MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rescbas Structured version   Unicode version

Theorem rescbas 15685
Description: Base set of the category restriction. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
rescbas.d  |-  D  =  ( C  |`cat  H )
rescbas.b  |-  B  =  ( Base `  C
)
rescbas.c  |-  ( ph  ->  C  e.  V )
rescbas.h  |-  ( ph  ->  H  Fn  ( S  X.  S ) )
rescbas.s  |-  ( ph  ->  S  C_  B )
Assertion
Ref Expression
rescbas  |-  ( ph  ->  S  =  ( Base `  D ) )

Proof of Theorem rescbas
StepHypRef Expression
1 baseid 15132 . . 3  |-  Base  = Slot  ( Base `  ndx )
2 1re 9641 . . . . 5  |-  1  e.  RR
3 1nn 10620 . . . . . 6  |-  1  e.  NN
4 4nn0 10888 . . . . . 6  |-  4  e.  NN0
5 1nn0 10885 . . . . . 6  |-  1  e.  NN0
6 1lt10 10820 . . . . . 6  |-  1  <  10
73, 4, 5, 6declti 11076 . . . . 5  |-  1  < ; 1
4
82, 7ltneii 9746 . . . 4  |-  1  =/= ; 1 4
9 basendx 15136 . . . . 5  |-  ( Base `  ndx )  =  1
10 homndx 15271 . . . . 5  |-  ( Hom  `  ndx )  = ; 1 4
119, 10neeq12i 2720 . . . 4  |-  ( (
Base `  ndx )  =/=  ( Hom  `  ndx ) 
<->  1  =/= ; 1 4 )
128, 11mpbir 212 . . 3  |-  ( Base `  ndx )  =/=  ( Hom  `  ndx )
131, 12setsnid 15128 . 2  |-  ( Base `  ( Cs  S ) )  =  ( Base `  (
( Cs  S ) sSet  <. ( Hom  `  ndx ) ,  H >. ) )
14 rescbas.s . . 3  |-  ( ph  ->  S  C_  B )
15 eqid 2429 . . . 4  |-  ( Cs  S )  =  ( Cs  S )
16 rescbas.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  C
)
1715, 16ressbas2 15142 . . 3  |-  ( S 
C_  B  ->  S  =  ( Base `  ( Cs  S ) ) )
1814, 17syl 17 . 2  |-  ( ph  ->  S  =  ( Base `  ( Cs  S ) ) )
19 rescbas.d . . . 4  |-  D  =  ( C  |`cat  H )
20 rescbas.c . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  V )
21 fvex 5891 . . . . . . 7  |-  ( Base `  C )  e.  _V
2216, 21eqeltri 2513 . . . . . 6  |-  B  e. 
_V
2322ssex 4569 . . . . 5  |-  ( S 
C_  B  ->  S  e.  _V )
2414, 23syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  S  e.  _V )
25 rescbas.h . . . 4  |-  ( ph  ->  H  Fn  ( S  X.  S ) )
2619, 20, 24, 25rescval2 15684 . . 3  |-  ( ph  ->  D  =  ( ( Cs  S ) sSet  <. ( Hom  `  ndx ) ,  H >. ) )
2726fveq2d 5885 . 2  |-  ( ph  ->  ( Base `  D
)  =  ( Base `  ( ( Cs  S ) sSet  <. ( Hom  `  ndx ) ,  H >. ) ) )
2813, 18, 273eqtr4a 2496 1  |-  ( ph  ->  S  =  ( Base `  D ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1437    e. wcel 1870    =/= wne 2625   _Vcvv 3087    C_ wss 3442   <.cop 4008    X. cxp 4852    Fn wfn 5596   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   1c1 9539   4c4 10661  ;cdc 11051   ndxcnx 15081   sSet csts 15082   Basecbs 15084   ↾s cress 15085   Hom chom 15163    |`cat cresc 15664
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-sets 15090  df-ress 15091  df-hom 15176  df-resc 15667
This theorem is referenced by:  reschomf  15687  subccatid  15702  issubc3  15705  fullresc  15707  funcres  15752  funcres2b  15753  funcres2  15754  rngcbas  38725  ringcbas  38771
  Copyright terms: Public domain W3C validator