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Theorem resasplit 5753
Description: If two functions agree on their common domain, express their union as a union of three functions with pairwise disjoint domains. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
resasplit  |-  ( ( F  Fn  A  /\  G  Fn  B  /\  ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( G  |`  ( A  i^i  B ) ) )  ->  ( F  u.  G )  =  ( ( F  |`  ( A  i^i  B
) )  u.  (
( F  |`  ( A  \  B ) )  u.  ( G  |`  ( B  \  A ) ) ) ) )

Proof of Theorem resasplit
StepHypRef Expression
1 fnresdm 5688 . . . 4  |-  ( F  Fn  A  ->  ( F  |`  A )  =  F )
2 fnresdm 5688 . . . 4  |-  ( G  Fn  B  ->  ( G  |`  B )  =  G )
3 uneq12 3653 . . . 4  |-  ( ( ( F  |`  A )  =  F  /\  ( G  |`  B )  =  G )  ->  (
( F  |`  A )  u.  ( G  |`  B ) )  =  ( F  u.  G
) )
41, 2, 3syl2an 477 . . 3  |-  ( ( F  Fn  A  /\  G  Fn  B )  ->  ( ( F  |`  A )  u.  ( G  |`  B ) )  =  ( F  u.  G ) )
543adant3 1016 . 2  |-  ( ( F  Fn  A  /\  G  Fn  B  /\  ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( G  |`  ( A  i^i  B ) ) )  ->  (
( F  |`  A )  u.  ( G  |`  B ) )  =  ( F  u.  G
) )
6 simp3 998 . . . . . . 7  |-  ( ( F  Fn  A  /\  G  Fn  B  /\  ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( G  |`  ( A  i^i  B ) ) )  ->  ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( G  |`  ( A  i^i  B ) ) )
76uneq1d 3657 . . . . . 6  |-  ( ( F  Fn  A  /\  G  Fn  B  /\  ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( G  |`  ( A  i^i  B ) ) )  ->  (
( F  |`  ( A  i^i  B ) )  u.  ( G  |`  ( B  \  A ) ) )  =  ( ( G  |`  ( A  i^i  B ) )  u.  ( G  |`  ( B  \  A ) ) ) )
87uneq2d 3658 . . . . 5  |-  ( ( F  Fn  A  /\  G  Fn  B  /\  ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( G  |`  ( A  i^i  B ) ) )  ->  (
( ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  u.  ( F  |`  ( A  \  B
) ) )  u.  ( ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  u.  ( G  |`  ( B  \  A
) ) ) )  =  ( ( ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  u.  ( F  |`  ( A  \  B ) ) )  u.  ( ( G  |`  ( A  i^i  B ) )  u.  ( G  |`  ( B  \  A ) ) ) ) )
9 inundif 3905 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  i^i  B )  u.  ( A  \  B ) )  =  A
109reseq2i 5268 . . . . . . 7  |-  ( F  |`  ( ( A  i^i  B )  u.  ( A 
\  B ) ) )  =  ( F  |`  A )
11 resundi 5285 . . . . . . 7  |-  ( F  |`  ( ( A  i^i  B )  u.  ( A 
\  B ) ) )  =  ( ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  u.  ( F  |`  ( A  \  B ) ) )
1210, 11eqtr3i 2498 . . . . . 6  |-  ( F  |`  A )  =  ( ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  u.  ( F  |`  ( A  \  B ) ) )
13 incom 3691 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  i^i  B )  =  ( B  i^i  A
)
1413uneq1i 3654 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  i^i  B )  u.  ( B  \  A ) )  =  ( ( B  i^i  A )  u.  ( B 
\  A ) )
15 inundif 3905 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  i^i  A )  u.  ( B  \  A ) )  =  B
1614, 15eqtri 2496 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  i^i  B )  u.  ( B  \  A ) )  =  B
1716reseq2i 5268 . . . . . . 7  |-  ( G  |`  ( ( A  i^i  B )  u.  ( B 
\  A ) ) )  =  ( G  |`  B )
18 resundi 5285 . . . . . . 7  |-  ( G  |`  ( ( A  i^i  B )  u.  ( B 
\  A ) ) )  =  ( ( G  |`  ( A  i^i  B ) )  u.  ( G  |`  ( B  \  A ) ) )
1917, 18eqtr3i 2498 . . . . . 6  |-  ( G  |`  B )  =  ( ( G  |`  ( A  i^i  B ) )  u.  ( G  |`  ( B  \  A ) ) )
2012, 19uneq12i 3656 . . . . 5  |-  ( ( F  |`  A )  u.  ( G  |`  B ) )  =  ( ( ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  u.  ( F  |`  ( A  \  B ) ) )  u.  (
( G  |`  ( A  i^i  B ) )  u.  ( G  |`  ( B  \  A ) ) ) )
218, 20syl6reqr 2527 . . . 4  |-  ( ( F  Fn  A  /\  G  Fn  B  /\  ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( G  |`  ( A  i^i  B ) ) )  ->  (
( F  |`  A )  u.  ( G  |`  B ) )  =  ( ( ( F  |`  ( A  i^i  B
) )  u.  ( F  |`  ( A  \  B ) ) )  u.  ( ( F  |`  ( A  i^i  B
) )  u.  ( G  |`  ( B  \  A ) ) ) ) )
22 un4 3664 . . . 4  |-  ( ( ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  u.  ( F  |`  ( A  \  B ) ) )  u.  (
( F  |`  ( A  i^i  B ) )  u.  ( G  |`  ( B  \  A ) ) ) )  =  ( ( ( F  |`  ( A  i^i  B
) )  u.  ( F  |`  ( A  i^i  B ) ) )  u.  ( ( F  |`  ( A  \  B ) )  u.  ( G  |`  ( B  \  A
) ) ) )
2321, 22syl6eq 2524 . . 3  |-  ( ( F  Fn  A  /\  G  Fn  B  /\  ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( G  |`  ( A  i^i  B ) ) )  ->  (
( F  |`  A )  u.  ( G  |`  B ) )  =  ( ( ( F  |`  ( A  i^i  B
) )  u.  ( F  |`  ( A  i^i  B ) ) )  u.  ( ( F  |`  ( A  \  B ) )  u.  ( G  |`  ( B  \  A
) ) ) ) )
24 unidm 3647 . . . 4  |-  ( ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  u.  ( F  |`  ( A  i^i  B ) ) )  =  ( F  |`  ( A  i^i  B
) )
2524uneq1i 3654 . . 3  |-  ( ( ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  u.  ( F  |`  ( A  i^i  B ) ) )  u.  (
( F  |`  ( A  \  B ) )  u.  ( G  |`  ( B  \  A ) ) ) )  =  ( ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  u.  ( ( F  |`  ( A  \  B ) )  u.  ( G  |`  ( B  \  A ) ) ) )
2623, 25syl6eq 2524 . 2  |-  ( ( F  Fn  A  /\  G  Fn  B  /\  ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( G  |`  ( A  i^i  B ) ) )  ->  (
( F  |`  A )  u.  ( G  |`  B ) )  =  ( ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  u.  ( ( F  |`  ( A  \  B ) )  u.  ( G  |`  ( B  \  A ) ) ) ) )
275, 26eqtr3d 2510 1  |-  ( ( F  Fn  A  /\  G  Fn  B  /\  ( F  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( G  |`  ( A  i^i  B ) ) )  ->  ( F  u.  G )  =  ( ( F  |`  ( A  i^i  B
) )  u.  (
( F  |`  ( A  \  B ) )  u.  ( G  |`  ( B  \  A ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 973    = wceq 1379    \ cdif 3473    u. cun 3474    i^i cin 3475    |` cres 5001    Fn wfn 5581
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pr 4686
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-br 4448  df-opab 4506  df-xp 5005  df-rel 5006  df-dm 5009  df-res 5011  df-fun 5588  df-fn 5589
This theorem is referenced by:  fresaun  5754  fresaunres2  5755
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