MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rescbas Structured version   Unicode version

Theorem rescbas 14864
Description: Base set of the category restriction. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
rescbas.d  |-  D  =  ( C  |`cat  H )
rescbas.b  |-  B  =  ( Base `  C
)
rescbas.c  |-  ( ph  ->  C  e.  V )
rescbas.h  |-  ( ph  ->  H  Fn  ( S  X.  S ) )
rescbas.s  |-  ( ph  ->  S  C_  B )
Assertion
Ref Expression
rescbas  |-  ( ph  ->  S  =  ( Base `  D ) )

Proof of Theorem rescbas
StepHypRef Expression
1 baseid 14341 . . 3  |-  Base  = Slot  ( Base `  ndx )
2 1re 9499 . . . . 5  |-  1  e.  RR
3 1nn 10447 . . . . . 6  |-  1  e.  NN
4 4nn0 10712 . . . . . 6  |-  4  e.  NN0
5 1nn0 10709 . . . . . 6  |-  1  e.  NN0
6 1lt10 10646 . . . . . 6  |-  1  <  10
73, 4, 5, 6declti 10894 . . . . 5  |-  1  < ; 1
4
82, 7ltneii 9601 . . . 4  |-  1  =/= ; 1 4
9 basendx 14345 . . . . 5  |-  ( Base `  ndx )  =  1
10 homndx 14475 . . . . 5  |-  ( Hom  `  ndx )  = ; 1 4
119, 10neeq12i 2741 . . . 4  |-  ( (
Base `  ndx )  =/=  ( Hom  `  ndx ) 
<->  1  =/= ; 1 4 )
128, 11mpbir 209 . . 3  |-  ( Base `  ndx )  =/=  ( Hom  `  ndx )
131, 12setsnid 14337 . 2  |-  ( Base `  ( Cs  S ) )  =  ( Base `  (
( Cs  S ) sSet  <. ( Hom  `  ndx ) ,  H >. ) )
14 rescbas.s . . 3  |-  ( ph  ->  S  C_  B )
15 eqid 2454 . . . 4  |-  ( Cs  S )  =  ( Cs  S )
16 rescbas.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  C
)
1715, 16ressbas2 14351 . . 3  |-  ( S 
C_  B  ->  S  =  ( Base `  ( Cs  S ) ) )
1814, 17syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  S  =  ( Base `  ( Cs  S ) ) )
19 rescbas.d . . . 4  |-  D  =  ( C  |`cat  H )
20 rescbas.c . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  V )
21 fvex 5812 . . . . . . 7  |-  ( Base `  C )  e.  _V
2216, 21eqeltri 2538 . . . . . 6  |-  B  e. 
_V
2322ssex 4547 . . . . 5  |-  ( S 
C_  B  ->  S  e.  _V )
2414, 23syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  S  e.  _V )
25 rescbas.h . . . 4  |-  ( ph  ->  H  Fn  ( S  X.  S ) )
2619, 20, 24, 25rescval2 14863 . . 3  |-  ( ph  ->  D  =  ( ( Cs  S ) sSet  <. ( Hom  `  ndx ) ,  H >. ) )
2726fveq2d 5806 . 2  |-  ( ph  ->  ( Base `  D
)  =  ( Base `  ( ( Cs  S ) sSet  <. ( Hom  `  ndx ) ,  H >. ) ) )
2813, 18, 273eqtr4a 2521 1  |-  ( ph  ->  S  =  ( Base `  D ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2648   _Vcvv 3078    C_ wss 3439   <.cop 3994    X. cxp 4949    Fn wfn 5524   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   1c1 9397   4c4 10487  ;cdc 10869   ndxcnx 14292   sSet csts 14293   Basecbs 14295   ↾s cress 14296   Hom chom 14371    |`cat cresc 14843
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-er 7214  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-nn 10437  df-2 10494  df-3 10495  df-4 10496  df-5 10497  df-6 10498  df-7 10499  df-8 10500  df-9 10501  df-10 10502  df-n0 10694  df-z 10761  df-dec 10870  df-ndx 14298  df-slot 14299  df-base 14300  df-sets 14301  df-ress 14302  df-hom 14384  df-resc 14846
This theorem is referenced by:  reschomf  14866  subccatid  14878  issubc3  14881  fullresc  14883  funcres  14928  funcres2b  14929  funcres2  14930
  Copyright terms: Public domain W3C validator