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Theorem rescon 27133
Description: A subset of  RR is simply connected iff it is connected. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
rescon.1  |-  J  =  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A )
Assertion
Ref Expression
rescon  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( J  e. SCon 
<->  J  e.  Con )
)

Proof of Theorem rescon
Dummy variables  t 
s  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sconpcon 27114 . . 3  |-  ( J  e. SCon  ->  J  e. PCon )
2 pconcon 27118 . . 3  |-  ( J  e. PCon  ->  J  e.  Con )
31, 2syl 16 . 2  |-  ( J  e. SCon  ->  J  e.  Con )
4 eqid 2441 . . . . . . 7  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
5 eqid 2441 . . . . . . 7  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  (
topGen `  ran  (,) )
64, 5rerest 20379 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( (
TopOpen ` fld )t  A )  =  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) )
7 rescon.1 . . . . . 6  |-  J  =  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A )
86, 7syl6eqr 2491 . . . . 5  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( (
TopOpen ` fld )t  A )  =  J )
98adantr 465 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  ->  (
( TopOpen ` fld )t  A )  =  J )
10 simpl 457 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  ->  A  C_  RR )
11 ax-resscn 9337 . . . . . 6  |-  RR  C_  CC
1210, 11syl6ss 3366 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  ->  A  C_  CC )
13 df-3an 967 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) )  <-> 
( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1
) ) )
14 oveq2 6097 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  x  ->  (
t  x.  z )  =  ( t  x.  x ) )
15 oveq2 6097 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  y  ->  (
( 1  -  t
)  x.  w )  =  ( ( 1  -  t )  x.  y ) )
1614, 15oveqan12d 6108 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  =  x  /\  w  =  y )  ->  ( ( t  x.  z )  +  ( ( 1  -  t
)  x.  w ) )  =  ( ( t  x.  x )  +  ( ( 1  -  t )  x.  y ) ) )
1716eleq1d 2507 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  =  x  /\  w  =  y )  ->  ( ( ( t  x.  z )  +  ( ( 1  -  t )  x.  w
) )  e.  A  <->  ( ( t  x.  x
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  y ) )  e.  A ) )
1817ralbidv 2733 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  =  x  /\  w  =  y )  ->  ( A. t  e.  ( 0 [,] 1
) ( ( t  x.  z )  +  ( ( 1  -  t )  x.  w
) )  e.  A  <->  A. t  e.  ( 0 [,] 1 ) ( ( t  x.  x
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  y ) )  e.  A ) )
19 oveq2 6097 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  y  ->  (
t  x.  z )  =  ( t  x.  y ) )
20 oveq2 6097 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  x  ->  (
( 1  -  t
)  x.  w )  =  ( ( 1  -  t )  x.  x ) )
2119, 20oveqan12d 6108 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  =  y  /\  w  =  x )  ->  ( ( t  x.  z )  +  ( ( 1  -  t
)  x.  w ) )  =  ( ( t  x.  y )  +  ( ( 1  -  t )  x.  x ) ) )
2221eleq1d 2507 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  =  y  /\  w  =  x )  ->  ( ( ( t  x.  z )  +  ( ( 1  -  t )  x.  w
) )  e.  A  <->  ( ( t  x.  y
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  x ) )  e.  A ) )
2322ralbidv 2733 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  =  y  /\  w  =  x )  ->  ( A. t  e.  ( 0 [,] 1
) ( ( t  x.  z )  +  ( ( 1  -  t )  x.  w
) )  e.  A  <->  A. t  e.  ( 0 [,] 1 ) ( ( t  x.  y
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  x ) )  e.  A ) )
24 unitssre 11430 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 0 [,] 1 )  C_  RR
2524, 11sstri 3363 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 0 [,] 1 )  C_  CC
26 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) )  /\  s  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  s  e.  ( 0 [,] 1 ) )
2725, 26sseldi 3352 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) )  /\  s  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  s  e.  CC )
2812adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_  y ) )  ->  A  C_  CC )
29 simpr2 995 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_  y ) )  ->  y  e.  A )
3028, 29sseldd 3355 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_  y ) )  ->  y  e.  CC )
