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Theorem resf1o 28309
Description: Restriction of functions to a superset of their support creates a bijection. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Sep-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
resf1o.1  |-  X  =  { f  e.  ( B  ^m  A )  |  ( `' f
" ( B  \  { Z } ) ) 
C_  C }
resf1o.2  |-  F  =  ( f  e.  X  |->  ( f  |`  C ) )
Assertion
Ref Expression
resf1o  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B
)  ->  F : X
-1-1-onto-> ( B  ^m  C ) )
Distinct variable groups:    A, f    B, f    C, f    f, V   
f, W    f, X    f, Z
Allowed substitution hint:    F( f)

Proof of Theorem resf1o
Dummy variables  g  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 resf1o.2 . 2  |-  F  =  ( f  e.  X  |->  ( f  |`  C ) )
2 resexg 5163 . . 3  |-  ( f  e.  X  ->  (
f  |`  C )  e. 
_V )
32adantl 467 . 2  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  f  e.  X )  ->  (
f  |`  C )  e. 
_V )
4 simpr 462 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  g  e.  ( B  ^m  C ) )  ->  g  e.  ( B  ^m  C ) )
5 difexg 4569 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  V  ->  ( A  \  C )  e. 
_V )
653ad2ant1 1026 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  -> 
( A  \  C
)  e.  _V )
7 snex 4659 . . . . . 6  |-  { Z }  e.  _V
8 xpexg 6604 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  \  C
)  e.  _V  /\  { Z }  e.  _V )  ->  ( ( A 
\  C )  X. 
{ Z } )  e.  _V )
96, 7, 8sylancl 666 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  -> 
( ( A  \  C )  X.  { Z } )  e.  _V )
109adantr 466 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  g  e.  ( B  ^m  C ) )  ->  ( ( A  \  C )  X. 
{ Z } )  e.  _V )
11 unexg 6603 . . . 4  |-  ( ( g  e.  ( B  ^m  C )  /\  ( ( A  \  C )  X.  { Z } )  e.  _V )  ->  ( g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) )  e. 
_V )
124, 10, 11syl2anc 665 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  g  e.  ( B  ^m  C ) )  ->  ( g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) )  e. 
_V )
1312adantlr 719 . 2  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  g  e.  ( B  ^m  C
) )  ->  (
g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z }
) )  e.  _V )
14 resf1o.1 . . . . 5  |-  X  =  { f  e.  ( B  ^m  A )  |  ( `' f
" ( B  \  { Z } ) ) 
C_  C }
1514rabeq2i 3078 . . . 4  |-  ( f  e.  X  <->  ( f  e.  ( B  ^m  A
)  /\  ( `' f " ( B  \  { Z } ) ) 
C_  C ) )
1615anbi1i 699 . . 3  |-  ( ( f  e.  X  /\  g  =  ( f  |`  C ) )  <->  ( (
f  e.  ( B  ^m  A )  /\  ( `' f " ( B  \  { Z }
) )  C_  C
)  /\  g  =  ( f  |`  C ) ) )
17 simprr 764 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
( f  e.  ( B  ^m  A )  /\  ( `' f
" ( B  \  { Z } ) ) 
C_  C )  /\  g  =  ( f  |`  C ) ) )  ->  g  =  ( f  |`  C )
)
18 simprll 770 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
( f  e.  ( B  ^m  A )  /\  ( `' f
" ( B  \  { Z } ) ) 
C_  C )  /\  g  =  ( f  |`  C ) ) )  ->  f  e.  ( B  ^m  A ) )
19 elmapi 7498 . . . . . . . . 9  |-  ( f  e.  ( B  ^m  A )  ->  f : A --> B )
2018, 19syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
( f  e.  ( B  ^m  A )  /\  ( `' f
" ( B  \  { Z } ) ) 
C_  C )  /\  g  =  ( f  |`  C ) ) )  ->  f : A --> B )
21 simp3 1007 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  ->  C  C_  A )
2221ad2antrr 730 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
( f  e.  ( B  ^m  A )  /\  ( `' f
" ( B  \  { Z } ) ) 
C_  C )  /\  g  =  ( f  |`  C ) ) )  ->  C  C_  A
)
2320, 22fssresd 5764 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
( f  e.  ( B  ^m  A )  /\  ( `' f
" ( B  \  { Z } ) ) 
C_  C )  /\  g  =  ( f  |`  C ) ) )  ->  ( f  |`  C ) : C --> B )
24 simp2 1006 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  ->  B  e.  W )
25 simp1 1005 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  ->  A  e.  V )
