MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  reschom Structured version   Unicode version

Theorem reschom 15051
Description: Hom-sets of the category restriction. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
rescbas.d  |-  D  =  ( C  |`cat  H )
rescbas.b  |-  B  =  ( Base `  C
)
rescbas.c  |-  ( ph  ->  C  e.  V )
rescbas.h  |-  ( ph  ->  H  Fn  ( S  X.  S ) )
rescbas.s  |-  ( ph  ->  S  C_  B )
Assertion
Ref Expression
reschom  |-  ( ph  ->  H  =  ( Hom  `  D ) )

Proof of Theorem reschom
StepHypRef Expression
1 ovex 6302 . . 3  |-  ( Cs  S )  e.  _V
2 rescbas.h . . . 4  |-  ( ph  ->  H  Fn  ( S  X.  S ) )
3 rescbas.s . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  C_  B )
4 rescbas.b . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  C
)
5 fvex 5869 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  C )  e.  _V
64, 5eqeltri 2546 . . . . . . 7  |-  B  e. 
_V
76ssex 4586 . . . . . 6  |-  ( S 
C_  B  ->  S  e.  _V )
83, 7syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S  e.  _V )
9 xpexg 6704 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  _V  /\  S  e.  _V )  ->  ( S  X.  S
)  e.  _V )
108, 8, 9syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S  X.  S
)  e.  _V )
11 fnex 6120 . . . 4  |-  ( ( H  Fn  ( S  X.  S )  /\  ( S  X.  S
)  e.  _V )  ->  H  e.  _V )
122, 10, 11syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  H  e.  _V )
13 homid 14662 . . . 4  |-  Hom  = Slot  ( Hom  `  ndx )
1413setsid 14522 . . 3  |-  ( ( ( Cs  S )  e.  _V  /\  H  e.  _V )  ->  H  =  ( Hom  `  ( ( Cs  S ) sSet  <. ( Hom  `  ndx ) ,  H >. ) ) )
151, 12, 14sylancr 663 . 2  |-  ( ph  ->  H  =  ( Hom  `  ( ( Cs  S ) sSet  <. ( Hom  `  ndx ) ,  H >. ) ) )
16 rescbas.d . . . 4  |-  D  =  ( C  |`cat  H )
17 rescbas.c . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  V )
1816, 17, 8, 2rescval2 15049 . . 3  |-  ( ph  ->  D  =  ( ( Cs  S ) sSet  <. ( Hom  `  ndx ) ,  H >. ) )
1918fveq2d 5863 . 2  |-  ( ph  ->  ( Hom  `  D
)  =  ( Hom  `  ( ( Cs  S ) sSet  <. ( Hom  `  ndx ) ,  H >. ) ) )
2015, 19eqtr4d 2506 1  |-  ( ph  ->  H  =  ( Hom  `  D ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1374    e. wcel 1762   _Vcvv 3108    C_ wss 3471   <.cop 4028    X. cxp 4992    Fn wfn 5576   ` cfv 5581  (class class class)co 6277   ndxcnx 14478   sSet csts 14479   Basecbs 14481   ↾s cress 14482   Hom chom 14557    |`cat cresc 15029
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-rep 4553  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-iun 4322  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6674  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-ltxr 9624  df-nn 10528  df-2 10585  df-3 10586  df-4 10587  df-5 10588  df-6 10589  df-7 10590  df-8 10591  df-9 10592  df-10 10593  df-n0 10787  df-dec 10968  df-ndx 14484  df-slot 14485  df-sets 14487  df-hom 14570  df-resc 15032
This theorem is referenced by:  reschomf  15052  subccatid  15064  issubc3  15067  fullresc  15069  funcres  15114  funcres2b  15115  funcres2  15116
  Copyright terms: Public domain W3C validator