3130adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) )  /\  s  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  y  e.  CC )
3227, 31mulcld 9404 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) )  /\  s  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( s  x.  y )  e.  CC )
33 ax-1cn 9338 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  e.  CC
34 subcl 9607 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  s  e.  CC )  ->  ( 1  -  s
)  e.  CC )
3533, 27, 34sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) )  /\  s  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( 1  -  s )  e.  CC )
36 simpr1 994 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_  y ) )  ->  x  e.  A )
3728, 36sseldd 3355 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_  y ) )  ->  x  e.  CC )
3837adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) )  /\  s  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  x  e.  CC )
3935, 38mulcld 9404 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) )  /\  s  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( ( 1  -  s )  x.  x )  e.  CC )
4032, 39addcomd 9569 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) )  /\  s  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( ( s  x.  y )  +  ( ( 1  -  s )  x.  x
) )  =  ( ( ( 1  -  s )  x.  x
)  +  ( s  x.  y ) ) )
41 nncan 9636 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  s  e.  CC )  ->  ( 1  -  (
1  -  s ) )  =  s )
4233, 27, 41sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) )  /\  s  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( 1  -  ( 1  -  s
) )  =  s )
4342oveq1d 6104 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) )  /\  s  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( ( 1  -  ( 1  -  s ) )  x.  y )  =  ( s  x.  y ) )
4443oveq2d 6105 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) )  /\  s  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( ( ( 1  -  s )  x.  x )  +  ( ( 1  -  ( 1  -  s
) )  x.  y
) )  =  ( ( ( 1  -  s )  x.  x
)  +  ( s  x.  y ) ) )
4540, 44eqtr4d 2476 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) )  /\  s  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( ( s  x.  y )  +  ( ( 1  -  s )  x.  x
) )  =  ( ( ( 1  -  s )  x.  x
)  +  ( ( 1  -  ( 1  -  s ) )  x.  y ) ) )
46 iirev 20499 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( s  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  (
1  -  s )  e.  ( 0 [,] 1 ) )
4746adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) )  /\  s  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( 1  -  s )  e.  ( 0 [,] 1 ) )
487eleq1i 2504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( J  e.  Con  <->  ( ( topGen `
 ran  (,) )t  A
)  e.  Con )
49 reconn 20403 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  e.  Con  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x [,] y )  C_  A
) )
5048, 49syl5bb 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( J  e.  Con  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x [,] y )  C_  A
) )
5150biimpa 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x [,] y )  C_  A
)
5251r19.21bi 2812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  x  e.  A
)  ->  A. y  e.  A  ( x [,] y )  C_  A
)
5352r19.21bi 2812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  x  e.  A
)  /\  y  e.  A )  ->  (
x [,] y ) 
C_  A )
5453anasss 647 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A
) )  ->  (
x [,] y ) 
C_  A )
55543adantr3 1149 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_  y ) )  ->  ( x [,] y )  C_  A
)
5655adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( x [,] y )  C_  A
)
57 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  t  e.  ( 0 [,] 1 ) )
5824, 57sseldi 3352 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  t  e.  RR )
59 simplll 757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  A  C_  RR )
6036adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  x  e.  A
)
6159, 60sseldd 3355 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  x  e.  RR )
6258, 61remulcld 9412 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( t  x.  x )  e.  RR )
63 1re 9383 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  1  e.  RR
64 resubcl 9671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  t  e.  RR )  ->  ( 1  -  t
)  e.  RR )
