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Theorem resf1o 27787
Description: Restriction of functions to a superset of their support creates a bijection. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Sep-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
resf1o.1 |- X = { f e. ( B ^m A ) | ( `' f " ( B \ { Z } ) ) C_ C }
resf1o.2 |- F = ( f e. X |-> ( f |` C ) )
Assertion
Ref Expression
resf1o |- ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) -> F : X -1-1-onto-> ( B ^m C ) )
Distinct variable groups:   A, f   B, f   C, f   f, V   f, W   f, X   f, Z
Allowed substitution hint:   F( f)
Proof of Theorem resf1o
Dummy variables g x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 resf1o.2 . 2 |- F = ( f e. X |-> ( f |` C ) )
2 resexg 5304 . . 3 |- ( f e. X -> ( f |` C ) e. _V )
32adantl 464 . 2 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ f e. X ) -> ( f |` C ) e. _V )
4 simpr 459 . . . 4 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ g e. ( B ^m C ) ) -> g e. ( B ^m C ) )
5 difexg 4585 . . . . . . 7 |- ( A e. V -> ( A \ C ) e. _V )
653ad2ant1 1015 . . . . . 6 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) -> ( A \ C ) e. _V )
7 snex 4678 . . . . . 6 |- { Z } e. _V
8 xpexg 6575 . . . . . 6 |- ( ( ( A \ C ) e. _V /\ { Z } e. _V ) -> ( ( A \ C ) X. { Z } ) e. _V )
96, 7, 8sylancl 660 . . . . 5 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) -> ( ( A \ C ) X. { Z } ) e. _V )
109adantr 463 . . . 4 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ g e. ( B ^m C ) ) -> ( ( A \ C ) X. { Z } ) e. _V )
11 unexg 6574 . . . 4 |- ( ( g e. ( B ^m C ) /\ ( ( A \ C ) X. { Z } ) e. _V ) -> ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) e. _V )
124, 10, 11syl2anc 659 . . 3 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ g e. ( B ^m C ) ) -> ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) e. _V )
1312adantlr 712 . 2 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ g e. ( B ^m C ) ) -> ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) e. _V )
14 resf1o.1 . . . . 5 |- X = { f e. ( B ^m A ) | ( `' f " ( B \ { Z } ) ) C_ C }
1514rabeq2i 3103 . . . 4 |- ( f e. X <-> ( f e. ( B ^m A ) /\ ( `' f " ( B \ { Z } ) ) C_ C ) )
1615anbi1i 693 . . 3 |- ( ( f e. X /\ g = ( f |` C ) ) <-> ( ( f e. ( B ^m A ) /\ ( `' f " ( B \ { Z } ) ) C_ C ) /\ g = ( f |` C ) ) )
17 simprr 755 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( ( f e. ( B ^m A ) /\ ( `' f " ( B \ { Z } ) ) C_ C ) /\ g = ( f |` C ) ) ) -> g = ( f |` C ) )
18 simprll 761 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( ( f e. ( B ^m A ) /\ ( `' f " ( B \ { Z } ) ) C_ C ) /\ g = ( f |` C ) ) ) -> f e. ( B ^m A ) )
19 elmapi 7433 . . . . . . . . 9 |- ( f e. ( B ^m A ) -> f : A --> B )
2018, 19syl 16 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( ( f e. ( B ^m A ) /\ ( `' f " ( B \ { Z } ) ) C_ C ) /\ g = ( f |` C ) ) ) -> f : A --> B )
21 simp3 996 . . . . . . . . 9 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) -> C C_ A )
2221ad2antrr 723 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( ( f e. ( B ^m A ) /\ ( `' f " ( B \ { Z } ) ) C_ C ) /\ g = ( f |` C ) ) ) -> C C_ A )
2320, 22fssresd 5734 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( ( f e. ( B ^m A ) /\ ( `' f " ( B \ { Z } ) ) C_ C ) /\ g = ( f |` C ) ) ) -> ( f |` C ) : C --> B )
24 simp2 995 . . . . . . . . 9 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) -> B e. W )
