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Theorem resf1o 27241
Description: Restriction of functions to a superset of their support creates a bijection. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Sep-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
resf1o.1 |- X = { f e. ( B ^m A ) | ( `' f " ( B \ { Z } ) ) C_ C }
resf1o.2 |- F = ( f e. X |-> ( f |` C ) )
Assertion
Ref Expression
resf1o |- ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) -> F : X -1-1-onto-> ( B ^m C ) )
Distinct variable groups:   A, f   B, f   C, f   f, V   f, W   f, X   f, Z
Allowed substitution hint:   F( f)
Proof of Theorem resf1o
Dummy variables g x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 resf1o.2 . 2 |- F = ( f e. X |-> ( f |` C ) )
2 resexg 5315 . . 3 |- ( f e. X -> ( f |` C ) e. _V )
32adantl 466 . 2 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ f e. X ) -> ( f |` C ) e. _V )
4 simpr 461 . . . 4 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ g e. ( B ^m C ) ) -> g e. ( B ^m C ) )
5 difexg 4595 . . . . . . 7 |- ( A e. V -> ( A \ C ) e. _V )
653ad2ant1 1017 . . . . . 6 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) -> ( A \ C ) e. _V )
7 snex 4688 . . . . . 6 |- { Z } e. _V
8 xpexg 6710 . . . . . 6 |- ( ( ( A \ C ) e. _V /\ { Z } e. _V ) -> ( ( A \ C ) X. { Z } ) e. _V )
96, 7, 8sylancl 662 . . . . 5 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) -> ( ( A \ C ) X. { Z } ) e. _V )
109adantr 465 . . . 4 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ g e. ( B ^m C ) ) -> ( ( A \ C ) X. { Z } ) e. _V )
11 unexg 6584 . . . 4 |- ( ( g e. ( B ^m C ) /\ ( ( A \ C ) X. { Z } ) e. _V ) -> ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) e. _V )
124, 10, 11syl2anc 661 . . 3 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ g e. ( B ^m C ) ) -> ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) e. _V )
1312adantlr 714 . 2 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ g e. ( B ^m C ) ) -> ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) e. _V )
14 resf1o.1 . . . . 5 |- X = { f e. ( B ^m A ) | ( `' f " ( B \ { Z } ) ) C_ C }
1514rabeq2i 3110 . . . 4 |- ( f e. X <-> ( f e. ( B ^m A ) /\ ( `' f " ( B \ { Z } ) ) C_ C ) )
1615anbi1i 695 . . 3 |- ( ( f e. X /\ g = ( f |` C ) ) <-> ( ( f e. ( B ^m A ) /\ ( `' f " ( B \ { Z } ) ) C_ C ) /\ g = ( f |` C ) ) )
17 simprr 756 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( ( f e. ( B ^m A ) /\ ( `' f " ( B \ { Z } ) ) C_ C ) /\ g = ( f |` C ) ) ) -> g = ( f |` C ) )
18 simprll 761 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( ( f e. ( B ^m A ) /\ ( `' f " ( B \ { Z } ) ) C_ C ) /\ g = ( f |` C ) ) ) -> f e. ( B ^m A ) )
19 elmapi 7440 . . . . . . . . . 10 |- ( f e. ( B ^m A ) -> f : A --> B )
2018, 19syl 16 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( ( f e. ( B ^m A ) /\ ( `' f " ( B \ { Z } ) ) C_ C ) /\ g = ( f |` C ) ) ) -> f : A --> B )
21 simp3 998 . . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) -> C C_ A )
2221ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( ( f e. ( B ^m A ) /\ ( `' f " ( B \ { Z } ) ) C_ C ) /\ g = ( f |` C ) ) ) -> C C_ A )
23 fssres 5750 . . . . . . . . 9 |- ( ( f : A --> B /\ C C_ A ) -> ( f |` C ) : C --> B )
2420, 22, 23syl2anc 661 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( ( f e. ( B ^m A ) /\ ( `' f " ( B \ { Z } ) ) C_ C ) /\ g = ( f |` C ) ) ) -> ( f |` C ) : C --> B )
25 simp2 997 . . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) -> B e. W )
26 simp1 996 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) -> A e. V )
27 ssexg 4593 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( C C_ A /\ A e. V ) -> C e. _V )
2821, 26, 27syl2anc 661 . . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) -> C e. _V )
