MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rerpdivcl Structured version   Unicode version

Theorem rerpdivcl 11119
Description: Closure law for division of a real by a positive real. (Contributed by NM, 10-Nov-2008.)
Assertion
Ref Expression
rerpdivcl  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  -> 
( A  /  B
)  e.  RR )

Proof of Theorem rerpdivcl
StepHypRef Expression
1 rprene0 11108 . 2  |-  ( B  e.  RR+  ->  ( B  e.  RR  /\  B  =/=  0 ) )
2 redivcl 10151 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  B  =/=  0 )  ->  ( A  /  B )  e.  RR )
323expb 1189 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( B  e.  RR  /\  B  =/=  0 ) )  ->  ( A  /  B )  e.  RR )
41, 3sylan2 474 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  -> 
( A  /  B
)  e.  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1758    =/= wne 2644  (class class class)co 6190   RRcr 9382   0cc0 9383    / cdiv 10094   RR+crp 11092
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629  ax-un 6472  ax-resscn 9440  ax-1cn 9441  ax-icn 9442  ax-addcl 9443  ax-addrcl 9444  ax-mulcl 9445  ax-mulrcl 9446  ax-mulcom 9447  ax-addass 9448  ax-mulass 9449  ax-distr 9450  ax-i2m1 9451  ax-1ne0 9452  ax-1rid 9453  ax-rnegex 9454  ax-rrecex 9455  ax-cnre 9456  ax-pre-lttri 9457  ax-pre-lttrn 9458  ax-pre-ltadd 9459  ax-pre-mulgt0 9460
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-csb 3387  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-op 3982  df-uni 4190  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-id 4734  df-po 4739  df-so 4740  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-res 4950  df-ima 4951  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fn 5519  df-f 5520  df-f1 5521  df-fo 5522  df-f1o 5523  df-fv 5524  df-riota 6151  df-ov 6193  df-oprab 6194  df-mpt2 6195  df-er 7201  df-en 7411  df-dom 7412  df-sdom 7413  df-pnf 9521  df-mnf 9522  df-xr 9523  df-ltxr 9524  df-le 9525  df-sub 9698  df-neg 9699  df-div 10095  df-rp 11093
This theorem is referenced by:  rerpdivcld  11155  icccntr  11526  refldivcl  11770  fldivle  11776  ltdifltdiv  11779  modvalr  11812  modcl  11813  flpmodeq  11814  mod0  11816  negmod0  11817  modge0  11818  modlt  11819  moddiffl  11820  moddifz  11821  modid  11833  modcyc  11844  modadd1  11846  modmul1  11853  moddi  11867  modsubdir  11868  modirr  11870  sqrdiv  12857  divrcnv  13417  gexdvds  16187  aaliou3lem8  21927  logdivlt  22186  cxp2limlem  22485  harmonicbnd4  22520  logexprlim  22680  bposlem7  22745  bposlem9  22747  chebbnd1lem3  22836  chebbnd1  22837  chto1ub  22841  chpo1ub  22845  vmadivsum  22847  rplogsumlem1  22849  dchrvmasumlema  22865  dchrvmasumiflem1  22866  dchrisum0fno1  22876  mulogsumlem  22896  logdivsum  22898  mulog2sumlem1  22899  selberg2lem  22915  selberg3lem1  22922  pntrmax  22929  pntpbnd1a  22950  pntpbnd1  22951  pntpbnd2  22952  pntpbnd  22953  pntibndlem3  22957  pntlem3  22974  pntleml  22976  pnt2  22978  subfacval3  27211  heiborlem6  28853
  Copyright terms: Public domain W3C validator