MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  reschom Structured version   Unicode version

Theorem reschom 14845
Description: Hom-sets of the category restriction. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
rescbas.d  |-  D  =  ( C  |`cat  H )
rescbas.b  |-  B  =  ( Base `  C
)
rescbas.c  |-  ( ph  ->  C  e.  V )
rescbas.h  |-  ( ph  ->  H  Fn  ( S  X.  S ) )
rescbas.s  |-  ( ph  ->  S  C_  B )
Assertion
Ref Expression
reschom  |-  ( ph  ->  H  =  ( Hom  `  D ) )

Proof of Theorem reschom
StepHypRef Expression
1 ovex 6215 . . 3  |-  ( Cs  S )  e.  _V
2 rescbas.h . . . 4  |-  ( ph  ->  H  Fn  ( S  X.  S ) )
3 rescbas.s . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  C_  B )
4 rescbas.b . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  C
)
5 fvex 5799 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  C )  e.  _V
64, 5eqeltri 2535 . . . . . . 7  |-  B  e. 
_V
76ssex 4534 . . . . . 6  |-  ( S 
C_  B  ->  S  e.  _V )
83, 7syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S  e.  _V )
9 xpexg 6607 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  _V  /\  S  e.  _V )  ->  ( S  X.  S
)  e.  _V )
108, 8, 9syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S  X.  S
)  e.  _V )
11 fnex 6043 . . . 4  |-  ( ( H  Fn  ( S  X.  S )  /\  ( S  X.  S
)  e.  _V )  ->  H  e.  _V )
122, 10, 11syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  H  e.  _V )
13 homid 14456 . . . 4  |-  Hom  = Slot  ( Hom  `  ndx )
1413setsid 14317 . . 3  |-  ( ( ( Cs  S )  e.  _V  /\  H  e.  _V )  ->  H  =  ( Hom  `  ( ( Cs  S ) sSet  <. ( Hom  `  ndx ) ,  H >. ) ) )
151, 12, 14sylancr 663 . 2  |-  ( ph  ->  H  =  ( Hom  `  ( ( Cs  S ) sSet  <. ( Hom  `  ndx ) ,  H >. ) ) )
16 rescbas.d . . . 4  |-  D  =  ( C  |`cat  H )
17 rescbas.c . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  V )
1816, 17, 8, 2rescval2 14843 . . 3  |-  ( ph  ->  D  =  ( ( Cs  S ) sSet  <. ( Hom  `  ndx ) ,  H >. ) )
1918fveq2d 5793 . 2  |-  ( ph  ->  ( Hom  `  D
)  =  ( Hom  `  ( ( Cs  S ) sSet  <. ( Hom  `  ndx ) ,  H >. ) ) )
2015, 19eqtr4d 2495 1  |-  ( ph  ->  H  =  ( Hom  `  D ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1370    e. wcel 1758   _Vcvv 3068    C_ wss 3426   <.cop 3981    X. cxp 4936    Fn wfn 5511   ` cfv 5516  (class class class)co 6190   ndxcnx 14273   sSet csts 14274   Basecbs 14276   ↾s cress 14277   Hom chom 14351    |`cat cresc 14823
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4501  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629  ax-un 6472  ax-cnex 9439  ax-resscn 9440  ax-1cn 9441  ax-icn 9442  ax-addcl 9443  ax-addrcl 9444  ax-mulcl 9445  ax-mulrcl 9446  ax-mulcom 9447  ax-addass 9448  ax-mulass 9449  ax-distr 9450  ax-i2m1 9451  ax-1ne0 9452  ax-1rid 9453  ax-rnegex 9454  ax-rrecex 9455  ax-cnre 9456  ax-pre-lttri 9457  ax-pre-lttrn 9458  ax-pre-ltadd 9459
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-csb 3387  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-pss 3442  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-tp 3980  df-op 3982  df-uni 4190  df-iun 4271  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-tr 4484  df-eprel 4730  df-id 4734  df-po 4739  df-so 4740  df-fr 4777  df-we 4779  df-ord 4820  df-on 4821  df-lim 4822  df-suc 4823  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-res 4950  df-ima 4951  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fn 5519  df-f 5520  df-f1 5521  df-fo 5522  df-f1o 5523  df-fv 5524  df-ov 6193  df-oprab 6194  df-mpt2 6195  df-om 6577  df-recs 6932  df-rdg 6966  df-er 7201  df-en 7411  df-dom 7412  df-sdom 7413  df-pnf 9521  df-mnf 9522  df-ltxr 9524  df-nn 10424  df-2 10481  df-3 10482  df-4 10483  df-5 10484  df-6 10485  df-7 10486  df-8 10487  df-9 10488  df-10 10489  df-n0 10681  df-dec 10857  df-ndx 14279  df-slot 14280  df-sets 14282  df-hom 14364  df-resc 14826
This theorem is referenced by:  reschomf  14846  subccatid  14858  issubc3  14861  fullresc  14863  funcres  14908  funcres2b  14909  funcres2  14910
  Copyright terms: Public domain W3C validator