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Theorem resf1o 27787
Description: Restriction of functions to a superset of their support creates a bijection. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Sep-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
resf1o.1  |-  X  =  { f  e.  ( B  ^m  A )  |  ( `' f
" ( B  \  { Z } ) ) 
C_  C }
resf1o.2  |-  F  =  ( f  e.  X  |->  ( f  |`  C ) )
Assertion
Ref Expression
resf1o  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B
)  ->  F : X
-1-1-onto-> ( B  ^m  C ) )
Distinct variable groups:    A, f    B, f    C, f    f, V   
f, W    f, X    f, Z
Allowed substitution hint:    F( f)

Proof of Theorem resf1o
Dummy variables  g  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 resf1o.2 . 2  |-  F  =  ( f  e.  X  |->  ( f  |`  C ) )
2 resexg 5304 . . 3  |-  ( f  e.  X  ->  (
f  |`  C )  e. 
_V )
32adantl 464 . 2  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  f  e.  X )  ->  (
f  |`  C )  e. 
_V )
4 simpr 459 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  g  e.  ( B  ^m  C ) )  ->  g  e.  ( B  ^m  C ) )
5 difexg 4585 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  V  ->  ( A  \  C )  e. 
_V )
653ad2ant1 1015 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  -> 
( A  \  C
)  e.  _V )
7 snex 4678 . . . . . 6  |-  { Z }  e.  _V
8 xpexg 6575 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  \  C
)  e.  _V  /\  { Z }  e.  _V )  ->  ( ( A 
\  C )  X. 
{ Z } )  e.  _V )
96, 7, 8sylancl 660 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  -> 
( ( A  \  C )  X.  { Z } )  e.  _V )
109adantr 463 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  g  e.  ( B  ^m  C ) )  ->  ( ( A  \  C )  X. 
{ Z } )  e.  _V )
11 unexg 6574 . . . 4  |-  ( ( g  e.  ( B  ^m  C )  /\  ( ( A  \  C )  X.  { Z } )  e.  _V )  ->  ( g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) )  e. 
_V )
124, 10, 11syl2anc 659 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  g  e.  ( B  ^m  C ) )  ->  ( g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) )  e. 
_V )
1312adantlr 712 . 2  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  g  e.  ( B  ^m  C
) )  ->  (
g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z }
) )  e.  _V )
14 resf1o.1 . . . . 5  |-  X  =  { f  e.  ( B  ^m  A )  |  ( `' f
" ( B  \  { Z } ) ) 
C_  C }
1514rabeq2i 3103 . . . 4  |-  ( f  e.  X  <->  ( f  e.  ( B  ^m  A
)  /\  ( `' f " ( B  \  { Z } ) ) 
C_  C ) )
1615anbi1i 693 . . 3  |-  ( ( f  e.  X  /\  g  =  ( f  |`  C ) )  <->  ( (
f  e.  ( B  ^m  A )  /\  ( `' f " ( B  \  { Z }
) )  C_  C
)  /\  g  =  ( f  |`  C ) ) )
17 simprr 755 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
( f  e.  ( B  ^m  A )  /\  ( `' f
" ( B  \  { Z } ) ) 
C_  C )  /\  g  =  ( f  |`  C ) ) )  ->  g  =  ( f  |`  C )
)
18 simprll 761 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
( f  e.  ( B  ^m  A )  /\  ( `' f
" ( B  \  { Z } ) ) 
C_  C )  /\  g  =  ( f  |`  C ) ) )  ->  f  e.  ( B  ^m  A ) )
19 elmapi 7433 . . . . . . . . 9  |-  ( f  e.  ( B  ^m  A )  ->  f : A --> B )
2018, 19syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
( f  e.  ( B  ^m  A )  /\  ( `' f
" ( B  \  { Z } ) ) 
C_  C )  /\  g  =  ( f  |`  C ) ) )  ->  f : A --> B )
21 simp3 996 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  ->  C  C_  A )
2221ad2antrr 723 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
( f  e.  ( B  ^m  A )  /\  ( `' f
" ( B  \  { Z } ) ) 
C_  C )  /\  g  =  ( f  |`  C ) ) )  ->  C  C_  A
)
2320, 22fssresd 5734 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
( f  e.  ( B  ^m  A )  /\  ( `' f
" ( B  \  { Z } ) ) 
C_  C )  /\  g  =  ( f  |`  C ) ) )  ->  ( f  |`  C ) : C --> B )
24 simp2 995 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  ->  B  e.  W )
25 simp1 994 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  ->  A  e.  V )
