MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  reschom Structured version   Unicode version

Theorem reschom 15445
Description: Hom-sets of the category restriction. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
rescbas.d  |-  D  =  ( C  |`cat  H )
rescbas.b  |-  B  =  ( Base `  C
)
rescbas.c  |-  ( ph  ->  C  e.  V )
rescbas.h  |-  ( ph  ->  H  Fn  ( S  X.  S ) )
rescbas.s  |-  ( ph  ->  S  C_  B )
Assertion
Ref Expression
reschom  |-  ( ph  ->  H  =  ( Hom  `  D ) )

Proof of Theorem reschom
StepHypRef Expression
1 ovex 6308 . . 3  |-  ( Cs  S )  e.  _V
2 rescbas.h . . . 4  |-  ( ph  ->  H  Fn  ( S  X.  S ) )
3 rescbas.s . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  C_  B )
4 rescbas.b . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  C
)
5 fvex 5861 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  C )  e.  _V
64, 5eqeltri 2488 . . . . . . 7  |-  B  e. 
_V
76ssex 4540 . . . . . 6  |-  ( S 
C_  B  ->  S  e.  _V )
83, 7syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S  e.  _V )
9 xpexg 6586 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  _V  /\  S  e.  _V )  ->  ( S  X.  S
)  e.  _V )
108, 8, 9syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S  X.  S
)  e.  _V )
11 fnex 6122 . . . 4  |-  ( ( H  Fn  ( S  X.  S )  /\  ( S  X.  S
)  e.  _V )  ->  H  e.  _V )
122, 10, 11syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  H  e.  _V )
13 homid 15031 . . . 4  |-  Hom  = Slot  ( Hom  `  ndx )
1413setsid 14886 . . 3  |-  ( ( ( Cs  S )  e.  _V  /\  H  e.  _V )  ->  H  =  ( Hom  `  ( ( Cs  S ) sSet  <. ( Hom  `  ndx ) ,  H >. ) ) )
151, 12, 14sylancr 663 . 2  |-  ( ph  ->  H  =  ( Hom  `  ( ( Cs  S ) sSet  <. ( Hom  `  ndx ) ,  H >. ) ) )
16 rescbas.d . . . 4  |-  D  =  ( C  |`cat  H )
17 rescbas.c . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  V )
1816, 17, 8, 2rescval2 15443 . . 3  |-  ( ph  ->  D  =  ( ( Cs  S ) sSet  <. ( Hom  `  ndx ) ,  H >. ) )
1918fveq2d 5855 . 2  |-  ( ph  ->  ( Hom  `  D
)  =  ( Hom  `  ( ( Cs  S ) sSet  <. ( Hom  `  ndx ) ,  H >. ) ) )
2015, 19eqtr4d 2448 1  |-  ( ph  ->  H  =  ( Hom  `  D ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1407    e. wcel 1844   _Vcvv 3061    C_ wss 3416   <.cop 3980    X. cxp 4823    Fn wfn 5566   ` cfv 5571  (class class class)co 6280   ndxcnx 14840   sSet csts 14841   Basecbs 14843   ↾s cress 14844   Hom chom 14922    |`cat cresc 15423
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-rep 4509  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576  ax-cnex 9580  ax-resscn 9581  ax-1cn 9582  ax-icn 9583  ax-addcl 9584  ax-addrcl 9585  ax-mulcl 9586  ax-mulrcl 9587  ax-mulcom 9588  ax-addass 9589  ax-mulass 9590  ax-distr 9591  ax-i2m1 9592  ax-1ne0 9593  ax-1rid 9594  ax-rnegex 9595  ax-rrecex 9596  ax-cnre 9597  ax-pre-lttri 9598  ax-pre-lttrn 9599  ax-pre-ltadd 9600
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-tp 3979  df-op 3981  df-uni 4194  df-iun 4275  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-tr 4492  df-eprel 4736  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-fr 4784  df-we 4786  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-pred 5369  df-ord 5415  df-on 5416  df-lim 5417  df-suc 5418  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-om 6686  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-er 7350  df-en 7557  df-dom 7558  df-sdom 7559  df-pnf 9662  df-mnf 9663  df-ltxr 9665  df-nn 10579  df-2 10637  df-3 10638  df-4 10639  df-5 10640  df-6 10641  df-7 10642  df-8 10643  df-9 10644  df-10 10645  df-n0 10839  df-dec 11022  df-ndx 14846  df-slot 14847  df-sets 14849  df-hom 14935  df-resc 15426
This theorem is referenced by:  reschomf  15446  subccatid  15461  issubc3  15464  fullresc  15466  funcres  15511  funcres2b  15512  funcres2  15513  idfusubc  38196  rngchomfval  38298  ringchomfval  38344
  Copyright terms: Public domain W3C validator