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Theorem resinf1o 21877
Description: The sine function is a bijection when restricted to its principal domain. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
resinf1o  |-  ( sin  |`  ( -u ( pi 
/  2 ) [,] ( pi  /  2
) ) ) : ( -u ( pi 
/  2 ) [,] ( pi  /  2
) ) -1-1-onto-> ( -u 1 [,] 1 )

Proof of Theorem resinf1o
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 recosf1o 21876 . . 3  |-  ( cos  |`  ( 0 [,] pi ) ) : ( 0 [,] pi ) -1-1-onto-> (
-u 1 [,] 1
)
2 eqid 2433 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) )  |->  ( ( pi  /  2
)  -  x ) )  =  ( x  e.  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) )  |->  ( ( pi  /  2
)  -  x ) )
3 halfpire 21811 . . . . . . . 8  |-  ( pi 
/  2 )  e.  RR
4 neghalfpire 21812 . . . . . . . . . 10  |-  -u (
pi  /  2 )  e.  RR
5 iccssre 11365 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
-u ( pi  / 
2 )  e.  RR  /\  ( pi  /  2
)  e.  RR )  ->  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) )  C_  RR )
64, 3, 5mp2an 665 . . . . . . . . 9  |-  ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) ) 
C_  RR
76sseli 3340 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) )  ->  x  e.  RR )
8 resubcl 9661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( pi  /  2
)  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( pi  / 
2 )  -  x
)  e.  RR )
93, 7, 8sylancr 656 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) )  -> 
( ( pi  / 
2 )  -  x
)  e.  RR )
104, 3elicc2i 11349 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) )  <->  ( x  e.  RR  /\  -u (
pi  /  2 )  <_  x  /\  x  <_  ( pi  /  2
) ) )
1110simp3bi 998 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) )  ->  x  <_  ( pi  / 
2 ) )
12 subge0 9840 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( pi  /  2
)  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( 0  <_  (
( pi  /  2
)  -  x )  <-> 
x  <_  ( pi  /  2 ) ) )
133, 7, 12sylancr 656 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) )  -> 
( 0  <_  (
( pi  /  2
)  -  x )  <-> 
x  <_  ( pi  /  2 ) ) )
1411, 13mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) )  -> 
0  <_  ( (
pi  /  2 )  -  x ) )
153recni 9386 . . . . . . . . . 10  |-  ( pi 
/  2 )  e.  CC
16 picn 21807 . . . . . . . . . 10  |-  pi  e.  CC
1715negcli 9664 . . . . . . . . . 10  |-  -u (
pi  /  2 )  e.  CC
1816, 15negsubi 9674 . . . . . . . . . . 11  |-  ( pi  +  -u ( pi  / 
2 ) )  =  ( pi  -  (
pi  /  2 ) )
19 pidiv2halves 21814 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( pi  /  2 )  +  ( pi  / 
2 ) )  =  pi
2016, 15, 15, 19subaddrii 9685 . . . . . . . . . . 11  |-  ( pi 
-  ( pi  / 
2 ) )  =  ( pi  /  2
)
2118, 20eqtri 2453 . . . . . . . . . 10  |-  ( pi  +  -u ( pi  / 
2 ) )  =  ( pi  /  2
)
2215, 16, 17, 21subaddrii 9685 . . . . . . . . 9  |-  ( ( pi  /  2 )  -  pi )  = 
-u ( pi  / 
2 )
2310simp2bi 997 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) )  ->  -u ( pi  /  2
)  <_  x )
2422, 23syl5eqbr 4313 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) )  -> 
( ( pi  / 
2 )  -  pi )  <_  x )
25 pire 21806 . . . . . . . . . 10  |-  pi  e.  RR
26 suble 9805 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( pi  /  2
)  e.  RR  /\  pi  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  (
( ( pi  / 
2 )  -  pi )  <_  x  <->  ( (
pi  /  2 )  -  x )  <_  pi ) )
273, 25, 26mp3an12 1297 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( ( pi  / 
2 )  -  pi )  <_  x  <->  ( (
pi  /  2 )  -  x )  <_  pi ) )
287, 27syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) )  -> 
( ( ( pi 
/  2 )  -  pi )  <_  x  <->  ( (
pi  /  2 )  -  x )  <_  pi ) )
2924, 28mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) )  -> 
( ( pi  / 