29 elmapg 7433 . . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. W /\ C e. _V ) -> ( ( f |` C ) e. ( B ^m C ) <-> ( f |` C ) : C --> B ) )
3025, 28, 29syl2anc 661 . . . . . . . . 9 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) -> ( ( f |` C ) e. ( B ^m C ) <-> ( f |` C ) : C --> B ) )
3130ad2antrr 725 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( ( f e. ( B ^m A ) /\ ( `' f " ( B \ { Z } ) ) C_ C ) /\ g = ( f |` C ) ) ) -> ( ( f |` C ) e. ( B ^m C ) <-> ( f |` C ) : C --> B ) )
3224, 31mpbird 232 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( ( f e. ( B ^m A ) /\ ( `' f " ( B \ { Z } ) ) C_ C ) /\ g = ( f |` C ) ) ) -> ( f |` C ) e. ( B ^m C ) )
3317, 32eqeltrd 2555 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( ( f e. ( B ^m A ) /\ ( `' f " ( B \ { Z } ) ) C_ C ) /\ g = ( f |` C ) ) ) -> g e. ( B ^m C ) )
34 undif 3907 . . . . . . . . . . . 12 |- ( C C_ A <-> ( C u. ( A \ C ) ) = A )
3534biimpi 194 . . . . . . . . . . 11 |- ( C C_ A -> ( C u. ( A \ C ) ) = A )
3635reseq2d 5272 . . . . . . . . . 10 |- ( C C_ A -> ( f |` ( C u. ( A \ C ) ) ) = ( f |` A ) )
3722, 36syl 16 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( ( f e. ( B ^m A ) /\ ( `' f " ( B \ { Z } ) ) C_ C ) /\ g = ( f |` C ) ) ) -> ( f |` ( C u. ( A \ C ) ) ) = ( f |` A ) )
38 ffn 5730 . . . . . . . . . 10 |- ( f : A --> B -> f Fn A )
39 fnresdm 5689 . . . . . . . . . 10 |- ( f Fn A -> ( f |` A ) = f )
4020, 38, 393syl 20 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( ( f e. ( B ^m A ) /\ ( `' f " ( B \ { Z } ) ) C_ C ) /\ g = ( f |` C ) ) ) -> ( f |` A ) = f )
4137, 40eqtr2d 2509 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( ( f e. ( B ^m A ) /\ ( `' f " ( B \ { Z } ) ) C_ C ) /\ g = ( f |` C ) ) ) -> f = ( f |` ( C u. ( A \ C ) ) ) )
42 resundi 5286 . . . . . . . 8 |- ( f |` ( C u. ( A \ C ) ) ) = ( ( f |` C ) u. ( f |` ( A \ C ) ) )
4341, 42syl6eq 2524 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( ( f e. ( B ^m A ) /\ ( `' f " ( B \ { Z } ) ) C_ C ) /\ g = ( f |` C ) ) ) -> f = ( ( f |` C ) u. ( f |` ( A \ C ) ) ) )
44 eqcom 2476 . . . . . . . . . 10 |- ( g = ( f |` C ) <-> ( f |` C ) = g )
4544imbi2i 312 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( ( f e. ( B ^m A ) /\ ( `' f " ( B \ { Z } ) ) C_ C ) /\ g = ( f |` C ) ) ) -> g = ( f |` C ) ) <-> ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( ( f e. ( B ^m A ) /\ ( `' f " ( B \ { Z } ) ) C_ C ) /\ g = ( f |` C ) ) ) -> ( f |` C ) = g ) )
4617, 45mpbi 208 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( ( f e. ( B ^m A ) /\ ( `' f " ( B \ { Z } ) ) C_ C ) /\ g = ( f |` C ) ) ) -> ( f |` C ) = g )
47 simprlr 762 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( ( f e. ( B ^m A ) /\ ( `' f " ( B \ { Z } ) ) C_ C ) /\ g = ( f |` C ) ) ) -> ( `' f " ( B \ { Z } ) ) C_ C )
4826ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( ( f e. ( B ^m A ) /\ ( `' f " ( B \ { Z } ) ) C_ C ) /\ g = ( f |` C ) ) ) -> A e. V )
49 simplr 754 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( ( f e. ( B ^m A ) /\ ( `' f " ( B \ { Z } ) ) C_ C ) /\ g = ( f |` C ) ) ) -> Z e. B )
50 eqid 2467 . . . . . . . . . . . 12 |- ( B \ { Z } ) = ( B \ { Z } )
5150ffs2 27239 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. V /\ Z e. B /\ f : A --> B ) -> ( f supp Z ) = ( `' f " ( B \ { Z } ) ) )
5248, 49, 20, 51syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( ( f e. ( B ^m A ) /\ ( `' f " ( B \ { Z } ) ) C_ C ) /\ g = ( f |` C ) ) ) -> ( f supp Z ) = ( `' f " ( B \ { Z } ) ) )
53 dfss1 3703 . . . . . . . . . . . 12 |- ( C C_ A <-> ( A i^i C ) = C )
5453biimpi 194 . . . . . . . . . . 11 |- ( C C_ A -> ( A i^i C ) = C )
5522, 54syl 16 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( ( f e. ( B ^m A ) /\ ( `' f " ( B \ { Z } ) ) C_ C ) /\ g = ( f |` C ) ) ) -> ( A i^i C ) = C )
5647, 52, 553sstr4d 3547 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( ( f e. ( B ^m A ) /\ ( `' f " ( B \ { Z } ) ) C_ C ) /\ g = ( f |` C ) ) ) -> ( f supp Z ) C_ ( A i^i C ) )
57 simpl 457 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f e. ( B ^m A ) /\ Z e. B ) -> f e. ( B ^m A ) )
5857, 19, 383syl 20 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f e. ( B ^m A ) /\ Z e. B ) -> f Fn A )
59 inundif 3905 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A i^i C ) u. ( A \ C ) ) = A
6059fneq2i 5675 . . . . . . . . . . . 12 |- ( f Fn ( ( A i^i C ) u. ( A \ C ) ) <-> f Fn A )
6158, 60sylibr 212 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( f e. ( B ^m A ) /\ Z e. B ) -> f Fn ( ( A i^i C ) u. ( A \ C ) ) )
62 vex 3116 . . . . . . . . . . . 12 |- f e. _V
6362a1i 11 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( f e. ( B ^m A ) /\ Z e. B ) -> f e. _V )
64 simpr 461 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( f e. ( B ^m A ) /\ Z e. B ) -> Z e. B )
65 inindif 27104 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A i^i C ) i^i ( A \ C ) ) = (/)
6665a1i 11 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( f e. ( B ^m A ) /\ Z e. B ) -> ( ( A i^i C ) i^i ( A \ C ) ) = (/) )
67 fnsuppres 6927 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( f Fn ( ( A i^i C ) u. ( A \ C ) ) /\ ( f e. _V /\ Z e. B ) /\ ( ( A i^i C ) i^i ( A \ C ) ) = (/) ) -> ( ( f supp Z ) C_ ( A i^i C ) <-> ( f |` ( A \ C ) ) = ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) )
6861, 63, 64, 66, 67syl121anc 1233 . . . . . . . . . 10 |- ( ( f e. ( B ^m A ) /\ Z e. B ) -> ( ( f supp Z ) C_ ( A i^i C ) <-> ( f |` ( A \ C ) ) = ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) )
6918, 49, 68syl2anc 661 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( ( f e. ( B ^m A ) /\ ( `' f " ( B \ { Z } ) ) C_ C ) /\ g = ( f |` C ) ) ) -> ( ( f supp Z ) C_ ( A i^i C ) <-> ( f |` ( A \ C ) ) = ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) )
7056, 69mpbid 210 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( ( f e. ( B ^m A ) /\ ( `' f " ( B \ { Z } ) ) C_ C ) /\ g = ( f |` C ) ) ) -> ( f |` ( A \ C ) ) = ( ( A \ C ) X. { Z } ) )
7146, 70uneq12d 3659 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( ( f e. ( B ^m A ) /\ ( `' f " ( B \ { Z } ) ) C_ C ) /\ g = ( f |` C ) ) ) -> ( ( f |` C ) u. ( f |` ( A \ C ) ) ) = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) )
7243, 71eqtrd 2508 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( ( f e. ( B ^m A ) /\ ( `' f " ( B \ { Z } ) ) C_ C ) /\ g = ( f |` C ) ) ) -> f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) )
7333, 72jca 532 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( ( f e. ( B ^m A ) /\ ( `' f " ( B \ { Z } ) ) C_ C ) /\ g = ( f |` C ) ) ) -> ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) )
7473ex 434 . . . 4 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) -> ( ( ( f e. ( B ^m A ) /\ ( `' f " ( B \ { Z } ) ) C_ C ) /\ g = ( f |` C ) ) -> ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) )
7525ad2antrr 725 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) -> B e. W )
7626ad2antrr 725 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) -> A e. V )
774ad2ant2r 746 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) -> g e. ( B ^m C ) )
78 elmapi 7440 . . . . . . . . . 10 |- ( g e. ( B ^m C ) -> g : C --> B )
7977, 78syl 16 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) -> g : C --> B )
80 simplr 754 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) -> Z e. B )
81 fconstg 5771 . . . . . . . . . . 11 |- ( Z e. B -> ( ( A \ C ) X. { Z } ) : ( A \ C ) --> { Z } )
82 snssi 4171 . . . . . . . . . . 11 |- ( Z e. B -> { Z } C_ B )
