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Theorem resf1o 28315
Description: Restriction of functions to a superset of their support creates a bijection. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Sep-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
resf1o.1  |-  X  =  { f  e.  ( B  ^m  A )  |  ( `' f
" ( B  \  { Z } ) ) 
C_  C }
resf1o.2  |-  F  =  ( f  e.  X  |->  ( f  |`  C ) )
Assertion
Ref Expression
resf1o  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B
)  ->  F : X
-1-1-onto-> ( B  ^m  C ) )
Distinct variable groups:    A, f    B, f    C, f    f, V   
f, W    f, X    f, Z
Allowed substitution hint:    F( f)

Proof of Theorem resf1o
Dummy variables  g  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 resf1o.2 . 2  |-  F  =  ( f  e.  X  |->  ( f  |`  C ) )
2 resexg 5147 . . 3  |-  ( f  e.  X  ->  (
f  |`  C )  e. 
_V )
32adantl 468 . 2  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  f  e.  X )  ->  (
f  |`  C )  e. 
_V )
4 simpr 463 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  g  e.  ( B  ^m  C ) )  ->  g  e.  ( B  ^m  C ) )
5 difexg 4551 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  V  ->  ( A  \  C )  e. 
_V )
653ad2ant1 1029 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  -> 
( A  \  C
)  e.  _V )
7 snex 4641 . . . . . 6  |-  { Z }  e.  _V
8 xpexg 6593 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  \  C
)  e.  _V  /\  { Z }  e.  _V )  ->  ( ( A 
\  C )  X. 
{ Z } )  e.  _V )
96, 7, 8sylancl 668 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  -> 
( ( A  \  C )  X.  { Z } )  e.  _V )
109adantr 467 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  g  e.  ( B  ^m  C ) )  ->  ( ( A  \  C )  X. 
{ Z } )  e.  _V )
11 unexg 6592 . . . 4  |-  ( ( g  e.  ( B  ^m  C )  /\  ( ( A  \  C )  X.  { Z } )  e.  _V )  ->  ( g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) )  e. 
_V )
124, 10, 11syl2anc 667 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  g  e.  ( B  ^m  C ) )  ->  ( g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) )  e. 
_V )
1312adantlr 721 . 2  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  g  e.  ( B  ^m  C
) )  ->  (
g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z }
) )  e.  _V )
14 resf1o.1 . . . . 5  |-  X  =  { f  e.  ( B  ^m  A )  |  ( `' f
" ( B  \  { Z } ) ) 
C_  C }
1514rabeq2i 3042 . . . 4  |-  ( f  e.  X  <->  ( f  e.  ( B  ^m  A
)  /\  ( `' f " ( B  \  { Z } ) ) 
C_  C ) )
1615anbi1i 701 . . 3  |-  ( ( f  e.  X  /\  g  =  ( f  |`  C ) )  <->  ( (
f  e.  ( B  ^m  A )  /\  ( `' f " ( B  \  { Z }
) )  C_  C
)  /\  g  =  ( f  |`  C ) ) )
17 simprr 766 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
( f  e.  ( B  ^m  A )  /\  ( `' f
" ( B  \  { Z } ) ) 
C_  C )  /\  g  =  ( f  |`  C ) ) )  ->  g  =  ( f  |`  C )
)
18 simprll 772 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
( f  e.  ( B  ^m  A )  /\  ( `' f
" ( B  \  { Z } ) ) 
C_  C )  /\  g  =  ( f  |`  C ) ) )  ->  f  e.  ( B  ^m  A ) )
19 elmapi 7493 . . . . . . . . 9  |-  ( f  e.  ( B  ^m  A )  ->  f : A --> B )
2018, 19syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
( f  e.  ( B  ^m  A )  /\  ( `' f
" ( B  \  { Z } ) ) 
C_  C )  /\  g  =  ( f  |`  C ) ) )  ->  f : A --> B )
21 simp3 1010 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  ->  C  C_  A )
2221ad2antrr 732 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
( f  e.  ( B  ^m  A )  /\  ( `' f
" ( B  \  { Z } ) ) 
C_  C )  /\  g  =  ( f  |`  C ) ) )  ->  C  C_  A
)
2320, 22fssresd 5750 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
( f  e.  ( B  ^m  A )  /\  ( `' f
" ( B  \  { Z } ) ) 
C_  C )  /\  g  =  ( f  |`  C ) ) )  ->  ( f  |`  C ) : C --> B )
24 simp2 1009 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  ->  B  e.  W )
25 simp1 1008 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  ->  A  e.  V )
