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Theorem resf1o 25981
Description: Restriction of functions to a superset of their support creates a bijection. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Sep-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
resf1o.1 |- X = { f e. ( B ^m A ) | ( `' f " ( B \ { Z } ) ) C_ C }
resf1o.2 |- F = ( f e. X |-> ( f |` C ) )
Assertion
Ref Expression
resf1o |- ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) -> F : X -1-1-onto-> ( B ^m C ) )
Distinct variable groups:   A, f   B, f   C, f   f, V   f, W   f, X   f, Z
Allowed substitution hint:   F( f)
Proof of Theorem resf1o
Dummy variables g x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 resf1o.2 . 2 |- F = ( f e. X |-> ( f |` C ) )
2 resexg 5144 . . 3 |- ( f e. X -> ( f |` C ) e. _V )
32adantl 466 . 2 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ f e. X ) -> ( f |` C ) e. _V )
4 simpr 461 . . . 4 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ g e. ( B ^m C ) ) -> g e. ( B ^m C ) )
5 difexg 4435 . . . . . . 7 |- ( A e. V -> ( A \ C ) e. _V )
653ad2ant1 1009 . . . . . 6 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) -> ( A \ C ) e. _V )
7 snex 4528 . . . . . 6 |- { Z } e. _V
8 xpexg 6502 . . . . . 6 |- ( ( ( A \ C ) e. _V /\ { Z } e. _V ) -> ( ( A \ C ) X. { Z } ) e. _V )
96, 7, 8sylancl 662 . . . . 5 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) -> ( ( A \ C ) X. { Z } ) e. _V )
109adantr 465 . . . 4 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ g e. ( B ^m C ) ) -> ( ( A \ C ) X. { Z } ) e. _V )
11 unexg 6376 . . . 4 |- ( ( g e. ( B ^m C ) /\ ( ( A \ C ) X. { Z } ) e. _V ) -> ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) e. _V )
124, 10, 11syl2anc 661 . . 3 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ g e. ( B ^m C ) ) -> ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) e. _V )
1312adantlr 714 . 2 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ g e. ( B ^m C ) ) -> ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) e. _V )
14 resf1o.1 . . . . 5 |- X = { f e. ( B ^m A ) | ( `' f " ( B \ { Z } ) ) C_ C }
1514rabeq2i 2964 . . . 4 |- ( f e. X <-> ( f e. ( B ^m A ) /\ ( `' f " ( B \ { Z } ) ) C_ C ) )
1615anbi1i 695 . . 3 |- ( ( f e. X /\ g = ( f |` C ) ) <-> ( ( f e. ( B ^m A ) /\ ( `' f " ( B \ { Z } ) ) C_ C ) /\ g = ( f |` C ) ) )
17 simprr 756 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( ( f e. ( B ^m A ) /\ ( `' f " ( B \ { Z } ) ) C_ C ) /\ g = ( f |` C ) ) ) -> g = ( f |` C ) )
18 simprll 761 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( ( f e. ( B ^m A ) /\ ( `' f " ( B \ { Z } ) ) C_ C ) /\ g = ( f |` C ) ) ) -> f e. ( B ^m A ) )
19 elmapi 7226 . . . . . . . . . 10 |- ( f e. ( B ^m A ) -> f : A --> B )
2018, 19syl 16 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( ( f e. ( B ^m A ) /\ ( `' f " ( B \ { Z } ) ) C_ C ) /\ g = ( f |` C ) ) ) -> f : A --> B )
21 simp3 990 . . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) -> C C_ A )
2221ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( ( f e. ( B ^m A ) /\ ( `' f " ( B \ { Z } ) ) C_ C ) /\ g = ( f |` C ) ) ) -> C C_ A )
23 fssres 5573 . . . . . . . . 9 |- ( ( f : A --> B /\ C C_ A ) -> ( f |` C ) : C --> B )
2420, 22, 23syl2anc 661 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( ( f e. ( B ^m A ) /\ ( `' f " ( B \ { Z } ) ) C_ C ) /\ g = ( f |` C ) ) ) -> ( f |` C ) : C --> B )
25 simp2 989 . . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) -> B e. W )
26 simp1 988 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) -> A e. V )
27 ssexg 4433 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( C C_ A /\ A e. V ) -> C e. _V )
2821, 26, 27syl2anc 661 . . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) -> C e. _V )
