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Theorem rescon 30041
Description: A subset of  RR is simply connected iff it is connected. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
rescon.1  |-  J  =  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A )
Assertion
Ref Expression
rescon  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( J  e. SCon 
<->  J  e.  Con )
)

Proof of Theorem rescon
Dummy variables  t 
s  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sconpcon 30022 . . 3  |-  ( J  e. SCon  ->  J  e. PCon )
2 pconcon 30026 . . 3  |-  ( J  e. PCon  ->  J  e.  Con )
31, 2syl 17 . 2  |-  ( J  e. SCon  ->  J  e.  Con )
4 eqid 2471 . . . . . . 7  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
5 eqid 2471 . . . . . . 7  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  (
topGen `  ran  (,) )
64, 5rerest 21900 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( (
TopOpen ` fld )t  A )  =  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) )
7 rescon.1 . . . . . 6  |-  J  =  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A )
86, 7syl6eqr 2523 . . . . 5  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( (
TopOpen ` fld )t  A )  =  J )
98adantr 472 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  ->  (
( TopOpen ` fld )t  A )  =  J )
10 simpl 464 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  ->  A  C_  RR )
11 ax-resscn 9614 . . . . . 6  |-  RR  C_  CC
1210, 11syl6ss 3430 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  ->  A  C_  CC )
13 df-3an 1009 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) )  <-> 
( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1
) ) )
14 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  x  ->  (
t  x.  z )  =  ( t  x.  x ) )
15 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  y  ->  (
( 1  -  t
)  x.  w )  =  ( ( 1  -  t )  x.  y ) )
1614, 15oveqan12d 6327 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  =  x  /\  w  =  y )  ->  ( ( t  x.  z )  +  ( ( 1  -  t
)  x.  w ) )  =  ( ( t  x.  x )  +  ( ( 1  -  t )  x.  y ) ) )
1716eleq1d 2533 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  =  x  /\  w  =  y )  ->  ( ( ( t  x.  z )  +  ( ( 1  -  t )  x.  w
) )  e.  A  <->  ( ( t  x.  x
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  y ) )  e.  A ) )
1817ralbidv 2829 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  =  x  /\  w  =  y )  ->  ( A. t  e.  ( 0 [,] 1
) ( ( t  x.  z )  +  ( ( 1  -  t )  x.  w
) )  e.  A  <->  A. t  e.  ( 0 [,] 1 ) ( ( t  x.  x
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  y ) )  e.  A ) )
19 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  y  ->  (
t  x.  z )  =  ( t  x.  y ) )
20 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  x  ->  (
( 1  -  t
)  x.  w )  =  ( ( 1  -  t )  x.  x ) )
2119, 20oveqan12d 6327 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  =  y  /\  w  =  x )  ->  ( ( t  x.  z )  +  ( ( 1  -  t
)  x.  w ) )  =  ( ( t  x.  y )  +  ( ( 1  -  t )  x.  x ) ) )
2221eleq1d 2533 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  =  y  /\  w  =  x )  ->  ( ( ( t  x.  z )  +  ( ( 1  -  t )  x.  w
) )  e.  A  <->  ( ( t  x.  y
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  x ) )  e.  A ) )
2322ralbidv 2829 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  =  y  /\  w  =  x )  ->  ( A. t  e.  ( 0 [,] 1
) ( ( t  x.  z )  +  ( ( 1  -  t )  x.  w
) )  e.  A  <->  A. t  e.  ( 0 [,] 1 ) ( ( t  x.  y
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  x ) )  e.  A ) )
24 unitssre 11805 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 0 [,] 1 )  C_  RR
2524, 11sstri 3427 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 0 [,] 1 )  C_  CC
26 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) )  /\  s  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  s  e.  ( 0 [,] 1 ) )
2725, 26sseldi 3416 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) )  /\  s  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  s  e.  CC )
2812adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_  y ) )  ->  A  C_  CC )
29 simpr2 1037 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_  y ) )  ->  y  e.  A )
3028, 29sseldd 3419 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_  y ) )  ->  y  e.  CC )
3130adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) )  /\  s  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  y  e.  CC )
3227, 31mulcld 9681 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) )  /\  s  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( s  x.  y )  e.  CC )
33 ax-1cn 9615 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  e.  CC
34 subcl 9894 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  s  e.  CC )  ->  ( 1  -  s
