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Theorem resf1o 28315
Description: Restriction of functions to a superset of their support creates a bijection. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Sep-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
resf1o.1 |- X = { f e. ( B ^m A ) | ( `' f " ( B \ { Z } ) ) C_ C }
resf1o.2 |- F = ( f e. X |-> ( f |` C ) )
Assertion
Ref Expression
resf1o |- ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) -> F : X -1-1-onto-> ( B ^m C ) )
Distinct variable groups:   A, f   B, f   C, f   f, V   f, W   f, X   f, Z
Allowed substitution hint:   F( f)
Proof of Theorem resf1o
Dummy variables g x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 resf1o.2 . 2 |- F = ( f e. X |-> ( f |` C ) )
2 resexg 5147 . . 3 |- ( f e. X -> ( f |` C ) e. _V )
32adantl 468 . 2 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ f e. X ) -> ( f |` C ) e. _V )
4 simpr 463 . . . 4 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ g e. ( B ^m C ) ) -> g e. ( B ^m C ) )
5 difexg 4551 . . . . . . 7 |- ( A e. V -> ( A \ C ) e. _V )
653ad2ant1 1029 . . . . . 6 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) -> ( A \ C ) e. _V )
7 snex 4641 . . . . . 6 |- { Z } e. _V
8 xpexg 6593 . . . . . 6 |- ( ( ( A \ C ) e. _V /\ { Z } e. _V ) -> ( ( A \ C ) X. { Z } ) e. _V )
96, 7, 8sylancl 668 . . . . 5 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) -> ( ( A \ C ) X. { Z } ) e. _V )
109adantr 467 . . . 4 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ g e. ( B ^m C ) ) -> ( ( A \ C ) X. { Z } ) e. _V )
11 unexg 6592 . . . 4 |- ( ( g e. ( B ^m C ) /\ ( ( A \ C ) X. { Z } ) e. _V ) -> ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) e. _V )
124, 10, 11syl2anc 667 . . 3 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ g e. ( B ^m C ) ) -> ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) e. _V )
1312adantlr 721 . 2 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ g e. ( B ^m C ) ) -> ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) e. _V )
14 resf1o.1 . . . . 5 |- X = { f e. ( B ^m A ) | ( `' f " ( B \ { Z } ) ) C_ C }
1514rabeq2i 3042 . . . 4 |- ( f e. X <-> ( f e. ( B ^m A ) /\ ( `' f " ( B \ { Z } ) ) C_ C ) )
1615anbi1i 701 . . 3 |- ( ( f e. X /\ g = ( f |` C ) ) <-> ( ( f e. ( B ^m A ) /\ ( `' f " ( B \ { Z } ) ) C_ C ) /\ g = ( f |` C ) ) )
17 simprr 766 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( ( f e. ( B ^m A ) /\ ( `' f " ( B \ { Z } ) ) C_ C ) /\ g = ( f |` C ) ) ) -> g = ( f |` C ) )
18 simprll 772 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( ( f e. ( B ^m A ) /\ ( `' f " ( B \ { Z } ) ) C_ C ) /\ g = ( f |` C ) ) ) -> f e. ( B ^m A ) )
19 elmapi 7493 . . . . . . . . 9 |- ( f e. ( B ^m A ) -> f : A --> B )
2018, 19syl 17 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( ( f e. ( B ^m A ) /\ ( `' f " ( B \ { Z } ) ) C_ C ) /\ g = ( f |` C ) ) ) -> f : A --> B )
21 simp3 1010 . . . . . . . . 9 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) -> C C_ A )
2221ad2antrr 732 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( ( f e. ( B ^m A ) /\ ( `' f " ( B \ { Z } ) ) C_ C ) /\ g = ( f |` C ) ) ) -> C C_ A )
2320, 22fssresd 5750 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( ( f e. ( B ^m A ) /\ ( `' f " ( B \ { Z } ) ) C_ C ) /\ g = ( f |` C ) ) ) -> ( f |` C ) : C --> B )
24 simp2 1009 . . . . . . . . 9 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) -> B e. W )
25 simp1 1008 . . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) -> A e. V )
2625, 21ssexd 4550 . . . . . . . . 9 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) -> C e. _V )
27 elmapg 7485 . . . . . . . . 9 |- ( ( B e. W /\ C e. _V ) -> ( ( f |` C ) e. ( B ^m C ) <-> ( f |` C ) : C --> B ) )
2824, 26, 27syl2anc 667 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) -> ( ( f |` C ) e. ( B ^m C ) <-> ( f |` C ) : C --> B ) )
2928ad2antrr 732 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( ( f e. ( B ^m A ) /\ ( `' f " ( B \ { Z } ) ) C_ C ) /\ g = ( f |` C ) ) ) -> ( ( f |` C ) e. ( B ^m C ) <-> ( f |` C ) : C --> B ) )
3023, 29mpbird 236 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( ( f e. ( B ^m A ) /\ ( `' f " ( B \ { Z } ) ) C_ C ) /\ g = ( f |` C ) ) ) -> ( f |` C ) e. ( B ^m C ) )
3117, 30eqeltrd 2529 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( ( f e. ( B ^m A ) /\ ( `' f " ( B \ { Z } ) ) C_ C ) /\ g = ( f |` C ) ) ) -> g e. ( B ^m C ) )
32 undif 3848 . . . . . . . . . . 11 |- ( C C_ A <-> ( C u. ( A \ C ) ) = A )
3332biimpi 198 . . . . . . . . . 10 |- ( C C_ A -> ( C u. ( A \ C ) ) = A )
3433reseq2d 5105 . . . . . . . . 9 |- ( C C_ A -> ( f |` ( C u. ( A \ C ) ) ) = ( f |` A ) )
3522, 34syl 17 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( ( f e. ( B ^m A ) /\ ( `' f " ( B \ { Z } ) ) C_ C ) /\ g = ( f |` C ) ) ) -> ( f |` ( C u. ( A \ C ) ) ) = ( f |` A ) )
36 ffn 5728 . . . . . . . . 9 |- ( f : A --> B -> f Fn A )
37 fnresdm 5685 . . . . . . . . 9 |- ( f Fn A -> ( f |` A ) = f )
3820, 36, 373syl 18 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( ( f e. ( B ^m A ) /\ ( `' f " ( B \ { Z } ) ) C_ C ) /\ g = ( f |` C ) ) ) -> ( f |` A ) = f )
3935, 38eqtr2d 2486 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( ( f e. ( B ^m A ) /\ ( `' f " ( B \ { Z } ) ) C_ C ) /\ g = ( f |` C ) ) ) -> f = ( f |` ( C u. ( A \ C ) ) ) )
40 resundi 5118 . . . . . . 7 |- ( f |` ( C u. ( A \ C ) ) ) = ( ( f |` C ) u. ( f |` ( A \ C ) ) )
4139, 40syl6eq 2501 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( ( f e. ( B ^m A ) /\ ( `' f " ( B \ { Z } ) ) C_ C ) /\ g = ( f |` C ) ) ) -> f = ( ( f |` C ) u. ( f |` ( A \ C ) ) ) )
4217eqcomd 2457 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( ( f e. ( B ^m A ) /\ ( `' f " ( B \ { Z } ) ) C_ C ) /\ g = ( f |` C ) ) ) -> ( f |` C ) = g )
43 simprlr 773 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( ( f e. ( B ^m A ) /\ ( `' f " ( B \ { Z } ) ) C_ C ) /\ g = ( f |` C ) ) ) -> ( `' f " ( B \ { Z } ) ) C_ C )
4425ad2antrr 732 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( ( f e. ( B ^m A ) /\ ( `' f " ( B \ { Z } ) ) C_ C ) /\ g = ( f |` C ) ) ) -> A e. V )
45 simplr 762 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( ( f e. ( B ^m A ) /\ ( `' f " ( B \ { Z } ) ) C_ C ) /\ g = ( f |` C ) ) ) -> Z e. B )
46 eqid 2451 . . . . . . . . . . 11 |- ( B \ { Z } ) = ( B \ { Z } )
4746ffs2 28313 . . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. V /\ Z e. B /\ f : A --> B ) -> ( f supp Z ) = ( `' f " ( B \ { Z } ) ) )
4844, 45, 20, 47syl3anc 1268 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( ( f e. ( B ^m A ) /\ ( `' f " ( B \ { Z } ) ) C_ C ) /\ g = ( f |` C ) ) ) -> ( f supp Z ) = ( `' f " ( B \ { Z } ) ) )
49 dfss1 3637 . . . . . . . . . . 11 |- ( C C_ A <-> ( A i^i C ) = C )
5049biimpi 198 . . . . . . . . . 10 |- ( C C_ A -> ( A i^i C ) = C )