6563, 58, 64sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( 1  -  t )  e.  RR )
6629adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  y  e.  A
)
6759, 66sseldd 3355 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  y  e.  RR )
6865, 67remulcld 9412 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( ( 1  -  t )  x.  y )  e.  RR )
6962, 68readdcld 9411 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( ( t  x.  x )  +  ( ( 1  -  t )  x.  y
) )  e.  RR )
7058recnd 9410 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  t  e.  CC )
71 pncan3 9616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( t  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( t  +  ( 1  -  t ) )  =  1 )
7270, 33, 71sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( t  +  ( 1  -  t
) )  =  1 )
7372oveq1d 6104 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( ( t  +  ( 1  -  t ) )  x.  x )  =  ( 1  x.  x ) )
7465recnd 9410 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( 1  -  t )  e.  CC )
7537adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  x  e.  CC )
7670, 74, 75adddird 9409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( ( t  +  ( 1  -  t ) )  x.  x )  =  ( ( t  x.  x
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  x ) ) )
7775mulid2d 9402 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( 1  x.  x )  =  x )
7873, 76, 773eqtr3d 2481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( ( t  x.  x )  +  ( ( 1  -  t )  x.  x
) )  =  x )
7965, 61remulcld 9412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( ( 1  -  t )  x.  x )  e.  RR )
80 0re 9384 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  0  e.  RR
8180, 63elicc2i 11359 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( t  e.  ( 0 [,] 1 )  <->  ( t  e.  RR  /\  0  <_ 
t  /\  t  <_  1 ) )
8257, 81sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( t  e.  RR  /\  0  <_ 
t  /\  t  <_  1 ) )
8382simp3d 1002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  t  <_  1
)
84 subge0 9850 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  t  e.  RR )  ->  ( 0  <_  (
1  -  t )  <-> 
t  <_  1 ) )
8563, 58, 84sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( 0  <_ 
( 1  -  t
)  <->  t  <_  1
) )
8683, 85mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  0  <_  (
1  -  t ) )
87 simplr3 1032 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  x  <_  y
)
8861, 67, 65, 86, 87lemul2ad 10271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( ( 1  -  t )  x.  x )  <_  (
( 1  -  t
)  x.  y ) )
8979, 68, 62, 88leadd2dd 9952 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( ( t  x.  x )  +  ( ( 1  -  t )  x.  x
) )  <_  (
( t  x.  x
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  y ) ) )
9078, 89eqbrtrrd 4312 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  x  <_  (
( t  x.  x
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  y ) ) )
9158, 67remulcld 9412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( t  x.  y )  e.  RR )
9282simp2d 1001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  0  <_  t
)
9361, 67, 58, 92, 87lemul2ad 10271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( t  x.  x )  <_  (
t  x.  y ) )
9462, 91, 68, 93leadd1dd 9951 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( ( t  x.  x )  +  ( ( 1  -  t )  x.  y
) )  <_  (
( t  x.  y
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  y ) ) )
9572oveq1d 6104 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( ( t  +  ( 1  -  t ) )  x.  y )  =  ( 1  x.  y ) )
9630adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  y  e.  CC )
9770, 74, 96adddird 9409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( ( t  +  ( 1  -  t ) )  x.  y )  =  ( ( t  x.  y
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  y ) ) )
9896mulid2d 9402 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( 1  x.  y )  =  y )
9995, 97, 983eqtr3d 2481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( ( t  x.  y )  +  ( ( 1  -  t )  x.  y
) )  =  y )
10094, 99breqtrd 4314 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( ( t  x.  x )  +  ( ( 1  -  t )  x.  y
) )  <_  y
)
101 elicc2 11358 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( ( t  x.  x )  +  ( ( 1  -  t )  x.  y
) )  e.  ( x [,] y )  <-> 
( ( ( t  x.  x )  +  ( ( 1  -  t )  x.  y
) )  e.  RR  /\  x  <_  ( (