83 fss 5738 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A \ C ) X. { Z } ) : ( A \ C ) --> { Z } /\ { Z } C_ B ) -> ( ( A \ C ) X. { Z } ) : ( A \ C ) --> B )
8481, 82, 83syl2anc 661 . . . . . . . . . 10 |- ( Z e. B -> ( ( A \ C ) X. { Z } ) : ( A \ C ) --> B )
8580, 84syl 16 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) -> ( ( A \ C ) X. { Z } ) : ( A \ C ) --> B )
86 disjdif 3899 . . . . . . . . . 10 |- ( C i^i ( A \ C ) ) = (/)
8786a1i 11 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) -> ( C i^i ( A \ C ) ) = (/) )
88 fun2 5748 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( g : C --> B /\ ( ( A \ C ) X. { Z } ) : ( A \ C ) --> B ) /\ ( C i^i ( A \ C ) ) = (/) ) -> ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) : ( C u. ( A \ C ) ) --> B )
8979, 85, 87, 88syl21anc 1227 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) -> ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) : ( C u. ( A \ C ) ) --> B )
90 simprr 756 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) -> f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) )
9190eqcomd 2475 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) -> ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) = f )
9221ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) -> C C_ A )
9392, 35syl 16 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) -> ( C u. ( A \ C ) ) = A )
9491, 93feq12d 5719 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) -> ( ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) : ( C u. ( A \ C ) ) --> B <-> f : A --> B ) )
9589, 94mpbid 210 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) -> f : A --> B )
96 elmapg 7433 . . . . . . . 8 |- ( ( B e. W /\ A e. V ) -> ( f e. ( B ^m A ) <-> f : A --> B ) )
9796biimpar 485 . . . . . . 7 |- ( ( ( B e. W /\ A e. V ) /\ f : A --> B ) -> f e. ( B ^m A ) )
9875, 76, 95, 97syl21anc 1227 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) -> f e. ( B ^m A ) )
9976, 80, 95, 51syl3anc 1228 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) -> ( f supp Z ) = ( `' f " ( B \ { Z } ) ) )
10090adantr 465 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) /\ x e. ( A \ C ) ) -> f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) )
101100fveq1d 5867 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) /\ x e. ( A \ C ) ) -> ( f ` x ) = ( ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ` x ) )
10279adantr 465 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) /\ x e. ( A \ C ) ) -> g : C --> B )
103 ffn 5730 . . . . . . . . . . 11 |- ( g : C --> B -> g Fn C )
104102, 103syl 16 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) /\ x e. ( A \ C ) ) -> g Fn C )
10581ad3antlr 730 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) /\ x e. ( A \ C ) ) -> ( ( A \ C ) X. { Z } ) : ( A \ C ) --> { Z } )
106 ffn 5730 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A \ C ) X. { Z } ) : ( A \ C ) --> { Z } -> ( ( A \ C ) X. { Z } ) Fn ( A \ C ) )
107105, 106syl 16 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) /\ x e. ( A \ C ) ) -> ( ( A \ C ) X. { Z } ) Fn ( A \ C ) )
10886a1i 11 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) /\ x e. ( A \ C ) ) -> ( C i^i ( A \ C ) ) = (/) )
109 simpr 461 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) /\ x e. ( A \ C ) ) -> x e. ( A \ C ) )
110 fvun2 5938 . . . . . . . . . 10 |- ( ( g Fn C /\ ( ( A \ C ) X. { Z } ) Fn ( A \ C ) /\ ( ( C i^i ( A \ C ) ) = (/) /\ x e. ( A \ C ) ) ) -> ( ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ` x ) = ( ( ( A \ C ) X. { Z } ) ` x ) )
111104, 107, 108, 109, 110syl112anc 1232 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) /\ x e. ( A \ C ) ) -> ( ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ` x ) = ( ( ( A \ C ) X. { Z } ) ` x ) )