)  e.  CC )
3533, 27, 34sylancr 676 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) )  /\  s  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( 1  -  s )  e.  CC )
36 simpr1 1036 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_  y ) )  ->  x  e.  A )
3728, 36sseldd 3419 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_  y ) )  ->  x  e.  CC )
3837adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) )  /\  s  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  x  e.  CC )
3935, 38mulcld 9681 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) )  /\  s  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( ( 1  -  s )  x.  x )  e.  CC )
4032, 39addcomd 9853 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) )  /\  s  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( ( s  x.  y )  +  ( ( 1  -  s )  x.  x
) )  =  ( ( ( 1  -  s )  x.  x
)  +  ( s  x.  y ) ) )
41 nncan 9923 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  s  e.  CC )  ->  ( 1  -  (
1  -  s ) )  =  s )
4233, 27, 41sylancr 676 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) )  /\  s  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( 1  -  ( 1  -  s
) )  =  s )
4342oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) )  /\  s  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( ( 1  -  ( 1  -  s ) )  x.  y )  =  ( s  x.  y ) )
4443oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) )  /\  s  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( ( ( 1  -  s )  x.  x )  +  ( ( 1  -  ( 1  -  s
) )  x.  y
) )  =  ( ( ( 1  -  s )  x.  x
)  +  ( s  x.  y ) ) )
4540, 44eqtr4d 2508 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) )  /\  s  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( ( s  x.  y )  +  ( ( 1  -  s )  x.  x
) )  =  ( ( ( 1  -  s )  x.  x
)  +  ( ( 1  -  ( 1  -  s ) )  x.  y ) ) )
46 iirev 22035 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( s  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  (
1  -  s )  e.  ( 0 [,] 1 ) )
4746adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) )  /\  s  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( 1  -  s )  e.  ( 0 [,] 1 ) )
487eleq1i 2540 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( J  e.  Con  <->  ( ( topGen `
 ran  (,) )t  A
)  e.  Con )
49 reconn 21924 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  e.  Con  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x [,] y )  C_  A
) )
5048, 49syl5bb 265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( J  e.  Con  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x [,] y )  C_  A
) )
5150biimpa 492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x [,] y )  C_  A
)
5251r19.21bi 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  x  e.  A
)  ->  A. y  e.  A  ( x [,] y )  C_  A
)
5352r19.21bi 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  x  e.  A
)  /\  y  e.  A )  ->  (
x [,] y ) 
C_  A )
5453anasss 659 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A
) )  ->  (
x [,] y ) 
C_  A )
55543adantr3 1191 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_  y ) )  ->  ( x [,] y )  C_  A
)
5655adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( x [,] y )  C_  A
)
57 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  t  e.  ( 0 [,] 1 ) )
5824, 57sseldi 3416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  t  e.  RR )
59 simplll 776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  A  C_  RR )
6036adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  x  e.  A
)
6159, 60sseldd 3419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  x  e.  RR )
6258, 61remulcld 9689 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( t  x.  x )  e.  RR )
63 1re 9660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  1  e.  RR
64 resubcl 9958 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  t  e.  RR )  ->  ( 1  -  t
)  e.  RR )
6563, 58, 64sylancr 676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( 1  -  t )  e.  RR )
6629adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  y  e.  A
)
6759, 66sseldd 3419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  y  e.  RR )
6865, 67remulcld 9689 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( ( 1  -  t )  x.  y )  e.  RR )
6962, 68readdcld 9688 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( ( t  x.  x )  +  ( ( 1  -  t )  x.  y
) )  e.  RR )
7058recnd 9687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  t  e.  CC )
71 pncan3 9903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( t  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( t  +  ( 1  -  t ) )  =  1 )
7270, 33, 71sylancl 675 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( t  +  ( 1  -  t