2 )  -  x
)  <_  pi )
30 0re 9374 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
3130, 25elicc2i 11349 . . . . . . 7  |-  ( ( ( pi  /  2
)  -  x )  e.  ( 0 [,] pi )  <->  ( (
( pi  /  2
)  -  x )  e.  RR  /\  0  <_  ( ( pi  / 
2 )  -  x
)  /\  ( (
pi  /  2 )  -  x )  <_  pi ) )
329, 14, 29, 31syl3anbrc 1165 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) )  -> 
( ( pi  / 
2 )  -  x
)  e.  ( 0 [,] pi ) )
3332adantl 463 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) [,] ( pi  /  2
) ) )  -> 
( ( pi  / 
2 )  -  x
)  e.  ( 0 [,] pi ) )
3430, 25elicc2i 11349 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( 0 [,] pi )  <->  ( y  e.  RR  /\  0  <_ 
y  /\  y  <_  pi ) )
3534simp1bi 996 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( 0 [,] pi )  ->  y  e.  RR )
36 resubcl 9661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( pi  /  2
)  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( pi  / 
2 )  -  y
)  e.  RR )
373, 35, 36sylancr 656 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( 0 [,] pi )  ->  (
( pi  /  2
)  -  y )  e.  RR )
3834simp3bi 998 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( 0 [,] pi )  ->  y  <_  pi )
3915, 15subnegi 9675 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( pi  /  2 )  -  -u ( pi  / 
2 ) )  =  ( ( pi  / 
2 )  +  ( pi  /  2 ) )
4039, 19eqtri 2453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( pi  /  2 )  -  -u ( pi  / 
2 ) )  =  pi
4138, 40syl6breqr 4320 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( 0 [,] pi )  ->  y  <_  ( ( pi  / 
2 )  -  -u (
pi  /  2 ) ) )
42 lesub 9806 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  RR  /\  ( pi  /  2
)  e.  RR  /\  -u ( pi  /  2
)  e.  RR )  ->  ( y  <_ 
( ( pi  / 
2 )  -  -u (
pi  /  2 ) )  <->  -u ( pi  / 
2 )  <_  (
( pi  /  2
)  -  y ) ) )
433, 4, 42mp3an23 1299 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR  ->  (
y  <_  ( (
pi  /  2 )  -  -u ( pi  / 
2 ) )  <->  -u ( pi 
/  2 )  <_ 
( ( pi  / 
2 )  -  y
) ) )
4435, 43syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( 0 [,] pi )  ->  (
y  <_  ( (
pi  /  2 )  -  -u ( pi  / 
2 ) )  <->  -u ( pi 
/  2 )  <_ 
( ( pi  / 
2 )  -  y
) ) )
4541, 44mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( 0 [,] pi )  ->  -u (
pi  /  2 )  <_  ( ( pi 
/  2 )  -  y ) )
4615subidi 9667 . . . . . . . . 9  |-  ( ( pi  /  2 )  -  ( pi  / 
2 ) )  =  0
4734simp2bi 997 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( 0 [,] pi )  ->  0  <_  y )
4846, 47syl5eqbr 4313 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( 0 [,] pi )  ->  (
( pi  /  2
)  -  ( pi 
/  2 ) )  <_  y )
49 suble 9805 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( pi  /  2
)  e.  RR  /\  ( pi  /  2
)  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( ( pi 
/  2 )  -  ( pi  /  2
) )  <_  y  <->  ( ( pi  /  2
)  -  y )  <_  ( pi  / 
2 ) ) )
503, 3, 49mp3an12 1297 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR  ->  (
( ( pi  / 
2 )  -  (
pi  /  2 ) )  <_  y  <->  ( (
pi  /  2 )  -  y )  <_ 
( pi  /  2
) ) )
5135, 50syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( 0 [,] pi )  ->  (
( ( pi  / 
2 )  -  (
pi  /  2 ) )  <_  y  <->  ( (
pi  /  2 )  -  y )  <_ 
( pi  /  2
) ) )
5248, 51mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( 0 [,] pi )  ->  (
( pi  /  2
)  -  y )  <_  ( pi  / 
2 ) )
534, 3elicc2i 11349 . . . . . . 7  |-  ( ( ( pi  /  2
)  -  y )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) )  <->  ( (
( pi  /  2
)  -  y )  e.  RR  /\  -u (
pi  /  2 )  <_  ( ( pi 
/  2 )  -  y )  /\  (
( pi  /  2
)  -  y )  <_  ( pi  / 
2 ) ) )
5437, 45, 52, 53syl3anbrc 1165 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( 0 [,] pi )  ->  (
( pi  /  2
)  -  y )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) ) )
