MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  reschom Structured version   Unicode version

Theorem reschom 14739
Description: Hom-sets of the category restriction. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
rescbas.d  |-  D  =  ( C  |`cat  H )
rescbas.b  |-  B  =  ( Base `  C
)
rescbas.c  |-  ( ph  ->  C  e.  V )
rescbas.h  |-  ( ph  ->  H  Fn  ( S  X.  S ) )
rescbas.s  |-  ( ph  ->  S  C_  B )
Assertion
Ref Expression
reschom  |-  ( ph  ->  H  =  ( Hom  `  D ) )

Proof of Theorem reschom
StepHypRef Expression
1 ovex 6115 . . 3  |-  ( Cs  S )  e.  _V
2 rescbas.h . . . 4  |-  ( ph  ->  H  Fn  ( S  X.  S ) )
3 rescbas.s . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  C_  B )
4 rescbas.b . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  C
)
5 fvex 5698 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  C )  e.  _V
64, 5eqeltri 2511 . . . . . . 7  |-  B  e. 
_V
76ssex 4433 . . . . . 6  |-  ( S 
C_  B  ->  S  e.  _V )
83, 7syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S  e.  _V )
9 xpexg 6506 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  _V  /\  S  e.  _V )  ->  ( S  X.  S
)  e.  _V )
108, 8, 9syl2anc 656 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S  X.  S
)  e.  _V )
11 fnex 5941 . . . 4  |-  ( ( H  Fn  ( S  X.  S )  /\  ( S  X.  S
)  e.  _V )  ->  H  e.  _V )
122, 10, 11syl2anc 656 . . 3  |-  ( ph  ->  H  e.  _V )
13 homid 14350 . . . 4  |-  Hom  = Slot  ( Hom  `  ndx )
1413setsid 14211 . . 3  |-  ( ( ( Cs  S )  e.  _V  /\  H  e.  _V )  ->  H  =  ( Hom  `  ( ( Cs  S ) sSet  <. ( Hom  `  ndx ) ,  H >. ) ) )
151, 12, 14sylancr 658 . 2  |-  ( ph  ->  H  =  ( Hom  `  ( ( Cs  S ) sSet  <. ( Hom  `  ndx ) ,  H >. ) ) )
16 rescbas.d . . . 4  |-  D  =  ( C  |`cat  H )
17 rescbas.c . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  V )
1816, 17, 8, 2rescval2 14737 . . 3  |-  ( ph  ->  D  =  ( ( Cs  S ) sSet  <. ( Hom  `  ndx ) ,  H >. ) )
1918fveq2d 5692 . 2  |-  ( ph  ->  ( Hom  `  D
)  =  ( Hom  `  ( ( Cs  S ) sSet  <. ( Hom  `  ndx ) ,  H >. ) ) )
2015, 19eqtr4d 2476 1  |-  ( ph  ->  H  =  ( Hom  `  D ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1364    e. wcel 1761   _Vcvv 2970    C_ wss 3325   <.cop 3880    X. cxp 4834    Fn wfn 5410   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   ndxcnx 14167   sSet csts 14168   Basecbs 14170   ↾s cress 14171   Hom chom 14245    |`cat cresc 14717
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-er 7097  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-ltxr 9419  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-4 10378  df-5 10379  df-6 10380  df-7 10381  df-8 10382  df-9 10383  df-10 10384  df-n0 10576  df-dec 10752  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-sets 14176  df-hom 14258  df-resc 14720
This theorem is referenced by:  reschomf  14740  subccatid  14752  issubc3  14755  fullresc  14757  funcres  14802  funcres2b  14803  funcres2  14804
  Copyright terms: Public domain W3C validator