25 simp1 994 . . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) -> A e. V )
2625, 21ssexd 4584 . . . . . . . . 9 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) -> C e. _V )
27 elmapg 7425 . . . . . . . . 9 |- ( ( B e. W /\ C e. _V ) -> ( ( f |` C ) e. ( B ^m C ) <-> ( f |` C ) : C --> B ) )
2824, 26, 27syl2anc 659 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) -> ( ( f |` C ) e. ( B ^m C ) <-> ( f |` C ) : C --> B ) )
2928ad2antrr 723 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( ( f e. ( B ^m A ) /\ ( `' f " ( B \ { Z } ) ) C_ C ) /\ g = ( f |` C ) ) ) -> ( ( f |` C ) e. ( B ^m C ) <-> ( f |` C ) : C --> B ) )
3023, 29mpbird 232 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( ( f e. ( B ^m A ) /\ ( `' f " ( B \ { Z } ) ) C_ C ) /\ g = ( f |` C ) ) ) -> ( f |` C ) e. ( B ^m C ) )
3117, 30eqeltrd 2542 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( ( f e. ( B ^m A ) /\ ( `' f " ( B \ { Z } ) ) C_ C ) /\ g = ( f |` C ) ) ) -> g e. ( B ^m C ) )
32 undif 3896 . . . . . . . . . . 11 |- ( C C_ A <-> ( C u. ( A \ C ) ) = A )
3332biimpi 194 . . . . . . . . . 10 |- ( C C_ A -> ( C u. ( A \ C ) ) = A )
3433reseq2d 5262 . . . . . . . . 9 |- ( C C_ A -> ( f |` ( C u. ( A \ C ) ) ) = ( f |` A ) )
3522, 34syl 16 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( ( f e. ( B ^m A ) /\ ( `' f " ( B \ { Z } ) ) C_ C ) /\ g = ( f |` C ) ) ) -> ( f |` ( C u. ( A \ C ) ) ) = ( f |` A ) )
36 ffn 5713 . . . . . . . . 9 |- ( f : A --> B -> f Fn A )
37 fnresdm 5672 . . . . . . . . 9 |- ( f Fn A -> ( f |` A ) = f )
3820, 36, 373syl 20 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( ( f e. ( B ^m A ) /\ ( `' f " ( B \ { Z } ) ) C_ C ) /\ g = ( f |` C ) ) ) -> ( f |` A ) = f )
3935, 38eqtr2d 2496 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( ( f e. ( B ^m A ) /\ ( `' f " ( B \ { Z } ) ) C_ C ) /\ g = ( f |` C ) ) ) -> f = ( f |` ( C u. ( A \ C ) ) ) )
40 resundi 5275 . . . . . . 7 |- ( f |` ( C u. ( A \ C ) ) ) = ( ( f |` C ) u. ( f |` ( A \ C ) ) )
4139, 40syl6eq 2511 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( ( f e. ( B ^m A ) /\ ( `' f " ( B \ { Z } ) ) C_ C ) /\ g = ( f |` C ) ) ) -> f = ( ( f |` C ) u. ( f |` ( A \ C ) ) ) )
4217eqcomd 2462 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( ( f e. ( B ^m A ) /\ ( `' f " ( B \ { Z } ) ) C_ C ) /\ g = ( f |` C ) ) ) -> ( f |` C ) = g )
43 simprlr 762 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( ( f e. ( B ^m A ) /\ ( `' f " ( B \ { Z } ) ) C_ C ) /\ g = ( f |` C ) ) ) -> ( `' f " ( B \ { Z } ) ) C_ C )
4425ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( ( f e. ( B ^m A ) /\ ( `' f " ( B \ { Z } ) ) C_ C ) /\ g = ( f |` C ) ) ) -> A e. V )
45 simplr 753 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( ( f e. ( B ^m A ) /\ ( `' f " ( B \ { Z } ) ) C_ C ) /\ g = ( f |` C ) ) ) -> Z e. B )
46 eqid 2454 . . . . . . . . . . 11 |- ( B \ { Z } ) = ( B \ { Z } )
4746ffs2 27785 . . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. V /\ Z e. B /\ f : A --> B ) -> ( f supp Z ) = ( `' f " ( B \ { Z } ) ) )
4844, 45, 20, 47syl3anc 1226 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( ( f e. ( B ^m A ) /\ ( `' f " ( B \ { Z } ) ) C_ C ) /\ g = ( f |` C ) ) ) -> ( f supp Z ) = ( `' f " ( B \ { Z } ) ) )
49 dfss1 3689 . . . . . . . . . . 11 |- ( C C_ A <-> ( A i^i C ) = C )
5049biimpi 194 . . . . . . . . . 10 |- ( C C_ A -> ( A i^i C ) = C )
