MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rerpdivcl Structured version   Unicode version

Theorem rerpdivcl 11014
Description: Closure law for division of a real by a positive real. (Contributed by NM, 10-Nov-2008.)
Assertion
Ref Expression
rerpdivcl  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  -> 
( A  /  B
)  e.  RR )

Proof of Theorem rerpdivcl
StepHypRef Expression
1 rprene0 11003 . 2  |-  ( B  e.  RR+  ->  ( B  e.  RR  /\  B  =/=  0 ) )
2 redivcl 10046 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  B  =/=  0 )  ->  ( A  /  B )  e.  RR )
323expb 1183 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( B  e.  RR  /\  B  =/=  0 ) )  ->  ( A  /  B )  e.  RR )
41, 3sylan2 471 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  -> 
( A  /  B
)  e.  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1761    =/= wne 2604  (class class class)co 6090   RRcr 9277   0cc0 9278    / cdiv 9989   RR+crp 10987
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-op 3881  df-uni 4089  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-er 7097  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-rp 10988
This theorem is referenced by:  rerpdivcld  11050  icccntr  11421  refldivcl  11665  fldivle  11671  ltdifltdiv  11674  modvalr  11707  modcl  11708  flpmodeq  11709  mod0  11711  negmod0  11712  modge0  11713  modlt  11714  moddiffl  11715  moddifz  11716  modid  11728  modcyc  11739  modadd1  11741  modmul1  11748  moddi  11762  modsubdir  11763  modirr  11765  sqrdiv  12751  divrcnv  13311  gexdvds  16076  aaliou3lem8  21770  logdivlt  22029  cxp2limlem  22328  harmonicbnd4  22363  logexprlim  22523  bposlem7  22588  bposlem9  22590  chebbnd1lem3  22679  chebbnd1  22680  chto1ub  22684  chpo1ub  22688  vmadivsum  22690  rplogsumlem1  22692  dchrvmasumlema  22708  dchrvmasumiflem1  22709  dchrisum0fno1  22719  mulogsumlem  22739  logdivsum  22741  mulog2sumlem1  22742  selberg2lem  22758  selberg3lem1  22765  pntrmax  22772  pntpbnd1a  22793  pntpbnd1  22794  pntpbnd2  22795  pntpbnd  22796  pntibndlem3  22800  pntlem3  22817  pntleml  22819  pnt2  22821  subfacval3  27007  heiborlem6  28640
  Copyright terms: Public domain W3C validator