29 elmapg 7219 . . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. W /\ C e. _V ) -> ( ( f |` C ) e. ( B ^m C ) <-> ( f |` C ) : C --> B ) )
3025, 28, 29syl2anc 661 . . . . . . . . 9 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) -> ( ( f |` C ) e. ( B ^m C ) <-> ( f |` C ) : C --> B ) )
3130ad2antrr 725 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( ( f e. ( B ^m A ) /\ ( `' f " ( B \ { Z } ) ) C_ C ) /\ g = ( f |` C ) ) ) -> ( ( f |` C ) e. ( B ^m C ) <-> ( f |` C ) : C --> B ) )
3224, 31mpbird 232 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( ( f e. ( B ^m A ) /\ ( `' f " ( B \ { Z } ) ) C_ C ) /\ g = ( f |` C ) ) ) -> ( f |` C ) e. ( B ^m C ) )
3317, 32eqeltrd 2512 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( ( f e. ( B ^m A ) /\ ( `' f " ( B \ { Z } ) ) C_ C ) /\ g = ( f |` C ) ) ) -> g e. ( B ^m C ) )
34 undif 3754 . . . . . . . . . . . 12 |- ( C C_ A <-> ( C u. ( A \ C ) ) = A )
3534biimpi 194 . . . . . . . . . . 11 |- ( C C_ A -> ( C u. ( A \ C ) ) = A )
3635reseq2d 5105 . . . . . . . . . 10 |- ( C C_ A -> ( f |` ( C u. ( A \ C ) ) ) = ( f |` A ) )
3722, 36syl 16 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( ( f e. ( B ^m A ) /\ ( `' f " ( B \ { Z } ) ) C_ C ) /\ g = ( f |` C ) ) ) -> ( f |` ( C u. ( A \ C ) ) ) = ( f |` A ) )
38 ffn 5554 . . . . . . . . . 10 |- ( f : A --> B -> f Fn A )
39 fnresdm 5515 . . . . . . . . . 10 |- ( f Fn A -> ( f |` A ) = f )
4020, 38, 393syl 20 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( ( f e. ( B ^m A ) /\ ( `' f " ( B \ { Z } ) ) C_ C ) /\ g = ( f |` C ) ) ) -> ( f |` A ) = f )
4137, 40eqtr2d 2471 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( ( f e. ( B ^m A ) /\ ( `' f " ( B \ { Z } ) ) C_ C ) /\ g = ( f |` C ) ) ) -> f = ( f |` ( C u. ( A \ C ) ) ) )
42 resundi 5119 . . . . . . . 8 |- ( f |` ( C u. ( A \ C ) ) ) = ( ( f |` C ) u. ( f |` ( A \ C ) ) )
4341, 42syl6eq 2486 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( ( f e. ( B ^m A ) /\ ( `' f " ( B \ { Z } ) ) C_ C ) /\ g = ( f |` C ) ) ) -> f = ( ( f |` C ) u. ( f |` ( A \ C ) ) ) )
44 eqcom 2440 . . . . . . . . . 10 |- ( g = ( f |` C ) <-> ( f |` C ) = g )
4544imbi2i 312 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( ( f e. ( B ^m A ) /\ ( `' f " ( B \ { Z } ) ) C_ C ) /\ g = ( f |` C ) ) ) -> g = ( f |` C ) ) <-> ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( ( f e. ( B ^m A ) /\ ( `' f " ( B \ { Z } ) ) C_ C ) /\ g = ( f |` C ) ) ) -> ( f |` C ) = g ) )
4617, 45mpbi 208 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( ( f e. ( B ^m A ) /\ ( `' f " ( B \ { Z } ) ) C_ C ) /\ g = ( f |` C ) ) ) -> ( f |` C ) = g )
47 simprlr 762 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( ( f e. ( B ^m A ) /\ ( `' f " ( B \ { Z } ) ) C_ C ) /\ g = ( f |` C ) ) ) -> ( `' f " ( B \ { Z } ) ) C_ C )
4826ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( ( f e. ( B ^m A ) /\ ( `' f " ( B \ { Z } ) ) C_ C ) /\ g = ( f |` C ) ) ) -> A e. V )
49 simplr 754 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( ( f e. ( B ^m A ) /\ ( `' f " ( B \ { Z } ) ) C_ C ) /\ g = ( f |` C ) ) ) -> Z e. B )
50 eqid 2438 . . . . . . . . . . . 12 |- ( B \ { Z } ) = ( B \ { Z } )
5150ffs2 25979 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. V /\ Z e. B /\ f : A --> B ) -> ( f supp Z ) = ( `' f " ( B \ { Z } ) ) )
5248, 49, 20, 51syl3anc 1218 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( ( f e. ( B ^m A ) /\ ( `' f " ( B \ { Z } ) ) C_ C ) /\ g = ( f |` C ) ) ) -> ( f supp Z ) = ( `' f " ( B \ { Z } ) ) )
53 dfss1 3550 . . . . . . . . . . . 12 |- ( C C_ A <-> ( A i^i C ) = C )
5453biimpi 194 . . . . . . . . . . 11 |- ( C C_ A -> ( A i^i C ) = C )