2625, 21ssexd 4550 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  ->  C  e.  _V )
27 elmapg 7485 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  W  /\  C  e.  _V )  ->  ( ( f  |`  C )  e.  ( B  ^m  C )  <-> 
( f  |`  C ) : C --> B ) )
2824, 26, 27syl2anc 667 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  -> 
( ( f  |`  C )  e.  ( B  ^m  C )  <-> 
( f  |`  C ) : C --> B ) )
2928ad2antrr 732 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
( f  e.  ( B  ^m  A )  /\  ( `' f
" ( B  \  { Z } ) ) 
C_  C )  /\  g  =  ( f  |`  C ) ) )  ->  ( ( f  |`  C )  e.  ( B  ^m  C )  <-> 
( f  |`  C ) : C --> B ) )
3023, 29mpbird 236 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
( f  e.  ( B  ^m  A )  /\  ( `' f
" ( B  \  { Z } ) ) 
C_  C )  /\  g  =  ( f  |`  C ) ) )  ->  ( f  |`  C )  e.  ( B  ^m  C ) )
3117, 30eqeltrd 2529 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
( f  e.  ( B  ^m  A )  /\  ( `' f
" ( B  \  { Z } ) ) 
C_  C )  /\  g  =  ( f  |`  C ) ) )  ->  g  e.  ( B  ^m  C ) )
32 undif 3848 . . . . . . . . . . 11  |-  ( C 
C_  A  <->  ( C  u.  ( A  \  C
) )  =  A )
3332biimpi 198 . . . . . . . . . 10  |-  ( C 
C_  A  ->  ( C  u.  ( A  \  C ) )  =  A )
3433reseq2d 5105 . . . . . . . . 9  |-  ( C 
C_  A  ->  (
f  |`  ( C  u.  ( A  \  C ) ) )  =  ( f  |`  A )
)
3522, 34syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
( f  e.  ( B  ^m  A )  /\  ( `' f
" ( B  \  { Z } ) ) 
C_  C )  /\  g  =  ( f  |`  C ) ) )  ->  ( f  |`  ( C  u.  ( A  \  C ) ) )  =  ( f  |`  A ) )
36 ffn 5728 . . . . . . . . 9  |-  ( f : A --> B  -> 
f  Fn  A )
37 fnresdm 5685 . . . . . . . . 9  |-  ( f  Fn  A  ->  (
f  |`  A )  =  f )
3820, 36, 373syl 18 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
( f  e.  ( B  ^m  A )  /\  ( `' f
" ( B  \  { Z } ) ) 
C_  C )  /\  g  =  ( f  |`  C ) ) )  ->  ( f  |`  A )  =  f )
3935, 38eqtr2d 2486 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
( f  e.  ( B  ^m  A )  /\  ( `' f
" ( B  \  { Z } ) ) 
C_  C )  /\  g  =  ( f  |`  C ) ) )  ->  f  =  ( f  |`  ( C  u.  ( A  \  C
) ) ) )
40 resundi 5118 . . . . . . 7  |-  ( f  |`  ( C  u.  ( A  \  C ) ) )  =  ( ( f  |`  C )  u.  ( f  |`  ( A  \  C ) ) )
4139, 40syl6eq 2501 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
( f  e.  ( B  ^m  A )  /\  ( `' f
" ( B  \  { Z } ) ) 
C_  C )  /\  g  =  ( f  |`  C ) ) )  ->  f  =  ( ( f  |`  C )  u.  ( f  |`  ( A  \  C ) ) ) )
4217eqcomd 2457 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
( f  e.  ( B  ^m  A )  /\  ( `' f
" ( B  \  { Z } ) ) 
C_  C )  /\  g  =  ( f  |`  C ) ) )  ->  ( f  |`  C )  =  g )
43 simprlr 773 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
( f  e.  ( B  ^m  A )  /\  ( `' f
" ( B  \  { Z } ) ) 
C_  C )  /\  g  =  ( f  |`  C ) ) )  ->  ( `' f
" ( B  \  { Z } ) ) 
C_  C )
4425ad2antrr 732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
( f  e.  ( B  ^m  A )  /\  ( `' f
" ( B  \  { Z } ) ) 
C_  C )  /\  g  =  ( f  |`  C ) ) )  ->  A  e.  V
)
45 simplr 762 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
( f  e.  ( B  ^m  A )  /\  ( `' f
" ( B  \  { Z } ) ) 
C_  C )  /\  g  =  ( f  |`  C ) ) )  ->  Z  e.  B
)
46 eqid 2451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B 
\  { Z }
)  =  ( B 
\  { Z }
)
4746ffs2 28313 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  V  /\  Z  e.  B  /\  f : A --> B )  ->  ( f supp  Z
)  =  ( `' f " ( B 
\  { Z }
) ) )
4844, 45, 20, 47syl3anc 1268 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
( f  e.  ( B  ^m  A )  /\  ( `' f
" ( B  \  { Z } ) ) 
C_  C )  /\  g  =  ( f  |`  C ) ) )  ->  ( f supp  Z
)  =  ( `' f " ( B 
\  { Z }
) ) )
49 dfss1 3637 . . . . . . . . . . 11  |-  ( C 
C_  A  <->  ( A  i^i  C )  =  C )
5049biimpi 198 . . . . . . . . . 10  |-  ( C 
C_  A  ->  ( A  i^i  C )  =  C )
5122, 50syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