2625, 21ssexd 4584 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  ->  C  e.  _V )
27 elmapg 7425 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  W  /\  C  e.  _V )  ->  ( ( f  |`  C )  e.  ( B  ^m  C )  <-> 
( f  |`  C ) : C --> B ) )
2824, 26, 27syl2anc 659 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  -> 
( ( f  |`  C )  e.  ( B  ^m  C )  <-> 
( f  |`  C ) : C --> B ) )
2928ad2antrr 723 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
( f  e.  ( B  ^m  A )  /\  ( `' f
" ( B  \  { Z } ) ) 
C_  C )  /\  g  =  ( f  |`  C ) ) )  ->  ( ( f  |`  C )  e.  ( B  ^m  C )  <-> 
( f  |`  C ) : C --> B ) )
3023, 29mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
( f  e.  ( B  ^m  A )  /\  ( `' f
" ( B  \  { Z } ) ) 
C_  C )  /\  g  =  ( f  |`  C ) ) )  ->  ( f  |`  C )  e.  ( B  ^m  C ) )
3117, 30eqeltrd 2542 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
( f  e.  ( B  ^m  A )  /\  ( `' f
" ( B  \  { Z } ) ) 
C_  C )  /\  g  =  ( f  |`  C ) ) )  ->  g  e.  ( B  ^m  C ) )
32 undif 3896 . . . . . . . . . . 11  |-  ( C 
C_  A  <->  ( C  u.  ( A  \  C
) )  =  A )
3332biimpi 194 . . . . . . . . . 10  |-  ( C 
C_  A  ->  ( C  u.  ( A  \  C ) )  =  A )
3433reseq2d 5262 . . . . . . . . 9  |-  ( C 
C_  A  ->  (
f  |`  ( C  u.  ( A  \  C ) ) )  =  ( f  |`  A )
)
3522, 34syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
( f  e.  ( B  ^m  A )  /\  ( `' f
" ( B  \  { Z } ) ) 
C_  C )  /\  g  =  ( f  |`  C ) ) )  ->  ( f  |`  ( C  u.  ( A  \  C ) ) )  =  ( f  |`  A ) )
36 ffn 5713 . . . . . . . . 9  |-  ( f : A --> B  -> 
f  Fn  A )
37 fnresdm 5672 . . . . . . . . 9  |-  ( f  Fn  A  ->  (
f  |`  A )  =  f )
3820, 36, 373syl 20 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
( f  e.  ( B  ^m  A )  /\  ( `' f
" ( B  \  { Z } ) ) 
C_  C )  /\  g  =  ( f  |`  C ) ) )  ->  ( f  |`  A )  =  f )
3935, 38eqtr2d 2496 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
( f  e.  ( B  ^m  A )  /\  ( `' f
" ( B  \  { Z } ) ) 
C_  C )  /\  g  =  ( f  |`  C ) ) )  ->  f  =  ( f  |`  ( C  u.  ( A  \  C
) ) ) )
40 resundi 5275 . . . . . . 7  |-  ( f  |`  ( C  u.  ( A  \  C ) ) )  =  ( ( f  |`  C )  u.  ( f  |`  ( A  \  C ) ) )
4139, 40syl6eq 2511 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
( f  e.  ( B  ^m  A )  /\  ( `' f
" ( B  \  { Z } ) ) 
C_  C )  /\  g  =  ( f  |`  C ) ) )  ->  f  =  ( ( f  |`  C )  u.  ( f  |`  ( A  \  C ) ) ) )
4217eqcomd 2462 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
( f  e.  ( B  ^m  A )  /\  ( `' f
" ( B  \  { Z } ) ) 
C_  C )  /\  g  =  ( f  |`  C ) ) )  ->  ( f  |`  C )  =  g )
43 simprlr 762 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
( f  e.  ( B  ^m  A )  /\  ( `' f
" ( B  \  { Z } ) ) 
C_  C )  /\  g  =  ( f  |`  C ) ) )  ->  ( `' f
" ( B  \  { Z } ) ) 
C_  C )
4425ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
( f  e.  ( B  ^m  A )  /\  ( `' f
" ( B  \  { Z } ) ) 
C_  C )  /\  g  =  ( f  |`  C ) ) )  ->  A  e.  V
)
45 simplr 753 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
( f  e.  ( B  ^m  A )  /\  ( `' f
" ( B  \  { Z } ) ) 
C_  C )  /\  g  =  ( f  |`  C ) ) )  ->  Z  e.  B
)
46 eqid 2454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B 
\  { Z }
)  =  ( B 
\  { Z }
)
4746ffs2 27785 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  V  /\  Z  e.  B  /\  f : A --> B )  ->  ( f supp  Z
)  =  ( `' f " ( B 
\  { Z }
) ) )
4844, 45, 20, 47syl3anc 1226 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
( f  e.  ( B  ^m  A )  /\  ( `' f
" ( B  \  { Z } ) ) 
C_  C )  /\  g  =  ( f  |`  C ) ) )  ->  ( f supp  Z
)  =  ( `' f " ( B 
\  { Z }
) ) )
49 dfss1 3689 . . . . . . . . . . 11  |-  ( C 
C_  A  <->  ( A  i^i  C )  =  C )
5049biimpi 194 . . . . . . . . . 10  |-  ( C 
C_  A  ->  ( A  i^i  C )  =  C )
5122, 50syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
( f  e.  ( B  ^m  A )  /\  ( `' f
" ( B  \  { Z } ) ) 
C_  C )  /\  g  =  ( f  |`  C ) ) )  ->  ( A  i^i  C )  =  C )
5243, 48, 513sstr4d 3532 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
( f  e.  ( B  ^m  A )  /\  ( `' f
" ( B  \  { Z } ) ) 
C_  C )  /\  g  =  ( f  |`  C ) ) )  ->  ( f supp  Z
)  C_  ( A  i^i  C ) )
53 simpl 455 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f  e.  ( B  ^m  A )  /\  Z  e.  B )  ->  f  e.  ( B  ^m  A ) )
5453, 19, 363syl 20 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f  e.  ( B  ^m  A )  /\  Z  e.  B )  ->  f  Fn  A )
55 inundif 3894 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  i^i  C )  u.  ( A  \  C ) )  =  A
5655fneq2i 5658 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  Fn  ( ( A  i^i  C )  u.  ( A  \  C
) )  <->  f  Fn  A )
5754, 56sylibr 212 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f  e.  ( B  ^m  A )  /\  Z  e.  B )  ->  f  Fn  ( ( A  i^i  C )  u.  ( A  \  C ) ) )
58 vex 3109 . . . . . . . . . . 11  |-  f  e. 
_V
5958a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f  e.  ( B  ^m  A )  /\  Z  e.  B )  ->  f  e.  _V )
60 simpr 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f  e.  ( B  ^m  A )  /\  Z  e.  B )  ->  Z  e.  B )
61 inindif 27616 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  i^i  C )  i^i  ( A  \  C ) )  =  (/)
6261a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f  e.  ( B  ^m  A )  /\  Z  e.  B )  ->  ( ( A  i^i  C )  i^i  ( A 
\  C ) )  =  (/) )
63 fnsuppres 6919 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f  Fn  ( ( A  i^i  C )  u.  ( A  \  C ) )  /\  ( f  e.  _V  /\  Z  e.  B )  /\  ( ( A  i^i  C )  i^i  ( A  \  C
) )  =  (/) )  ->  ( ( f supp 
Z )  C_  ( A  i^i  C )  <->  ( f  |`  ( A  \  C
) )  =  ( ( A  \  C
)  X.  { Z } ) ) )
6457, 59, 60, 62, 63syl121anc 1231 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f  e.  ( B  ^m  A )  /\  Z  e.  B )  ->  ( ( f supp  Z
)  C_  ( A  i^i  C )  <->  ( f  |`  ( A  \  C
) )  =  ( ( A  \  C
)  X.  { Z } ) ) )
6518, 45, 64syl2anc 659 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
( f  e.  ( B  ^m  A )  /\  ( `' f
" ( B  \  { Z } ) ) 
C_  C )  /\  g  =  ( f  |`  C ) ) )  ->  ( ( f supp 
Z )  C_  ( A  i^i  C )  <->  ( f  |`  ( A  \  C
) )  =  ( ( A  \  C
)  X.  { Z } ) ) )
6652, 65mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
( f  e.  ( B  ^m  A )  /\  ( `' f
" ( B  \  { Z } ) ) 
C_  C )  /\  g  =  ( f  |`  C ) ) )  ->  ( f  |`  ( A  \  C ) )  =  ( ( A  \  C )  X.  { Z }
) )
6742, 66uneq12d 3645 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
( f  e.  ( B  ^m  A )  /\  ( `' f
" ( B  \  { Z } ) ) 
C_  C )  /\  g  =  ( f  |`  C ) ) )  ->  ( ( f  |`  C )  u.  (
f  |`  ( A  \  C ) ) )  =  ( g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) ) )
6841, 67eqtrd 2495 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
( f  e.  ( B  ^m  A )  /\  ( `' f
" ( B  \  { Z } ) ) 
C_  C )  /\  g  =  ( f  |`  C ) ) )  ->  f  =  ( g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z }
) ) )
6931, 68jca 530 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
( f  e.  ( B  ^m  A )  /\  ( `' f
" ( B  \  { Z } ) ) 
C_  C )  /\  g  =  ( f  |`  C ) ) )  ->  ( g  e.  ( B  ^m  C
)  /\  f  =  ( g  u.  (
( A  \  C
)  X.  { Z } ) ) ) )
7024ad2antrr 723 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
g  e.  ( B  ^m  C )  /\  f  =  ( g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) ) ) )  ->  B  e.  W )
7125ad2antrr 723 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
g  e.  ( B  ^m  C )  /\  f  =  ( g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) ) ) )  ->  A  e.  V )
72 elmapi 7433 . . . . . . . . 9  |-  ( g  e.  ( B  ^m  C )  ->  g : C --> B )
7372ad2antrl 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
g  e.  ( B  ^m  C )  /\  f  =  ( g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) ) ) )  ->  g : C
--> B )
74 simplr 753 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
g  e.  ( B  ^m  C )  /\  f  =  ( g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) ) ) )  ->  Z  e.  B )
75 fconst6g 5756 . . . . . . . . 9  |-  ( Z  e.  B  ->  (
( A  \  C
)  X.  { Z } ) : ( A  \  C ) --> B )
7674, 75syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
g  e.  ( B  ^m  C )  /\  f  =  ( g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) ) ) )  ->  ( ( A  \  C )  X. 
{ Z } ) : ( A  \  C ) --> B )
77 disjdif 3888 . . . . . . . . 9  |-  ( C  i^i  ( A  \  C ) )  =  (/)
7877a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
g  e.  ( B  ^m  C )  /\  f  =  ( g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) ) ) )  ->  ( C  i^i  ( A  \  C
) )  =  (/) )
79 fun2 5731 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( g : C --> B  /\  ( ( A 
\  C )  X. 
{ Z } ) : ( A  \  C ) --> B )  /\  ( C  i^i  ( A  \  C ) )  =  (/) )  -> 
( g  u.  (
( A  \  C
)  X.  { Z } ) ) : ( C  u.  ( A  \  C ) ) --> B )
8073, 76, 78, 79syl21anc 1225 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
g  e.  ( B  ^m  C )  /\  f  =  ( g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) ) ) )  ->  ( g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) ) : ( C  u.  ( A  \  C ) ) --> B )
81 simprr 755 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
g  e.  ( B  ^m  C )  /\  f  =  ( g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) ) ) )  ->  f  =  ( g  u.  (
( A  \  C
)  X.  { Z } ) ) )
8281eqcomd 2462 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
g  e.  ( B  ^m  C )  /\  f  =  ( g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) ) ) )  ->  ( g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) )  =  f )
8321ad2antrr 723 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
g  e.  ( B  ^m  C )  /\  f  =  ( g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) ) ) )  ->  C  C_  A
)
8483, 33syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
g  e.  ( B  ^m  C )  /\  f  =  ( g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) ) ) )  ->  ( C  u.  ( A  \  C
) )  =  A )
8582, 84feq12d 5702 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
g  e.  ( B  ^m  C )  /\  f  =  ( g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) ) ) )  ->  ( (
g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z }
) ) : ( C  u.  ( A 
\  C ) ) --> B  <->  f : A --> B ) )
8680, 85mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
g  e.  ( B  ^m  C )  /\  f  =  ( g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) ) ) )  ->  f : A
--> B )
87 elmapg 7425 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  W  /\  A  e.  V )  ->  ( f  e.  ( B  ^m  A )  <-> 
f : A --> B ) )
8887biimpar 483 . . . . . 6  |-  ( ( ( B  e.  W  /\  A  e.  V
)  /\  f : A
--> B )  ->  f  e.  ( B  ^m  A
) )
8970, 71, 86, 88syl21anc 1225 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
g  e.  ( B  ^m  C )  /\  f  =  ( g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) ) ) )  ->  f  e.  ( B  ^m  A ) )
9071, 74, 86, 47syl3anc 1226 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
g  e.  ( B  ^m  C )  /\  f  =  ( g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) ) ) )  ->  ( f supp  Z )  =  ( `' f " ( B 
\  { Z }
) ) )
9181adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
g  e.  ( B  ^m  C )  /\  f  =  ( g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) ) ) )  /\  x  e.  ( A  \  C
) )  ->  f  =  ( g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) ) )
9291fveq1d 5850 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
g  e.  ( B  ^m  C )  /\  f  =  ( g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) ) ) )  /\  x  e.  ( A  \  C
) )  ->  (
f `  x )  =  ( ( g  u.  ( ( A 
\  C )  X. 
