 
/  2 )  -  y ) )
93 ovex 6224 . . . . . . . 8  |-  ( ( pi  /  2 )  -  y )  e. 
_V
9492, 2, 93fvmpt 5882 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) )  -> 
( ( x  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) [,] ( pi  /  2
) )  |->  ( ( pi  /  2 )  -  x ) ) `
 y )  =  ( ( pi  / 
2 )  -  y
) )
9594fveq2d 5802 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) )  -> 
( cos `  (
( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) [,] (
pi  /  2 ) )  |->  ( ( pi 
/  2 )  -  x ) ) `  y ) )  =  ( cos `  (
( pi  /  2
)  -  y ) ) )
9661sseli 3459 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) )  -> 
y  e.  CC )
97 coshalfpim 22089 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  CC  ->  ( cos `  ( ( pi 
/  2 )  -  y ) )  =  ( sin `  y
) )
9896, 97syl 16 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) )  -> 
( cos `  (
( pi  /  2
)  -  y ) )  =  ( sin `  y ) )
9991, 95, 983eqtrd 2499 . . . . 5  |-  ( y  e.  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) )  -> 
( ( cos  |`  (
0 [,] pi ) ) `  ( ( x  e.  ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) ) 
|->  ( ( pi  / 
2 )  -  x
) ) `  y
) )  =  ( sin `  y ) )
100 fvco3 5876 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) [,] (
pi  /  2 ) )  |->  ( ( pi 
/  2 )  -  x ) ) : ( -u ( pi 
/  2 ) [,] ( pi  /  2
) ) --> ( 0 [,] pi )  /\  y  e.  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( ( cos  |`  ( 0 [,] pi ) )  o.  ( x  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) [,] ( pi  /  2
) )  |->  ( ( pi  /  2 )  -  x ) ) ) `  y )  =  ( ( cos  |`  ( 0 [,] pi ) ) `  (
( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) [,] (
pi  /  2 ) )  |->  ( ( pi 
/  2 )  -  x ) ) `  y ) ) )
10179, 100mpan 670 . . . . 5  |-  ( y  e.  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) )  -> 
( ( ( cos  |`  ( 0 [,] pi ) )  o.  (
x  e.  ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) ) 
|->  ( ( pi  / 
2 )  -  x
) ) ) `  y )  =  ( ( cos  |`  (
0 [,] pi ) ) `  ( ( x  e.  ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) ) 
|->  ( ( pi  / 
2 )  -  x
) ) `  y
) ) )
102 fvres 5812 . . . . 5  |-  ( y  e.  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) )  -> 
( ( sin  |`  ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) ) ) `  y )  =  ( sin `  y
) )
10399, 101, 1023eqtr4d 2505 . . . 4  |-  ( y  e.  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) )  -> 
( ( ( cos  |`  ( 0 [,] pi ) )  o.  (
x  e.  ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) ) 
|->  ( ( pi  / 
2 )  -  x
) ) ) `  y )  =  ( ( sin  |`  ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) ) ) `  y ) )
10488, 103mprgbir 2902 . . 3  |-  ( ( cos  |`  ( 0 [,] pi ) )  o.  ( x  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) [,] ( pi  /  2
) )  |->  ( ( pi  /  2 )  -  x ) ) )  =  ( sin  |`  ( -u ( pi 
/  2 ) [,] ( pi  /  2
) ) )
105 f1oeq1 5739 . . 3  |-  ( ( ( cos  |`  (
0 [,] pi ) )  o.  ( x  e.  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) )  |->  ( ( pi  /  2
)  -  x ) ) )  =  ( sin  |`  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( ( cos  |`  ( 0 [,] pi ) )  o.  ( x  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) [,] ( pi  /  2
) )  |->  ( ( pi  /  2 )  -  x ) ) ) : ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) ) -1-1-onto-> (
-u 1 [,] 1
)  <->  ( sin  |`  ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) ) ) : ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) ) -1-1-onto-> (
-u 1 [,] 1
) ) )
106104, 105ax-mp 5 . 2  |-  ( ( ( cos  |`  (
0 [,] pi ) )  o.  ( x  e.  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) )  |->  ( ( pi  /  2
)  -  x ) ) ) : (
-u ( pi  / 
2 ) [,] (
pi  /  2 ) ) -1-1-onto-> ( -u 1 [,] 1 )  <->  ( sin  |`  ( -u ( pi 
/  2 ) [,] ( pi  /  2
) ) ) : ( -u ( pi 
/  2 ) [,] ( pi  /  2
) ) -1-1-onto-> ( -u 1 [,] 1 ) )
10773, 106mpbi 208 1  |-  ( sin  |`  ( -u ( pi 
/  2 ) [,] ( pi  /  2
) ) ) : ( -u ( pi 