2625, 21ssexd 4568 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  ->  C  e.  _V )
27 elmapg 7490 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  W  /\  C  e.  _V )  ->  ( ( f  |`  C )  e.  ( B  ^m  C )  <-> 
( f  |`  C ) : C --> B ) )
2824, 26, 27syl2anc 665 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  -> 
( ( f  |`  C )  e.  ( B  ^m  C )  <-> 
( f  |`  C ) : C --> B ) )
2928ad2antrr 730 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
( f  e.  ( B  ^m  A )  /\  ( `' f
" ( B  \  { Z } ) ) 
C_  C )  /\  g  =  ( f  |`  C ) ) )  ->  ( ( f  |`  C )  e.  ( B  ^m  C )  <-> 
( f  |`  C ) : C --> B ) )
3023, 29mpbird 235 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
( f  e.  ( B  ^m  A )  /\  ( `' f
" ( B  \  { Z } ) ) 
C_  C )  /\  g  =  ( f  |`  C ) ) )  ->  ( f  |`  C )  e.  ( B  ^m  C ) )
3117, 30eqeltrd 2510 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
( f  e.  ( B  ^m  A )  /\  ( `' f
" ( B  \  { Z } ) ) 
C_  C )  /\  g  =  ( f  |`  C ) ) )  ->  g  e.  ( B  ^m  C ) )
32 undif 3876 . . . . . . . . . . 11  |-  ( C 
C_  A  <->  ( C  u.  ( A  \  C
) )  =  A )
3332biimpi 197 . . . . . . . . . 10  |-  ( C 
C_  A  ->  ( C  u.  ( A  \  C ) )  =  A )
3433reseq2d 5121 . . . . . . . . 9  |-  ( C 
C_  A  ->  (
f  |`  ( C  u.  ( A  \  C ) ) )  =  ( f  |`  A )
)
3522, 34syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
( f  e.  ( B  ^m  A )  /\  ( `' f
" ( B  \  { Z } ) ) 
C_  C )  /\  g  =  ( f  |`  C ) ) )  ->  ( f  |`  ( C  u.  ( A  \  C ) ) )  =  ( f  |`  A ) )
36 ffn 5743 . . . . . . . . 9  |-  ( f : A --> B  -> 
f  Fn  A )
37 fnresdm 5700 . . . . . . . . 9  |-  ( f  Fn  A  ->  (
f  |`  A )  =  f )
3820, 36, 373syl 18 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
( f  e.  ( B  ^m  A )  /\  ( `' f
" ( B  \  { Z } ) ) 
C_  C )  /\  g  =  ( f  |`  C ) ) )  ->  ( f  |`  A )  =  f )
3935, 38eqtr2d 2464 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
( f  e.  ( B  ^m  A )  /\  ( `' f
" ( B  \  { Z } ) ) 
C_  C )  /\  g  =  ( f  |`  C ) ) )  ->  f  =  ( f  |`  ( C  u.  ( A  \  C
) ) ) )
40 resundi 5134 . . . . . . 7  |-  ( f  |`  ( C  u.  ( A  \  C ) ) )  =  ( ( f  |`  C )  u.  ( f  |`  ( A  \  C ) ) )
4139, 40syl6eq 2479 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
( f  e.  ( B  ^m  A )  /\  ( `' f
" ( B  \  { Z } ) ) 
C_  C )  /\  g  =  ( f  |`  C ) ) )  ->  f  =  ( ( f  |`  C )  u.  ( f  |`  ( A  \  C ) ) ) )
4217eqcomd 2430 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
( f  e.  ( B  ^m  A )  /\  ( `' f
" ( B  \  { Z } ) ) 
C_  C )  /\  g  =  ( f  |`  C ) ) )  ->  ( f  |`  C )  =  g )
43 simprlr 771 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
( f  e.  ( B  ^m  A )  /\  ( `' f
" ( B  \  { Z } ) ) 
C_  C )  /\  g  =  ( f  |`  C ) ) )  ->  ( `' f
" ( B  \  { Z } ) ) 
C_  C )
4425ad2antrr 730 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
( f  e.  ( B  ^m  A )  /\  ( `' f
" ( B  \  { Z } ) ) 
C_  C )  /\  g  =  ( f  |`  C ) ) )  ->  A  e.  V
)
45 simplr 760 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
( f  e.  ( B  ^m  A )  /\  ( `' f
" ( B  \  { Z } ) ) 
C_  C )  /\  g  =  ( f  |`  C ) ) )  ->  Z  e.  B
)
46 eqid 2422 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B 
\  { Z }
)  =  ( B 
\  { Z }
)
4746ffs2 28307 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  V  /\  Z  e.  B  /\  f : A --> B )  ->  ( f supp  Z
)  =  ( `' f " ( B 
\  { Z }
) ) )
4844, 45, 20, 47syl3anc 1264 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
( f  e.  ( B  ^m  A )  /\  ( `' f
" ( B  \  { Z } ) ) 
C_  C )  /\  g  =  ( f  |`  C ) ) )  ->  ( f supp  Z
)  =  ( `' f " ( B 
\  { Z }
) ) )
49 dfss1 3667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( C 
C_  A  <->  ( A  i^i  C )  =  C )
5049biimpi 197 . . . . . . . . . 10  |-  ( C 
C_  A  ->  ( A  i^i  C )  =  C )