{ Z } ) ) `  x ) )
9373adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
g  e.  ( B  ^m  C )  /\  f  =  ( g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) ) ) )  /\  x  e.  ( A  \  C
) )  ->  g : C --> B )
94 ffn 5713 . . . . . . . . . 10  |-  ( g : C --> B  -> 
g  Fn  C )
9593, 94syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
g  e.  ( B  ^m  C )  /\  f  =  ( g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) ) ) )  /\  x  e.  ( A  \  C
) )  ->  g  Fn  C )
96 fconstg 5754 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Z  e.  B  ->  (
( A  \  C
)  X.  { Z } ) : ( A  \  C ) --> { Z } )
9796ad3antlr 728 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
g  e.  ( B  ^m  C )  /\  f  =  ( g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) ) ) )  /\  x  e.  ( A  \  C
) )  ->  (
( A  \  C
)  X.  { Z } ) : ( A  \  C ) --> { Z } )
98 ffn 5713 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  \  C
)  X.  { Z } ) : ( A  \  C ) --> { Z }  ->  ( ( A  \  C
)  X.  { Z } )  Fn  ( A  \  C ) )
9997, 98syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
g  e.  ( B  ^m  C )  /\  f  =  ( g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) ) ) )  /\  x  e.  ( A  \  C
) )  ->  (
( A  \  C
)  X.  { Z } )  Fn  ( A  \  C ) )
10077a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
g  e.  ( B  ^m  C )  /\  f  =  ( g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) ) ) )  /\  x  e.  ( A  \  C
) )  ->  ( C  i^i  ( A  \  C ) )  =  (/) )
101 simpr 459 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
g  e.  ( B  ^m  C )  /\  f  =  ( g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) ) ) )  /\  x  e.  ( A  \  C
) )  ->  x  e.  ( A  \  C
) )
102 fvun2 5920 . . . . . . . . 9  |-  ( ( g  Fn  C  /\  ( ( A  \  C )  X.  { Z } )  Fn  ( A  \  C )  /\  ( ( C  i^i  ( A  \  C ) )  =  (/)  /\  x  e.  ( A  \  C
) ) )  -> 
( ( g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) ) `  x )  =  ( ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) `  x
) )
10395, 99, 100, 101, 102syl112anc 1230 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
g  e.  ( B  ^m  C )  /\  f  =  ( g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) ) ) )  /\  x  e.  ( A  \  C
) )  ->  (
( g  u.  (
( A  \  C
)  X.  { Z } ) ) `  x )  =  ( ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) `  x
) )
104 fvconst 6065 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) : ( A  \  C ) --> { Z }  /\  x  e.  ( A  \  C ) )  -> 
( ( ( A 
\  C )  X. 