5522, 54syl 16 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( ( f e. ( B ^m A ) /\ ( `' f " ( B \ { Z } ) ) C_ C ) /\ g = ( f |` C ) ) ) -> ( A i^i C ) = C )
5647, 52, 553sstr4d 3394 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( ( f e. ( B ^m A ) /\ ( `' f " ( B \ { Z } ) ) C_ C ) /\ g = ( f |` C ) ) ) -> ( f supp Z ) C_ ( A i^i C ) )
57 simpl 457 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f e. ( B ^m A ) /\ Z e. B ) -> f e. ( B ^m A ) )
5857, 19, 383syl 20 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f e. ( B ^m A ) /\ Z e. B ) -> f Fn A )
59 inundif 3752 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A i^i C ) u. ( A \ C ) ) = A
6059fneq2i 5501 . . . . . . . . . . . 12 |- ( f Fn ( ( A i^i C ) u. ( A \ C ) ) <-> f Fn A )
6158, 60sylibr 212 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( f e. ( B ^m A ) /\ Z e. B ) -> f Fn ( ( A i^i C ) u. ( A \ C ) ) )
62 vex 2970 . . . . . . . . . . . 12 |- f e. _V
6362a1i 11 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( f e. ( B ^m A ) /\ Z e. B ) -> f e. _V )
64 simpr 461 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( f e. ( B ^m A ) /\ Z e. B ) -> Z e. B )
65 inindif 25848 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A i^i C ) i^i ( A \ C ) ) = (/)
6665a1i 11 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( f e. ( B ^m A ) /\ Z e. B ) -> ( ( A i^i C ) i^i ( A \ C ) ) = (/) )
67 fnsuppres 6711 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( f Fn ( ( A i^i C ) u. ( A \ C ) ) /\ ( f e. _V /\ Z e. B ) /\ ( ( A i^i C ) i^i ( A \ C ) ) = (/) ) -> ( ( f supp Z ) C_ ( A i^i C ) <-> ( f |` ( A \ C ) ) = ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) )
6861, 63, 64, 66, 67syl121anc 1223 . . . . . . . . . 10 |- ( ( f e. ( B ^m A ) /\ Z e. B ) -> ( ( f supp Z ) C_ ( A i^i C ) <-> ( f |` ( A \ C ) ) = ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) )
6918, 49, 68syl2anc 661 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( ( f e. ( B ^m A ) /\ ( `' f " ( B \ { Z } ) ) C_ C ) /\ g = ( f |` C ) ) ) -> ( ( f supp Z ) C_ ( A i^i C ) <-> ( f |` ( A \ C ) ) = ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) )
7056, 69mpbid 210 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( ( f e. ( B ^m A ) /\ ( `' f " ( B \ { Z } ) ) C_ C ) /\ g = ( f |` C ) ) ) -> ( f |` ( A \ C ) ) = ( ( A \ C ) X. { Z } ) )
7146, 70uneq12d 3506 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( ( f e. ( B ^m A ) /\ ( `' f " ( B \ { Z } ) ) C_ C ) /\ g = ( f |` C ) ) ) -> ( ( f |` C ) u. ( f |` ( A \ C ) ) ) = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) )
7243, 71eqtrd 2470 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( ( f e. ( B ^m A ) /\ ( `' f " ( B \ { Z } ) ) C_ C ) /\ g = ( f |` C ) ) ) -> f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) )
7333, 72jca 532 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( ( f e. ( B ^m A ) /\ ( `' f " ( B \ { Z } ) ) C_ C ) /\ g = ( f |` C ) ) ) -> ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) )
7473ex 434 . . . 4 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) -> ( ( ( f e. ( B ^m A ) /\ ( `' f " ( B \ { Z } ) ) C_ C ) /\ g = ( f |` C ) ) -> ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) )
7525ad2antrr 725 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) -> B e. W )
7626ad2antrr 725 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) -> A e. V )
774ad2ant2r 746 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) -> g e. ( B ^m C ) )
78 elmapi 7226 . . . . . . . . . 10 |- ( g e. ( B ^m C ) -> g : C --> B )
7977, 78syl 16 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) -> g : C --> B )
80 simplr 754 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) -> Z e. B )