5122, 50syl 17 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( ( f e. ( B ^m A ) /\ ( `' f " ( B \ { Z } ) ) C_ C ) /\ g = ( f |` C ) ) ) -> ( A i^i C ) = C )
5243, 48, 513sstr4d 3475 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( ( f e. ( B ^m A ) /\ ( `' f " ( B \ { Z } ) ) C_ C ) /\ g = ( f |` C ) ) ) -> ( f supp Z ) C_ ( A i^i C ) )
53 simpl 459 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f e. ( B ^m A ) /\ Z e. B ) -> f e. ( B ^m A ) )
5453, 19, 363syl 18 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( f e. ( B ^m A ) /\ Z e. B ) -> f Fn A )
55 inundif 3845 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A i^i C ) u. ( A \ C ) ) = A
5655fneq2i 5671 . . . . . . . . . . 11 |- ( f Fn ( ( A i^i C ) u. ( A \ C ) ) <-> f Fn A )
5754, 56sylibr 216 . . . . . . . . . 10 |- ( ( f e. ( B ^m A ) /\ Z e. B ) -> f Fn ( ( A i^i C ) u. ( A \ C ) ) )
58 vex 3048 . . . . . . . . . . 11 |- f e. _V
5958a1i 11 . . . . . . . . . 10 |- ( ( f e. ( B ^m A ) /\ Z e. B ) -> f e. _V )
60 simpr 463 . . . . . . . . . 10 |- ( ( f e. ( B ^m A ) /\ Z e. B ) -> Z e. B )
61 inindif 28150 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( A i^i C ) i^i ( A \ C ) ) = (/)
6261a1i 11 . . . . . . . . . 10 |- ( ( f e. ( B ^m A ) /\ Z e. B ) -> ( ( A i^i C ) i^i ( A \ C ) ) = (/) )
63 fnsuppres 6942 . . . . . . . . . 10 |- ( ( f Fn ( ( A i^i C ) u. ( A \ C ) ) /\ ( f e. _V /\ Z e. B ) /\ ( ( A i^i C ) i^i ( A \ C ) ) = (/) ) -> ( ( f supp Z ) C_ ( A i^i C ) <-> ( f |` ( A \ C ) ) = ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) )
6457, 59, 60, 62, 63syl121anc 1273 . . . . . . . . 9 |- ( ( f e. ( B ^m A ) /\ Z e. B ) -> ( ( f supp Z ) C_ ( A i^i C ) <-> ( f |` ( A \ C ) ) = ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) )
6518, 45, 64syl2anc 667 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( ( f e. ( B ^m A ) /\ ( `' f " ( B \ { Z } ) ) C_ C ) /\ g = ( f |` C ) ) ) -> ( ( f supp Z ) C_ ( A i^i C ) <-> ( f |` ( A \ C ) ) = ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) )
6652, 65mpbid 214 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( ( f e. ( B ^m A ) /\ ( `' f " ( B \ { Z } ) ) C_ C ) /\ g = ( f |` C ) ) ) -> ( f |` ( A \ C ) ) = ( ( A \ C ) X. { Z } ) )
6742, 66uneq12d 3589 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( ( f e. ( B ^m A ) /\ ( `' f " ( B \ { Z } ) ) C_ C ) /\ g = ( f |` C ) ) ) -> ( ( f |` C ) u. ( f |` ( A \ C ) ) ) = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) )
6841, 67eqtrd 2485 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( ( f e. ( B ^m A ) /\ ( `' f " ( B \ { Z } ) ) C_ C ) /\ g = ( f |` C ) ) ) -> f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) )
6931, 68jca 535 . . . 4 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( ( f e. ( B ^m A ) /\ ( `' f " ( B \ { Z } ) ) C_ C ) /\ g = ( f |` C ) ) ) -> ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) )
7024ad2antrr 732 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) -> B e. W )
7125ad2antrr 732 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) -> A e. V )
72 elmapi 7493 . . . . . . . . 9 |- ( g e. ( B ^m C ) -> g : C --> B )
7372ad2antrl 734 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) -> g : C --> B )
74 simplr 762 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) -> Z e. B )
75 fconst6g 5772 . . . . . . . . 9 |- ( Z e. B -> ( ( A \ C ) X. { Z } ) : ( A \ C ) --> B )
7674, 75syl 17 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) -> ( ( A \ C ) X. { Z } ) : ( A \ C ) --> B )