{ Z } ) `
 x )  =  Z )
10597, 101, 104syl2anc 659 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
g  e.  ( B  ^m  C )  /\  f  =  ( g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) ) ) )  /\  x  e.  ( A  \  C
) )  ->  (
( ( A  \  C )  X.  { Z } ) `  x
)  =  Z )
10692, 103, 1053eqtrd 2499 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
g  e.  ( B  ^m  C )  /\  f  =  ( g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) ) ) )  /\  x  e.  ( A  \  C
) )  ->  (
f `  x )  =  Z )
10786, 106suppss 6922 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
g  e.  ( B  ^m  C )  /\  f  =  ( g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) ) ) )  ->  ( f supp  Z )  C_  C )
10890, 107eqsstr3d 3524 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
g  e.  ( B  ^m  C )  /\  f  =  ( g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) ) ) )  ->  ( `' f " ( B  \  { Z } ) ) 
C_  C )
10981reseq1d 5261 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
g  e.  ( B  ^m  C )  /\  f  =  ( g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) ) ) )  ->  ( f  |`  C )  =  ( ( g  u.  (
( A  \  C
)  X.  { Z } ) )  |`  C ) )
110 res0 5266 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  \  C
)  X.  { Z } )  |`  (/) )  =  (/)
111 res0 5266 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  |`  (/) )  =  (/)
112110, 111eqtr4i 2486 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  \  C
)  X.  { Z } )  |`  (/) )  =  ( g  |`  (/) )
11377reseq2i 5259 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  \  C
)  X.  { Z } )  |`  ( C  i^i  ( A  \  C ) ) )  =  ( ( ( A  \  C )  X.  { Z }
)  |`  (/) )
11477reseq2i 5259 . . . . . . . . 9  |-  ( g  |`  ( C  i^i  ( A  \  C ) ) )  =  ( g  |`  (/) )
115112, 113, 1143eqtr4ri 2494 . . . . . . . 8  |-  ( g  |`  ( C  i^i  ( A  \  C ) ) )  =  ( ( ( A  \  C
)  X.  { Z } )  |`  ( C  i^i  ( A  \  C ) ) )
116115a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
g  e.  ( B  ^m  C )  /\  f  =  ( g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) ) ) )  ->  ( g  |`  ( C  i^i  ( A  \  C ) ) )  =  ( ( ( A  \  C
)  X.  { Z } )  |`  ( C  i^i  ( A  \  C ) ) ) )
117 fresaunres1 5740 . . . . . . 7  |-  ( ( g : C --> B  /\  ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) : ( A  \  C ) --> B  /\  ( g  |`  ( C  i^i  ( A  \  C ) ) )  =  ( ( ( A  \  C
)  X.  { Z } )  |`  ( C  i^i  ( A  \  C ) ) ) )  ->  ( (
g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z }
) )  |`  C )  =  g )
11873, 76, 116, 117syl3anc 1226 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
g  e.  ( B  ^m  C )  /\  f  =  ( g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) ) ) )  ->  ( (
g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z }
) )  |`  C )  =  g )
119109, 118eqtr2d 2496 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
g  e.  ( B  ^m  C )  /\  f  =  ( g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) ) ) )  ->  g  =  ( f  |`  C ) )
12089, 108, 119jca31 532 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
g  e.  ( B  ^m  C )  /\  f  =  ( g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) ) ) )  ->  ( (
f  e.  ( B  ^m  A )  /\  ( `' f " ( B  \  { Z }
) )  C_  C
)  /\  g  =  ( f  |`  C ) ) )
12169, 120impbida 830 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B
)  ->  ( (
( f  e.  ( B  ^m  A )  /\  ( `' f
" ( B  \  { Z } ) ) 
C_  C )  /\  g  =  ( f  |`  C ) )  <->  ( g  e.  ( B  ^m  C
)  /\  f  =  ( g  u.  (
( A  \  C
)  X.  { Z } ) ) ) ) )
12216, 121syl5bb 257 . 2  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B
)  ->  ( (
f  e.  X  /\  g  =  ( f  |`  C ) )  <->  ( g  e.  ( B  ^m  C
)  /\  f  =  ( g  u.  (
( A  \  C
)  X.  { Z } ) ) ) ) )
1231, 3, 13, 122f1od 6498 1  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B
)  ->  F : X
-1-1-onto-> ( B  ^m  C ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1398    e. wcel 1823   {crab 2808   _Vcvv 3106    \ cdif 3458    u. cun 3459    i^i cin 3460    C_ wss 3461   (/)c0 3783   {csn 4016    |-> cmpt 4497    X. cxp 4986   `'ccnv 4987    |` cres 4990   "cima 4991    Fn wfn 5565   -->wf 5566   -1-1-onto->wf1o 5569   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   supp csupp 6891    ^m cmap 7412
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-id 4784  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-supp 6892  df-map 7414
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