) )  =  1 )
7372oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( ( t  +  ( 1  -  t ) )  x.  x )  =  ( 1  x.  x ) )
7465recnd 9687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( 1  -  t )  e.  CC )
7537adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  x  e.  CC )
7670, 74, 75adddird 9686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( ( t  +  ( 1  -  t ) )  x.  x )  =  ( ( t  x.  x
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  x ) ) )
7775mulid2d 9679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( 1  x.  x )  =  x )
7873, 76, 773eqtr3d 2513 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( ( t  x.  x )  +  ( ( 1  -  t )  x.  x
) )  =  x )
7965, 61remulcld 9689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( ( 1  -  t )  x.  x )  e.  RR )
80 0re 9661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  0  e.  RR
8180, 63elicc2i 11725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( t  e.  ( 0 [,] 1 )  <->  ( t  e.  RR  /\  0  <_ 
t  /\  t  <_  1 ) )
8257, 81sylib 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( t  e.  RR  /\  0  <_ 
t  /\  t  <_  1 ) )
8382simp3d 1044 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  t  <_  1
)
84 subge0 10148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  t  e.  RR )  ->  ( 0  <_  (
1  -  t )  <-> 
t  <_  1 ) )
8563, 58, 84sylancr 676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( 0  <_ 
( 1  -  t
)  <->  t  <_  1
) )
8683, 85mpbird 240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  0  <_  (
1  -  t ) )
87 simplr3 1074 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  x  <_  y
)
8861, 67, 65, 86, 87lemul2ad 10569 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( ( 1  -  t )  x.  x )  <_  (
( 1  -  t
)  x.  y ) )
8979, 68, 62, 88leadd2dd 10249 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( ( t  x.  x )  +  ( ( 1  -  t )  x.  x
) )  <_  (
( t  x.  x
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  y ) ) )
9078, 89eqbrtrrd 4418 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  x  <_  (
( t  x.  x
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  y ) ) )
9158, 67remulcld 9689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( t  x.  y )  e.  RR )
9282simp2d 1043 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  0  <_  t
)
9361, 67, 58, 92, 87lemul2ad 10569 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( t  x.  x )  <_  (
t  x.  y ) )
9462, 91, 68, 93leadd1dd 10248 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( ( t  x.  x )  +  ( ( 1  -  t )  x.  y
) )  <_  (
( t  x.  y
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  y ) ) )
9572oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( ( t  +  ( 1  -  t ) )  x.  y )  =  ( 1  x.  y ) )
9630adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  y  e.  CC )
9770, 74, 96adddird 9686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( ( t  +  ( 1  -  t ) )  x.  y )  =  ( ( t  x.  y
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  y ) ) )
9896mulid2d 9679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( 1  x.  y )  =  y )
9995, 97, 983eqtr3d 2513 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( ( t  x.  y )  +  ( ( 1  -  t )  x.  y
) )  =  y )
10094, 99breqtrd 4420 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( ( t  x.  x )  +  ( ( 1  -  t )  x.  y
) )  <_  y
)
101 elicc2 11724 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( ( t  x.  x )  +  ( ( 1  -  t )  x.  y
) )  e.  ( x [,] y )  <-> 
( ( ( t  x.  x )  +  ( ( 1  -  t )  x.  y
) )  e.  RR  /\  x  <_  ( (
t  x.  x )  +  ( ( 1  -  t )  x.  y ) )  /\  ( ( t  x.  x )  +  ( ( 1  -  t
)  x.  y ) )  <_  y )
) )
10261, 67, 101syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( ( ( t  x.  x )  +  ( ( 1  -  t )  x.  y ) )  e.  ( x [,] y
)  <->  ( ( ( t  x.  x )  +  ( ( 1  -  t )  x.  y ) )  e.  RR  /\  x  <_ 
( ( t  x.  x )  +  ( ( 1  -  t
)  x.  y ) )  /\  ( ( t  x.  x )  +  ( ( 1  -  t )  x.  y ) )  <_ 
y ) ) )
10369, 90, 100, 102mpbir3and 1213 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( ( t  x.  x )  +  ( ( 1  -  t )  x.  y
) )  e.  ( x [,] y ) )
10456, 103sseldd 3419 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( ( t  x.  x )  +  ( ( 1  -  t )  x.  y
) )  e.  A
)
105104ralrimiva 2809 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_  y ) )  ->  A. t  e.  ( 0 [,] 1
) ( ( t  x.  x )  +  ( ( 1  -  t )  x.  y
) )  e.  A
)
106105adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) )  /\  s  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  A. t  e.  ( 0 [,] 1 ) ( ( t  x.  x )  +  ( ( 1  -  t
)  x.  y ) )  e.  A )
107 oveq1 6315 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( t  =  ( 1  -  s )  ->  (