77 disjdif 3839 . . . . . . . . 9 |- ( C i^i ( A \ C ) ) = (/)
7877a1i 11 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) -> ( C i^i ( A \ C ) ) = (/) )
79 fun2 5747 . . . . . . . 8 |- ( ( ( g : C --> B /\ ( ( A \ C ) X. { Z } ) : ( A \ C ) --> B ) /\ ( C i^i ( A \ C ) ) = (/) ) -> ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) : ( C u. ( A \ C ) ) --> B )
8073, 76, 78, 79syl21anc 1267 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) -> ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) : ( C u. ( A \ C ) ) --> B )
81 simprr 766 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) -> f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) )
8281eqcomd 2457 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) -> ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) = f )
8321ad2antrr 732 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) -> C C_ A )
8483, 33syl 17 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) -> ( C u. ( A \ C ) ) = A )
8582, 84feq12d 5717 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) -> ( ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) : ( C u. ( A \ C ) ) --> B <-> f : A --> B ) )
8680, 85mpbid 214 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) -> f : A --> B )
87 elmapg 7485 . . . . . . 7 |- ( ( B e. W /\ A e. V ) -> ( f e. ( B ^m A ) <-> f : A --> B ) )
8887biimpar 488 . . . . . 6 |- ( ( ( B e. W /\ A e. V ) /\ f : A --> B ) -> f e. ( B ^m A ) )
8970, 71, 86, 88syl21anc 1267 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) -> f e. ( B ^m A ) )
9071, 74, 86, 47syl3anc 1268 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) -> ( f supp Z ) = ( `' f " ( B \ { Z } ) ) )
9181adantr 467 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) /\ x e. ( A \ C ) ) -> f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) )
9291fveq1d 5867 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) /\ x e. ( A \ C ) ) -> ( f ` x ) = ( ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ` x ) )
9373adantr 467 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) /\ x e. ( A \ C ) ) -> g : C --> B )
94 ffn 5728 . . . . . . . . . 10 |- ( g : C --> B -> g Fn C )
9593, 94syl 17 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) /\ x e. ( A \ C ) ) -> g Fn C )
96 fconstg 5770 . . . . . . . . . . 11 |- ( Z e. B -> ( ( A \ C ) X. { Z } ) : ( A \ C ) --> { Z } )
9796ad3antlr 737 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) /\ x e. ( A \ C ) ) -> ( ( A \ C ) X. { Z } ) : ( A \ C ) --> { Z } )
98 ffn 5728 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A \ C ) X. { Z } ) : ( A \ C ) --> { Z } -> ( ( A \ C ) X. { Z } ) Fn ( A \ C ) )
9997, 98syl 17 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) /\ x e. ( A \ C ) ) -> ( ( A \ C ) X. { Z } ) Fn ( A \ C ) )
10077a1i 11 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) /\ x e. ( A \ C ) ) -> ( C i^i ( A \ C ) ) = (/) )
101 simpr 463 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) /\ x e. ( A \ C ) ) -> x e. ( A \ C ) )
102 fvun2 5937 . . . . . . . . 9 |- ( ( g Fn C /\ ( ( A \ C ) X. { Z } ) Fn ( A \ C ) /\ ( ( C i^i ( A \ C ) ) = (/) /\ x e. ( A \ C ) ) ) -> ( ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ` x ) = ( ( ( A \ C ) X. { Z } ) ` x ) )
10395, 99, 100, 101, 102syl112anc 1272 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) /\ x e. ( A \ C ) ) -> ( ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ` x ) = ( ( ( A \ C ) X. { Z } ) ` x ) )
