MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rescbas Structured version   Unicode version

Theorem rescbas 15076
Description: Base set of the category restriction. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
rescbas.d  |-  D  =  ( C  |`cat  H )
rescbas.b  |-  B  =  ( Base `  C
)
rescbas.c  |-  ( ph  ->  C  e.  V )
rescbas.h  |-  ( ph  ->  H  Fn  ( S  X.  S ) )
rescbas.s  |-  ( ph  ->  S  C_  B )
Assertion
Ref Expression
rescbas  |-  ( ph  ->  S  =  ( Base `  D ) )

Proof of Theorem rescbas
StepHypRef Expression
1 baseid 14553 . . 3  |-  Base  = Slot  ( Base `  ndx )
2 1re 9607 . . . . 5  |-  1  e.  RR
3 1nn 10559 . . . . . 6  |-  1  e.  NN
4 4nn0 10826 . . . . . 6  |-  4  e.  NN0
5 1nn0 10823 . . . . . 6  |-  1  e.  NN0
6 1lt10 10758 . . . . . 6  |-  1  <  10
73, 4, 5, 6declti 11013 . . . . 5  |-  1  < ; 1
4
82, 7ltneii 9709 . . . 4  |-  1  =/= ; 1 4
9 basendx 14557 . . . . 5  |-  ( Base `  ndx )  =  1
10 homndx 14687 . . . . 5  |-  ( Hom  `  ndx )  = ; 1 4
119, 10neeq12i 2756 . . . 4  |-  ( (
Base `  ndx )  =/=  ( Hom  `  ndx ) 
<->  1  =/= ; 1 4 )
128, 11mpbir 209 . . 3  |-  ( Base `  ndx )  =/=  ( Hom  `  ndx )
131, 12setsnid 14549 . 2  |-  ( Base `  ( Cs  S ) )  =  ( Base `  (
( Cs  S ) sSet  <. ( Hom  `  ndx ) ,  H >. ) )
14 rescbas.s . . 3  |-  ( ph  ->  S  C_  B )
15 eqid 2467 . . . 4  |-  ( Cs  S )  =  ( Cs  S )
16 rescbas.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  C
)
1715, 16ressbas2 14563 . . 3  |-  ( S 
C_  B  ->  S  =  ( Base `  ( Cs  S ) ) )
1814, 17syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  S  =  ( Base `  ( Cs  S ) ) )
19 rescbas.d . . . 4  |-  D  =  ( C  |`cat  H )
20 rescbas.c . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  V )
21 fvex 5882 . . . . . . 7  |-  ( Base `  C )  e.  _V
2216, 21eqeltri 2551 . . . . . 6  |-  B  e. 
_V
2322ssex 4597 . . . . 5  |-  ( S 
C_  B  ->  S  e.  _V )
2414, 23syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  S  e.  _V )
25 rescbas.h . . . 4  |-  ( ph  ->  H  Fn  ( S  X.  S ) )
2619, 20, 24, 25rescval2 15075 . . 3  |-  ( ph  ->  D  =  ( ( Cs  S ) sSet  <. ( Hom  `  ndx ) ,  H >. ) )
2726fveq2d 5876 . 2  |-  ( ph  ->  ( Base `  D
)  =  ( Base `  ( ( Cs  S ) sSet  <. ( Hom  `  ndx ) ,  H >. ) ) )
2813, 18, 273eqtr4a 2534 1  |-  ( ph  ->  S  =  ( Base `  D ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   _Vcvv 3118    C_ wss 3481   <.cop 4039    X. cxp 5003    Fn wfn 5589   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   1c1 9505   4c4 10599  ;cdc 10988   ndxcnx 14504   sSet csts 14505   Basecbs 14507   ↾s cress 14508   Hom chom 14583    |`cat cresc 15055
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-dec 10989  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514  df-hom 14596  df-resc 15058
This theorem is referenced by:  reschomf  15078  subccatid  15090  issubc3  15093  fullresc  15095  funcres  15140  funcres2b  15141  funcres2  15142
  Copyright terms: Public domain W3C validator