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Theorem resf1o 26201
Description: Restriction of functions to a superset of their support creates a bijection. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Sep-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
resf1o.1  |-  X  =  { f  e.  ( B  ^m  A )  |  ( `' f
" ( B  \  { Z } ) ) 
C_  C }
resf1o.2  |-  F  =  ( f  e.  X  |->  ( f  |`  C ) )
Assertion
Ref Expression
resf1o  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B
)  ->  F : X
-1-1-onto-> ( B  ^m  C ) )
Distinct variable groups:    A, f    B, f    C, f    f, V   
f, W    f, X    f, Z
Allowed substitution hint:    F( f)

Proof of Theorem resf1o
Dummy variables  g  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 resf1o.2 . 2  |-  F  =  ( f  e.  X  |->  ( f  |`  C ) )
2 resexg 5260 . . 3  |-  ( f  e.  X  ->  (
f  |`  C )  e. 
_V )
32adantl 466 . 2  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  f  e.  X )  ->  (
f  |`  C )  e. 
_V )
4 simpr 461 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  g  e.  ( B  ^m  C ) )  ->  g  e.  ( B  ^m  C ) )
5 difexg 4551 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  V  ->  ( A  \  C )  e. 
_V )
653ad2ant1 1009 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  -> 
( A  \  C
)  e.  _V )
7 snex 4644 . . . . . 6  |-  { Z }  e.  _V
8 xpexg 6620 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  \  C
)  e.  _V  /\  { Z }  e.  _V )  ->  ( ( A 
\  C )  X. 
{ Z } )  e.  _V )
96, 7, 8sylancl 662 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  -> 
( ( A  \  C )  X.  { Z } )  e.  _V )
109adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  g  e.  ( B  ^m  C ) )  ->  ( ( A  \  C )  X. 
{ Z } )  e.  _V )
11 unexg 6494 . . . 4  |-  ( ( g  e.  ( B  ^m  C )  /\  ( ( A  \  C )  X.  { Z } )  e.  _V )  ->  ( g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) )  e. 
_V )
124, 10, 11syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  g  e.  ( B  ^m  C ) )  ->  ( g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) )  e. 
_V )
1312adantlr 714 . 2  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  g  e.  ( B  ^m  C
) )  ->  (
g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z }
) )  e.  _V )
14 resf1o.1 . . . . 5  |-  X  =  { f  e.  ( B  ^m  A )  |  ( `' f
" ( B  \  { Z } ) ) 
C_  C }
1514rabeq2i 3075 . . . 4  |-  ( f  e.  X  <->  ( f  e.  ( B  ^m  A
)  /\  ( `' f " ( B  \  { Z } ) ) 
C_  C ) )
1615anbi1i 695 . . 3  |-  ( ( f  e.  X  /\  g  =  ( f  |`  C ) )  <->  ( (
f  e.  ( B  ^m  A )  /\  ( `' f " ( B  \  { Z }
) )  C_  C
)  /\  g  =  ( f  |`  C ) ) )
17 simprr 756 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
( f  e.  ( B  ^m  A )  /\  ( `' f
" ( B  \  { Z } ) ) 
C_  C )  /\  g  =  ( f  |`  C ) ) )  ->  g  =  ( f  |`  C )
)
18 simprll 761 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
( f  e.  ( B  ^m  A )  /\  ( `' f
" ( B  \  { Z } ) ) 
C_  C )  /\  g  =  ( f  |`  C ) ) )  ->  f  e.  ( B  ^m  A ) )
19 elmapi 7347 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  e.  ( B  ^m  A )  ->  f : A --> B )
2018, 19syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
( f  e.  ( B  ^m  A )  /\  ( `' f
" ( B  \  { Z } ) ) 
C_  C )  /\  g  =  ( f  |`  C ) ) )  ->  f : A --> B )
21 simp3 990 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  ->  C  C_  A )
2221ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
( f  e.  ( B  ^m  A )  /\  ( `' f
" ( B  \  { Z } ) ) 
C_  C )  /\  g  =  ( f  |`  C ) ) )  ->  C  C_  A
)
23 fssres 5689 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f : A --> B  /\  C  C_  A )  -> 
( f  |`  C ) : C --> B )
2420, 22, 23syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
( f  e.  ( B  ^m  A )  /\  ( `' f
" ( B  \  { Z } ) ) 
C_  C )  /\  g  =  ( f  |`  C ) ) )  ->  ( f  |`  C ) : C --> B )
25 simp2 989 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  ->  B  e.  W )
26 simp1 988 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  ->  A  e.  V )
27 ssexg 4549 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  C_  A  /\  A  e.  V )  ->  C  e.  _V )
2821, 26, 27syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  ->  C  e.  _V )
29 elmapg 7340 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  W  /\  C  e.  _V )  ->  ( ( f  |`  C )  e.  ( B  ^m  C )  <-> 
( f  |`  C ) : C --> B ) )
3025, 28, 29syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  -> 
( ( f  |`  C )  e.  ( B  ^m  C )  <-> 
( f  |`  C ) : C --> B ) )
3130ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
( f  e.  ( B  ^m  A )  /\  ( `' f
" ( B  \  { Z } ) ) 
C_  C )  /\  g  =  ( f  |`  C ) ) )  ->  ( ( f  |`  C )  e.  ( B  ^m  C )  <-> 
( f  |`  C ) : C --> B ) )
3224, 31mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
( f  e.  ( B  ^m  A )  /\  ( `' f
" ( B  \  { Z } ) ) 
C_  C )  /\  g  =  ( f  |`  C ) ) )  ->  ( f  |`  C )  e.  ( B  ^m  C ) )
3317, 32eqeltrd 2542 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
( f  e.  ( B  ^m  A )  /\  ( `' f
" ( B  \  { Z } ) ) 
C_  C )  /\  g  =  ( f  |`  C ) ) )  ->  g  e.  ( B  ^m  C ) )
34 undif 3870 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( C 
C_  A  <->  ( C  u.  ( A  \  C
) )  =  A )
3534biimpi 194 . . . . . . . . . . 11  |-  ( C 
C_  A  ->  ( C  u.  ( A  \  C ) )  =  A )
3635reseq2d 5221 . . . . . . . . . 10  |-  ( C 
C_  A  ->  (
f  |`  ( C  u.  ( A  \  C ) ) )  =  ( f  |`  A )
)
3722, 36syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
( f  e.  ( B  ^m  A )  /\  ( `' f
" ( B  \  { Z } ) ) 
C_  C )  /\  g  =  ( f  |`  C ) ) )  ->  ( f  |`  ( C  u.  ( A  \  C ) ) )  =  ( f  |`  A ) )
38 ffn 5670 . . . . . . . . . 10  |-  ( f : A --> B  -> 
f  Fn  A )
39 fnresdm 5631 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  Fn  A  ->  (
f  |`  A )  =  f )
4020, 38, 393syl 20 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
( f  e.  ( B  ^m  A )  /\  ( `' f
" ( B  \  { Z } ) ) 
C_  C )  /\  g  =  ( f  |`  C ) ) )  ->  ( f  |`  A )  =  f )
4137, 40eqtr2d 2496 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
( f  e.  ( B  ^m  A )  /\  ( `' f
" ( B  \  { Z } ) ) 
C_  C )  /\  g  =  ( f  |`  C ) ) )  ->  f  =  ( f  |`  ( C  u.  ( A  \  C
) ) ) )
42 resundi 5235 . . . . . . . 8  |-  ( f  |`  ( C  u.  ( A  \  C ) ) )  =  ( ( f  |`  C )  u.  ( f  |`  ( A  \  C ) ) )
4341, 42syl6eq 2511 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
( f  e.  ( B  ^m  A )  /\  ( `' f
" ( B  \  { Z } ) ) 
C_  C )  /\  g  =  ( f  |`  C ) ) )  ->  f  =  ( ( f  |`  C )  u.  ( f  |`  ( A  \  C ) ) ) )
44 eqcom 2463 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  =  ( f  |`  C )  <->  ( f  |`  C )  =  g )
4544imbi2i 312 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
( f  e.  ( B  ^m  A )  /\  ( `' f
" ( B  \  { Z } ) ) 
C_  C )  /\  g  =  ( f  |`  C ) ) )  ->  g  =  ( f  |`  C )
)  <->  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B
)  /\  ( (
f  e.  ( B  ^m  A )  /\  ( `' f " ( B  \  { Z }
) )  C_  C
)  /\  g  =  ( f  |`  C ) ) )  ->  (
f  |`  C )  =  g ) )
4617, 45mpbi 208 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
( f  e.  ( B  ^m  A )  /\  ( `' f
" ( B  \  { Z } ) ) 
C_  C )  /\  g  =  ( f  |`  C ) ) )  ->  ( f  |`  C )  =  g )
47 simprlr 762 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
( f  e.  ( B  ^m  A )  /\  ( `' f
" ( B  \  { Z } ) ) 
C_  C )  /\  g  =  ( f  |`  C ) ) )  ->  ( `' f
" ( B  \  { Z } ) ) 
C_  C )
4826ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
( f  e.  ( B  ^m  A )  /\  ( `' f
" ( B  \  { Z } ) ) 
C_  C )  /\  g  =  ( f  |`  C ) ) )  ->  A  e.  V
)
49 simplr 754 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
( f  e.  ( B  ^m  A )  /\  ( `' f
" ( B  \  { Z } ) ) 
C_  C )  /\  g  =  ( f  |`  C ) ) )  ->  Z  e.  B
)
50 eqid 2454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B 
\  { Z }
)  =  ( B 
\  { Z }
)
5150ffs2 26199 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  V  /\  Z  e.  B  /\  f : A --> B )  ->  ( f supp  Z
)  =  ( `' f " ( B 
\  { Z }
) ) )
5248, 49, 20, 51syl3anc 1219 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
( f  e.  ( B  ^m  A )  /\  ( `' f
" ( B  \  { Z } ) ) 
C_  C )  /\  g  =  ( f  |`  C ) ) )  ->  ( f supp  Z
)  =  ( `' f " ( B 
\  { Z }
) ) )
53 dfss1 3666 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( C 
C_  A  <->  ( A  i^i  C )  =  C )
5453biimpi 194 . . . . . . . . . . 11  |-  ( C 
C_  A  ->  ( A  i^i  C )  =  C )
5522, 54syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
( f  e.  ( B  ^m  A )  /\  ( `' f
" ( B  \  { Z } ) ) 
C_  C )  /\  g  =  ( f  |`  C ) ) )  ->  ( A  i^i  C )  =  C )
5647, 52, 553sstr4d 3510 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
( f  e.  ( B  ^m  A )  /\  ( `' f
" ( B  \  { Z } ) ) 
C_  C )  /\  g  =  ( f  |`  C ) ) )  ->  ( f supp  Z
)  C_  ( A  i^i  C ) )
57 simpl 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f  e.  ( B  ^m  A )  /\  Z  e.  B )  ->  f  e.  ( B  ^m  A ) )
5857, 19, 383syl 20 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f  e.  ( B  ^m  A )  /\  Z  e.  B )  ->  f  Fn  A )
59 inundif 3868 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  i^i  C )  u.  ( A  \  C ) )  =  A
6059fneq2i 5617 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  Fn  ( ( A  i^i  C )  u.  ( A  \  C
) )  <->  f  Fn  A )
6158, 60sylibr 212 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f  e.  ( B  ^m  A )  /\  Z  e.  B )  ->  f  Fn  ( ( A  i^i  C )  u.  ( A  \  C ) ) )
62 vex 3081 . . . . . . . . . . . 12  |-  f  e. 