104 fvconst 6082 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A \ C ) X. { Z } ) : ( A \ C ) --> { Z } /\ x e. ( A \ C ) ) -> ( ( ( A \ C ) X. { Z } ) ` x ) = Z )
10597, 101, 104syl2anc 667 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) /\ x e. ( A \ C ) ) -> ( ( ( A \ C ) X. { Z } ) ` x ) = Z )
10692, 103, 1053eqtrd 2489 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) /\ x e. ( A \ C ) ) -> ( f ` x ) = Z )
10786, 106suppss 6945 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) -> ( f supp Z ) C_ C )
10890, 107eqsstr3d 3467 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) -> ( `' f " ( B \ { Z } ) ) C_ C )
10981reseq1d 5104 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) -> ( f |` C ) = ( ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) |` C ) )
110 res0 5109 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A \ C ) X. { Z } ) |` (/) ) = (/)
111 res0 5109 . . . . . . . . . 10 |- ( g |` (/) ) = (/)
112110, 111eqtr4i 2476 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A \ C ) X. { Z } ) |` (/) ) = ( g |` (/) )
11377reseq2i 5102 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A \ C ) X. { Z } ) |` ( C i^i ( A \ C ) ) ) = ( ( ( A \ C ) X. { Z } ) |` (/) )
11477reseq2i 5102 . . . . . . . . 9 |- ( g |` ( C i^i ( A \ C ) ) ) = ( g |` (/) )
115112, 113, 1143eqtr4ri 2484 . . . . . . . 8 |- ( g |` ( C i^i ( A \ C ) ) ) = ( ( ( A \ C ) X. { Z } ) |` ( C i^i ( A \ C ) ) )
116115a1i 11 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) -> ( g |` ( C i^i ( A \ C ) ) ) = ( ( ( A \ C ) X. { Z } ) |` ( C i^i ( A \ C ) ) ) )
117 fresaunres1 5756 . . . . . . 7 |- ( ( g : C --> B /\ ( ( A \ C ) X. { Z } ) : ( A \ C ) --> B /\ ( g |` ( C i^i ( A \ C ) ) ) = ( ( ( A \ C ) X. { Z } ) |` ( C i^i ( A \ C ) ) ) ) -> ( ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) |` C ) = g )
11873, 76, 116, 117syl3anc 1268 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) -> ( ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) |` C ) = g )
119109, 118eqtr2d 2486 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) -> g = ( f |` C ) )
12089, 108, 119jca31 537 . . . 4 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) -> ( ( f e. ( B ^m A ) /\ ( `' f " ( B \ { Z } ) ) C_ C ) /\ g = ( f |` C ) ) )
12169, 120impbida 843 . . 3 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) -> ( ( ( f e. ( B ^m A ) /\ ( `' f " ( B \ { Z } ) ) C_ C ) /\ g = ( f |` C ) ) <-> ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) )
12216, 121syl5bb 261 . 2 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) -> ( ( f e. X /\ g = ( f |` C ) ) <-> ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) )
1231, 3, 13, 122f1od 6519 1 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) -> F : X -1-1-onto-> ( B ^m C ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   /\ w3a 985   = wceq 1444   e. wcel 1887   {crab 2741   _Vcvv 3045   \ cdif 3401   u. cun 3402   i^i cin 3403   C_ wss 3404   (/)c0 3731   {csn 3968   |-> cmpt 4461   X. cxp 4832   `'ccnv 4833   |` cres 4836   "cima 4837   Fn wfn 5577   -->wf 5578   -1-1-onto->wf1o 5581   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   supp csupp 6914   ^m cmap 7472
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4749  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-supp 6915  df-map 7474
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