5554adantl 463 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  y  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  (
( pi  /  2
)  -  y )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) ) )
56 iccssre 11365 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  -> 
( 0 [,] pi )  C_  RR )
5730, 25, 56mp2an 665 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0 [,] pi )  C_  RR
58 ax-resscn 9327 . . . . . . . . . 10  |-  RR  C_  CC
5957, 58sstri 3353 . . . . . . . . 9  |-  ( 0 [,] pi )  C_  CC
6059sseli 3340 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( 0 [,] pi )  ->  y  e.  CC )
616, 58sstri 3353 . . . . . . . . 9  |-  ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) ) 
C_  CC
6261sseli 3340 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) )  ->  x  e.  CC )
63 subsub23 9603 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( pi  /  2
)  e.  CC  /\  y  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  (
( ( pi  / 
2 )  -  y
)  =  x  <->  ( (
pi  /  2 )  -  x )  =  y ) )
6415, 63mp3an1 1294 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( ( ( pi 
/  2 )  -  y )  =  x  <-> 
( ( pi  / 
2 )  -  x
)  =  y ) )
6560, 62, 64syl2anr 475 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) )  /\  y  e.  ( 0 [,] pi ) )  ->  ( (
( pi  /  2
)  -  y )  =  x  <->  ( (
pi  /  2 )  -  x )  =  y ) )
6665adantl 463 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( 0 [,] pi ) ) )  ->  ( (
( pi  /  2
)  -  y )  =  x  <->  ( (
pi  /  2 )  -  x )  =  y ) )
67 eqcom 2435 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( ( pi 
/  2 )  -  y )  <->  ( (
pi  /  2 )  -  y )  =  x )
68 eqcom 2435 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( ( pi 
/  2 )  -  x )  <->  ( (
pi  /  2 )  -  x )  =  y )
6966, 67, 683bitr4g 288 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) )  /\  y  e.  ( 0 [,] pi ) ) )  ->  ( x  =  ( ( pi 
/  2 )  -  y )  <->  y  =  ( ( pi  / 
2 )  -  x
) ) )
702, 33, 55, 69f1o2d 6301 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) [,] (
pi  /  2 ) )  |->  ( ( pi 
/  2 )  -  x ) ) : ( -u ( pi 
/  2 ) [,] ( pi  /  2
) ) -1-1-onto-> ( 0 [,] pi ) )
7170trud 1371 . . 3  |-  ( x  e.  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) )  |->  ( ( pi  /  2
)  -  x ) ) : ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) ) -1-1-onto-> ( 0 [,] pi )
72 f1oco 5651 . . 3  |-  ( ( ( cos  |`  (
0 [,] pi ) ) : ( 0 [,] pi ) -1-1-onto-> ( -u
1 [,] 1 )  /\  ( x  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) [,] ( pi  /  2
) )  |->  ( ( pi  /  2 )  -  x ) ) : ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) ) -1-1-onto-> ( 0 [,] pi ) )  ->  ( ( cos  |`  ( 0 [,] pi ) )  o.  (
x  e.  ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) ) 
|->  ( ( pi  / 
2 )  -  x
) ) ) : ( -u ( pi 
/  2 ) [,] ( pi  /  2
) ) -1-1-onto-> ( -u 1 [,] 1 ) )
731, 71, 72mp2an 665 . 2  |-  ( ( cos  |`  ( 0 [,] pi ) )  o.  ( x  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) [,] ( pi  /  2
) )  |->  ( ( pi  /  2 )  -  x ) ) ) : ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) ) -1-1-onto-> (
-u 1 [,] 1
)
74 cosf 13392 . . . . . . . 8  |-  cos : CC
--> CC
75 ffn 5547 . . . . . . . 8  |-  ( cos
: CC --> CC  ->  cos 
Fn  CC )
7674, 75ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  cos  Fn  CC
77 fnssres 5512 . . . . . . 7  |-  ( ( cos  Fn  CC  /\  ( 0 [,] pi )  C_  CC )  -> 
( cos  |`  ( 0 [,] pi ) )  Fn  ( 0 [,] pi ) )
7876, 59, 77mp2an 665 . . . . . 6  |-  ( cos  |`  ( 0 [,] pi ) )  Fn  (
0 [,] pi )
792, 32fmpti 5854 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) )  |->  ( ( pi  /  2
)  -  x ) ) : ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) ) --> ( 0 [,] pi )
80 fnfco 5565 . . . . . 6  |-  ( ( ( cos  |`  (