112 fvconst 6078 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A \ C ) X. { Z } ) : ( A \ C ) --> { Z } /\ x e. ( A \ C ) ) -> ( ( ( A \ C ) X. { Z } ) ` x ) = Z )
113105, 109, 112syl2anc 661 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) /\ x e. ( A \ C ) ) -> ( ( ( A \ C ) X. { Z } ) ` x ) = Z )
114101, 111, 1133eqtrd 2512 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) /\ x e. ( A \ C ) ) -> ( f ` x ) = Z )
11595, 114suppss 6930 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) -> ( f supp Z ) C_ C )
11699, 115eqsstr3d 3539 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) -> ( `' f " ( B \ { Z } ) ) C_ C )
11790reseq1d 5271 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) -> ( f |` C ) = ( ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) |` C ) )
118 res0 5277 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A \ C ) X. { Z } ) |` (/) ) = (/)
119 res0 5277 . . . . . . . . . . 11 |- ( g |` (/) ) = (/)
120118, 119eqtr4i 2499 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A \ C ) X. { Z } ) |` (/) ) = ( g |` (/) )
12186reseq2i 5269 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A \ C ) X. { Z } ) |` ( C i^i ( A \ C ) ) ) = ( ( ( A \ C ) X. { Z } ) |` (/) )
12286reseq2i 5269 . . . . . . . . . 10 |- ( g |` ( C i^i ( A \ C ) ) ) = ( g |` (/) )
123120, 121, 1223eqtr4ri 2507 . . . . . . . . 9 |- ( g |` ( C i^i ( A \ C ) ) ) = ( ( ( A \ C ) X. { Z } ) |` ( C i^i ( A \ C ) ) )
124123a1i 11 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) -> ( g |` ( C i^i ( A \ C ) ) ) = ( ( ( A \ C ) X. { Z } ) |` ( C i^i ( A \ C ) ) ) )
125 fresaunres1 5757 . . . . . . . 8 |- ( ( g : C --> B /\ ( ( A \ C ) X. { Z } ) : ( A \ C ) --> B /\ ( g |` ( C i^i ( A \ C ) ) ) = ( ( ( A \ C ) X. { Z } ) |` ( C i^i ( A \ C ) ) ) ) -> ( ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) |` C ) = g )
12679, 85, 124, 125syl3anc 1228 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) -> ( ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) |` C ) = g )
127117, 126eqtr2d 2509 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) -> g = ( f |` C ) )
12898, 116, 127jca31 534 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) /\ ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) -> ( ( f e. ( B ^m A ) /\ ( `' f " ( B \ { Z } ) ) C_ C ) /\ g = ( f |` C ) ) )
129128ex 434 . . . 4 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) -> ( ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) -> ( ( f e. ( B ^m A ) /\ ( `' f " ( B \ { Z } ) ) C_ C ) /\ g = ( f |` C ) ) ) )
13074, 129impbid 191 . . 3 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) -> ( ( ( f e. ( B ^m A ) /\ ( `' f " ( B \ { Z } ) ) C_ C ) /\ g = ( f |` C ) ) <-> ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) )
13116, 130syl5bb 257 . 2 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) -> ( ( f e. X /\ g = ( f |` C ) ) <-> ( g e. ( B ^m C ) /\ f = ( g u. ( ( A \ C ) X. { Z } ) ) ) ) )
1321, 3, 13, 131f1od 6508 1 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W /\ C C_ A ) /\ Z e. B ) -> F : X -1-1-onto-> ( B ^m C ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1379   e. wcel 1767   {crab 2818   _Vcvv 3113   \ cdif 3473   u. cun 3474   i^i cin 3475   C_ wss 3476   (/)c0 3785   {csn 4027   |-> cmpt 4505   X. cxp 4997   `'ccnv 4998   |` cres 5001   "cima 5002   Fn wfn 5582   -->wf 5583   -1-1-onto->wf1o 5586   ` cfv 5587  (class class class)co 6283   supp csupp 6901   ^m cmap 7420
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6575
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5550  df-fun 5589  df-fn 5590  df-f 5591  df-f1 5592  df-fo 5593  df-f1o 5594  df-fv 5595  df-ov 6286  df-oprab 6287  df-mpt2 6288  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6902  df-map 7422
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