MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  resabs1 Unicode version

Theorem resabs1 4891
Description: Absorption law for restriction. Exercise 17 of [TakeutiZaring] p. 25. (Contributed by NM, 9-Aug-1994.)
Assertion
Ref Expression
resabs1  |-  ( B 
C_  C  ->  (
( A  |`  C )  |`  B )  =  ( A  |`  B )
)

Proof of Theorem resabs1
StepHypRef Expression
1 resres 4875 . 2  |-  ( ( A  |`  C )  |`  B )  =  ( A  |`  ( C  i^i  B ) )
2 sseqin2 3295 . . 3  |-  ( B 
C_  C  <->  ( C  i^i  B )  =  B )
3 reseq2 4857 . . 3  |-  ( ( C  i^i  B )  =  B  ->  ( A  |`  ( C  i^i  B ) )  =  ( A  |`  B )
)
42, 3sylbi 189 . 2  |-  ( B 
C_  C  ->  ( A  |`  ( C  i^i  B ) )  =  ( A  |`  B )
)
51, 4syl5eq 2297 1  |-  ( B 
C_  C  ->  (
( A  |`  C )  |`  B )  =  ( A  |`  B )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    = wceq 1619    i^i cin 3077    C_ wss 3078    |` cres 4582
This theorem is referenced by:  resabs2  4892  resiima  4936  fun2ssres  5152  fssres2  5266  fvres  5394  smores3  6256  tfrlem5  6282  setsres  13048  gsum2d  15058  ablfac1eulem  15142  resthauslem  16923  kgencn2  17084  ptcmpfi  17336  tsmsres  17658  ressxms  17903  nrginvrcn  18034  resubmet  18140  xrge0gsumle  18170  lebnumii  18296  cmsss  18604  minveclem3a  18623  dvlip2  19174  c1liplem1  19175  efcvx  19657  dfrelog  19755  relogf1o  19756  dvlog  19830  dvlog2  19832  efopnlem2  19836  logccv  19842  loglesqr  19966  wilthlem2  20139  cvmsss2  22976  cvmlift2lem9  23013  ssbnd  25678  prdsbnd2  25685  cnpwstotbnd  25687  reheibor  25729  mzpcompact2lem  25995  eldioph2  26007  diophin  26018  diophrex  26021  2rexfrabdioph  26043  3rexfrabdioph  26044  4rexfrabdioph  26045  6rexfrabdioph  26046  7rexfrabdioph  26047  fnwe2lem2  26314  lindsss  26460  dvsid  26714  bnj1280  27739
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pr 4108
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2516  df-v 2729  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-nul 3363  df-if 3471  df-sn 3550  df-pr 3551  df-op 3553  df-opab 3975  df-xp 4594  df-rel 4595  df-res 4600
  Copyright terms: Public domain W3C validator