0 [,] pi ) )  Fn  ( 0 [,] pi )  /\  ( x  e.  ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) ) 
|->  ( ( pi  / 
2 )  -  x
) ) : (
-u ( pi  / 
2 ) [,] (
pi  /  2 ) ) --> ( 0 [,] pi ) )  -> 
( ( cos  |`  (
0 [,] pi ) )  o.  ( x  e.  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) )  |->  ( ( pi  /  2
)  -  x ) ) )  Fn  ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) ) )
8178, 79, 80mp2an 665 . . . . 5  |-  ( ( cos  |`  ( 0 [,] pi ) )  o.  ( x  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) [,] ( pi  /  2
) )  |->  ( ( pi  /  2 )  -  x ) ) )  Fn  ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) )
82 sinf 13391 . . . . . . 7  |-  sin : CC
--> CC
83 ffn 5547 . . . . . . 7  |-  ( sin
: CC --> CC  ->  sin 
Fn  CC )
8482, 83ax-mp 5 . . . . . 6  |-  sin  Fn  CC
85 fnssres 5512 . . . . . 6  |-  ( ( sin  Fn  CC  /\  ( -u ( pi  / 
2 ) [,] (
pi  /  2 ) )  C_  CC )  ->  ( sin  |`  ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) ) )  Fn  ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) ) )
8684, 61, 85mp2an 665 . . . . 5  |-  ( sin  |`  ( -u ( pi 
/  2 ) [,] ( pi  /  2
) ) )  Fn  ( -u ( pi 
/  2 ) [,] ( pi  /  2
) )
87 eqfnfv 5785 . . . . 5  |-  ( ( ( ( cos  |`  (
0 [,] pi ) )  o.  ( x  e.  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) )  |->  ( ( pi  /  2
)  -  x ) ) )  Fn  ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) )  /\  ( sin  |`  ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) ) )  Fn  ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) ) )  ->  ( (
( cos  |`  ( 0 [,] pi ) )  o.  ( x  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) [,] ( pi  /  2
) )  |->  ( ( pi  /  2 )  -  x ) ) )  =  ( sin  |`  ( -u ( pi 
/  2 ) [,] ( pi  /  2
) ) )  <->  A. y  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) [,] ( pi  /  2
) ) ( ( ( cos  |`  (
0 [,] pi ) )  o.  ( x  e.  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) )  |->  ( ( pi  /  2
)  -  x ) ) ) `  y
)  =  ( ( sin  |`  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) ) ) `
 y ) ) )
8881, 86, 87mp2an 665 . . . 4  |-  ( ( ( cos  |`  (
0 [,] pi ) )  o.  ( x  e.  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) )  |->  ( ( pi  /  2
)  -  x ) ) )  =  ( sin  |`  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) ) )  <->  A. y  e.  ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) ) ( ( ( cos  |`  ( 0 [,] pi ) )  o.  (
x  e.  ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) ) 
|->  ( ( pi  / 
2 )  -  x
) ) ) `  y )  =  ( ( sin  |`  ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) ) ) `  y ) )
8979ffvelrni 5830 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) )  -> 
( ( x  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) [,] ( pi  /  2
) )  |->  ( ( pi  /  2 )  -  x ) ) `
 y )  e.  ( 0 [,] pi ) )
90 fvres 5692 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) [,] (
pi  /  2 ) )  |->  ( ( pi 
/  2 )  -  x ) ) `  y )  e.  ( 0 [,] pi )  ->  ( ( cos  |`  ( 0 [,] pi ) ) `  (
( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) [,] (
pi  /  2 ) )  |->  ( ( pi 
/  2 )  -  x ) ) `  y ) )  =  ( cos `  (
( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) [,] (
pi  /  2 ) )  |->  ( ( pi 
/  2 )  -  x ) ) `  y ) ) )
9189, 90syl 16 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) )  -> 
( ( cos  |`  (
0 [,] pi ) ) `  ( ( x  e.  ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) ) 
|->  ( ( pi  / 
2 )  -  x
) ) `  y
) )  =  ( cos `  ( ( x  e.  ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) ) 
|->  ( ( pi  / 
2 )  -  x
) ) `  y
) ) )
92 oveq2 6088 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
( pi  /  2
)  -  x )  =  ( ( pi 
/  2 )  -  y ) )
93 ovex 6105 . . . . . . . 8  |-  ( ( pi  /  2 )  -  y )  e. 
_V
9492, 2, 93fvmpt 5762 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) )  -> 
( ( x  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) [,] ( pi  /  2
) )  |->  ( ( pi  /  2 )  -  x ) ) `
 y )  =  ( ( pi  / 
2 )  -  y
) )
9594fveq2d 5683 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) )  -> 
( cos `  (
( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) [,] (
pi  /  2 ) )  |->  ( ( pi 
/  2 )  -  x ) ) `  y ) )  =  ( cos `  (
( pi  /  2
)  -  y ) ) )
9661sseli 3340 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) )  -> 
y  e.  CC )
97 coshalfpim 21842 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  CC  ->  ( cos `  ( ( pi 
/  2 )  -  y ) )  =  ( sin `  y
) )
9896, 97syl 16 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) )  -> 
( cos `  (
( pi  /  2
)  -  y ) )  =  ( sin `  y ) )
9991, 95, 983eqtrd 2469 . . . . 5  |-  ( y  e.  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) )  -> 
( ( cos  |`  (
0 [,] pi ) ) `  ( ( x  e.  ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) ) 
|->  ( ( pi  / 
2 )  -  x
) ) `  y
) )  =  ( sin `  y ) )
100 fvco3 5756 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) [,] (
pi  /  2 ) )  |->  ( ( pi 
/  2 )  -  x ) ) : ( -u ( pi 
/  2 ) [,] ( pi  /  2
) ) --> ( 0 [,] pi )  /\  y  e.  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( ( cos  |`  ( 0 [,] pi ) )  o.  ( x  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) [,] ( pi  /  2
) )  |->  ( ( pi  /  2 )  -  x ) ) ) `  y )  =  ( ( cos  |`  ( 0 [,] pi ) ) `  (
( x  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) [,] (
pi  /  2 ) )  |->  ( ( pi 
/  2 )  -  x ) ) `  y ) ) )
10179, 100mpan 663 . . . . 5  |-  ( y  e.  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) )  -> 
( ( ( cos  |`  ( 0 [,] pi ) )  o.  (
x  e.  ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) ) 
|->  ( ( pi  / 
2 )  -  x
) ) ) `  y )  =  ( ( cos  |`  (
0 [,] pi ) ) `  ( ( x  e.  ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) ) 
|->  ( ( pi  / 
2 )  -  x
) ) `  y
) ) )
102 fvres 5692 . . . . 5  |-  ( y  e.  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) )  -> 
( ( sin  |`  ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) ) ) `  y )  =  ( sin `  y
) )
10399, 101, 1023eqtr4d 2475 . . . 4  |-  ( y  e.  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) )  -> 
( ( ( cos  |`  ( 0 [,] pi ) )  o.  (
x  e.  ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) ) 
|->  ( ( pi  / 
2 )  -  x
) ) ) `  y )  =  ( ( sin  |`  ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) ) ) `  y ) )
10488, 103mprgbir 2776 . . 3  |-  ( ( cos  |`  ( 0 [,] pi ) )  o.  ( x  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) [,] ( pi  /  2
) )  |->  ( ( pi  /  2 )  -  x ) ) )  =  ( sin  |`  ( -u ( pi 
/  2 ) [,] ( pi  /  2
) ) )
105 f1oeq1 5620 . . 3  |-  ( ( ( cos  |`  (
0 [,] pi ) )  o.  ( x  e.  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) )  |->  ( ( pi  /  2
)  -  x ) ) )  =  ( sin  |`  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) ) )  ->  ( ( ( cos  |`  ( 0 [,] pi ) )  o.  ( x  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) [,] ( pi  /  2
) )  |->  ( ( pi  /  2 )  -  x ) ) ) : ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) ) -1-1-onto-> (
-u 1 [,] 1
)  <->  ( sin  |`  ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) ) ) : ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) ) -1-1-onto-> (
-u 1 [,] 1
) ) )
106104, 105ax-mp 5 . 2  |-  ( ( ( cos  |`  (
0 [,] pi ) )  o.  ( x  e.  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) )  |->  ( ( pi  /  2
)  -  x ) ) ) : (
-u ( pi  / 
2 ) [,] (
pi  /  2 ) ) -1-1-onto-> ( -u 1 [,] 1 )  <->  ( sin  |`  ( -u ( pi 
