MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  reschomf Structured version   Unicode version

Theorem reschomf 15687
Description: Hom-sets of the category restriction. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
rescbas.d  |-  D  =  ( C  |`cat  H )
rescbas.b  |-  B  =  ( Base `  C
)
rescbas.c  |-  ( ph  ->  C  e.  V )
rescbas.h  |-  ( ph  ->  H  Fn  ( S  X.  S ) )
rescbas.s  |-  ( ph  ->  S  C_  B )
Assertion
Ref Expression
reschomf  |-  ( ph  ->  H  =  ( Hom f  `  D ) )

Proof of Theorem reschomf
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rescbas.d . . . 4  |-  D  =  ( C  |`cat  H )
2 rescbas.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  C
)
3 rescbas.c . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  V )
4 rescbas.h . . . 4  |-  ( ph  ->  H  Fn  ( S  X.  S ) )
5 rescbas.s . . . 4  |-  ( ph  ->  S  C_  B )
61, 2, 3, 4, 5reschom 15686 . . 3  |-  ( ph  ->  H  =  ( Hom  `  D ) )
71, 2, 3, 4, 5rescbas 15685 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S  =  ( Base `  D ) )
87sqxpeqd 4880 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( S  X.  S
)  =  ( (
Base `  D )  X.  ( Base `  D
) ) )
96, 8fneq12d 5686 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( H  Fn  ( S  X.  S )  <->  ( Hom  `  D )  Fn  (
( Base `  D )  X.  ( Base `  D
) ) ) )
104, 9mpbid 213 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Hom  `  D
)  Fn  ( (
Base `  D )  X.  ( Base `  D
) ) )
11 fnov 6418 . . . 4  |-  ( ( Hom  `  D )  Fn  ( ( Base `  D
)  X.  ( Base `  D ) )  <->  ( Hom  `  D )  =  ( x  e.  ( Base `  D ) ,  y  e.  ( Base `  D
)  |->  ( x ( Hom  `  D )
y ) ) )
1210, 11sylib 199 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Hom  `  D
)  =  ( x  e.  ( Base `  D
) ,  y  e.  ( Base `  D
)  |->  ( x ( Hom  `  D )
y ) ) )
136, 12eqtrd 2470 . 2  |-  ( ph  ->  H  =  ( x  e.  ( Base `  D
) ,  y  e.  ( Base `  D
)  |->  ( x ( Hom  `  D )
y ) ) )
14 eqid 2429 . . 3  |-  ( Hom f  `  D )  =  ( Hom f  `  D )
15 eqid 2429 . . 3  |-  ( Base `  D )  =  (
Base `  D )
16 eqid 2429 . . 3  |-  ( Hom  `  D )  =  ( Hom  `  D )
1714, 15, 16homffval 15546 . 2  |-  ( Hom f  `  D )  =  ( x  e.  ( Base `  D ) ,  y  e.  ( Base `  D
)  |->  ( x ( Hom  `  D )
y ) )
1813, 17syl6eqr 2488 1  |-  ( ph  ->  H  =  ( Hom f  `  D ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1437    e. wcel 1870    C_ wss 3442    X. cxp 4852    Fn wfn 5596   ` cfv 5601  (class class class)co 6305    |-> cmpt2 6307   Basecbs 15084   Hom chom 15163   Hom f chomf 15523    |`cat cresc 15664
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-sets 15090  df-ress 15091  df-hom 15176  df-homf 15527  df-resc 15667
This theorem is referenced by:  subsubc  15709
  Copyright terms: Public domain W3C validator