MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  repswsymball Structured version   Unicode version

Theorem repswsymball 12701
Description: All the symbols of a "repeated symbol word" are the same. (Contributed by AV, 10-Nov-2018.)
Assertion
Ref Expression
repswsymball  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  S  e.  V )  ->  ( W  =  ( S repeatS  ( # `  W
) )  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) ( W `  i )  =  S ) )
Distinct variable groups:    S, i    i, W
Allowed substitution hint:    V( i)

Proof of Theorem repswsymball
StepHypRef Expression
1 df-3an 970 . . . 4  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( # `  W )  =  ( # `  W
)  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) ( W `  i )  =  S )  <->  ( ( W  e. Word  V  /\  ( # `
 W )  =  ( # `  W
) )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( W `
 i )  =  S ) )
21a1i 11 . . 3  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  S  e.  V )  ->  ( ( W  e. Word  V  /\  ( # `  W
)  =  ( # `  W )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( W `
 i )  =  S )  <->  ( ( W  e. Word  V  /\  ( # `
 W )  =  ( # `  W
) )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( W `
 i )  =  S ) ) )
3 lencl 12515 . . . . . 6  |-  ( W  e. Word  V  ->  ( # `
 W )  e. 
NN0 )
43anim2i 569 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  V  /\  W  e. Word  V )  ->  ( S  e.  V  /\  ( # `  W
)  e.  NN0 )
)
54ancoms 453 . . . 4  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  S  e.  V )  ->  ( S  e.  V  /\  ( # `  W
)  e.  NN0 )
)
6 repsdf2 12700 . . . 4  |-  ( ( S  e.  V  /\  ( # `  W )  e.  NN0 )  -> 
( W  =  ( S repeatS  ( # `  W
) )  <->  ( W  e. Word  V  /\  ( # `  W )  =  (
# `  W )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( W `
 i )  =  S ) ) )
75, 6syl 16 . . 3  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  S  e.  V )  ->  ( W  =  ( S repeatS  ( # `  W
) )  <->  ( W  e. Word  V  /\  ( # `  W )  =  (
# `  W )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( W `
 i )  =  S ) ) )
8 simpl 457 . . . . 5  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  S  e.  V )  ->  W  e. Word  V )
9 eqidd 2461 . . . . 5  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  S  e.  V )  ->  ( # `  W
)  =  ( # `  W ) )
108, 9jca 532 . . . 4  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  S  e.  V )  ->  ( W  e. Word  V  /\  ( # `  W
)  =  ( # `  W ) ) )
1110biantrurd 508 . . 3  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  S  e.  V )  ->  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) ( W `  i )  =  S  <->  ( ( W  e. Word  V  /\  ( # `
 W )  =  ( # `  W
) )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) ( W `
 i )  =  S ) ) )
122, 7, 113bitr4d 285 . 2  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  S  e.  V )  ->  ( W  =  ( S repeatS  ( # `  W
) )  <->  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) ( W `  i )  =  S ) )
1312biimpd 207 1  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  S  e.  V )  ->  ( W  =  ( S repeatS  ( # `  W
) )  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) ( W `  i )  =  S ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 968    = wceq 1374    e. wcel 1762   A.wral 2807   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   0cc0 9481   NN0cn0 10784  ..^cfzo 11781   #chash 12360  Word cword 12487   repeatS creps 12494
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-oadd 7124  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-card 8309  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-nn 10526  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-fz 11662  df-fzo 11782  df-hash 12361  df-word 12495  df-reps 12502
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator