MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rescabs2 Structured version   Unicode version

Theorem rescabs2 14762
Description: Restriction absorption law. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
rescabs2.c  |-  ( ph  ->  C  e.  V )
rescabs2.j  |-  ( ph  ->  J  Fn  ( T  X.  T ) )
rescabs2.s  |-  ( ph  ->  S  e.  W )
rescabs2.t  |-  ( ph  ->  T  C_  S )
Assertion
Ref Expression
rescabs2  |-  ( ph  ->  ( ( Cs  S )  |`cat 
J )  =  ( C  |`cat  J ) )

Proof of Theorem rescabs2
StepHypRef Expression
1 rescabs2.s . . . 4  |-  ( ph  ->  S  e.  W )
2 rescabs2.t . . . 4  |-  ( ph  ->  T  C_  S )
3 ressabs 14251 . . . 4  |-  ( ( S  e.  W  /\  T  C_  S )  -> 
( ( Cs  S )s  T )  =  ( Cs  T ) )
41, 2, 3syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( Cs  S )s  T )  =  ( Cs  T ) )
54oveq1d 6121 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( Cs  S )s  T ) sSet  <. ( Hom  `  ndx ) ,  J >. )  =  ( ( Cs  T ) sSet  <. ( Hom  `  ndx ) ,  J >. ) )
6 eqid 2443 . . 3  |-  ( ( Cs  S )  |`cat  J )  =  ( ( Cs  S )  |`cat  J )
7 ovex 6131 . . . 4  |-  ( Cs  S )  e.  _V
87a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Cs  S )  e.  _V )
91, 2ssexd 4454 . . 3  |-  ( ph  ->  T  e.  _V )
10 rescabs2.j . . 3  |-  ( ph  ->  J  Fn  ( T  X.  T ) )
116, 8, 9, 10rescval2 14756 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( Cs  S )  |`cat 
J )  =  ( ( ( Cs  S )s  T ) sSet  <. ( Hom  `  ndx ) ,  J >. ) )
12 eqid 2443 . . 3  |-  ( C  |`cat 
J )  =  ( C  |`cat  J )
13 rescabs2.c . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  V )
1412, 13, 9, 10rescval2 14756 . 2  |-  ( ph  ->  ( C  |`cat  J )  =  ( ( Cs  T ) sSet  <. ( Hom  `  ndx ) ,  J >. ) )
155, 11, 143eqtr4d 2485 1  |-  ( ph  ->  ( ( Cs  S )  |`cat 
J )  =  ( C  |`cat  J ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1369    e. wcel 1756   _Vcvv 2987    C_ wss 3343   <.cop 3898    X. cxp 4853    Fn wfn 5428   ` cfv 5433  (class class class)co 6106   ndxcnx 14186   sSet csts 14187   ↾s cress 14190   Hom chom 14264    |`cat cresc 14736
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4418  ax-sep 4428  ax-nul 4436  ax-pow 4485  ax-pr 4546  ax-un 6387  ax-cnex 9353  ax-resscn 9354  ax-1cn 9355  ax-icn 9356  ax-addcl 9357  ax-addrcl 9358  ax-mulcl 9359  ax-mulrcl 9360  ax-i2m1 9365  ax-1ne0 9366  ax-rrecex 9369  ax-cnre 9370
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-ral 2735  df-rex 2736  df-reu 2737  df-rab 2739  df-v 2989  df-sbc 3202  df-csb 3304  df-dif 3346  df-un 3348  df-in 3350  df-ss 3357  df-pss 3359  df-nul 3653  df-if 3807  df-pw 3877  df-sn 3893  df-pr 3895  df-tp 3897  df-op 3899  df-uni 4107  df-iun 4188  df-br 4308  df-opab 4366  df-mpt 4367  df-tr 4401  df-eprel 4647  df-id 4651  df-po 4656  df-so 4657  df-fr 4694  df-we 4696  df-ord 4737  df-on 4738  df-lim 4739  df-suc 4740  df-xp 4861  df-rel 4862  df-cnv 4863  df-co 4864  df-dm 4865  df-rn 4866  df-res 4867  df-ima 4868  df-iota 5396  df-fun 5435  df-fn 5436  df-f 5437  df-f1 5438  df-fo 5439  df-f1o 5440  df-fv 5441  df-ov 6109  df-oprab 6110  df-mpt2 6111  df-om 6492  df-recs 6847  df-rdg 6881  df-nn 10338  df-ndx 14192  df-slot 14193  df-base 14194  df-sets 14195  df-ress 14196  df-resc 14739
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator