Theorem resexg 4250

Description: The restriction of a set is a set. (The proof was shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
resexg	|- (A e. C -> (A |` B) e. _V)

Proof of Theorem resexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resss 4237	. 2 |- (A |` B) C_ A
2		ssexg 3457	. 2 |- (((A |` B) C_ A /\ A e. C) -> (A |` B) e. _V)
3	1, 2	mpan 759	1 |- (A e. C -> (A |` B) e. _V)

Syntax hints:   -> wi 3   e. wcel 1300  _Vcvv 2292   C_ wss 2593   |` cres 3988

This theorem is referenced by:  ac6sfi 5509  mapunen 5596  php3 5609  ssfi 5630  fodomfi 5656  seq1res 7740  seq0fval 7778  seqzfval 7780  seqzresval 7802  seqzres 7803  dfseq0 7806  climresi 8365  clim2serzi 8405  ruclem5 8783  metreslem 9099  ssga 9455  fbssint 10279  hhssva 10762  hhsssm 10763  hhssnm 10764  hhshsslem1 10770  hhsssh2 10773  seqzresval2 13616  seq1resval 13617  seq1resval2 13618  axfelem15 14045  prjmapcp 14507  prjnpl 14510  prjmapcp2 14515  nZdef 14527  resex 15698  sdc 15811  cnres 15889  sstotbnd 15936  reheibor 16025  exidres 16031  exidresid 16032

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-v 2294  df-in 2603  df-ss 2605  df-res 4006

Copyright terms: Public domain