( f  e.  ( B  ^m  A )  /\  ( `' f
" ( B  \  { Z } ) ) 
C_  C )  /\  g  =  ( f  |`  C ) ) )  ->  ( A  i^i  C )  =  C )
5243, 48, 513sstr4d 3475 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
( f  e.  ( B  ^m  A )  /\  ( `' f
" ( B  \  { Z } ) ) 
C_  C )  /\  g  =  ( f  |`  C ) ) )  ->  ( f supp  Z
)  C_  ( A  i^i  C ) )
53 simpl 459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f  e.  ( B  ^m  A )  /\  Z  e.  B )  ->  f  e.  ( B  ^m  A ) )
5453, 19, 363syl 18 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f  e.  ( B  ^m  A )  /\  Z  e.  B )  ->  f  Fn  A )
55 inundif 3845 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  i^i  C )  u.  ( A  \  C ) )  =  A
5655fneq2i 5671 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  Fn  ( ( A  i^i  C )  u.  ( A  \  C
) )  <->  f  Fn  A )
5754, 56sylibr 216 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f  e.  ( B  ^m  A )  /\  Z  e.  B )  ->  f  Fn  ( ( A  i^i  C )  u.  ( A  \  C ) ) )
58 vex 3048 . . . . . . . . . . 11  |-  f  e. 
_V
5958a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f  e.  ( B  ^m  A )  /\  Z  e.  B )  ->  f  e.  _V )
60 simpr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f  e.  ( B  ^m  A )  /\  Z  e.  B )  ->  Z  e.  B )
61 inindif 28150 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  i^i  C )  i^i  ( A  \  C ) )  =  (/)
6261a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f  e.  ( B  ^m  A )  /\  Z  e.  B )  ->  ( ( A  i^i  C )  i^i  ( A 
\  C ) )  =  (/) )
63 fnsuppres 6942 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f  Fn  ( ( A  i^i  C )  u.  ( A  \  C ) )  /\  ( f  e.  _V  /\  Z  e.  B )  /\  ( ( A  i^i  C )  i^i  ( A  \  C
) )  =  (/) )  ->  ( ( f supp 
Z )  C_  ( A  i^i  C )  <->  ( f  |`  ( A  \  C
) )  =  ( ( A  \  C
)  X.  { Z } ) ) )
6457, 59, 60, 62, 63syl121anc 1273 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f  e.  ( B  ^m  A )  /\  Z  e.  B )  ->  ( ( f supp  Z
)  C_  ( A  i^i  C )  <->  ( f  |`  ( A  \  C
) )  =  ( ( A  \  C
)  X.  { Z } ) ) )
6518, 45, 64syl2anc 667 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
( f  e.  ( B  ^m  A )  /\  ( `' f
" ( B  \  { Z } ) ) 
C_  C )  /\  g  =  ( f  |`  C ) ) )  ->  ( ( f supp 
Z )  C_  ( A  i^i  C )  <->  ( f  |`  ( A  \  C
) )  =  ( ( A  \  C
)  X.  { Z } ) ) )
6652, 65mpbid 214 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
( f  e.  ( B  ^m  A )  /\  ( `' f
" ( B  \  { Z } ) ) 
C_  C )  /\  g  =  ( f  |`  C ) ) )  ->  ( f  |`  ( A  \  C ) )  =  ( ( A  \  C )  X.  { Z }
) )
6742, 66uneq12d 3589 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
( f  e.  ( B  ^m  A )  /\  ( `' f
" ( B  \  { Z } ) ) 
C_  C )  /\  g  =  ( f  |`  C ) ) )  ->  ( ( f  |`  C )  u.  (
f  |`  ( A  \  C ) ) )  =  ( g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) ) )
6841, 67eqtrd 2485 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
( f  e.  ( B  ^m  A )  /\  ( `' f
" ( B  \  { Z } ) ) 
C_  C )  /\  g  =  ( f  |`  C ) ) )  ->  f  =  ( g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z }
) ) )
6931, 68jca 535 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
( f  e.  ( B  ^m  A )  /\  ( `' f
" ( B  \  { Z } ) ) 
C_  C )  /\  g  =  ( f  |`  C ) ) )  ->  ( g  e.  ( B  ^m  C
)  /\  f  =  ( g  u.  (
( A  \  C
)  X.  { Z } ) ) ) )
7024ad2antrr 732 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
g  e.  ( B  ^m  C )  /\  f  =  ( g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) ) ) )  ->  B  e.  W )
7125ad2antrr 732 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
g  e.  ( B  ^m  C )  /\  f  =  ( g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) ) ) )  ->  A  e.  V )
72 elmapi 7493 . . . . . . . . 9  |-  ( g  e.  ( B  ^m  C )  ->  g : C --> B )
7372ad2antrl 734 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