5122, 50syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
( f  e.  ( B  ^m  A )  /\  ( `' f
" ( B  \  { Z } ) ) 
C_  C )  /\  g  =  ( f  |`  C ) ) )  ->  ( A  i^i  C )  =  C )
5243, 48, 513sstr4d 3507 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
( f  e.  ( B  ^m  A )  /\  ( `' f
" ( B  \  { Z } ) ) 
C_  C )  /\  g  =  ( f  |`  C ) ) )  ->  ( f supp  Z
)  C_  ( A  i^i  C ) )
53 simpl 458 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f  e.  ( B  ^m  A )  /\  Z  e.  B )  ->  f  e.  ( B  ^m  A ) )
5453, 19, 363syl 18 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f  e.  ( B  ^m  A )  /\  Z  e.  B )  ->  f  Fn  A )
55 inundif 3873 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  i^i  C )  u.  ( A  \  C ) )  =  A
5655fneq2i 5686 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  Fn  ( ( A  i^i  C )  u.  ( A  \  C
) )  <->  f  Fn  A )
5754, 56sylibr 215 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f  e.  ( B  ^m  A )  /\  Z  e.  B )  ->  f  Fn  ( ( A  i^i  C )  u.  ( A  \  C ) ) )
58 vex 3084 . . . . . . . . . . 11  |-  f  e. 
_V
5958a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f  e.  ( B  ^m  A )  /\  Z  e.  B )  ->  f  e.  _V )
60 simpr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f  e.  ( B  ^m  A )  /\  Z  e.  B )  ->  Z  e.  B )
61 inindif 28137 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  i^i  C )  i^i  ( A  \  C ) )  =  (/)
6261a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f  e.  ( B  ^m  A )  /\  Z  e.  B )  ->  ( ( A  i^i  C )  i^i  ( A 
\  C ) )  =  (/) )
63 fnsuppres 6950 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f  Fn  ( ( A  i^i  C )  u.  ( A  \  C ) )  /\  ( f  e.  _V  /\  Z  e.  B )  /\  ( ( A  i^i  C )  i^i  ( A  \  C
) )  =  (/) )  ->  ( ( f supp 
Z )  C_  ( A  i^i  C )  <->  ( f  |`  ( A  \  C
) )  =  ( ( A  \  C
)  X.  { Z } ) ) )
6457, 59, 60, 62, 63syl121anc 1269 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f  e.  ( B  ^m  A )  /\  Z  e.  B )  ->  ( ( f supp  Z
)  C_  ( A  i^i  C )  <->  ( f  |`  ( A  \  C
) )  =  ( ( A  \  C
)  X.  { Z } ) ) )
6518, 45, 64syl2anc 665 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
( f  e.  ( B  ^m  A )  /\  ( `' f
" ( B  \  { Z } ) ) 
C_  C )  /\  g  =  ( f  |`  C ) ) )  ->  ( ( f supp 
Z )  C_  ( A  i^i  C )  <->  ( f  |`  ( A  \  C
) )  =  ( ( A  \  C
)  X.  { Z } ) ) )
6652, 65mpbid 213 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
( f  e.  ( B  ^m  A )  /\  ( `' f
" ( B  \  { Z } ) ) 
C_  C )  /\  g  =  ( f  |`  C ) ) )  ->  ( f  |`  ( A  \  C ) )  =  ( ( A  \  C )  X.  { Z }
) )
6742, 66uneq12d 3621 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
( f  e.  ( B  ^m  A )  /\  ( `' f
" ( B  \  { Z } ) ) 
C_  C )  /\  g  =  ( f  |`  C ) ) )  ->  ( ( f  |`  C )  u.  (
f  |`  ( A  \  C ) ) )  =  ( g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) ) )
6841, 67eqtrd 2463 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
( f  e.  ( B  ^m  A )  /\  ( `' f
" ( B  \  { Z } ) ) 
C_  C )  /\  g  =  ( f  |`  C ) ) )  ->  f  =  ( g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z }
) ) )
6931, 68jca 534 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
( f  e.  ( B  ^m  A )  /\  ( `' f
" ( B  \  { Z } ) ) 
C_  C )  /\  g  =  ( f  |`  C ) ) )  ->  ( g  e.  ( B  ^m  C
)  /\  f  =  ( g  u.  (
( A  \  C
)  X.  { Z } ) ) ) )
7024ad2antrr 730 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
g  e.  ( B  ^m  C )  /\  f  =  ( g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) ) ) )  ->  B  e.  W )
7125ad2antrr 730 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
g  e.  ( B  ^m  C )  /\  f  =  ( g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) ) ) )  ->  A  e.  V )
72 elmapi 7498 . . . . . . . . 9  |-  ( g  e.  ( B  ^m  C )  ->  g : C --> B )
7372ad2antrl 732 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
