MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rereccld Structured version   Unicode version

Theorem rereccld 10261
Description: Closure law for reciprocal. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
redivcld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
rereccld.2  |-  ( ph  ->  A  =/=  0 )
Assertion
Ref Expression
rereccld  |-  ( ph  ->  ( 1  /  A
)  e.  RR )

Proof of Theorem rereccld
StepHypRef Expression
1 redivcld.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 rereccld.2 . 2  |-  ( ph  ->  A  =/=  0 )
3 rereccl 10152 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  =/=  0 )  -> 
( 1  /  A
)  e.  RR )
41, 2, 3syl2anc 661 1  |-  ( ph  ->  ( 1  /  A
)  e.  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1758    =/= wne 2644  (class class class)co 6192   RRcr 9384   0cc0 9385   1c1 9386    / cdiv 10096
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474  ax-resscn 9442  ax-1cn 9443  ax-icn 9444  ax-addcl 9445  ax-addrcl 9446  ax-mulcl 9447  ax-mulrcl 9448  ax-mulcom 9449  ax-addass 9450  ax-mulass 9451  ax-distr 9452  ax-i2m1 9453  ax-1ne0 9454  ax-1rid 9455  ax-rnegex 9456  ax-rrecex 9457  ax-cnre 9458  ax-pre-lttri 9459  ax-pre-lttrn 9460  ax-pre-ltadd 9461  ax-pre-mulgt0 9462
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-op 3984  df-uni 4192  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-id 4736  df-po 4741  df-so 4742  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-riota 6153  df-ov 6195  df-oprab 6196  df-mpt2 6197  df-er 7203  df-en 7413  df-dom 7414  df-sdom 7415  df-pnf 9523  df-mnf 9524  df-xr 9525  df-ltxr 9526  df-le 9527  df-sub 9700  df-neg 9701  df-div 10097
This theorem is referenced by:  recgt0  10276  prodgt0  10277  ltdiv1  10296  ltrec  10316  lerec  10317  lediv12a  10328  nnrecl  10680  rpnnen1lem5  11086  expnlbnd  12097  cnsubrg  17984  evth  20649  reeff1o  22030  isosctrlem2  22335  chordthmlem2  22346  cxplim  22483  nv1  24201  nmblolbii  24336  norm1  24789  norm1exi  24790  nmbdoplbi  25565  nmcoplbi  25569  nmbdfnlbi  25590  nmcfnlbi  25593  branmfn  25646  strlem1  25791  dya2icoseg  26828  irrapxlem2  29304  irrapxlem5  29307  pell1234qrreccl  29335  pell14qrdich  29350  stoweidlem7  29942  stoweidlem11  29946  stoweidlem14  29949  stoweidlem25  29960  stoweidlem36  29971  stoweidlem42  29977  stirlinglem10  30018  stirlinglem11  30019  stirlinglem12  30020
  Copyright terms: Public domain W3C validator