g  e.  ( B  ^m  C )  /\  f  =  ( g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) ) ) )  ->  g : C
--> B )
74 simplr 762 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
g  e.  ( B  ^m  C )  /\  f  =  ( g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) ) ) )  ->  Z  e.  B )
75 fconst6g 5772 . . . . . . . . 9  |-  ( Z  e.  B  ->  (
( A  \  C
)  X.  { Z } ) : ( A  \  C ) --> B )
7674, 75syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
g  e.  ( B  ^m  C )  /\  f  =  ( g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) ) ) )  ->  ( ( A  \  C )  X. 
{ Z } ) : ( A  \  C ) --> B )
77 disjdif 3839 . . . . . . . . 9  |-  ( C  i^i  ( A  \  C ) )  =  (/)
7877a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
g  e.  ( B  ^m  C )  /\  f  =  ( g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) ) ) )  ->  ( C  i^i  ( A  \  C
) )  =  (/) )
79 fun2 5747 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( g : C --> B  /\  ( ( A 
\  C )  X. 
{ Z } ) : ( A  \  C ) --> B )  /\  ( C  i^i  ( A  \  C ) )  =  (/) )  -> 
( g  u.  (
( A  \  C
)  X.  { Z } ) ) : ( C  u.  ( A  \  C ) ) --> B )
8073, 76, 78, 79syl21anc 1267 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
g  e.  ( B  ^m  C )  /\  f  =  ( g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) ) ) )  ->  ( g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) ) : ( C  u.  ( A  \  C ) ) --> B )
81 simprr 766 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
g  e.  ( B  ^m  C )  /\  f  =  ( g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) ) ) )  ->  f  =  ( g  u.  (
( A  \  C
)  X.  { Z } ) ) )
8281eqcomd 2457 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
g  e.  ( B  ^m  C )  /\  f  =  ( g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) ) ) )  ->  ( g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) )  =  f )
8321ad2antrr 732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
g  e.  ( B  ^m  C )  /\  f  =  ( g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) ) ) )  ->  C  C_  A
)
8483, 33syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
g  e.  ( B  ^m  C )  /\  f  =  ( g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) ) ) )  ->  ( C  u.  ( A  \  C
) )  =  A )
8582, 84feq12d 5717 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
g  e.  ( B  ^m  C )  /\  f  =  ( g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) ) ) )  ->  ( (
g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z }
) ) : ( C  u.  ( A 
\  C ) ) --> B  <->  f : A --> B ) )
8680, 85mpbid 214 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
g  e.  ( B  ^m  C )  /\  f  =  ( g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) ) ) )  ->  f : A
--> B )
87 elmapg 7485 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  W  /\  A  e.  V )  ->  ( f  e.  ( B  ^m  A )  <-> 
f : A --> B ) )
8887biimpar 488 . . . . . 6  |-  ( ( ( B  e.  W  /\  A  e.  V
)  /\  f : A
--> B )  ->  f  e.  ( B  ^m  A
) )
8970, 71, 86, 88syl21anc 1267 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
g  e.  ( B  ^m  C )  /\  f  =  ( g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) ) ) )  ->  f  e.  ( B  ^m  A ) )
9071, 74, 86, 47syl3anc 1268 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
g  e.  ( B  ^m  C )  /\  f  =  ( g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) ) ) )  ->  ( f supp  Z )  =  ( `' f " ( B 
\  { Z }
) ) )
9181adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
g  e.  ( B  ^m  C )  /\  f  =  ( g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) ) ) )  /\  x  e.  ( A  \  C
) )  ->  f  =  ( g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) ) )
9291fveq1d 5867 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
g  e.  ( B  ^m  C )  /\  f  =  ( g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) ) ) )  /\  x  e.  ( A  \  C
) )  ->  (
f `  x )  =  ( ( g  u.  ( ( A 
\  C )  X. 
