Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rerrext Structured version   Unicode version

Theorem rerrext 28652
Description: The field of the real numbers is an extension of the real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-May-2018.)
Assertion
Ref Expression
rerrext  |- RRfld  e. ℝExt

Proof of Theorem rerrext
StepHypRef Expression
1 cnnrg 21712 . . . 4  |-fld  e. NrmRing
2 resubdrg 19107 . . . . 5  |-  ( RR  e.  (SubRing ` fld )  /\ RRfld  e.  DivRing )
32simpli 459 . . . 4  |-  RR  e.  (SubRing ` fld )
4 df-refld 19104 . . . . 5  |- RRfld  =  (flds  RR )
54subrgnrg 21607 . . . 4  |-  ( (fld  e. NrmRing  /\  RR  e.  (SubRing ` fld ) )  -> RRfld  e. NrmRing )
61, 3, 5mp2an 676 . . 3  |- RRfld  e. NrmRing
72simpri 463 . . 3  |- RRfld  e.  DivRing
86, 7pm3.2i 456 . 2  |-  (RRfld  e. NrmRing  /\ RRfld  e.  DivRing )
9 rezh 28614 . . 3  |-  ( ZMod
` RRfld )  e. NrmMod
10 reofld 28442 . . . 4  |- RRfld  e. oField
11 ofldchr 28416 . . . 4  |-  (RRfld  e. oField  -> 
(chr ` RRfld )  =  0 )
1210, 11ax-mp 5 . . 3  |-  (chr ` RRfld )  =  0
139, 12pm3.2i 456 . 2  |-  ( ( ZMod ` RRfld )  e. NrmMod  /\  (chr ` RRfld
)  =  0 )
14 recusp 22234 . . 3  |- RRfld  e. CUnifSp
15 reust 22233 . . 3  |-  (UnifSt ` RRfld )  =  (metUnif `  (
( dist ` RRfld )  |`  ( RR  X.  RR ) ) )
1614, 15pm3.2i 456 . 2  |-  (RRfld  e. CUnifSp  /\  (UnifSt ` RRfld )  =  (metUnif `  ( ( dist ` RRfld )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ) )
17 rebase 19105 . . 3  |-  RR  =  ( Base ` RRfld )
18 eqid 2429 . . 3  |-  ( (
dist ` RRfld )  |`  ( RR  X.  RR ) )  =  ( ( dist ` RRfld )  |`  ( RR  X.  RR ) )
19 eqid 2429 . . 3  |-  ( ZMod
` RRfld )  =  ( ZMod ` RRfld )
2017, 18, 19isrrext 28643 . 2  |-  (RRfld  e. ℝExt  <->  ( (RRfld  e. NrmRing  /\ RRfld  e.  DivRing )  /\  ( ( ZMod ` RRfld )  e. NrmMod  /\  (chr ` RRfld )  =  0 )  /\  (RRfld  e. CUnifSp  /\  (UnifSt ` RRfld
)  =  (metUnif `  (
( dist ` RRfld )  |`  ( RR  X.  RR ) ) ) ) ) )
218, 13, 16, 20mpbir3an 1187 1  |- RRfld  e. ℝExt
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1870    X. cxp 4852    |` cres 4856   ` cfv 5601   RRcr 9537   0cc0 9538   distcds 15161   DivRingcdr 17910  SubRingcsubrg 17939  metUnifcmetu 18896  ℂfldccnfld 18905   ZModczlm 19003  chrcchr 19004  RRfldcrefld 19103  UnifStcuss 21199  CUnifSpccusp 21243  NrmRingcnrg 21525  NrmModcnlm 21526  oFieldcofld 28398   ℝExt crrext 28637
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616  ax-addf 9617  ax-mulf 9618
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-iin 4305  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-supp 6926  df-tpos 6981  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-2o 7191  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-ixp 7531  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-fsupp 7890  df-fi 7931  df-sup 7962  df-oi 8025  df-card 8372  df-cda 8596  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-seq 12211  df-exp 12270  df-hash 12513  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-struct 15086  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-sets 15090  df-ress 15091  df-plusg 15165  df-mulr 15166  df-starv 15167  df-sca 15168  df-vsca 15169  df-ip 15170  df-tset 15171  df-ple 15172  df-ds 15174  df-unif 15175  df-hom 15176  df-cco 15177  df-rest 15280  df-topn 15281  df-0g 15299  df-gsum 15300  df-topgen 15301  df-pt 15302  df-prds 15305  df-xrs 15359  df-qtop 15364  df-imas 15365  df-xps 15367  df-mre 15443  df-mrc 15444  df-acs 15446  df-preset 16124  df-poset 16142  df-plt 16155  df-toset 16231  df-ps 16397  df-tsr 16398  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-submnd 16534  df-grp 16624  df-minusg 16625  df-sbg 16626  df-mulg 16627  df-subg 16765  df-cntz 16922  df-od 17120  df-cmn 17367  df-abl 17368  df-mgp 17659  df-ur 17671  df-ring 17717  df-cring 17718  df-oppr 17786  df-dvdsr 17804  df-unit 17805  df-invr 17835  df-dvr 17846  df-drng 17912  df-field 17913  df-subrg 17941  df-abv 17980  df-lmod 18028  df-psmet 18897  df-xmet 18898  df-met 18899  df-bl 18900  df-mopn 18901  df-fbas 18902  df-fg 18903  df-metu 18904  df-cnfld 18906  df-zring 18974  df-zlm 19007  df-chr 19008  df-refld 19104  df-top 19852  df-bases 19853  df-topon 19854  df-topsp 19855  df-cld 19965  df-ntr 19966  df-cls 19967  df-nei 20045  df-cn 20174  df-cnp 20175  df-haus 20262  df-cmp 20333  df-tx 20508  df-hmeo 20701  df-fil 20792  df-flim 20885  df-fcls 20887  df-ust 21146  df-utop 21177  df-uss 21202  df-usp 21203  df-cfilu 21233  df-cusp 21244  df-xms 21266  df-ms 21267  df-tms 21268  df-nm 21528  df-ngp 21529  df-nrg 21531  df-nlm 21532  df-cncf 21806  df-cfil 22118  df-cmet 22120  df-cms 22196  df-omnd 28300  df-ogrp 28301  df-orng 28399  df-ofld 28400  df-rrext 28642
This theorem is referenced by:  rrhre  28664  sitgclre  29006
  Copyright terms: Public domain W3C validator