MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rescbas Structured version   Unicode version

Theorem rescbas 15672
Description: Base set of the category restriction. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
rescbas.d  |-  D  =  ( C  |`cat  H )
rescbas.b  |-  B  =  ( Base `  C
)
rescbas.c  |-  ( ph  ->  C  e.  V )
rescbas.h  |-  ( ph  ->  H  Fn  ( S  X.  S ) )
rescbas.s  |-  ( ph  ->  S  C_  B )
Assertion
Ref Expression
rescbas  |-  ( ph  ->  S  =  ( Base `  D ) )

Proof of Theorem rescbas
StepHypRef Expression
1 baseid 15107 . . 3  |-  Base  = Slot  ( Base `  ndx )
2 1re 9588 . . . . 5  |-  1  e.  RR
3 1nn 10566 . . . . . 6  |-  1  e.  NN
4 4nn0 10834 . . . . . 6  |-  4  e.  NN0
5 1nn0 10831 . . . . . 6  |-  1  e.  NN0
6 1lt10 10766 . . . . . 6  |-  1  <  10
73, 4, 5, 6declti 11022 . . . . 5  |-  1  < ; 1
4
82, 7ltneii 9693 . . . 4  |-  1  =/= ; 1 4
9 basendx 15111 . . . . 5  |-  ( Base `  ndx )  =  1
10 homndx 15250 . . . . 5  |-  ( Hom  `  ndx )  = ; 1 4
119, 10neeq12i 2662 . . . 4  |-  ( (
Base `  ndx )  =/=  ( Hom  `  ndx ) 
<->  1  =/= ; 1 4 )
128, 11mpbir 212 . . 3  |-  ( Base `  ndx )  =/=  ( Hom  `  ndx )
131, 12setsnid 15103 . 2  |-  ( Base `  ( Cs  S ) )  =  ( Base `  (
( Cs  S ) sSet  <. ( Hom  `  ndx ) ,  H >. ) )
14 rescbas.s . . 3  |-  ( ph  ->  S  C_  B )
15 eqid 2423 . . . 4  |-  ( Cs  S )  =  ( Cs  S )
16 rescbas.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  C
)
1715, 16ressbas2 15118 . . 3  |-  ( S 
C_  B  ->  S  =  ( Base `  ( Cs  S ) ) )
1814, 17syl 17 . 2  |-  ( ph  ->  S  =  ( Base `  ( Cs  S ) ) )
19 rescbas.d . . . 4  |-  D  =  ( C  |`cat  H )
20 rescbas.c . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  V )
21 fvex 5830 . . . . . . 7  |-  ( Base `  C )  e.  _V
2216, 21eqeltri 2497 . . . . . 6  |-  B  e. 
_V
2322ssex 4506 . . . . 5  |-  ( S 
C_  B  ->  S  e.  _V )
2414, 23syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  S  e.  _V )
25 rescbas.h . . . 4  |-  ( ph  ->  H  Fn  ( S  X.  S ) )
2619, 20, 24, 25rescval2 15671 . . 3  |-  ( ph  ->  D  =  ( ( Cs  S ) sSet  <. ( Hom  `  ndx ) ,  H >. ) )
2726fveq2d 5824 . 2  |-  ( ph  ->  ( Base `  D
)  =  ( Base `  ( ( Cs  S ) sSet  <. ( Hom  `  ndx ) ,  H >. ) ) )
2813, 18, 273eqtr4a 2483 1  |-  ( ph  ->  S  =  ( Base `  D ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1437    e. wcel 1872    =/= wne 2594   _Vcvv 3017    C_ wss 3374   <.cop 3942    X. cxp 4789    Fn wfn 5534   ` cfv 5539  (class class class)co 6244   1c1 9486   4c4 10607  ;cdc 10997   ndxcnx 15056   sSet csts 15057   Basecbs 15059   ↾s cress 15060   Hom chom 15139    |`cat cresc 15651
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2058  ax-ext 2403  ax-rep 4474  ax-sep 4484  ax-nul 4493  ax-pow 4540  ax-pr 4598  ax-un 6536  ax-cnex 9541  ax-resscn 9542  ax-1cn 9543  ax-icn 9544  ax-addcl 9545  ax-addrcl 9546  ax-mulcl 9547  ax-mulrcl 9548  ax-mulcom 9549  ax-addass 9550  ax-mulass 9551  ax-distr 9552  ax-i2m1 9553  ax-1ne0 9554  ax-1rid 9555  ax-rnegex 9556  ax-rrecex 9557  ax-cnre 9558  ax-pre-lttri 9559  ax-pre-lttrn 9560  ax-pre-ltadd 9561  ax-pre-mulgt0 9562
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2275  df-mo 2276  df-clab 2410  df-cleq 2416  df-clel 2419  df-nfc 2553  df-ne 2596  df-nel 2597  df-ral 2714  df-rex 2715  df-reu 2716  df-rab 2718  df-v 3019  df-sbc 3238  df-csb 3334  df-dif 3377  df-un 3379  df-in 3381  df-ss 3388  df-pss 3390  df-nul 3700  df-if 3850  df-pw 3921  df-sn 3937  df-pr 3939  df-tp 3941  df-op 3943  df-uni 4158  df-iun 4239  df-br 4362  df-opab 4421  df-mpt 4422  df-tr 4457  df-eprel 4702  df-id 4706  df-po 4712  df-so 4713  df-fr 4750  df-we 4752  df-xp 4797  df-rel 4798  df-cnv 4799  df-co 4800  df-dm 4801  df-rn 4802  df-res 4803  df-ima 4804  df-pred 5337  df-ord 5383  df-on 5384  df-lim 5385  df-suc 5386  df-iota 5503  df-fun 5541  df-fn 5542  df-f 5543  df-f1 5544  df-fo 5545  df-f1o 5546  df-fv 5547  df-riota 6206  df-ov 6247  df-oprab 6248  df-mpt2 6249  df-om 6646  df-wrecs 6978  df-recs 7040  df-rdg 7078  df-er 7313  df-en 7520  df-dom 7521  df-sdom 7522  df-pnf 9623  df-mnf 9624  df-xr 9625  df-ltxr 9626  df-le 9627  df-sub 9808  df-neg 9809  df-nn 10556  df-2 10614  df-3 10615  df-4 10616  df-5 10617  df-6 10618  df-7 10619  df-8 10620  df-9 10621  df-10 10622  df-n0 10816  df-z 10884  df-dec 10998  df-ndx 15062  df-slot 15063  df-base 15064  df-sets 15065  df-ress 15066  df-hom 15152  df-resc 15654
This theorem is referenced by:  reschomf  15674  subccatid  15689  issubc3  15692  fullresc  15694  funcres  15739  funcres2b  15740  funcres2  15741  rngcbas  39558  ringcbas  39604
  Copyright terms: Public domain W3C validator