Theorem resfunexg 4500

Description: The restriction of a function to a set exists. Compare Proposition 6.17 of [TakeutiZaring] p. 28.

Assertion

Ref	Expression
resfunexg	|- ((Fun A /\ B e. C) -> (A |` B) e. _V)

Proof of Theorem resfunexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmresexg 4236	. . . 4 |- (B e. C -> dom ( A |` B) e. _V)
2	1	adantl 424	. . 3 |- ((Fun A /\ B e. C) -> dom ( A |` B) e. _V)
3		funimaexg 4495	. . . 4 |- ((Fun A /\ B e. C) -> (A"B) e. _V)
4		df-ima 4007	. . . 4 |- (A"B) = ran ( A |` B)
5	3, 4	syl5eqelr 1976	. . 3 |- ((Fun A /\ B e. C) -> ran ( A |` B) e. _V)
6	2, 5	jca 310	. 2 |- ((Fun A /\ B e. C) -> (dom ( A |` B) e. _V /\ ran ( A |` B) e. _V))
7		xpexg 4095	. 2 |- ((dom ( A |` B) e. _V /\ ran ( A |` B) e. _V) -> (dom ( A |` B) X. ran ( A |` B)) e. _V)
8		relres 4242	. . . 4 |- Rel (A |` B)
9		relssdmrn 4416	. . . 4 |- (Rel (A |` B) -> (A |` B) C_ (dom ( A |` B) X. ran ( A |` B)))
10	8, 9	ax-mp 7	. . 3 |- (A |` B) C_ (dom ( A |` B) X. ran ( A |` B))
11		ssexg 3457	. . 3 |- (((A |` B) C_ (dom ( A |` B) X. ran ( A |` B)) /\ (dom ( A |` B) X. ran ( A |` B)) e. _V) -> (A |` B) e. _V)
12	10, 11	mpan 759	. 2 |- ((dom ( A |` B) X. ran ( A |` B)) e. _V -> (A |` B) e. _V)
13	6, 7, 12	3syl 24	1 |- ((Fun A /\ B e. C) -> (A |` B) e. _V)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   e. wcel 1300  _Vcvv 2292   C_ wss 2593   X. cxp 3984  dom cdm 3986  ran crn 3987   |` cres 3988  "cima 3989  Rel wrel 3991  Fun wfun 3992

This theorem is referenced by:  cofunexg 4501  fnex 4535  fvresex 4833  tz7.44-2 5137  tz7.44-3 5138  ordtypelem1 5684  ordtypelem6 5689  ordtype 5691  numthlem 5945  zorn2lem1 5950  imadomg 5968  fac1 8187  facp1 8188  sumeq2 8245  prodeq2 14661  seqzp2 14716  valtar 15260  ordtypelem1OLD 15375  ordtypelem6OLD 15380  ordtypeOLD 15382  filnet 15645  addrval 16466  subrval 16467  mulvval 16468

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008

Copyright terms: Public domain