/  2 ) [,] ( pi  /  2
) ) -1-1-onto-> ( -u 1 [,] 1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370   T. wtru 1371    e. wcel 1758   A.wral 2798    C_ wss 3435   class class class wbr 4399    |-> cmpt 4457    |` cres 4949    o. ccom 4951    Fn wfn 5520   -->wf 5521   -1-1-onto->wf1o 5524   ` cfv 5525  (class class class)co 6199   CCcc 9390   RRcr 9391   0cc0 9392   1c1 9393    + caddc 9395    <_ cle 9529    - cmin 9705   -ucneg 9706    / cdiv 10103   2c2 10481   [,]cicc 11413   sincsin 13466   cosccos 13467   picpi 13469
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4510  ax-sep 4520  ax-nul 4528  ax-pow 4577  ax-pr 4638  ax-un 6481  ax-inf2 7957  ax-cnex 9448  ax-resscn 9449  ax-1cn 9450  ax-icn 9451  ax-addcl 9452  ax-addrcl 9453  ax-mulcl 9454  ax-mulrcl 9455  ax-mulcom 9456  ax-addass 9457  ax-mulass 9458  ax-distr 9459  ax-i2m1 9460  ax-1ne0 9461  ax-1rid 9462  ax-rnegex 9463  ax-rrecex 9464  ax-cnre 9465  ax-pre-lttri 9466  ax-pre-lttrn 9467  ax-pre-ltadd 9468  ax-pre-mulgt0 9469  ax-pre-sup 9470  ax-addf 9471  ax-mulf 9472
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2649  df-nel 2650  df-ral 2803  df-rex 2804  df-reu 2805  df-rmo 2806  df-rab 2807  df-v 3078  df-sbc 3293  df-csb 3395  df-dif 3438  df-un 3440  df-in 3442  df-ss 3449  df-pss 3451  df-nul 3745  df-if 3899  df-pw 3969  df-sn 3985  df-pr 3987  df-tp 3989  df-op 3991  df-uni 4199  df-int 4236  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4400  df-opab 4458  df-mpt 4459  df-tr 4493  df-eprel 4739  df-id 4743  df-po 4748  df-so 4749  df-fr 4786  df-se 4787  df-we 4788  df-ord 4829  df-on 4830  df-lim 4831  df-suc 4832  df-xp 4953  df-rel 4954  df-cnv 4955  df-co 4956  df-dm 4957  df-rn 4958  df-res 4959  df-ima 4960  df-iota 5488  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-isom 5534  df-riota 6160  df-ov 6202  df-oprab 6203  df-mpt2 6204  df-of 6429  df-om 6586  df-1st 6686  df-2nd 6687  df-supp 6800  df-recs 6941  df-rdg 6975  df-1o 7029  df-2o 7030  df-oadd 7033  df-er 7210  df-map 7325  df-pm 7326  df-ixp 7373  df-en 7420  df-dom 7421  df-sdom 7422  df-fin 7423  df-fsupp 7731  df-fi 7771  df-sup 7801  df-oi 7834  df-card 8219  df-cda 8447  df-pnf 9530  df-mnf 9531  df-xr 9532  df-ltxr 9533  df-le 9534  df-sub 9707  df-neg 9708  df-div 10104  df-nn 10433  df-2 10490  df-3 10491  df-4 10492  df-5 10493  df-6 10494  df-7 10495  df-8 10496  df-9 10497  df-10 10498  df-n0 10690  df-z 10757  df-dec 10866  df-uz 10972  df-q 11064  df-rp 11102  df-xneg 11199  df-xadd 11200  df-xmul 11201  df-ioo 11414  df-ioc 11415  df-ico 11416  df-icc 11417  df-fz 11554  df-fzo 11665  df-fl 11758  df-seq 11923  df-exp 11982  df-fac 12168  df-bc 12195  df-hash 12220  df-shft 12673  df-cj 12705  df-re 12706  df-im 12707  df-sqr 12841  df-abs 12842  df-limsup 13066  df-clim 13083  df-rlim 13084  df-sum 13281  df-ef 13470  df-sin 13472  df-cos 13473  df-pi 13475  df-struct 14293  df-ndx 14294  df-slot 14295  df-base 14296  df-sets 14297  df-ress 14298  df-plusg 14369  df-mulr 14370  df-starv 14371  df-sca 14372  df-vsca 14373  df-ip 14374  df-tset 14375  df-ple 14376  df-ds 14378  df-unif 14379  df-hom 14380  df-cco 14381  df-rest 14479  df-topn 14480  df-0g 14498  df-gsum 14499  df-topgen 14500  df-pt 14501  df-prds 14504  df-xrs 14558  df-qtop 14563  df-imas 14564  df-xps 14566  df-mre 14642  df-mrc 14643  df-acs 14645  df-mnd 15533  df-submnd 15583  df-mulg 15666  df-cntz 15953  df-cmn 16399  df-psmet 17933  df-xmet 17934  df-met 17935  df-bl 17936  df-mopn 17937  df-fbas 17938  df-fg 17939  df-cnfld 17943  df-top 18634  df-bases 18636  df-topon 18637  df-topsp 18638  df-cld 18754  df-ntr 18755  df-cls 18756  df-nei 18833  df-lp 18871  df-perf 18872  df-cn 18962  df-cnp 18963  df-haus 19050  df-tx 19266  df-hmeo 19459  df-fil 19550  df-fm 19642  df-flim 19643  df-flf 19644  df-xms 20026  df-ms 20027  df-tms 20028  df-cncf 20585  df-limc 21473  df-dv 21474
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