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Mathbox for Thierry Arnoux |
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Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > resf1o | Structured version Visualization version Unicode version |
Description: Restriction of functions to a superset of their support creates a bijection. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Sep-2017.) |
Ref | Expression |
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resf1o.1 |
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resf1o.2 |
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Ref | Expression |
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resf1o |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | resf1o.2 |
. 2
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2 | resexg 5147 |
. . 3
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3 | 2 | adantl 468 |
. 2
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4 | simpr 463 |
. . . 4
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5 | difexg 4551 |
. . . . . . 7
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6 | 5 | 3ad2ant1 1029 |
. . . . . 6
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7 | snex 4641 |
. . . . . 6
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8 | xpexg 6593 |
. . . . . 6
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9 | 6, 7, 8 | sylancl 668 |
. . . . 5
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10 | 9 | adantr 467 |
. . . 4
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11 | unexg 6592 |
. . . 4
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12 | 4, 10, 11 | syl2anc 667 |
. . 3
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13 | 12 | adantlr 721 |
. 2
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14 | resf1o.1 |
. . . . 5
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15 | 14 | rabeq2i 3042 |
. . . 4
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16 | 15 | anbi1i 701 |
. . 3
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17 | simprr 766 |
. . . . . 6
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18 | simprll 772 |
. . . . . . . . 9
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19 | elmapi 7493 |
. . . . . . . . 9
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20 | 18, 19 | syl 17 |
. . . . . . . 8
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21 | simp3 1010 |
. . . . . . . . 9
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22 | 21 | ad2antrr 732 |
. . . . . . . 8
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23 | 20, 22 | fssresd 5750 |
. . . . . . 7
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24 | simp2 1009 |
. . . . . . . . 9
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25 | simp1 1008 |
. . . . . . . . . 10
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26 | 25, 21 | ssexd 4550 |
. . . . . . . . 9
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27 | elmapg 7485 |
. . . . . . . . 9
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28 | 24, 26, 27 | syl2anc 667 |
. . . . . . . 8
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29 | 28 | ad2antrr 732 |
. . . . . . 7
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30 | 23, 29 | mpbird 236 |
. . . . . 6
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31 | 17, 30 | eqeltrd 2529 |
. . . . 5
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32 | undif 3848 |
. . . . . . . . . . 11
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33 | 32 | biimpi 198 |
. . . . . . . . . 10
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34 | 33 | reseq2d 5105 |
. . . . . . . . 9
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35 | 22, 34 | syl 17 |
. . . . . . . 8
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36 | ffn 5728 |
. . . . . . . . 9
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37 | fnresdm 5685 |
. . . . . . . . 9
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38 | 20, 36, 37 | 3syl 18 |
. . . . . . . 8
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39 | 35, 38 | eqtr2d 2486 |
. . . . . . 7
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40 | resundi 5118 |
. . . . . . 7
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41 | 39, 40 | syl6eq 2501 |
. . . . . 6
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42 | 17 | eqcomd 2457 |
. . . . . . 7
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43 | simprlr 773 |
. . . . . . . . 9
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44 | 25 | ad2antrr 732 |
. . . . . . . . . 10
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45 | simplr 762 |
. . . . . . . . . 10
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46 | eqid 2451 |
. . . . . . . . . . 11
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47 | 46 | ffs2 28313 |
. . . . . . . . . 10
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48 | 44, 45, 20, 47 | syl3anc 1268 |
. . . . . . . . 9
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49 | dfss1 3637 |
. . . . . . . . . . 11
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50 | 49 | biimpi 198 |
. . . . . . . . . 10
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51 | 22, 50 | syl 17 |
. . . . . . . . 9
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52 | 43, 48, 51 | 3sstr4d 3475 |
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53 | simpl 459 |
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54 | 53, 19, 36 | 3syl 18 |
. . . . . . . . . . 11
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55 | inundif 3845 |
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56 | 55 | fneq2i 5671 |
. . . . . . . . . . 11
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57 | 54, 56 | sylibr 216 |
. . . . . . . . . 10
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58 | vex 3048 |
. . . . . . . . . . 11
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59 | 58 | a1i 11 |
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60 | simpr 463 |
. . . . . . . . . 10
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61 | inindif 28150 |
. . . . . . . . . . 11
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62 | 61 | a1i 11 |
. . . . . . . . . 10
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63 | fnsuppres 6942 |
. . . . . . . . . 10
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64 | 57, 59, 60, 62, 63 | syl121anc 1273 |
. . . . . . . . 9
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65 | 18, 45, 64 | syl2anc 667 |
. . . . . . . 8
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66 | 52, 65 | mpbid 214 |
. . . . . . 7
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67 | 42, 66 | uneq12d 3589 |
. . . . . 6
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68 | 41, 67 | eqtrd 2485 |
. . . . 5
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69 | 31, 68 | jca 535 |
. . . 4
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70 | 24 | ad2antrr 732 |
. . . . . 6
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71 | 25 | ad2antrr 732 |
. . . . . 6
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72 | elmapi 7493 |
. . . . . . . . 9
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. . . . . . . 8
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. . . . . . . . 9
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77 | disjdif 3839 |
. . . . . . . . 9
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78 | 77 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
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79 | fun2 5747 |
. . . . . . . 8
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80 | 73, 76, 78, 79 | syl21anc 1267 |
. . . . . . 7
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81 | simprr 766 |
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82 | 81 | eqcomd 2457 |
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83 | 21 | ad2antrr 732 |
. . . . . . . . 9
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84 | 83, 33 | syl 17 |
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85 | 82, 84 | feq12d 5717 |
. . . . . . 7
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87 | elmapg 7485 |
. . . . . . 7
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88 | 87 | biimpar 488 |
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90 | 71, 74, 86, 47 | syl3anc 1268 |
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91 | 81 | adantr 467 |
. . . . . . . . 9
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92 | 91 | fveq1d 5867 |
. . . . . . . 8
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93 | 73 | adantr 467 |
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94 | ffn 5728 |
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95 | 93, 94 | syl 17 |
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96 | fconstg 5770 |
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97 | 96 | ad3antlr 737 |
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98 | ffn 5728 |
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104 | fvconst 6082 |
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105 | 97, 101, 104 | syl2anc 667 |
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106 | 92, 103, 105 | 3eqtrd 2489 |
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108 | 90, 107 | eqsstr3d 3467 |
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112 | 110, 111 | eqtr4i 2476 |
. . . . . . . . 9
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113 | 77 | reseq2i 5102 |
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115 | 112, 113, 114 | 3eqtr4ri 2484 |
. . . . . . . 8
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117 | fresaunres1 5756 |
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118 | 73, 76, 116, 117 | syl3anc 1268 |
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119 | 109, 118 | eqtr2d 2486 |
. . . . 5
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120 | 89, 108, 119 | jca31 537 |
. . . 4
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121 | 69, 120 | impbida 843 |
. . 3
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122 | 16, 121 | syl5bb 261 |
. 2
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123 | 1, 3, 13, 122 | f1od 6519 |
1
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Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1669 ax-4 1682 ax-5 1758 ax-6 1805 ax-7 1851 ax-8 1889 ax-9 1896 ax-10 1915 ax-11 1920 ax-12 1933 ax-13 2091 ax-ext 2431 ax-rep 4515 ax-sep 4525 ax-nul 4534 ax-pow 4581 ax-pr 4639 ax-un 6583 |
This theorem depends on definitions: df-bi 189 df-or 372 df-an 373 df-3an 987 df-tru 1447 df-ex 1664 df-nf 1668 df-sb 1798 df-eu 2303 df-mo 2304 df-clab 2438 df-cleq 2444 df-clel 2447 df-nfc 2581 df-ne 2624 df-ral 2742 df-rex 2743 df-reu 2744 df-rab 2746 df-v 3047 df-sbc 3268 df-csb 3364 df-dif 3407 df-un 3409 df-in 3411 df-ss 3418 df-nul 3732 df-if 3882 df-pw 3953 df-sn 3969 df-pr 3971 df-op 3975 df-uni 4199 df-iun 4280 df-br 4403 df-opab 4462 df-mpt 4463 df-id 4749 df-xp 4840 df-rel 4841 df-cnv 4842 df-co 4843 df-dm 4844 df-rn 4845 df-res 4846 df-ima 4847 df-iota 5546 df-fun 5584 df-fn 5585 df-f 5586 df-f1 5587 df-fo 5588 df-f1o 5589 df-fv 5590 df-ov 6293 df-oprab 6294 df-mpt2 6295 df-1st 6793 df-2nd 6794 df-supp 6915 df-map 7474 |
This theorem is referenced by: eulerpartgbij 29205 |
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