g  e.  ( B  ^m  C )  /\  f  =  ( g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) ) ) )  ->  g : C
--> B )
74 simplr 760 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
g  e.  ( B  ^m  C )  /\  f  =  ( g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) ) ) )  ->  Z  e.  B )
75 fconst6g 5786 . . . . . . . . 9  |-  ( Z  e.  B  ->  (
( A  \  C
)  X.  { Z } ) : ( A  \  C ) --> B )
7674, 75syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
g  e.  ( B  ^m  C )  /\  f  =  ( g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) ) ) )  ->  ( ( A  \  C )  X. 
{ Z } ) : ( A  \  C ) --> B )
77 disjdif 3867 . . . . . . . . 9  |-  ( C  i^i  ( A  \  C ) )  =  (/)
7877a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
g  e.  ( B  ^m  C )  /\  f  =  ( g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) ) ) )  ->  ( C  i^i  ( A  \  C
) )  =  (/) )
79 fun2 5761 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( g : C --> B  /\  ( ( A 
\  C )  X. 
{ Z } ) : ( A  \  C ) --> B )  /\  ( C  i^i  ( A  \  C ) )  =  (/) )  -> 
( g  u.  (
( A  \  C
)  X.  { Z } ) ) : ( C  u.  ( A  \  C ) ) --> B )
8073, 76, 78, 79syl21anc 1263 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
g  e.  ( B  ^m  C )  /\  f  =  ( g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) ) ) )  ->  ( g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) ) : ( C  u.  ( A  \  C ) ) --> B )
81 simprr 764 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
g  e.  ( B  ^m  C )  /\  f  =  ( g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) ) ) )  ->  f  =  ( g  u.  (
( A  \  C
)  X.  { Z } ) ) )
8281eqcomd 2430 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
g  e.  ( B  ^m  C )  /\  f  =  ( g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) ) ) )  ->  ( g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) )  =  f )
8321ad2antrr 730 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
g  e.  ( B  ^m  C )  /\  f  =  ( g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) ) ) )  ->  C  C_  A
)
8483, 33syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
g  e.  ( B  ^m  C )  /\  f  =  ( g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) ) ) )  ->  ( C  u.  ( A  \  C
) )  =  A )
8582, 84feq12d 5732 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
g  e.  ( B  ^m  C )  /\  f  =  ( g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) ) ) )  ->  ( (
g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z }
) ) : ( C  u.  ( A 
\  C ) ) --> B  <->  f : A --> B ) )
8680, 85mpbid 213 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
g  e.  ( B  ^m  C )  /\  f  =  ( g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) ) ) )  ->  f : A
--> B )
87 elmapg 7490 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  W  /\  A  e.  V )  ->  ( f  e.  ( B  ^m  A )  <-> 
f : A --> B ) )
8887biimpar 487 . . . . . 6  |-  ( ( ( B  e.  W  /\  A  e.  V
)  /\  f : A
--> B )  ->  f  e.  ( B  ^m  A
) )
8970, 71, 86, 88syl21anc 1263 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
g  e.  ( B  ^m  C )  /\  f  =  ( g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) ) ) )  ->  f  e.  ( B  ^m  A ) )
9071, 74, 86, 47syl3anc 1264 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
g  e.  ( B  ^m  C )  /\  f  =  ( g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) ) ) )  ->  ( f supp  Z )  =  ( `' f " ( B 
\  { Z }
) ) )
9181adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
g  e.  ( B  ^m  C )  /\  f  =  ( g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) ) ) )  /\  x  e.  ( A  \  C
) )  ->  f  =  ( g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) ) )
9291fveq1d 5880 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
g  e.  ( B  ^m  C )  /\  f  =  ( g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) ) ) )  /\  x  e.  ( A  \  C
) )  ->  (
f `  x )  =  ( ( g  u.  ( ( A 
\  C )  X. 