81 fconstg 5592 . . . . . . . . . . 11 |- ( Z e. B -> ( ( A \ C ) X. { Z } ) : ( A \ C ) --> { Z } )
82 snssi 4012 . . . . . . . . . . 11 |- ( Z e. B -> { Z } C_ B )
83 fss 5562 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A \ C ) X. { Z } ) : ( A \ C ) --> { Z } /\ { Z } C_ B ) -> ( ( A \ C ) X. { Z } ) : ( A \ C ) --> B )
8481, 82, 83syl2anc 661 . . . . . . . . . 10 |- ( Z e. B -> ( ( A \ C ) X. { Z } ) : ( A \ C ) --> B )
8580, 84syl 16 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) -> ( ( A \ C ) X. { Z } ) : ( A \ C ) --> B )
86 disjdif 3746 . . . . . . . . . 10 |- ( C i^i ( A \ C ) ) = (/)
8786a1i 11 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) -> ( C i^i ( A \ C ) ) = (/) )
88 fun2 5571 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( g : C --> B /\ ( ( A \ C ) X. { Z } ) : ( A \ C ) --> B ) /\ ( C i^i ( A \ C ) ) = (/) ) -> ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) : ( C u. ( A \ C ) ) --> B )
8979, 85, 87, 88syl21anc 1217 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) -> ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) : ( C u. ( A \ C ) ) --> B )
90 simprr 756 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) -> f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) )
9190eqcomd 2443 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) -> ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) = f )
9221ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) -> C C_ A )
9392, 35syl 16 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) -> ( C u. ( A \ C ) ) = A )
9491, 93feq12d 5543 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) -> ( ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) : ( C u. ( A \ C ) ) --> B <-> f : A --> B ) )
9589, 94mpbid 210 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) -> f : A --> B )
96 elmapg 7219 . . . . . . . 8 |- ( ( B e. W /\ A e. V ) -> ( f e. ( B ^m A ) <-> f : A --> B ) )
9796biimpar 485 . . . . . . 7 |- ( ( ( B e. W /\ A e. V ) /\ f : A --> B ) -> f e. ( B ^m A ) )
9875, 76, 95, 97syl21anc 1217 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) -> f e. ( B ^m A ) )
9976, 80, 95, 51syl3anc 1218 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) -> ( f supp Z ) = ( `' f " ( B \ { Z } ) ) )
10090adantr 465 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) /\ x e. ( A \ C ) ) -> f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) )
101100fveq1d 5688 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) /\ x e. ( A \ C ) ) -> ( f ` x ) = ( ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ` x ) )
10279adantr 465 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) /\ x e. ( A \ C ) ) -> g : C --> B )
103 ffn 5554 . . . . . . . . . . 11 |- ( g : C --> B -> g Fn C )
104102, 103syl 16 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) /\ x e. ( A \ C ) ) -> g Fn C )
10581ad3antlr 730 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) /\ x e. ( A \ C ) ) -> ( ( A \ C ) X. { Z } ) : ( A \ C ) --> { Z } )
106 ffn 5554 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A \ C ) X. { Z } ) : ( A \ C ) --> { Z } -> ( ( A \ C ) X. { Z } ) Fn ( A \ C ) )
107105, 106syl 16 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) /\ x e. ( A \ C ) ) -> ( ( A \ C ) X. { Z } ) Fn ( A \ C ) )
10886a1i 11 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) /\ x e. ( A \ C ) ) -> ( C i^i ( A \ C ) ) = (/) )
109 simpr 461 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) /\ x e. ( A \ C ) ) -> x e. ( A \ C ) )
110 fvun2 5758 . . . . . . . . . 10 |- ( ( g Fn C /\ ( ( A \ C ) X. { Z } ) Fn ( A \ C ) /\ ( ( C i^i ( A \ C ) ) = (/) /\ x e. ( A \ C ) ) ) -> ( ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ` x ) = ( ( ( A \ C ) X. { Z } ) ` x ) )