_V
6362a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f  e.  ( B  ^m  A )  /\  Z  e.  B )  ->  f  e.  _V )
64 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f  e.  ( B  ^m  A )  /\  Z  e.  B )  ->  Z  e.  B )
65 inindif 26069 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  i^i  C )  i^i  ( A  \  C ) )  =  (/)
6665a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f  e.  ( B  ^m  A )  /\  Z  e.  B )  ->  ( ( A  i^i  C )  i^i  ( A 
\  C ) )  =  (/) )
67 fnsuppres 6829 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f  Fn  ( ( A  i^i  C )  u.  ( A  \  C ) )  /\  ( f  e.  _V  /\  Z  e.  B )  /\  ( ( A  i^i  C )  i^i  ( A  \  C
) )  =  (/) )  ->  ( ( f supp 
Z )  C_  ( A  i^i  C )  <->  ( f  |`  ( A  \  C
) )  =  ( ( A  \  C
)  X.  { Z } ) ) )
6861, 63, 64, 66, 67syl121anc 1224 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f  e.  ( B  ^m  A )  /\  Z  e.  B )  ->  ( ( f supp  Z
)  C_  ( A  i^i  C )  <->  ( f  |`  ( A  \  C
) )  =  ( ( A  \  C
)  X.  { Z } ) ) )
6918, 49, 68syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
( f  e.  ( B  ^m  A )  /\  ( `' f
" ( B  \  { Z } ) ) 
C_  C )  /\  g  =  ( f  |`  C ) ) )  ->  ( ( f supp 
Z )  C_  ( A  i^i  C )  <->  ( f  |`  ( A  \  C
) )  =  ( ( A  \  C
)  X.  { Z } ) ) )
7056, 69mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
( f  e.  ( B  ^m  A )  /\  ( `' f
" ( B  \  { Z } ) ) 
C_  C )  /\  g  =  ( f  |`  C ) ) )  ->  ( f  |`  ( A  \  C ) )  =  ( ( A  \  C )  X.  { Z }
) )
7146, 70uneq12d 3622 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
( f  e.  ( B  ^m  A )  /\  ( `' f
" ( B  \  { Z } ) ) 
C_  C )  /\  g  =  ( f  |`  C ) ) )  ->  ( ( f  |`  C )  u.  (
f  |`  ( A  \  C ) ) )  =  ( g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) ) )
7243, 71eqtrd 2495 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
( f  e.  ( B  ^m  A )  /\  ( `' f
" ( B  \  { Z } ) ) 
C_  C )  /\  g  =  ( f  |`  C ) ) )  ->  f  =  ( g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z }
) ) )
7333, 72jca 532 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
( f  e.  ( B  ^m  A )  /\  ( `' f
" ( B  \  { Z } ) ) 
C_  C )  /\  g  =  ( f  |`  C ) ) )  ->  ( g  e.  ( B  ^m  C
)  /\  f  =  ( g  u.  (
( A  \  C
)  X.  { Z } ) ) ) )
7473ex 434 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B
)  ->  ( (
( f  e.  ( B  ^m  A )  /\  ( `' f
" ( B  \  { Z } ) ) 
C_  C )  /\  g  =  ( f  |`  C ) )  -> 
( g  e.  ( B  ^m  C )  /\  f  =  ( g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z }
) ) ) ) )
7525ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
g  e.  ( B  ^m  C )  /\  f  =  ( g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) ) ) )  ->  B  e.  W )
7626ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
g  e.  ( B  ^m  C )  /\  f  =  ( g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) ) ) )  ->  A  e.  V )
774ad2ant2r 746 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
g  e.  ( B  ^m  C )  /\  f  =  ( g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) ) ) )  ->  g  e.  ( B  ^m  C ) )
78 elmapi 7347 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  e.  ( B  ^m  C )  ->  g : C --> B )
7977, 78syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
g  e.  ( B  ^m  C )  /\  f  =  ( g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) ) ) )  ->  g : C
--> B )
80 simplr 754 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
g  e.  ( B  ^m  C )  /\  f  =  ( g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) ) ) )  ->  Z  e.  B )
81 fconstg 5708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Z  e.  B  ->  (
( A  \  C
)  X.  { Z } ) : ( A  \  C ) --> { Z } )
82 snssi 4128 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Z  e.  B  ->  { Z }  C_  B )
83 fss 5678 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) : ( A  \  C ) --> { Z }  /\  { Z }  C_  B
)  ->  ( ( A  \  C )  X. 
{ Z } ) : ( A  \  C ) --> B )
8481, 82, 83syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( Z  e.  B  ->  (
( A  \  C
)  X.  { Z } ) : ( A  \  C ) --> B )
8580, 84syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
g  e.  ( B  ^m  C )  /\  f  =  ( g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) ) ) )  ->  ( ( A  \  C )  X. 
{ Z } ) : ( A  \  C ) --> B )
86 disjdif 3862 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  i^i  ( A  \  C ) )  =  (/)
8786a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
g  e.  ( B  ^m  C )  /\  f  =  ( g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) ) ) )  ->  ( C  i^i  ( A  \  C
) )  =  (/) )
88 fun2 5687 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( g : C --> B  /\  ( ( A 
\  C )  X. 
{ Z } ) : ( A  \  C ) --> B )  /\  ( C  i^i  ( A  \  C ) )  =  (/) )  -> 
( g  u.  (
( A  \  C
)  X.  { Z } ) ) : ( C  u.  ( A  \  C ) ) --> B )
8979, 85, 87, 88syl21anc 1218 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
g  e.  ( B  ^m  C )  /\  f  =  ( g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) ) ) )  ->  ( g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) ) : ( C  u.  ( A  \  C ) ) --> B )
90 simprr 756 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
g  e.  ( B  ^m  C )  /\  f  =  ( g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) ) ) )  ->  f  =  ( g  u.  (
( A  \  C
)  X.  { Z } ) ) )
9190eqcomd 2462 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
g  e.  ( B  ^m  C )  /\  f  =  ( g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) ) ) )  ->  ( g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) )  =  f )
9221ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
g  e.  ( B  ^m  C )  /\  f  =  ( g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) ) ) )  ->  C  C_  A
)
9392, 35syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
g  e.  ( B  ^m  C )  /\  f  =  ( g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) ) ) )  ->  ( C  u.  ( A  \  C
) )  =  A )
9491, 93feq12d 5659 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
g  e.  ( B  ^m  C )  /\  f  =  ( g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) ) ) )  ->  ( (
g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z }
) ) : ( C  u.  ( A 
\  C ) ) --> B  <->  f : A --> B ) )
9589, 94mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
g  e.  ( B  ^m  C )  /\  f  =  ( g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) ) ) )  ->  f : A
--> B )
96 elmapg 7340 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  W  /\  A  e.  V )  ->  ( f  e.  ( B  ^m  A )  <-> 
f : A --> B ) )
9796biimpar 485 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  e.  W  /\  A  e.  V
)  /\  f : A
--> B )  ->  f  e.  ( B  ^m  A
) )
9875, 76, 95, 97syl21anc 1218 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
g  e.  ( B  ^m  C )  /\  f  =  ( g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) ) ) )  ->  f  e.  ( B  ^m  A ) )
9976, 80, 95, 51syl3anc 1219 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
g  e.  ( B  ^m  C )  /\  f  =  ( g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) ) ) )  ->  ( f supp  Z )  =  ( `' f " ( B 
\  { Z }
) ) )
10090adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
g  e.  ( B  ^m  C )  /\  f  =  ( g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) ) ) )  /\  x  e.  ( A  \  C
) )  ->  f  =  ( g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) ) )
101100fveq1d 5804 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
g  e.  ( B  ^m  C )  /\  f  =  ( g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) ) ) )  /\  x  e.  ( A  \  C
) )  ->  (
f `  x )  =  ( ( g  u.  ( ( A 
\  C )  X. 
{ Z } ) ) `  x ) )
10279adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
g  e.  ( B  ^m  C )  /\  f  =  ( g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) ) ) )  /\  x  e.  ( A  \  C
) )  ->  g : C --> B )
103 ffn 5670 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g : C --> B  -> 
g  Fn  C )
104102, 103syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
g  e.  ( B  ^m  C )  /\  f  =  ( g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) ) ) )  /\  x  e.  ( A  \  C
) )  ->  g  Fn  C )
10581ad3antlr 730 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
g  e.  ( B  ^m  C )  /\  f  =  ( g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) ) ) )  /\  x  e.  ( A  \  C
) )  ->  (
( A  \  C
)  X.  { Z } ) : ( A  \  C ) --> { Z } )
106 ffn 5670 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  \  C
)  X.  { Z } ) : ( A  \  C ) --> { Z }  ->  ( ( A  \  C
)  X.  { Z } )  Fn  ( A  \  C ) )
107105, 106syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
g  e.  ( B  ^m  C )  /\  f  =  ( g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) ) ) )  /\  x  e.  ( A  \  C
) )  ->  (
( A  \  C
)  X.  { Z } )  Fn  ( A  \  C ) )
10886a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
g  e.  ( B  ^m  C )  /\  f  =  ( g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) ) ) )  /\  x  e.  ( A  \  C
) )  ->  ( C  i^i  ( A  \  C ) )  =  (/) )
109 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
g  e.  ( B  ^m  C )  /\  f  =  ( g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) ) ) )  /\  x  e.  ( A  \  C
) )  ->  x  e.  ( A  \  C
) )
110 fvun2 5875 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( g  Fn  C  /\  ( ( A  \  C )  X.  { Z } )  Fn  ( A  \  C )  /\  ( ( C  i^i  ( A  \  C ) )  =  (/)  /\  x  e.  ( A  \  C
) ) )  -> 
( ( g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) ) `  x )  =  ( ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) `  x
) )
111104, 107, 108, 109, 110syl112anc 1223 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
g  e.  ( B  ^m  C )  /\  f  =  ( g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) ) ) )  /\  x  e.  ( A  \  C
) )  ->  (
( g  u.  (
( A  \  C
)  X.  { Z } ) ) `  x )  =  ( ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) `  x
) )
112 fvconst 6009 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) : ( A  \  C ) --> { Z }  /\  x  e.  ( A  \  C ) )  -> 
( ( ( A 
\  C )  X. 
{ Z } ) `
 x )  =  Z )
113105, 109, 112syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
g  e.  ( B  ^m  C )  /\  f  =  ( g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) ) ) )  /\  x  e.  ( A  \  C
) )  ->  (
( ( A  \  C )  X.  { Z } ) `  x
)  =  Z )
114101, 111, 1133eqtrd 2499 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
g  e.  ( B  ^m  C )  /\  f  =  ( g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) ) ) )  /\  x  e.  ( A  \  C
) )  ->  (
f `  x )  =  Z )
11595, 114suppss 6832 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
g  e.  ( B  ^m  C )  /\  f  =  ( g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) ) ) )  ->  ( f supp  Z )  C_  C )
11699, 115eqsstr3d 3502 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
g  e.  ( B  ^m  C )  /\  f  =  ( g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) ) ) )  ->  ( `' f " ( B  \  { Z } ) ) 
C_  C )
11790reseq1d 5220 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
g  e.  ( B  ^m  C )  /\  f  =  ( g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) ) ) )  ->  ( f  |`  C )  =  ( ( g  u.  (
( A  \  C
)  X.  { Z } ) )  |`  C ) )