{ Z } ) ) `  x ) )
9373adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
g  e.  ( B  ^m  C )  /\  f  =  ( g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) ) ) )  /\  x  e.  ( A  \  C
) )  ->  g : C --> B )
94 ffn 5743 . . . . . . . . . 10  |-  ( g : C --> B  -> 
g  Fn  C )
9593, 94syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
g  e.  ( B  ^m  C )  /\  f  =  ( g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) ) ) )  /\  x  e.  ( A  \  C
) )  ->  g  Fn  C )
96 fconstg 5784 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Z  e.  B  ->  (
( A  \  C
)  X.  { Z } ) : ( A  \  C ) --> { Z } )
9796ad3antlr 735 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
g  e.  ( B  ^m  C )  /\  f  =  ( g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) ) ) )  /\  x  e.  ( A  \  C
) )  ->  (
( A  \  C
)  X.  { Z } ) : ( A  \  C ) --> { Z } )
98 ffn 5743 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  \  C
)  X.  { Z } ) : ( A  \  C ) --> { Z }  ->  ( ( A  \  C
)  X.  { Z } )  Fn  ( A  \  C ) )
9997, 98syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
g  e.  ( B  ^m  C )  /\  f  =  ( g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) ) ) )  /\  x  e.  ( A  \  C
) )  ->  (
( A  \  C
)  X.  { Z } )  Fn  ( A  \  C ) )
10077a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
g  e.  ( B  ^m  C )  /\  f  =  ( g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) ) ) )  /\  x  e.  ( A  \  C
) )  ->  ( C  i^i  ( A  \  C ) )  =  (/) )
101 simpr 462 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
g  e.  ( B  ^m  C )  /\  f  =  ( g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) ) ) )  /\  x  e.  ( A  \  C
) )  ->  x  e.  ( A  \  C
) )
102 fvun2 5950 . . . . . . . . 9  |-  ( ( g  Fn  C  /\  ( ( A  \  C )  X.  { Z } )  Fn  ( A  \  C )  /\  ( ( C  i^i  ( A  \  C ) )  =  (/)  /\  x  e.  ( A  \  C
) ) )  -> 
( ( g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) ) `  x )  =  ( ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) `  x
) )
10395, 99, 100, 101, 102syl112anc 1268 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
g  e.  ( B  ^m  C )  /\  f  =  ( g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) ) ) )  /\  x  e.  ( A  \  C
) )  ->  (
( g  u.  (
( A  \  C
)  X.  { Z } ) ) `  x )  =  ( ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) `  x
) )
104 fvconst 6094 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) : ( A  \  C ) --> { Z }  /\  x  e.  ( A  \  C ) )  -> 
( ( ( A 
\  C )  X. 
