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Theorem rescncf 21131
Description: A continuous complex function restricted to a subset is continuous. (Contributed by Paul Chapman, 18-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
rescncf  |-  ( C 
C_  A  ->  ( F  e.  ( A -cn-> B )  ->  ( F  |`  C )  e.  ( C -cn-> B ) ) )

Proof of Theorem rescncf
Dummy variables  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( C  C_  A  /\  F  e.  ( A -cn-> B ) )  ->  F  e.  ( A -cn-> B ) )
2 cncfrss 21125 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  ( A -cn-> B )  ->  A  C_  CC )
32adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( C  C_  A  /\  F  e.  ( A -cn-> B ) )  ->  A  C_  CC )
4 cncfrss2 21126 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  ( A -cn-> B )  ->  B  C_  CC )
54adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( C  C_  A  /\  F  e.  ( A -cn-> B ) )  ->  B  C_  CC )
6 elcncf 21123 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  CC  /\  B  C_  CC )  ->  ( F  e.  ( A -cn-> B )  <->  ( F : A --> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  ( x  -  w
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  ( F `
 w ) ) )  <  y ) ) ) )
73, 5, 6syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( C  C_  A  /\  F  e.  ( A -cn-> B ) )  -> 
( F  e.  ( A -cn-> B )  <->  ( F : A --> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  ( x  -  w
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  ( F `
 w ) ) )  <  y ) ) ) )
81, 7mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ( C  C_  A  /\  F  e.  ( A -cn-> B ) )  -> 
( F : A --> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  (
x  -  w ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  x
)  -  ( F `
 w ) ) )  <  y ) ) )
98simpld 459 . . . 4  |-  ( ( C  C_  A  /\  F  e.  ( A -cn-> B ) )  ->  F : A --> B )
10 simpl 457 . . . 4  |-  ( ( C  C_  A  /\  F  e.  ( A -cn-> B ) )  ->  C  C_  A )
11 fssres 5744 . . . 4  |-  ( ( F : A --> B  /\  C  C_  A )  -> 
( F  |`  C ) : C --> B )
129, 10, 11syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( C  C_  A  /\  F  e.  ( A -cn-> B ) )  -> 
( F  |`  C ) : C --> B )
138simprd 463 . . . 4  |-  ( ( C  C_  A  /\  F  e.  ( A -cn-> B ) )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  ( x  -  w
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  ( F `
 w ) ) )  <  y ) )
14 ssralv 3559 . . . . 5  |-  ( C 
C_  A  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  ( x  -  w
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  ( F `
 w ) ) )  <  y )  ->  A. x  e.  C  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  ( x  -  w
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  ( F `
 w ) ) )  <  y ) ) )
15 ssralv 3559 . . . . . . . . 9  |-  ( C 
C_  A  ->  ( A. w  e.  A  ( ( abs `  (
x  -  w ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  x
)  -  ( F `
 w ) ) )  <  y )  ->  A. w  e.  C  ( ( abs `  (
x  -  w ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  x
)  -  ( F `
 w ) ) )  <  y ) ) )
16 fvres 5873 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  C  ->  (
( F  |`  C ) `
 x )  =  ( F `  x
) )
17 fvres 5873 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  e.  C  ->  (
( F  |`  C ) `
 w )  =  ( F `  w
) )
1816, 17oveqan12d 6296 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  C  /\  w  e.  C )  ->  ( ( ( F  |`  C ) `  x
)  -  ( ( F  |`  C ) `  w ) )  =  ( ( F `  x )  -  ( F `  w )
) )
1918fveq2d 5863 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  C  /\  w  e.  C )  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  C ) `  x
)  -  ( ( F  |`  C ) `  w ) ) )  =  ( abs `  (
( F `  x
)  -  ( F `
 w ) ) ) )
2019breq1d 4452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  C  /\  w  e.  C )  ->  ( ( abs `  (
( ( F  |`  C ) `  x
)  -  ( ( F  |`  C ) `  w ) ) )  <  y  <->  ( abs `  ( ( F `  x )  -  ( F `  w )
) )  <  y
) )
2120imbi2d 316 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  C  /\  w  e.  C )  ->  ( ( ( abs `  ( x  -  w
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  C ) `  x
)  -  ( ( F  |`  C ) `  w ) ) )  <  y )  <->  ( ( abs `  ( x  -  w ) )  < 
z  ->  ( abs `  ( ( F `  x )  -  ( F `  w )
) )  <  y
) ) )
2221biimprd 223 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  C  /\  w  e.  C )  ->  ( ( ( abs `  ( x  -  w
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  ( F `
 w ) ) )  <  y )  ->  ( ( abs `  ( x  -  w
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  C ) `  x
)  -  ( ( F  |`  C ) `  w ) ) )  <  y ) ) )
2322ralimdva 2867 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  C  ->  ( A. w  e.  C  ( ( abs `  (
x  -  w ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  x
)  -  ( F `
 w ) ) )  <  y )  ->  A. w  e.  C  ( ( abs `  (
x  -  w ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( ( F  |`  C ) `  x
)  -  ( ( F  |`  C ) `  w ) ) )  <  y ) ) )
2415, 23sylan9 657 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  C_  A  /\  x  e.  C )  ->  ( A. w  e.  A  ( ( abs `  ( x  -  w
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  ( F `
 w ) ) )  <  y )  ->  A. w  e.  C  ( ( abs `  (
x  -  w ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( ( F  |`  C ) `  x
)  -  ( ( F  |`  C ) `  w ) ) )  <  y ) ) )
2524reximdv 2932 . . . . . . 7  |-  ( ( C  C_  A  /\  x  e.  C )  ->  ( E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  (
x  -  w ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  x
)  -  ( F `
 w ) ) )  <  y )  ->  E. z  e.  RR+  A. w  e.  C  ( ( abs `  (
x  -  w ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( ( F  |`  C ) `  x
)  -  ( ( F  |`  C ) `  w ) ) )  <  y ) ) )
2625ralimdv 2869 . . . . . 6  |-  ( ( C  C_  A  /\  x  e.  C )  ->  ( A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  (
x  -  w ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  x
)  -  ( F `
 w ) ) )  <  y )  ->  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  C  ( ( abs `  ( x  -  w ) )  < 
z  ->  ( abs `  ( ( ( F  |`  C ) `  x
)  -  ( ( F  |`  C ) `  w ) ) )  <  y ) ) )
2726ralimdva 2867 . . . . 5  |-  ( C 
C_  A  ->  ( A. x  e.  C  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  ( x  -  w
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  ( F `
 w ) ) )  <  y )  ->  A. x  e.  C  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  C  ( ( abs `  ( x  -  w
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  C ) `  x
)  -  ( ( F  |`  C ) `  w ) ) )  <  y ) ) )
2814, 27syld 44 . . . 4  |-  ( C 
C_  A  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  A  ( ( abs `  ( x  -  w
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( F `  x
)  -  ( F `
 w ) ) )  <  y )  ->  A. x  e.  C  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  C  ( ( abs `  ( x  -  w
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  C ) `  x
)  -  ( ( F  |`  C ) `  w ) ) )  <  y ) ) )
2910, 13, 28sylc 60 . . 3  |-  ( ( C  C_  A  /\  F  e.  ( A -cn-> B ) )  ->  A. x  e.  C  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  C  ( ( abs `  ( x  -  w
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  C ) `  x
)  -  ( ( F  |`  C ) `  w ) ) )  <  y ) )
3010, 3sstrd 3509 . . . 4  |-  ( ( C  C_  A  /\  F  e.  ( A -cn-> B ) )  ->  C  C_  CC )
31 elcncf 21123 . . . 4  |-  ( ( C  C_  CC  /\  B  C_  CC )  ->  (
( F  |`  C )  e.  ( C -cn-> B )  <->  ( ( F  |`  C ) : C --> B  /\  A. x  e.  C  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  C  ( ( abs `  (
x  -  w ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( ( F  |`  C ) `  x
)  -  ( ( F  |`  C ) `  w ) ) )  <  y ) ) ) )
3230, 5, 31syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( C  C_  A  /\  F  e.  ( A -cn-> B ) )  -> 
( ( F  |`  C )  e.  ( C -cn-> B )  <->  ( ( F  |`  C ) : C --> B  /\  A. x  e.  C  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  C  ( ( abs `  ( x  -  w
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( ( F  |`  C ) `  x
)  -  ( ( F  |`  C ) `  w ) ) )  <  y ) ) ) )
3312, 29, 32mpbir2and 915 . 2  |-  ( ( C  C_  A  /\  F  e.  ( A -cn-> B ) )  -> 
( F  |`  C )  e.  ( C -cn-> B ) )
3433ex 434 1  |-  ( C 
C_  A  ->  ( F  e.  ( A -cn-> B )  ->  ( F  |`  C )  e.  ( C -cn-> B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    e. wcel 1762   A.wral 2809   E.wrex 2810    C_ wss 3471   class class class wbr 4442    |` cres 4996   -->wf 5577   ` cfv 5581  (class class class)co 6277   CCcc 9481    < clt 9619    - cmin 9796   RR+crp 11211   abscabs 13019   -cn->ccncf 21110
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-cnex 9539
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-ral 2814  df-rex 2815  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-op 4029  df-uni 4241  df-br 4443  df-opab 4501  df-id 4790  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-fv 5589  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-map 7414  df-cncf 21112
This theorem is referenced by:  cpnres  22070  dvlip  22124  dvlip2  22126  c1liplem1  22127  c1lip2  22129  dvgt0lem1  22133  dvivthlem1  22139  dvne0  22142  lhop1lem  22144  dvcnvrelem1  22148  dvcnvrelem2  22149  dvcvx  22151  dvfsumle  22152  dvfsumabs  22154  dvfsumlem2  22158  ftc2ditglem  22176  itgparts  22178  itgsubstlem  22179  psercn2  22547  abelth  22565  abelth2  22566  efcvx  22573  pige3  22638  dvrelog  22741  logcn  22751  logccv  22767  loglesqr  22855  ftc1cnnclem  29654  ftc2nc  29665  areacirc  29678  cncfres  29853  itgpowd  30778  areaquad  30780  lhe4.4ex1a  30791  cncfmptss  31094  resincncf  31170  dvbdfbdioolem1  31215  itgsbtaddcnst  31257  fourierdlem38  31402  fourierdlem46  31410  fourierdlem72  31436  fourierdlem90  31454  fourierdlem111  31475  fouriercn  31490
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