{ Z } ) ) `  x ) )
9373adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
g  e.  ( B  ^m  C )  /\  f  =  ( g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) ) ) )  /\  x  e.  ( A  \  C
) )  ->  g : C --> B )
94 ffn 5728 . . . . . . . . . 10  |-  ( g : C --> B  -> 
g  Fn  C )
9593, 94syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
g  e.  ( B  ^m  C )  /\  f  =  ( g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) ) ) )  /\  x  e.  ( A  \  C
) )  ->  g  Fn  C )
96 fconstg 5770 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Z  e.  B  ->  (
( A  \  C
)  X.  { Z } ) : ( A  \  C ) --> { Z } )
9796ad3antlr 737 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
g  e.  ( B  ^m  C )  /\  f  =  ( g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) ) ) )  /\  x  e.  ( A  \  C
) )  ->  (
( A  \  C
)  X.  { Z } ) : ( A  \  C ) --> { Z } )
98 ffn 5728 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  \  C
)  X.  { Z } ) : ( A  \  C ) --> { Z }  ->  ( ( A  \  C
)  X.  { Z } )  Fn  ( A  \  C ) )
9997, 98syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
g  e.  ( B  ^m  C )  /\  f  =  ( g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) ) ) )  /\  x  e.  ( A  \  C
) )  ->  (
( A  \  C
)  X.  { Z } )  Fn  ( A  \  C ) )
10077a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
g  e.  ( B  ^m  C )  /\  f  =  ( g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) ) ) )  /\  x  e.  ( A  \  C
) )  ->  ( C  i^i  ( A  \  C ) )  =  (/) )
101 simpr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
g  e.  ( B  ^m  C )  /\  f  =  ( g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) ) ) )  /\  x  e.  ( A  \  C
) )  ->  x  e.  ( A  \  C
) )
102 fvun2 5937 . . . . . . . . 9  |-  ( ( g  Fn  C  /\  ( ( A  \  C )  X.  { Z } )  Fn  ( A  \  C )  /\  ( ( C  i^i  ( A  \  C ) )  =  (/)  /\  x  e.  ( A  \  C
) ) )  -> 
( ( g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) ) `  x )  =  ( ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) `  x
) )
10395, 99, 100, 101, 102syl112anc 1272 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
g  e.  ( B  ^m  C )  /\  f  =  ( g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) ) ) )  /\  x  e.  ( A  \  C
) )  ->  (
( g  u.  (
( A  \  C
)  X.  { Z } ) ) `  x )  =  ( ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) `  x
) )
104 fvconst 6082 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) : ( A  \  C ) --> { Z }  /\  x  e.  ( A  \  C ) )  -> 
( ( ( A 
\  C )  X. 
