MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rereb Unicode version

Theorem rereb 11482
Description: A number is real iff it equals its real part. Proposition 10-3.4(f) of [Gleason] p. 133. (Contributed by NM, 20-Aug-2008.)
Assertion
Ref Expression
rereb  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  e.  RR  <->  ( Re `  A )  =  A ) )

Proof of Theorem rereb
StepHypRef Expression
1 replim 11478 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  A  =  ( ( Re
`  A )  +  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )
21adantr 453 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  e.  RR )  ->  A  =  ( ( Re `  A )  +  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )
3 reim0 11480 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  (
Im `  A )  =  0 )
43oveq2d 5726 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  (
_i  x.  ( Im `  A ) )  =  ( _i  x.  0 ) )
5 ax-icn 8676 . . . . . . 7  |-  _i  e.  CC
65mul01i 8882 . . . . . 6  |-  ( _i  x.  0 )  =  0
74, 6syl6eq 2301 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  (
_i  x.  ( Im `  A ) )  =  0 )
87adantl 454 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  e.  RR )  ->  ( _i  x.  (
Im `  A )
)  =  0 )
98oveq2d 5726 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( Re `  A )  +  ( _i  x.  ( Im
`  A ) ) )  =  ( ( Re `  A )  +  0 ) )
10 recl 11472 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  e.  RR )
1110recnd 8741 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  e.  CC )
1211addid1d 8892 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( Re `  A
)  +  0 )  =  ( Re `  A ) )
1312adantr 453 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( Re `  A )  +  0 )  =  ( Re
`  A ) )
142, 9, 133eqtrrd 2290 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  e.  RR )  ->  ( Re `  A
)  =  A )
15 simpr 449 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =  A )  -> 
( Re `  A
)  =  A )
1610adantr 453 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =  A )  -> 
( Re `  A
)  e.  RR )
1715, 16eqeltrrd 2328 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  =  A )  ->  A  e.  RR )
1814, 17impbida 808 1  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  e.  RR  <->  ( Re `  A )  =  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621   ` cfv 4592  (class class class)co 5710   CCcc 8615   RRcr 8616   0cc0 8617   _ici 8619    + caddc 8620    x. cmul 8622   Recre 11459   Imcim 11460
This theorem is referenced by:  mulre  11483  rere  11484  rerebi  11535  rerebd  11563  rennim  11601
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-resscn 8674  ax-1cn 8675  ax-icn 8676  ax-addcl 8677  ax-addrcl 8678  ax-mulcl 8679  ax-mulrcl 8680  ax-mulcom 8681  ax-addass 8682  ax-mulass 8683  ax-distr 8684  ax-i2m1 8685  ax-1ne0 8686  ax-1rid 8687  ax-rnegex 8688  ax-rrecex 8689  ax-cnre 8690  ax-pre-lttri 8691  ax-pre-lttrn 8692  ax-pre-ltadd 8693  ax-pre-mulgt0 8694
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-op 3553  df-uni 3728  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-iota 6143  df-riota 6190  df-er 6546  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-pnf 8749  df-mnf 8750  df-xr 8751  df-ltxr 8752  df-le 8753  df-sub 8919  df-neg 8920  df-div 9304  df-2 9684  df-cj 11461  df-re 11462  df-im 11463
  Copyright terms: Public domain W3C validator