118 res0 5226 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  \  C
)  X.  { Z } )  |`  (/) )  =  (/)
119 res0 5226 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g  |`  (/) )  =  (/)
120118, 119eqtr4i 2486 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  \  C
)  X.  { Z } )  |`  (/) )  =  ( g  |`  (/) )
12186reseq2i 5218 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  \  C
)  X.  { Z } )  |`  ( C  i^i  ( A  \  C ) ) )  =  ( ( ( A  \  C )  X.  { Z }
)  |`  (/) )
12286reseq2i 5218 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  |`  ( C  i^i  ( A  \  C ) ) )  =  ( g  |`  (/) )
123120, 121, 1223eqtr4ri 2494 . . . . . . . . 9  |-  ( g  |`  ( C  i^i  ( A  \  C ) ) )  =  ( ( ( A  \  C
)  X.  { Z } )  |`  ( C  i^i  ( A  \  C ) ) )
124123a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
g  e.  ( B  ^m  C )  /\  f  =  ( g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) ) ) )  ->  ( g  |`  ( C  i^i  ( A  \  C ) ) )  =  ( ( ( A  \  C
)  X.  { Z } )  |`  ( C  i^i  ( A  \  C ) ) ) )
125 fresaunres1 5695 . . . . . . . 8  |-  ( ( g : C --> B  /\  ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) : ( A  \  C ) --> B  /\  ( g  |`  ( C  i^i  ( A  \  C ) ) )  =  ( ( ( A  \  C
)  X.  { Z } )  |`  ( C  i^i  ( A  \  C ) ) ) )  ->  ( (
g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z }
) )  |`  C )  =  g )
12679, 85, 124, 125syl3anc 1219 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
g  e.  ( B  ^m  C )  /\  f  =  ( g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) ) ) )  ->  ( (
g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z }
) )  |`  C )  =  g )
127117, 126eqtr2d 2496 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
g  e.  ( B  ^m  C )  /\  f  =  ( g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) ) ) )  ->  g  =  ( f  |`  C ) )
12898, 116, 127jca31 534 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
g  e.  ( B  ^m  C )  /\  f  =  ( g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) ) ) )  ->  ( (
f  e.  ( B  ^m  A )  /\  ( `' f " ( B  \  { Z }
) )  C_  C
)  /\  g  =  ( f  |`  C ) ) )
129128ex 434 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B
)  ->  ( (
g  e.  ( B  ^m  C )  /\  f  =  ( g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) ) )  ->  ( ( f  e.  ( B  ^m  A )  /\  ( `' f " ( B  \  { Z }
) )  C_  C
)  /\  g  =  ( f  |`  C ) ) ) )
13074, 129impbid 191 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B
)  ->  ( (
( f  e.  ( B  ^m  A )  /\  ( `' f
" ( B  \  { Z } ) ) 
C_  C )  /\  g  =  ( f  |`  C ) )  <->  ( g  e.  ( B  ^m  C
)  /\  f  =  ( g  u.  (
( A  \  C
)  X.  { Z } ) ) ) ) )
13116, 130syl5bb 257 . 2  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B
)  ->  ( (
f  e.  X  /\  g  =  ( f  |`  C ) )  <->  ( g  e.  ( B  ^m  C
)  /\  f  =  ( g  u.  (
( A  \  C
)  X.  { Z } ) ) ) ) )
1321, 3, 13, 131f1od 6423 1  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B
)  ->  F : X
-1-1-onto-> ( B  ^m  C ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   {crab 2803   _Vcvv 3078    \ cdif 3436    u. cun 3437    i^i cin 3438    C_ wss 3439   (/)c0 3748   {csn 3988    |-> cmpt 4461    X. cxp 4949   `'ccnv 4950    |` cres 4953   "cima 4954    Fn wfn 5524   -->wf 5525   -1-1-onto->wf1o 5528   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   supp csupp 6803    ^m cmap 7327
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-op 3995  df-uni 4203  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4747  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-supp 6804  df-map 7329
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