{ Z } ) `
 x )  =  Z )
10597, 101, 104syl2anc 665 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
g  e.  ( B  ^m  C )  /\  f  =  ( g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) ) ) )  /\  x  e.  ( A  \  C
) )  ->  (
( ( A  \  C )  X.  { Z } ) `  x
)  =  Z )
10692, 103, 1053eqtrd 2467 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
g  e.  ( B  ^m  C )  /\  f  =  ( g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) ) ) )  /\  x  e.  ( A  \  C
) )  ->  (
f `  x )  =  Z )
10786, 106suppss 6953 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
g  e.  ( B  ^m  C )  /\  f  =  ( g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) ) ) )  ->  ( f supp  Z )  C_  C )
10890, 107eqsstr3d 3499 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
g  e.  ( B  ^m  C )  /\  f  =  ( g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) ) ) )  ->  ( `' f " ( B  \  { Z } ) ) 
C_  C )
10981reseq1d 5120 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
g  e.  ( B  ^m  C )  /\  f  =  ( g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) ) ) )  ->  ( f  |`  C )  =  ( ( g  u.  (
( A  \  C
)  X.  { Z } ) )  |`  C ) )
110 res0 5125 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  \  C
)  X.  { Z } )  |`  (/) )  =  (/)
111 res0 5125 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  |`  (/) )  =  (/)
112110, 111eqtr4i 2454 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  \  C
)  X.  { Z } )  |`  (/) )  =  ( g  |`  (/) )
11377reseq2i 5118 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  \  C
)  X.  { Z } )  |`  ( C  i^i  ( A  \  C ) ) )  =  ( ( ( A  \  C )  X.  { Z }
)  |`  (/) )
11477reseq2i 5118 . . . . . . . . 9  |-  ( g  |`  ( C  i^i  ( A  \  C ) ) )  =  ( g  |`  (/) )
115112, 113, 1143eqtr4ri 2462 . . . . . . . 8  |-  ( g  |`  ( C  i^i  ( A  \  C ) ) )  =  ( ( ( A  \  C
)  X.  { Z } )  |`  ( C  i^i  ( A  \  C ) ) )
116115a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
g  e.  ( B  ^m  C )  /\  f  =  ( g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) ) ) )  ->  ( g  |`  ( C  i^i  ( A  \  C ) ) )  =  ( ( ( A  \  C
)  X.  { Z } )  |`  ( C  i^i  ( A  \  C ) ) ) )
117 fresaunres1 5770 . . . . . . 7  |-  ( ( g : C --> B  /\  ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) : ( A  \  C ) --> B  /\  ( g  |`  ( C  i^i  ( A  \  C ) ) )  =  ( ( ( A  \  C
)  X.  { Z } )  |`  ( C  i^i  ( A  \  C ) ) ) )  ->  ( (
g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z }
) )  |`  C )  =  g )
11873, 76, 116, 117syl3anc 1264 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
g  e.  ( B  ^m  C )  /\  f  =  ( g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) ) ) )  ->  ( (
g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z }
) )  |`  C )  =  g )
119109, 118eqtr2d 2464 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
g  e.  ( B  ^m  C )  /\  f  =  ( g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) ) ) )  ->  g  =  ( f  |`  C ) )
12089, 108, 119jca31 536 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B )  /\  (
g  e.  ( B  ^m  C )  /\  f  =  ( g  u.  ( ( A  \  C )  X.  { Z } ) ) ) )  ->  ( (
f  e.  ( B  ^m  A )  /\  ( `' f " ( B  \  { Z }
) )  C_  C
)  /\  g  =  ( f  |`  C ) ) )
12169, 120impbida 840 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B
)  ->  ( (
( f  e.  ( B  ^m  A )  /\  ( `' f
" ( B  \  { Z } ) ) 
C_  C )  /\  g  =  ( f  |`  C ) )  <->  ( g  e.  ( B  ^m  C
)  /\  f  =  ( g  u.  (
( A  \  C
)  X.  { Z } ) ) ) ) )
12216, 121syl5bb 260 . 2  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B
)  ->  ( (
f  e.  X  /\  g  =  ( f  |`  C ) )  <->  ( g  e.  ( B  ^m  C
)  /\  f  =  ( g  u.  (
( A  \  C
)  X.  { Z } ) ) ) ) )
1231, 3, 13, 122f1od 6530 1  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  C_  A )  /\  Z  e.  B
)  ->  F : X
-1-1-onto-> ( B  ^m  C ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1868   {crab 2779   _Vcvv 3081    \ cdif 3433    u. cun 3434    i^i cin 3435    C_ wss 3436   (/)c0 3761   {csn 3996    |-> cmpt 4479    X. cxp 4848   `'ccnv 4849    |` cres 4852   "cima 4853    Fn wfn 5593   -->wf 5594   -1-1-onto->wf1o 5597   ` cfv 5598  (class class class)co 6302   supp csupp 6922    ^m cmap 7477
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4552  ax-pow 4599  ax-pr 4657  ax-un 6594
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-op 4003  df-uni 4217  df-iun 4298  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-id 4765  df-xp 4856  df-rel 4857  df-cnv 4858  df-co 4859  df-dm 4860  df-rn 4861  df-res 4862  df-ima 4863  df-iota 5562  df-fun 5600  df-fn 5601  df-f 5602  df-f1 5603  df-fo 5604  df-f1o 5605  df-fv 5606  df-ov 6305  df-oprab 6306  df-mpt2 6307  df-1st 6804  df-2nd 6805  df-supp 6923  df-map 7479
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