{ Z } ) `
 x )  =  Z )
10597, 101, 104syl2anc 667 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
g  e.  ( B  ^m  C )  /\  f  =  ( g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) ) ) )  /\  x  e.  ( A  \  C
) )  ->  (
( ( A  \  C )  X.  { Z } ) `  x
)  =  Z )
10692, 103, 1053eqtrd 2489 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
g  e.  ( B  ^m  C )  /\  f  =  ( g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) ) ) )  /\  x  e.  ( A  \  C
) )  ->  (
f `  x )  =  Z )
10786, 106suppss 6945 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
g  e.  ( B  ^m  C )  /\  f  =  ( g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) ) ) )  ->  ( f supp  Z )  C_  C )
10890, 107eqsstr3d 3467 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
g  e.  ( B  ^m  C )  /\  f  =  ( g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) ) ) )  ->  ( `' f " ( B  \  { Z } ) ) 
C_  C )
10981reseq1d 5104 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
g  e.  ( B  ^m  C )  /\  f  =  ( g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) ) ) )  ->  ( f  |`  C )  =  ( ( g  u.  (
( A  \  C
)  X.  { Z } ) )  |`  C ) )
110 res0 5109 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  \  C
)  X.  { Z } )  |`  (/) )  =  (/)
111 res0 5109 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  |`  (/) )  =  (/)
112110, 111eqtr4i 2476 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  \  C
)  X.  { Z } )  |`  (/) )  =  ( g  |`  (/) )
11377reseq2i 5102 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  \  C
)  X.  { Z } )  |`  ( C  i^i  ( A  \  C ) ) )  =  ( ( ( A  \  C )  X.  { Z }
)  |`  (/) )
11477reseq2i 5102 . . . . . . . . 9  |-  ( g  |`  ( C  i^i  ( A  \  C ) ) )  =  ( g  |`  (/) )
115112, 113, 1143eqtr4ri 2484 . . . . . . . 8  |-  ( g  |`  ( C  i^i  ( A  \  C ) ) )  =  ( ( ( A  \  C
)  X.  { Z } )  |`  ( C  i^i  ( A  \  C ) ) )
116115a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
g  e.  ( B  ^m  C )  /\  f  =  ( g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) ) ) )  ->  ( g  |`  ( C  i^i  ( A  \  C ) ) )  =  ( ( ( A  \  C
)  X.  { Z } )  |`  ( C  i^i  ( A  \  C ) ) ) )
117 fresaunres1 5756 . . . . . . 7  |-  ( ( g : C --> B  /\  ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) : ( A  \  C ) --> B  /\  ( g  |`  ( C  i^i  ( A  \  C ) ) )  =  ( ( ( A  \  C
)  X.  { Z } )  |`  ( C  i^i  ( A  \  C ) ) ) )  ->  ( (
g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z }
) )  |`  C )  =  g )
11873, 76, 116, 117syl3anc 1268 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
g  e.  ( B  ^m  C )  /\  f  =  ( g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) ) ) )  ->  ( (
g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z }
) )  |`  C )  =  g )
119109, 118eqtr2d 2486 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
g  e.  ( B  ^m  C )  /\  f  =  ( g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) ) ) )  ->  g  =  ( f  |`  C ) )
12089, 108, 119jca31 537 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
g  e.  ( B  ^m  C )  /\  f  =  ( g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) ) ) )  ->  ( (
f  e.  ( B  ^m  A )  /\  ( `' f " ( B  \  { Z }
) )  C_  C
)  /\  g  =  ( f  |`  C ) ) )
12169, 120impbida 843 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B
)  ->  ( (
( f  e.  ( B  ^m  A )  /\  ( `' f
" ( B  \  { Z } ) ) 
C_  C )  /\  g  =  ( f  |`  C ) )  <->  ( g  e.  ( B  ^m  C
)  /\  f  =  ( g  u.  (
( A  \  C
)  X.  { Z } ) ) ) ) )
12216, 121syl5bb 261 . 2  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B
)  ->  ( (
f  e.  X  /\  g  =  ( f  |`  C ) )  <->  ( g  e.  ( B  ^m  C
)  /\  f  =  ( g  u.  (
( A  \  C
)  X.  { Z } ) ) ) ) )
1231, 3, 13, 122f1od 6519 1  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B
)  ->  F : X
-1-1-onto-> ( B  ^m  C ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 985    = wceq 1444    e. wcel 1887   {crab 2741   _Vcvv 3045    \ cdif 3401    u. cun 3402    i^i cin 3403    C_ wss 3404   (/)c0 3731   {csn 3968    |-> cmpt 4461    X. cxp 4832   `'ccnv 4833    |` cres 4836   "cima 4837    Fn wfn 5577   -->wf 5578   -1-1-onto->wf1o 5581   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   supp csupp 6914    ^m cmap 7472
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4749  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-supp 6915  df-map 7474
This theorem is referenced by:  eulerpartgbij  29205
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