t  x.  x )  =  ( ( 1  -  s )  x.  x ) )
108 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( t  =  ( 1  -  s )  ->  (
1  -  t )  =  ( 1  -  ( 1  -  s
) ) )
109108oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( t  =  ( 1  -  s )  ->  (
( 1  -  t
)  x.  y )  =  ( ( 1  -  ( 1  -  s ) )  x.  y ) )
110107, 109oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( t  =  ( 1  -  s )  ->  (
( t  x.  x
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  y ) )  =  ( ( ( 1  -  s )  x.  x )  +  ( ( 1  -  ( 1  -  s
) )  x.  y
) ) )
111110eleq1d 2533 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  =  ( 1  -  s )  ->  (
( ( t  x.  x )  +  ( ( 1  -  t
)  x.  y ) )  e.  A  <->  ( (
( 1  -  s
)  x.  x )  +  ( ( 1  -  ( 1  -  s ) )  x.  y ) )  e.  A ) )
112111rspcv 3132 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1  -  s )  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  ( A. t  e.  (
0 [,] 1 ) ( ( t  x.  x )  +  ( ( 1  -  t
)  x.  y ) )  e.  A  -> 
( ( ( 1  -  s )  x.  x )  +  ( ( 1  -  (
1  -  s ) )  x.  y ) )  e.  A ) )
11347, 106, 112sylc 61 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) )  /\  s  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( ( ( 1  -  s )  x.  x )  +  ( ( 1  -  ( 1  -  s
) )  x.  y
) )  e.  A
)
11445, 113eqeltrd 2549 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) )  /\  s  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( ( s  x.  y )  +  ( ( 1  -  s )  x.  x
) )  e.  A
)
115114ralrimiva 2809 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_  y ) )  ->  A. s  e.  ( 0 [,] 1
) ( ( s  x.  y )  +  ( ( 1  -  s )  x.  x
) )  e.  A
)
116 oveq1 6315 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  =  t  ->  (
s  x.  y )  =  ( t  x.  y ) )
117 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( s  =  t  ->  (
1  -  s )  =  ( 1  -  t ) )
118117oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  =  t  ->  (
( 1  -  s
)  x.  x )  =  ( ( 1  -  t )  x.  x ) )
119116, 118oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  =  t  ->  (
( s  x.  y
)  +  ( ( 1  -  s )  x.  x ) )  =  ( ( t  x.  y )  +  ( ( 1  -  t )  x.  x
) ) )
120119eleq1d 2533 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  =  t  ->  (
( ( s  x.  y )  +  ( ( 1  -  s
)  x.  x ) )  e.  A  <->  ( (
t  x.  y )  +  ( ( 1  -  t )  x.  x ) )  e.  A ) )
121120cbvralv 3005 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. s  e.  ( 0 [,] 1 ) ( ( s  x.  y
)  +  ( ( 1  -  s )  x.  x ) )  e.  A  <->  A. t  e.  ( 0 [,] 1
) ( ( t  x.  y )  +  ( ( 1  -  t )  x.  x
) )  e.  A
)
122115, 121sylib 201 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_  y ) )  ->  A. t  e.  ( 0 [,] 1
) ( ( t  x.  y )  +  ( ( 1  -  t )  x.  x
) )  e.  A
)
12318, 23, 10, 122, 105wloglei 10167 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A
) )  ->  A. t  e.  ( 0 [,] 1
) ( ( t  x.  x )  +  ( ( 1  -  t )  x.  y
) )  e.  A
)
124123r19.21bi 2776 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( ( t  x.  x )  +  ( ( 1  -  t )  x.  y
) )  e.  A
)
125124anasss 659 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( ( t  x.  x )  +  ( ( 1  -  t
)  x.  y ) )  e.  A )
12613, 125sylan2b 483 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  t  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  (
( t  x.  x
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  y ) )  e.  A )
127 eqid 2471 . . . . 5  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  A )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  A )
12812, 126, 4, 127cvxscon 30038 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  ->  (
( TopOpen ` fld )t  A )  e. SCon )
1299, 128eqeltrrd 2550 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  ->  J  e. SCon )
130129ex 441 . 2  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( J  e.  Con  ->  J  e. SCon ) )
1313, 130impbid2 209 1  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( J  e. SCon 
<->  J  e.  Con )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904   A.wral 2756    C_ wss 3390   class class class wbr 4395   ran crn 4840   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558    + caddc 9560    x. cmul 9562    <_ cle 9694    - cmin 9880   (,)cioo 11660   [,]cicc 11663   ↾t crest 15397   TopOpenctopn 15398   topGenctg 15414  ℂfldccnfld 19047   Conccon 20503  PConcpcon 30014  SConcscon 30015
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-con 20504  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-ii 21987  df-htpy 22079  df-phtpy 22080  df-phtpc 22101  df-pcon 30016  df-scon 30017
This theorem is referenced by:  iooscon  30042  iccscon  30043  iccllyscon  30045
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