t  x.  x )  +  ( ( 1  -  t )  x.  y ) )  /\  ( ( t  x.  x )  +  ( ( 1  -  t
)  x.  y ) )  <_  y )
) )
10261, 67, 101syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( ( ( t  x.  x )  +  ( ( 1  -  t )  x.  y ) )  e.  ( x [,] y
)  <->  ( ( ( t  x.  x )  +  ( ( 1  -  t )  x.  y ) )  e.  RR  /\  x  <_ 
( ( t  x.  x )  +  ( ( 1  -  t
)  x.  y ) )  /\  ( ( t  x.  x )  +  ( ( 1  -  t )  x.  y ) )  <_ 
y ) ) )
10369, 90, 100, 102mpbir3and 1171 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( ( t  x.  x )  +  ( ( 1  -  t )  x.  y
) )  e.  ( x [,] y ) )
10456, 103sseldd 3355 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( ( t  x.  x )  +  ( ( 1  -  t )  x.  y
) )  e.  A
)
105104ralrimiva 2797 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_  y ) )  ->  A. t  e.  ( 0 [,] 1
) ( ( t  x.  x )  +  ( ( 1  -  t )  x.  y
) )  e.  A
)
106105adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) )  /\  s  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  A. t  e.  ( 0 [,] 1 ) ( ( t  x.  x )  +  ( ( 1  -  t
)  x.  y ) )  e.  A )
107 oveq1 6096 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( t  =  ( 1  -  s )  ->  (
t  x.  x )  =  ( ( 1  -  s )  x.  x ) )
108 oveq2 6097 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( t  =  ( 1  -  s )  ->  (
1  -  t )  =  ( 1  -  ( 1  -  s
) ) )
109108oveq1d 6104 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( t  =  ( 1  -  s )  ->  (
( 1  -  t
)  x.  y )  =  ( ( 1  -  ( 1  -  s ) )  x.  y ) )
110107, 109oveq12d 6107 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( t  =  ( 1  -  s )  ->  (
( t  x.  x
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  y ) )  =  ( ( ( 1  -  s )  x.  x )  +  ( ( 1  -  ( 1  -  s
) )  x.  y
) ) )
111110eleq1d 2507 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  =  ( 1  -  s )  ->  (
( ( t  x.  x )  +  ( ( 1  -  t
)  x.  y ) )  e.  A  <->  ( (
( 1  -  s
)  x.  x )  +  ( ( 1  -  ( 1  -  s ) )  x.  y ) )  e.  A ) )
112111rspcv 3067 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1  -  s )  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  ( A. t  e.  (
0 [,] 1 ) ( ( t  x.  x )  +  ( ( 1  -  t
)  x.  y ) )  e.  A  -> 
( ( ( 1  -  s )  x.  x )  +  ( ( 1  -  (
1  -  s ) )  x.  y ) )  e.  A ) )
11347, 106, 112sylc 60 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) )  /\  s  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( ( ( 1  -  s )  x.  x )  +  ( ( 1  -  ( 1  -  s
) )  x.  y
) )  e.  A
)
11445, 113eqeltrd 2515 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_ 
y ) )  /\  s  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( ( s  x.  y )  +  ( ( 1  -  s )  x.  x
) )  e.  A
)
115114ralrimiva 2797 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_  y ) )  ->  A. s  e.  ( 0 [,] 1
) ( ( s  x.  y )  +  ( ( 1  -  s )  x.  x
) )  e.  A
)
116 oveq1 6096 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  =  t  ->  (
s  x.  y )  =  ( t  x.  y ) )
117 oveq2 6097 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( s  =  t  ->  (
1  -  s )  =  ( 1  -  t ) )
118117oveq1d 6104 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  =  t  ->  (
( 1  -  s
)  x.  x )  =  ( ( 1  -  t )  x.  x ) )
119116, 118oveq12d 6107 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  =  t  ->  (
( s  x.  y
)  +  ( ( 1  -  s )  x.  x ) )  =  ( ( t  x.  y )  +  ( ( 1  -  t )  x.  x
) ) )
120119eleq1d 2507 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  =  t  ->  (
( ( s  x.  y )  +  ( ( 1  -  s
)  x.  x ) )  e.  A  <->  ( (
t  x.  y )  +  ( ( 1  -  t )  x.  x ) )  e.  A ) )
121120cbvralv 2945 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. s  e.  ( 0 [,] 1 ) ( ( s  x.  y
)  +  ( ( 1  -  s )  x.  x ) )  e.  A  <->  A. t  e.  ( 0 [,] 1
) ( ( t  x.  y )  +  ( ( 1  -  t )  x.  x
) )  e.  A
)
122115, 121sylib 196 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  x  <_  y ) )  ->  A. t  e.  ( 0 [,] 1
) ( ( t  x.  y )  +  ( ( 1  -  t )  x.  x
) )  e.  A
)
12318, 23, 10, 122, 105wloglei 9870 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A
) )  ->  A. t  e.  ( 0 [,] 1
) ( ( t  x.  x )  +  ( ( 1  -  t )  x.  y
) )  e.  A
)
124123r19.21bi 2812 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( ( t  x.  x )  +  ( ( 1  -  t )  x.  y
) )  e.  A
)
125124anasss 647 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  t  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( ( t  x.  x )  +  ( ( 1  -  t