5122, 50syl 16 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( ( f e. ( B ^m A ) /\ ( `' f " ( B \ { Z } ) ) C_ C ) /\ g = ( f |` C ) ) ) -> ( A i^i C ) = C )
5243, 48, 513sstr4d 3532 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( ( f e. ( B ^m A ) /\ ( `' f " ( B \ { Z } ) ) C_ C ) /\ g = ( f |` C ) ) ) -> ( f supp Z ) C_ ( A i^i C ) )
53 simpl 455 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f e. ( B ^m A ) /\ Z e. B ) -> f e. ( B ^m A ) )
5453, 19, 363syl 20 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( f e. ( B ^m A ) /\ Z e. B ) -> f Fn A )
55 inundif 3894 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A i^i C ) u. ( A \ C ) ) = A
5655fneq2i 5658 . . . . . . . . . . 11 |- ( f Fn ( ( A i^i C ) u. ( A \ C ) ) <-> f Fn A )
5754, 56sylibr 212 . . . . . . . . . 10 |- ( ( f e. ( B ^m A ) /\ Z e. B ) -> f Fn ( ( A i^i C ) u. ( A \ C ) ) )
58 vex 3109 . . . . . . . . . . 11 |- f e. _V
5958a1i 11 . . . . . . . . . 10 |- ( ( f e. ( B ^m A ) /\ Z e. B ) -> f e. _V )
60 simpr 459 . . . . . . . . . 10 |- ( ( f e. ( B ^m A ) /\ Z e. B ) -> Z e. B )
61 inindif 27616 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( A i^i C ) i^i ( A \ C ) ) = (/)
6261a1i 11 . . . . . . . . . 10 |- ( ( f e. ( B ^m A ) /\ Z e. B ) -> ( ( A i^i C ) i^i ( A \ C ) ) = (/) )
63 fnsuppres 6919 . . . . . . . . . 10 |- ( ( f Fn ( ( A i^i C ) u. ( A \ C ) ) /\ ( f e. _V /\ Z e. B ) /\ ( ( A i^i C ) i^i ( A \ C ) ) = (/) ) -> ( ( f supp Z ) C_ ( A i^i C ) <-> ( f |` ( A \ C ) ) = ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) )
6457, 59, 60, 62, 63syl121anc 1231 . . . . . . . . 9 |- ( ( f e. ( B ^m A ) /\ Z e. B ) -> ( ( f supp Z ) C_ ( A i^i C ) <-> ( f |` ( A \ C ) ) = ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) )
6518, 45, 64syl2anc 659 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( ( f e. ( B ^m A ) /\ ( `' f " ( B \ { Z } ) ) C_ C ) /\ g = ( f |` C ) ) ) -> ( ( f supp Z ) C_ ( A i^i C ) <-> ( f |` ( A \ C ) ) = ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) )
6652, 65mpbid 210 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( ( f e. ( B ^m A ) /\ ( `' f " ( B \ { Z } ) ) C_ C ) /\ g = ( f |` C ) ) ) -> ( f |` ( A \ C ) ) = ( ( A \ C ) X. { Z } ) )
6742, 66uneq12d 3645 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( ( f e. ( B ^m A ) /\ ( `' f " ( B \ { Z } ) ) C_ C ) /\ g = ( f |` C ) ) ) -> ( ( f |` C ) u. ( f |` ( A \ C ) ) ) = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) )
6841, 67eqtrd 2495 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( ( f e. ( B ^m A ) /\ ( `' f " ( B \ { Z } ) ) C_ C ) /\ g = ( f |` C ) ) ) -> f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) )
6931, 68jca 530 . . . 4 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( ( f e. ( B ^m A ) /\ ( `' f " ( B \ { Z } ) ) C_ C ) /\ g = ( f |` C ) ) ) -> ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) )
7024ad2antrr 723 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) -> B e. W )
7125ad2antrr 723 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) -> A e. V )
72 elmapi 7433 . . . . . . . . 9 |- ( g e. ( B ^m C ) -> g : C --> B )
7372ad2antrl 725 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) -> g : C --> B )
74 simplr 753 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) -> Z e. B )
75 fconst6g 5756 . . . . . . . . 9 |- ( Z e. B -> ( ( A \ C ) X. { Z } ) : ( A \ C ) --> B )
7674, 75syl 16 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) -> ( ( A \ C ) X. { Z } ) : ( A \ C ) --> B )