111104, 107, 108, 109, 110syl112anc 1222 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) /\ x e. ( A \ C ) ) -> ( ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ` x ) = ( ( ( A \ C ) X. { Z } ) ` x ) )
112 fvconst 5892 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A \ C ) X. { Z } ) : ( A \ C ) --> { Z } /\ x e. ( A \ C ) ) -> ( ( ( A \ C ) X. { Z } ) ` x ) = Z )
113105, 109, 112syl2anc 661 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) /\ x e. ( A \ C ) ) -> ( ( ( A \ C ) X. { Z } ) ` x ) = Z )
114101, 111, 1133eqtrd 2474 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) /\ x e. ( A \ C ) ) -> ( f ` x ) = Z )
11595, 114suppss 6714 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) -> ( f supp Z ) C_ C )
11699, 115eqsstr3d 3386 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) -> ( `' f " ( B \ { Z } ) ) C_ C )
11790reseq1d 5104 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) -> ( f |` C ) = ( ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) |` C ) )
118 res0 5110 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A \ C ) X. { Z } ) |` (/) ) = (/)
119 res0 5110 . . . . . . . . . . 11 |- ( g |` (/) ) = (/)
120118, 119eqtr4i 2461 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A \ C ) X. { Z } ) |` (/) ) = ( g |` (/) )
12186reseq2i 5102 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A \ C ) X. { Z } ) |` ( C i^i ( A \ C ) ) ) = ( ( ( A \ C ) X. { Z } ) |` (/) )
12286reseq2i 5102 . . . . . . . . . 10 |- ( g |` ( C i^i ( A \ C ) ) ) = ( g |` (/) )
123120, 121, 1223eqtr4ri 2469 . . . . . . . . 9 |- ( g |` ( C i^i ( A \ C ) ) ) = ( ( ( A \ C ) X. { Z } ) |` ( C i^i ( A \ C ) ) )
124123a1i 11 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) -> ( g |` ( C i^i ( A \ C ) ) ) = ( ( ( A \ C ) X. { Z } ) |` ( C i^i ( A \ C ) ) ) )
125 fresaunres1 5579 . . . . . . . 8 |- ( ( g : C --> B /\ ( ( A \ C ) X. { Z } ) : ( A \ C ) --> B /\ ( g |` ( C i^i ( A \ C ) ) ) = ( ( ( A \ C ) X. { Z } ) |` ( C i^i ( A \ C ) ) ) ) -> ( ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) |` C ) = g )
12679, 85, 124, 125syl3anc 1218 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) -> ( ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) |` C ) = g )
127117, 126eqtr2d 2471 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) -> g = ( f |` C ) )
12898, 116, 127jca31 534 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) -> ( ( f e. ( B ^m A ) /\ ( `' f " ( B \ { Z } ) ) C_ C ) /\ g = ( f |` C ) ) )
129128ex 434 . . . 4 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) -> ( ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) -> ( ( f e. ( B ^m A ) /\ ( `' f " ( B \ { Z } ) ) C_ C ) /\ g = ( f |` C ) ) ) )
13074, 129impbid 191 . . 3 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) -> ( ( ( f e. ( B ^m A ) /\ ( `' f " ( B \ { Z } ) ) C_ C ) /\ g = ( f |` C ) ) <-> ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) )
13116, 130syl5bb 257 . 2 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) -> ( ( f e. X /\ g = ( f |` C ) ) <-> ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) )
1321, 3, 13, 131f1od 6305 1 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) -> F : X -1-1-onto-> ( B ^m C ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1369   e. wcel 1756   {crab 2714   _Vcvv 2967   \ cdif 3320   u. cun 3321   i^i cin 3322   C_ wss 3323   (/)c0 3632   {csn 3872   e. cmpt 4345   X. cxp 4833   `'ccnv 4834   |` cres 4837   "cima 4838   Fn wfn 5408   -->wf 5409   -1-1-onto->wf1o 5412   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   supp csupp 6685   ^m cmap 7206
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-id 4631  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-supp 6686  df-map 7208
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