/  2 ) [,] ( pi  /  2
) ) ) : ( -u ( pi 
/  2 ) [,] ( pi  /  2
) ) -1-1-onto-> ( -u 1 [,] 1 ) )
10773, 106mpbi 208 1  |-  ( sin  |`  ( -u ( pi 
/  2 ) [,] ( pi  /  2
) ) ) : ( -u ( pi 
/  2 ) [,] ( pi  /  2
) ) -1-1-onto-> ( -u 1 [,] 1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1362   T. wtru 1363    e. wcel 1755   A.wral 2705    C_ wss 3316   class class class wbr 4280    e. cmpt 4338    |` cres 4829    o. ccom 4831    Fn wfn 5401   -->wf 5402   -1-1-onto->wf1o 5405   ` cfv 5406  (class class class)co 6080   CCcc 9268   RRcr 9269   0cc0 9270   1c1 9271    + caddc 9273    <_ cle 9407    - cmin 9583   -ucneg 9584    / cdiv 9981   2c2 10359   [,]cicc 11291   sincsin 13332   cosccos 13333   picpi 13335
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-inf2 7835  ax-cnex 9326  ax-resscn 9327  ax-1cn 9328  ax-icn 9329  ax-addcl 9330  ax-addrcl 9331  ax-mulcl 9332  ax-mulrcl 9333  ax-mulcom 9334  ax-addass 9335  ax-mulass 9336  ax-distr 9337  ax-i2m1 9338  ax-1ne0 9339  ax-1rid 9340  ax-rnegex 9341  ax-rrecex 9342  ax-cnre 9343  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345  ax-pre-ltadd 9346  ax-pre-mulgt0 9347  ax-pre-sup 9348  ax-addf 9349  ax-mulf 9350
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-fal 1368  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-iin 4162  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-se 4667  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-isom 5415  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-of 6309  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-supp 6680  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-1o 6908  df-2o 6909  df-oadd 6912  df-er 7089  df-map 7204  df-pm 7205  df-ixp 7252  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-fin 7302  df-fsupp 7609  df-fi 7649  df-sup 7679  df-oi 7712  df-card 8097  df-cda 8325  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-xr 9410  df-ltxr 9411  df-le 9412  df-sub 9585  df-neg 9586  df-div 9982  df-nn 10311  df-2 10368  df-3 10369  df-4 10370  df-5 10371  df-6 10372  df-7 10373  df-8 10374  df-9 10375  df-10 10376  df-n0 10568  df-z 10635  df-dec 10744  df-uz 10850  df-q 10942  df-rp 10980  df-xneg 11077  df-xadd 11078  df-xmul 11079  df-ioo 11292  df-ioc 11293  df-ico 11294  df-icc 11295  df-fz 11425  df-fzo 11533  df-fl 11626  df-seq 11791  df-exp 11850  df-fac 12036  df-bc 12063  df-hash 12088  df-shft 12540  df-cj 12572  df-re 12573  df-im 12574  df-sqr 12708  df-abs 12709  df-limsup 12933  df-clim 12950  df-rlim 12951  df-sum 13148  df-ef 13336  df-sin 13338  df-cos 13339  df-pi 13341  df-struct 14159  df-ndx 14160  df-slot 14161  df-base 14162  df-sets 14163  df-ress 14164  df-plusg 14234  df-mulr 14235  df-starv 14236  df-sca 14237  df-vsca 14238  df-ip 14239  df-tset 14240  df-ple 14241  df-ds 14243  df-unif 14244  df-hom 14245  df-cco 14246  df-rest 14344  df-topn 14345  df-0g 14363  df-gsum 14364  df-topgen 14365  df-pt 14366  df-prds 14369  df-xrs 14423  df-qtop 14428  df-imas 14429  df-xps 14431  df-mre 14507  df-mrc 14508  df-acs 14510  df-mnd 15398  df-submnd 15448  df-mulg 15528  df-cntz 15815  df-cmn 16259  df-psmet 17653  df-xmet 17654  df-met 17655  df-bl 17656  df-mopn 17657  df-fbas 17658  df-fg 17659  df-cnfld 17663  df-top 18345  df-bases 18347  df-topon 18348  df-topsp 18349  df-cld 18465  df-ntr 18466  df-cls 18467  df-nei 18544  df-lp 18582  df-perf 18583  df-cn 18673  df-cnp 18674  df-haus 18761  df-tx 18977  df-hmeo 19170  df-fil 19261  df-fm 19353  df-flim 19354  df-flf 19355  df-xms 19737  df-ms 19738  df-tms 19739  df-cncf 20296  df-limc 21183  df-dv 21184
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