77 disjdif 3888 . . . . . . . . 9 |- ( C i^i ( A \ C ) ) = (/)
7877a1i 11 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) -> ( C i^i ( A \ C ) ) = (/) )
79 fun2 5731 . . . . . . . 8 |- ( ( ( g : C --> B /\ ( ( A \ C ) X. { Z } ) : ( A \ C ) --> B ) /\ ( C i^i ( A \ C ) ) = (/) ) -> ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) : ( C u. ( A \ C ) ) --> B )
8073, 76, 78, 79syl21anc 1225 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) -> ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) : ( C u. ( A \ C ) ) --> B )
81 simprr 755 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) -> f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) )
8281eqcomd 2462 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) -> ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) = f )
8321ad2antrr 723 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) -> C C_ A )
8483, 33syl 16 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) -> ( C u. ( A \ C ) ) = A )
8582, 84feq12d 5702 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) -> ( ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) : ( C u. ( A \ C ) ) --> B <-> f : A --> B ) )
8680, 85mpbid 210 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) -> f : A --> B )
87 elmapg 7425 . . . . . . 7 |- ( ( B e. W /\ A e. V ) -> ( f e. ( B ^m A ) <-> f : A --> B ) )
8887biimpar 483 . . . . . 6 |- ( ( ( B e. W /\ A e. V ) /\ f : A --> B ) -> f e. ( B ^m A ) )
8970, 71, 86, 88syl21anc 1225 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) -> f e. ( B ^m A ) )
9071, 74, 86, 47syl3anc 1226 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) -> ( f supp Z ) = ( `' f " ( B \ { Z } ) ) )
9181adantr 463 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) /\ x e. ( A \ C ) ) -> f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) )
9291fveq1d 5850 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) /\ x e. ( A \ C ) ) -> ( f ` x ) = ( ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ` x ) )
9373adantr 463 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) /\ x e. ( A \ C ) ) -> g : C --> B )
94 ffn 5713 . . . . . . . . . 10 |- ( g : C --> B -> g Fn C )
9593, 94syl 16 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) /\ x e. ( A \ C ) ) -> g Fn C )
96 fconstg 5754 . . . . . . . . . . 11 |- ( Z e. B -> ( ( A \ C ) X. { Z } ) : ( A \ C ) --> { Z } )
9796ad3antlr 728 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) /\ x e. ( A \ C ) ) -> ( ( A \ C ) X. { Z } ) : ( A \ C ) --> { Z } )
98 ffn 5713 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A \ C ) X. { Z } ) : ( A \ C ) --> { Z } -> ( ( A \ C ) X. { Z } ) Fn ( A \ C ) )
9997, 98syl 16 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) /\ x e. ( A \ C ) ) -> ( ( A \ C ) X. { Z } ) Fn ( A \ C ) )
10077a1i 11 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) /\ x e. ( A \ C ) ) -> ( C i^i ( A \ C ) ) = (/) )
101 simpr 459 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) /\ x e. ( A \ C ) ) -> x e. ( A \ C ) )
102 fvun2 5920 . . . . . . . . 9 |- ( ( g Fn C /\ ( ( A \ C ) X. { Z } ) Fn ( A \ C ) /\ ( ( C i^i ( A \ C ) ) = (/) /\ x e. ( A \ C ) ) ) -> ( ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ` x ) = ( ( ( A \ C ) X. { Z } ) ` x ) )
10395, 99, 100, 101, 102syl112anc 1230 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) /\ x e. ( A \ C ) ) -> ( ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ` x ) = ( ( ( A \ C ) X. { Z } ) ` x ) )
