MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  resincl Structured version   Unicode version

Theorem resincl 14082
Description: The sine of a real number is real. (Contributed by NM, 30-Apr-2005.)
Assertion
Ref Expression
resincl  |-  ( A  e.  RR  ->  ( sin `  A )  e.  RR )

Proof of Theorem resincl
StepHypRef Expression
1 resinval 14077 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  ( sin `  A )  =  ( Im `  ( exp `  ( _i  x.  A ) ) ) )
2 ax-icn 9580 . . . . 5  |-  _i  e.  CC
3 recn 9611 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  CC )
4 mulcl 9605 . . . . 5  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( _i  x.  A
)  e.  CC )
52, 3, 4sylancr 661 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  (
_i  x.  A )  e.  CC )
6 efcl 14025 . . . 4  |-  ( ( _i  x.  A )  e.  CC  ->  ( exp `  ( _i  x.  A ) )  e.  CC )
75, 6syl 17 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  ( exp `  ( _i  x.  A ) )  e.  CC )
87imcld 13175 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  (
Im `  ( exp `  ( _i  x.  A
) ) )  e.  RR )
91, 8eqeltrd 2490 1  |-  ( A  e.  RR  ->  ( sin `  A )  e.  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1842   ` cfv 5568  (class class class)co 6277   CCcc 9519   RRcr 9520   _ici 9523    x. cmul 9526   Imcim 13078   expce 14004   sincsin 14006
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-inf2 8090  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598  ax-pre-sup 9599  ax-addf 9600  ax-mulf 9601
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-se 4782  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-isom 5577  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-1o 7166  df-oadd 7170  df-er 7347  df-pm 7459  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-fin 7557  df-sup 7934  df-oi 7968  df-card 8351  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-div 10247  df-nn 10576  df-2 10634  df-3 10635  df-n0 10836  df-z 10905  df-uz 11127  df-rp 11265  df-ico 11587  df-fz 11725  df-fzo 11853  df-fl 11964  df-seq 12150  df-exp 12209  df-fac 12396  df-hash 12451  df-shft 13047  df-cj 13079  df-re 13080  df-im 13081  df-sqrt 13215  df-abs 13216  df-limsup 13441  df-clim 13458  df-rlim 13459  df-sum 13656  df-ef 14010  df-sin 14012
This theorem is referenced by:  retancl  14084  resincld  14085  efieq  14105  sinbnd  14122  cosbnd  14123  sinbnd2  14124  sin02gt0  14134  sin4lt0  14137  absefi  14138  sinhalfpilem  23146  sinq12gt0  23190  sincos4thpi  23196  abssinbd  36840  resincncf  37026  fourierdlem39  37277  fourierdlem66  37304  fourierdlem73  37311  recsccl  38775  recotcl  38776
  Copyright terms: Public domain W3C validator