)  x.  y ) )  e.  A )
12613, 125sylan2b 475 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  t  e.  (
0 [,] 1 ) ) )  ->  (
( t  x.  x
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  y ) )  e.  A )
127 eqid 2441 . . . . 5  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  A )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  A )
12812, 126, 4, 127cvxscon 27130 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  ->  (
( TopOpen ` fld )t  A )  e. SCon )
1299, 128eqeltrrd 2516 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR  /\  J  e.  Con )  ->  J  e. SCon )
130129ex 434 . 2  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( J  e.  Con  ->  J  e. SCon ) )
1313, 130impbid2 204 1  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( J  e. SCon 
<->  J  e.  Con )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2713    C_ wss 3326   class class class wbr 4290   ran crn 4839   ` cfv 5416  (class class class)co 6089   CCcc 9278   RRcr 9279   0cc0 9280   1c1 9281    + caddc 9283    x. cmul 9285    <_ cle 9417    - cmin 9593   (,)cioo 11298   [,]cicc 11301   ↾t crest 14357   TopOpenctopn 14358   topGenctg 14374  ℂfldccnfld 17816   Conccon 19013  PConcpcon 27106  SConcscon 27107
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-rep 4401  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529  ax-un 6370  ax-inf2 7845  ax-cnex 9336  ax-resscn 9337  ax-1cn 9338  ax-icn 9339  ax-addcl 9340  ax-addrcl 9341  ax-mulcl 9342  ax-mulrcl 9343  ax-mulcom 9344  ax-addass 9345  ax-mulass 9346  ax-distr 9347  ax-i2m1 9348  ax-1ne0 9349  ax-1rid 9350  ax-rnegex 9351  ax-rrecex 9352  ax-cnre 9353  ax-pre-lttri 9354  ax-pre-lttrn 9355  ax-pre-ltadd 9356  ax-pre-mulgt0 9357  ax-pre-sup 9358  ax-addf 9359  ax-mulf 9360
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-csb 3287  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-pss 3342  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-tp 3880  df-op 3882  df-uni 4090  df-int 4127  df-iun 4171  df-iin 4172  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-tr 4384  df-eprel 4630  df-id 4634  df-po 4639  df-so 4640  df-fr 4677  df-se 4678  df-we 4679  df-ord 4720  df-on 4721  df-lim 4722  df-suc 4723  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-res 4850  df-ima 4851  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-f1 5421  df-fo 5422  df-f1o 5423  df-fv 5424  df-isom 5425  df-riota 6050  df-ov 6092  df-oprab 6093  df-mpt2 6094  df-of 6318  df-om 6475  df-1st 6575  df-2nd 6576  df-supp 6689  df-recs 6830  df-rdg 6864  df-1o 6918  df-2o 6919  df-oadd 6922  df-er 7099  df-map 7214  df-ixp 7262  df-en 7309  df-dom 7310  df-sdom 7311  df-fin 7312  df-fsupp 7619  df-fi 7659  df-sup 7689  df-oi 7722  df-card 8107  df-cda 8335  df-pnf 9418  df-mnf 9419  df-xr 9420  df-ltxr 9421  df-le 9422  df-sub 9595  df-neg 9596  df-div 9992  df-nn 10321  df-2 10378  df-3 10379  df-4 10380  df-5 10381  df-6 10382  df-7 10383  df-8 10384  df-9 10385  df-10 10386  df-n0 10578  df-z 10645  df-dec 10754  df-uz 10860  df-q 10952  df-rp 10990  df-xneg 11087  df-xadd 11088  df-xmul 11089  df-ioo 11302  df-ico 11304  df-icc 11305  df-fz 11436  df-fzo 11547  df-seq 11805  df-exp 11864  df-hash 12102  df-cj 12586  df-re 12587  df-im 12588  df-sqr 12722  df-abs 12723  df-struct 14174  df-ndx 14175  df-slot 14176  df-base 14177  df-sets 14178  df-ress 14179  df-plusg 14249  df-mulr 14250  df-starv 14251  df-sca 14252  df-vsca 14253  df-ip 14254  df-tset 14255  df-ple 14256  df-ds 14258  df-unif 14259  df-hom 14260  df-cco 14261  df-rest 14359  df-topn 14360  df-0g 14378  df-gsum 14379  df-topgen 14380  df-pt 14381  df-prds 14384  df-xrs 14438  df-qtop 14443  df-imas 14444  df-xps 14446  df-mre 14522  df-mrc 14523  df-acs 14525  df-mnd 15413  df-submnd 15463  df-mulg 15546  df-cntz 15833  df-cmn 16277  df-psmet 17807  df-xmet 17808  df-met 17809  df-bl 17810  df-mopn 17811  df-cnfld 17817  df-top 18501  df-bases 18503  df-topon 18504  df-topsp 18505  df-cld 18621  df-cn 18829  df-cnp 18830  df-con 19014  df-tx 19133  df-hmeo 19326  df-xms 19893  df-ms 19894  df-tms 19895  df-ii 20451  df-htpy 20540  df-phtpy 20541  df-phtpc 20562  df-pcon 27108  df-scon 27109
This theorem is referenced by:  iooscon  27134  iccscon  27135  iccllyscon  27137
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