104 fvconst 6065 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A \ C ) X. { Z } ) : ( A \ C ) --> { Z } /\ x e. ( A \ C ) ) -> ( ( ( A \ C ) X. { Z } ) ` x ) = Z )
10597, 101, 104syl2anc 659 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) /\ x e. ( A \ C ) ) -> ( ( ( A \ C ) X. { Z } ) ` x ) = Z )
10692, 103, 1053eqtrd 2499 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) /\ x e. ( A \ C ) ) -> ( f ` x ) = Z )
10786, 106suppss 6922 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) -> ( f supp Z ) C_ C )
10890, 107eqsstr3d 3524 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) -> ( `' f " ( B \ { Z } ) ) C_ C )
10981reseq1d 5261 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) -> ( f |` C ) = ( ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) |` C ) )
110 res0 5266 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A \ C ) X. { Z } ) |` (/) ) = (/)
111 res0 5266 . . . . . . . . . 10 |- ( g |` (/) ) = (/)
112110, 111eqtr4i 2486 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A \ C ) X. { Z } ) |` (/) ) = ( g |` (/) )
11377reseq2i 5259 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A \ C ) X. { Z } ) |` ( C i^i ( A \ C ) ) ) = ( ( ( A \ C ) X. { Z } ) |` (/) )
11477reseq2i 5259 . . . . . . . . 9 |- ( g |` ( C i^i ( A \ C ) ) ) = ( g |` (/) )
115112, 113, 1143eqtr4ri 2494 . . . . . . . 8 |- ( g |` ( C i^i ( A \ C ) ) ) = ( ( ( A \ C ) X. { Z } ) |` ( C i^i ( A \ C ) ) )
116115a1i 11 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) -> ( g |` ( C i^i ( A \ C ) ) ) = ( ( ( A \ C ) X. { Z } ) |` ( C i^i ( A \ C ) ) ) )
117 fresaunres1 5740 . . . . . . 7 |- ( ( g : C --> B /\ ( ( A \ C ) X. { Z } ) : ( A \ C ) --> B /\ ( g |` ( C i^i ( A \ C ) ) ) = ( ( ( A \ C ) X. { Z } ) |` ( C i^i ( A \ C ) ) ) ) -> ( ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) |` C ) = g )
11873, 76, 116, 117syl3anc 1226 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) -> ( ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) |` C ) = g )
119109, 118eqtr2d 2496 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) -> g = ( f |` C ) )
12089, 108, 119jca31 532 . . . 4 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) -> ( ( f e. ( B ^m A ) /\ ( `' f " ( B \ { Z } ) ) C_ C ) /\ g = ( f |` C ) ) )
12169, 120impbida 830 . . 3 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) -> ( ( ( f e. ( B ^m A ) /\ ( `' f " ( B \ { Z } ) ) C_ C ) /\ g = ( f |` C ) ) <-> ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) )
12216, 121syl5bb 257 . 2 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) -> ( ( f e. X /\ g = ( f |` C ) ) <-> ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) )
1231, 3, 13, 122f1od 6498 1 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) -> F : X -1-1-onto-> ( B ^m C ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 367   /\ w3a 971   = wceq 1398   e. wcel 1823   {crab 2808   _Vcvv 3106   \ cdif 3458   u. cun 3459   i^i cin 3460   C_ wss 3461   (/)c0 3783   {csn 4016   |-> cmpt 4497   X. cxp 4986   `'ccnv 4987   |` cres 4990   "cima 4991   Fn wfn 5565   -->wf 5566   -1-1-onto->wf1o 5569   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   supp csupp 6891   ^m cmap 7412
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-id 4784  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-supp 6892  df-map 7414
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