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Theorem repswswrd 12427
Description: A subword of a "repeated symbol word" is again a "repeated symbol word". The assumption N <_ L is required, because otherwise ( L < N ):  ( ( S repeatS  L ) substr  <. M ,  N >. )  =  (/), but for M < N  ( S repeatS  ( N  -  M )
) )  =/=  (/)! The proof is relatively long because the border cases ( M  =  N,  -.  ( M..^ N )  C_  ( 0..^ L ) must have been considered. (Contributed by AV, 6-Nov-2018.)
Assertion
Ref Expression
repswswrd  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  L  e.  NN0 )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  N  <_  L )  ->  (
( S repeatS  L ) substr  <. M ,  N >. )  =  ( S repeatS  ( N  -  M )
) )

Proof of Theorem repswswrd
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 repsw 12418 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  V  /\  L  e.  NN0 )  -> 
( S repeatS  L )  e. Word  V )
2 nn0z 10674 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN0  ->  M  e.  ZZ )
3 nn0z 10674 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ZZ )
42, 3anim12i 566 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )
51, 4anim12i 566 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  L  e.  NN0 )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  (
( S repeatS  L )  e. Word  V  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )
6 3anass 969 . . . . 5  |-  ( ( ( S repeatS  L )  e. Word  V  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  <->  ( ( S repeatS  L )  e. Word  V  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )
75, 6sylibr 212 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  L  e.  NN0 )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  (
( S repeatS  L )  e. Word  V  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )
873adant3 1008 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  L  e.  NN0 )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  N  <_  L )  ->  (
( S repeatS  L )  e. Word  V  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )
9 swrdval 12318 . . 3  |-  ( ( ( S repeatS  L )  e. Word  V  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( S repeatS  L ) substr  <. M ,  N >. )  =  if ( ( M..^ N )  C_  dom  ( S repeatS  L ) ,  ( x  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) ) 
|->  ( ( S repeatS  L
) `  ( x  +  M ) ) ) ,  (/) ) )
108, 9syl 16 . 2  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  L  e.  NN0 )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  N  <_  L )  ->  (
( S repeatS  L ) substr  <. M ,  N >. )  =  if ( ( M..^ N )  C_  dom  ( S repeatS  L ) ,  ( x  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) ) 
|->  ( ( S repeatS  L
) `  ( x  +  M ) ) ) ,  (/) ) )
11 repsf 12416 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  V  /\  L  e.  NN0 )  -> 
( S repeatS  L ) : ( 0..^ L ) --> V )
12113ad2ant1 1009 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  L  e.  NN0 )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  N  <_  L )  ->  ( S repeatS  L ) : ( 0..^ L ) --> V )
13 fdm 5568 . . . . 5  |-  ( ( S repeatS  L ) : ( 0..^ L ) --> V  ->  dom  ( S repeatS  L )  =  ( 0..^ L ) )
1412, 13syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  L  e.  NN0 )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  N  <_  L )  ->  dom  ( S repeatS  L )  =  ( 0..^ L ) )
1514sseq2d 3389 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  L  e.  NN0 )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  N  <_  L )  ->  (
( M..^ N ) 
C_  dom  ( S repeatS  L )  <->  ( M..^ N
)  C_  ( 0..^ L ) ) )
1615ifbid 3816 . 2  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  L  e.  NN0 )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  N  <_  L )  ->  if ( ( M..^ N
)  C_  dom  ( S repeatS  L ) ,  ( x  e.  ( 0..^ ( N  -  M
) )  |->  ( ( S repeatS  L ) `  (
x  +  M ) ) ) ,  (/) )  =  if (
( M..^ N ) 
C_  ( 0..^ L ) ,  ( x  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  |->  ( ( S repeatS  L ) `  (
x  +  M ) ) ) ,  (/) ) )
17 fzon 11576 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  <_  M  <->  ( M..^ N )  =  (/) ) )
184, 17syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( N  <_  M  <->  ( M..^ N )  =  (/) ) )
1918adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  L  e.  NN0 )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  ( N  <_  M  <->  ( M..^ N )  =  (/) ) )
2019biimpac 486 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  <_  M  /\  ( ( S  e.  V  /\  L  e. 
NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 ) ) )  ->  ( M..^ N
)  =  (/) )
21 0ss 3671 . . . . . . . 8  |-  (/)  C_  (
0..^ L )
2220, 21syl6eqss 3411 . . . . . . 7  |-  ( ( N  <_  M  /\  ( ( S  e.  V  /\  L  e. 
NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 ) ) )  ->  ( M..^ N
)  C_  ( 0..^ L ) )
23 iftrue 3802 . . . . . . 7  |-  ( ( M..^ N )  C_  ( 0..^ L )  ->  if ( ( M..^ N
)  C_  ( 0..^ L ) ,  ( x  e.  ( 0..^ ( N  -  M
) )  |->  ( ( S repeatS  L ) `  (
x  +  M ) ) ) ,  (/) )  =  ( x  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) ) 
|->  ( ( S repeatS  L
) `  ( x  +  M ) ) ) )
2422, 23syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( N  <_  M  /\  ( ( S  e.  V  /\  L  e. 
NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 ) ) )  ->  if ( ( M..^ N )  C_  ( 0..^ L ) ,  ( x  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  |->  ( ( S repeatS  L ) `  ( x  +  M
) ) ) ,  (/) )  =  (
x  e.  ( 0..^ ( N  -  M
) )  |->  ( ( S repeatS  L ) `  (
x  +  M ) ) ) )
25 nn0re 10593 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  NN0  ->  M  e.  RR )
26 nn0re 10593 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  RR )
2725, 26anim12ci 567 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( N  e.  RR  /\  M  e.  RR ) )
2827adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  L  e.  NN0 )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  ( N  e.  RR  /\  M  e.  RR ) )
29 suble0 9858 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  RR  /\  M  e.  RR )  ->  ( ( N  -  M )  <_  0  <->  N  <_  M ) )
3028, 29syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  L  e.  NN0 )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  (
( N  -  M
)  <_  0  <->  N  <_  M ) )
3130biimparc 487 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  <_  M  /\  ( ( S  e.  V  /\  L  e. 
NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 ) ) )  ->  ( N  -  M )  <_  0
)
32 0z 10662 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  ZZ
33 zsubcl 10692 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( N  -  M
)  e.  ZZ )
343, 2, 33syl2anr 478 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( N  -  M
)  e.  ZZ )
3534adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  L  e.  NN0 )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  ( N  -  M )  e.  ZZ )
3635adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  <_  M  /\  ( ( S  e.  V  /\  L  e. 
NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 ) ) )  ->  ( N  -  M )  e.  ZZ )
37 fzon 11576 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  ( N  -  M
)  e.  ZZ )  ->  ( ( N  -  M )  <_ 
0  <->  ( 0..^ ( N  -  M ) )  =  (/) ) )
3832, 36, 37sylancr 663 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  <_  M  /\  ( ( S  e.  V  /\  L  e. 
NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 ) ) )  ->  ( ( N  -  M )  <_ 
0  <->  ( 0..^ ( N  -  M ) )  =  (/) ) )
3931, 38mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ( N  <_  M  /\  ( ( S  e.  V  /\  L  e. 
NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 ) ) )  ->  ( 0..^ ( N  -  M ) )  =  (/) )
4039mpteq1d 4378 . . . . . 6  |-  ( ( N  <_  M  /\  ( ( S  e.  V  /\  L  e. 
NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 ) ) )  ->  ( x  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) ) 
|->  ( ( S repeatS  L
) `  ( x  +  M ) ) )  =  ( x  e.  (/)  |->  ( ( S repeatS  L ) `  (
x  +  M ) ) ) )
41 oveq2 6104 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  =  N  ->  ( N  -  M )  =  ( N  -  N ) )
4241oveq2d 6112 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  =  N  ->  ( S repeatS  ( N  -  M
) )  =  ( S repeatS  ( N  -  N ) ) )
43 nn0cn 10594 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  CC )
4443adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  ->  N  e.  CC )
4544subidd 9712 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( N  -  N
)  =  0 )
4645adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  L  e.  NN0 )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  ( N  -  N )  =  0 )
4746oveq2d 6112 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  L  e.  NN0 )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  ( S repeatS  ( N  -  N
) )  =  ( S repeatS  0 ) )
48 repsw0 12420 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( S  e.  V  ->  ( S repeatS  0 )  =  (/) )
4948ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  L  e.  NN0 )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  ( S repeatS  0 )  =  (/) )
5047, 49eqtrd 2475 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  L  e.  NN0 )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  ( S repeatS  ( N  -  N
) )  =  (/) )
5142, 50sylan9eqr 2497 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  L  e. 
NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  M  =  N )  ->  ( S repeatS  ( N  -  M ) )  =  (/) )
5251ex 434 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  L  e.  NN0 )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  ( M  =  N  ->  ( S repeatS  ( N  -  M ) )  =  (/) ) )
5352adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  <_  M  /\  ( ( S  e.  V  /\  L  e. 
NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 ) ) )  ->  ( M  =  N  ->  ( S repeatS  ( N  -  M ) )  =  (/) ) )
5453com12 31 . . . . . . . 8  |-  ( M  =  N  ->  (
( N  <_  M  /\  ( ( S  e.  V  /\  L  e. 
NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 ) ) )  ->  ( S repeatS  ( N  -  M )
)  =  (/) ) )
55 elnn0z 10664 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  -  M )  e.  NN0  <->  ( ( N  -  M )  e.  ZZ  /\  0  <_ 
( N  -  M
) ) )
56 subge0 9857 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( N  e.  RR  /\  M  e.  RR )  ->  ( 0  <_  ( N  -  M )  <->  M  <_  N ) )
5726, 25, 56syl2anr 478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( 0  <_  ( N  -  M )  <->  M  <_  N ) )
5825, 26anim12i 566 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( M  e.  RR  /\  N  e.  RR ) )
59 letri3 9465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( M  =  N  <-> 
( M  <_  N  /\  N  <_  M ) ) )
6058, 59syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( M  =  N  <-> 
( M  <_  N  /\  N  <_  M ) ) )
6160biimprd 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( M  <_  N  /\  N  <_  M
)  ->  M  =  N ) )
6261expd 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( M  <_  N  ->  ( N  <_  M  ->  M  =  N ) ) )
6357, 62sylbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( 0  <_  ( N  -  M )  ->  ( N  <_  M  ->  M  =  N ) ) )
6463com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( N  <_  M  ->  ( 0  <_  ( N  -  M )  ->  M  =  N ) ) )
6564adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  L  e.  NN0 )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  ( N  <_  M  ->  (
0  <_  ( N  -  M )  ->  M  =  N ) ) )
6665impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  <_  M  /\  ( ( S  e.  V  /\  L  e. 
NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 ) ) )  ->  ( 0  <_ 
( N  -  M
)  ->  M  =  N ) )
6766com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 0  <_  ( N  -  M )  ->  (
( N  <_  M  /\  ( ( S  e.  V  /\  L  e. 
NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 ) ) )  ->  M  =  N ) )
6867adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  -  M
)  e.  ZZ  /\  0  <_  ( N  -  M ) )  -> 
( ( N  <_  M  /\  ( ( S  e.  V  /\  L  e.  NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 ) ) )  ->  M  =  N ) )
6955, 68sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  -  M )  e.  NN0  ->  ( ( N  <_  M  /\  ( ( S  e.  V  /\  L  e. 
NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 ) ) )  ->  M  =  N ) )
7069com12 31 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  <_  M  /\  ( ( S  e.  V  /\  L  e. 
NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 ) ) )  ->  ( ( N  -  M )  e. 
NN0  ->  M  =  N ) )
7170con3d 133 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  <_  M  /\  ( ( S  e.  V  /\  L  e. 
NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 ) ) )  ->  ( -.  M  =  N  ->  -.  ( N  -  M )  e.  NN0 ) )
7271impcom 430 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  M  =  N  /\  ( N  <_  M  /\  ( ( S  e.  V  /\  L  e.  NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 ) ) ) )  ->  -.  ( N  -  M )  e.  NN0 )
73 df-nel 2614 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  -  M )  e/  NN0  <->  -.  ( N  -  M )  e.  NN0 )
7472, 73sylibr 212 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  M  =  N  /\  ( N  <_  M  /\  ( ( S  e.  V  /\  L  e.  NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 ) ) ) )  ->  ( N  -  M )  e/  NN0 )
75 repsundef 12414 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  -  M )  e/  NN0  ->  ( S repeatS 
( N  -  M
) )  =  (/) )
7674, 75syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  M  =  N  /\  ( N  <_  M  /\  ( ( S  e.  V  /\  L  e.  NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 ) ) ) )  ->  ( S repeatS  ( N  -  M ) )  =  (/) )
7776ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( -.  M  =  N  -> 
( ( N  <_  M  /\  ( ( S  e.  V  /\  L  e.  NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 ) ) )  ->  ( S repeatS  ( N  -  M )
)  =  (/) ) )
7854, 77pm2.61i 164 . . . . . . 7  |-  ( ( N  <_  M  /\  ( ( S  e.  V  /\  L  e. 
NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 ) ) )  ->  ( S repeatS  ( N  -  M )
)  =  (/) )
79 mpt0 5543 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  (/)  |->  ( ( S repeatS  L ) `  (
x  +  M ) ) )  =  (/)
8078, 79syl6reqr 2494 . . . . . 6  |-  ( ( N  <_  M  /\  ( ( S  e.  V  /\  L  e. 
NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 ) ) )  ->  ( x  e.  (/)  |->  ( ( S repeatS  L ) `  (
x  +  M ) ) )  =  ( S repeatS  ( N  -  M ) ) )
8124, 40, 803eqtrd 2479 . . . . 5  |-  ( ( N  <_  M  /\  ( ( S  e.  V  /\  L  e. 
NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 ) ) )  ->  if ( ( M..^ N )  C_  ( 0..^ L ) ,  ( x  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  |->  ( ( S repeatS  L ) `  ( x  +  M
) ) ) ,  (/) )  =  ( S repeatS  ( N  -  M
) ) )
8281expcom 435 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  L  e.  NN0 )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  ( N  <_  M  ->  if ( ( M..^ N
)  C_  ( 0..^ L ) ,  ( x  e.  ( 0..^ ( N  -  M
) )  |->  ( ( S repeatS  L ) `  (
x  +  M ) ) ) ,  (/) )  =  ( S repeatS  ( N  -  M ) ) ) )
83823adant3 1008 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  L  e.  NN0 )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  N  <_  L )  ->  ( N  <_  M  ->  if ( ( M..^ N
)  C_  ( 0..^ L ) ,  ( x  e.  ( 0..^ ( N  -  M
) )  |->  ( ( S repeatS  L ) `  (
x  +  M ) ) ) ,  (/) )  =  ( S repeatS  ( N  -  M ) ) ) )
84 ltnle 9459 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( M  <  N  <->  -.  N  <_  M )
)
8558, 84syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( M  <  N  <->  -.  N  <_  M )
)
8685bicomd 201 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( -.  N  <_  M 
<->  M  <  N ) )
87863ad2ant2 1010 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  L  e.  NN0 )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  N  <_  L )  ->  ( -.  N  <_  M  <->  M  <  N ) )
8823adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M..^ N ) 
C_  ( 0..^ L )  /\  ( ( ( S  e.  V  /\  L  e.  NN0 )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  N  <_  L )  /\  M  <  N ) )  ->  if ( ( M..^ N
)  C_  ( 0..^ L ) ,  ( x  e.  ( 0..^ ( N  -  M
) )  |->  ( ( S repeatS  L ) `  (
x  +  M ) ) ) ,  (/) )  =  ( x  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) ) 
|->  ( ( S repeatS  L
) `  ( x  +  M ) ) ) )
8943ad2ant2 1010 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  L  e.  NN0 )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  N  <_  L )  ->  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )
9089adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  L  e. 
NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  N  <_  L )  /\  M  <  N )  ->  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )
91 0zd 10663 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( S  e.  V  ->  0  e.  ZZ )
92 nn0z 10674 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( L  e.  NN0  ->  L  e.  ZZ )
9391, 92anim12i 566 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  e.  V  /\  L  e.  NN0 )  -> 
( 0  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ ) )
94933ad2ant1 1009 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  L  e.  NN0 )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  N  <_  L )  ->  (
0  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )
)
9594adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  L  e. 
NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  N  <_  L )  /\  M  <  N )  ->  (
0  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )
)
96 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  L  e. 
NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  N  <_  L )  /\  M  <  N )  ->  M  <  N )
97 ssfzo12bi 11627 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( 0  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  M  <  N )  ->  (
( M..^ N ) 
C_  ( 0..^ L )  <->  ( 0  <_  M  /\  N  <_  L
) ) )
9890, 95, 96, 97syl3anc 1218 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  L  e. 
NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  N  <_  L )  /\  M  <  N )  ->  (
( M..^ N ) 
C_  ( 0..^ L )  <->  ( 0  <_  M  /\  N  <_  L
) ) )
99 simpl1l 1039 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  L  e. 
NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  N  <_  L )  /\  M  <  N )  ->  S  e.  V )
10099ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( S  e.  V  /\  L  e.  NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  N  <_  L )  /\  M  <  N
)  /\  ( 0  <_  M  /\  N  <_  L ) )  /\  x  e.  ( 0..^ ( N  -  M
) ) )  ->  S  e.  V )
101 simpl1r 1040 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  L  e. 
NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  N  <_  L )  /\  M  <  N )  ->  L  e.  NN0 )
102101ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( S  e.  V  /\  L  e.  NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  N  <_  L )  /\  M  <  N
)  /\  ( 0  <_  M  /\  N  <_  L ) )  /\  x  e.  ( 0..^ ( N  -  M
) ) )  ->  L  e.  NN0 )
103 elfzonn0 11596 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  ->  x  e.  NN0 )
104 nn0addcl 10620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  NN0  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( x  +  M
)  e.  NN0 )
105104expcom 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( x  e.  NN0  ->  ( x  +  M )  e. 
NN0 ) )
106105adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( x  e.  NN0  ->  ( x  +  M
)  e.  NN0 )
)
1071063ad2ant2 1010 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  L  e.  NN0 )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  N  <_  L )  ->  (
x  e.  NN0  ->  ( x  +  M )  e.  NN0 ) )
108107ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( S  e.  V  /\  L  e.  NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  N  <_  L )  /\  M  <  N )  /\  (
0  <_  M  /\  N  <_  L ) )  ->  ( x  e. 
NN0  ->  ( x  +  M )  e.  NN0 ) )
109103, 108syl5com 30 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  ->  ( (
( ( ( S  e.  V  /\  L  e.  NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  N  <_  L )  /\  M  <  N )  /\  (
0  <_  M  /\  N  <_  L ) )  ->  ( x  +  M )  e.  NN0 ) )
110109impcom 430 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( S  e.  V  /\  L  e.  NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  N  <_  L )  /\  M  <  N
)  /\  ( 0  <_  M  /\  N  <_  L ) )  /\  x  e.  ( 0..^ ( N  -  M
) ) )  -> 
( x  +  M
)  e.  NN0 )
11192adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( S  e.  V  /\  L  e.  NN0 )  ->  L  e.  ZZ )
1121113ad2ant1 1009 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  L  e.  NN0 )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  N  <_  L )  ->  L  e.  ZZ )
113112adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  L  e. 
NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  N  <_  L )  /\  M  <  N )  ->  L  e.  ZZ )
114 nn0re 10593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( L  e.  NN0  ->  L  e.  RR )
115114adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( S  e.  V  /\  L  e.  NN0 )  ->  L  e.  RR )
116115, 58anim12ci 567 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  L  e.  NN0 )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  (
( M  e.  RR  /\  N  e.  RR )  /\  L  e.  RR ) )
117 df-3an 967 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  L  e.  RR )  <->  ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  RR )  /\  L  e.  RR ) )
118116, 117sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  L  e.  NN0 )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  ( M  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  L  e.  RR ) )
119 ltletr 9471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  L  e.  RR )  ->  (
( M  <  N  /\  N  <_  L )  ->  M  <  L
) )
120118, 119syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  L  e.  NN0 )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  (
( M  <  N  /\  N  <_  L )  ->  M  <  L
) )
121 elnn0z 10664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( M  e.  NN0  <->  ( M  e.  ZZ  /\  0  <_  M ) )
122 0red 9392 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( S  e.  V  /\  L  e.  NN0 ) )  ->  0  e.  RR )
123 zre 10655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  RR )
124123adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( S  e.  V  /\  L  e.  NN0 ) )  ->  M  e.  RR )
125115adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( S  e.  V  /\  L  e.  NN0 ) )  ->  L  e.  RR )
126 lelttr 9470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  M  e.  RR  /\  L  e.  RR )  ->  (
( 0  <_  M  /\  M  <  L )  ->  0  <  L
) )
127122, 124, 125, 126syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( S  e.  V  /\  L  e.  NN0 ) )  ->  (
( 0  <_  M  /\  M  <  L )  ->  0  <  L
) )
128127expd 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( S  e.  V  /\  L  e.  NN0 ) )  ->  (
0  <_  M  ->  ( M  <  L  -> 
0  <  L )
) )
129128impancom 440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  0  <_  M )  -> 
( ( S  e.  V  /\  L  e. 
NN0 )  ->  ( M  <  L  ->  0  <  L ) ) )
130121, 129sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( ( S  e.  V  /\  L  e.  NN0 )  -> 
( M  <  L  ->  0  <  L ) ) )
131130adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( S  e.  V  /\  L  e. 
NN0 )  ->  ( M  <  L  ->  0  <  L ) ) )
132131impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  L  e.  NN0 )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  ( M  <  L  ->  0  <  L ) )
133120, 132syld 44 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  L  e.  NN0 )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  (
( M  <  N  /\  N  <_  L )  ->  0  <  L
) )
134133expcomd 438 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  L  e.  NN0 )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  ( N  <_  L  ->  ( M  <  N  ->  0  <  L ) ) )
1351343impia 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  L  e.  NN0 )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  N  <_  L )  ->  ( M  <  N  ->  0  <  L ) )
136135imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  L  e. 
NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  N  <_  L )  /\  M  <  N )  ->  0  <  L )
137 elnnz 10661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( L  e.  NN  <->  ( L  e.  ZZ  /\  0  < 
L ) )
138113, 136, 137sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  L  e. 
NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  N  <_  L )  /\  M  <  N )  ->  L  e.  NN )
139138ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( S  e.  V  /\  L  e.  NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  N  <_  L )  /\  M  <  N
)  /\  ( 0  <_  M  /\  N  <_  L ) )  /\  x  e.  ( 0..^ ( N  -  M
) ) )  ->  L  e.  NN )
140 elfzo0 11592 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  <->  ( x  e. 
NN0  /\  ( N  -  M )  e.  NN  /\  x  <  ( N  -  M ) ) )
141 nn0readdcl 10647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( x  e.  NN0  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( x  +  M
)  e.  RR )
142141expcom 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( x  e.  NN0  ->  ( x  +  M )  e.  RR ) )
143142ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( L  e.  NN0  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )
)  ->  ( x  e.  NN0  ->  ( x  +  M )  e.  RR ) )
144143impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( x  e.  NN0  /\  ( L  e.  NN0  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )
) )  ->  (
x  +  M )  e.  RR )
14526adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  ->  N  e.  RR )
146145adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( L  e.  NN0  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )
)  ->  N  e.  RR )
147146adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( x  e.  NN0  /\  ( L  e.  NN0  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )
) )  ->  N  e.  RR )
148114ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( x  e.  NN0  /\  ( L  e.  NN0  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )
) )  ->  L  e.  RR )
149144, 147, 1483jca 1168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( x  e.  NN0  /\  ( L  e.  NN0  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )
) )  ->  (
( x  +  M
)  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  L  e.  RR ) )
150149ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( x  e.  NN0  ->  ( ( L  e.  NN0  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )
)  ->  ( (
x  +  M )  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  L  e.  RR ) ) )
151150adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( x  e.  NN0  /\  x  <  ( N  -  M ) )  -> 
( ( L  e. 
NN0  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 ) )  -> 
( ( x  +  M )  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  L  e.  RR )
) )
152151impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( L  e.  NN0  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )
)  /\  ( x  e.  NN0  /\  x  < 
( N  -  M
) ) )  -> 
( ( x  +  M )  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  L  e.  RR )
)
153152adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( L  e. 
NN0  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 ) )  /\  ( x  e.  NN0  /\  x  <  ( N  -  M ) ) )  /\  N  <_  L )  ->  (
( x  +  M
)  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  L  e.  RR ) )
154 nn0re 10593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( x  e.  NN0  ->  x  e.  RR )
155154adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( x  e.  NN0  /\  ( L  e.  NN0  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )
) )  ->  x  e.  RR )
15625ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( L  e.  NN0  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )
)  ->  M  e.  RR )
157156adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( x  e.  NN0  /\  ( L  e.  NN0  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )
) )  ->  M  e.  RR )
158155, 157, 147ltaddsubd 9944 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( x  e.  NN0  /\  ( L  e.  NN0  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )
) )  ->  (
( x  +  M
)  <  N  <->  x  <  ( N  -  M ) ) )
159 idd 24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( x  e.  NN0  /\  ( L  e.  NN0  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )
) )  /\  N  <_  L )  ->  (
( x  +  M
)  <  N  ->  ( x  +  M )  <  N ) )
160159ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( x  e.  NN0  /\  ( L  e.  NN0  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )
) )  ->  ( N  <_  L  ->  (
( x  +  M
)  <  N  ->  ( x  +  M )  <  N ) ) )
161160com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( x  e.  NN0  /\  ( L  e.  NN0  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )
) )  ->  (
( x  +  M
)  <  N  ->  ( N  <_  L  ->  ( x  +  M )  <  N ) ) )
162158, 161sylbird 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( x  e.  NN0  /\  ( L  e.  NN0  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )
) )  ->  (
x  <  ( N  -  M )  ->  ( N  <_  L  ->  (
x  +  M )  <  N ) ) )
163162impancom 440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( x  e.  NN0  /\  x  <  ( N  -  M ) )  -> 
( ( L  e. 
NN0  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 ) )  -> 
( N  <_  L  ->  ( x  +  M
)  <  N )
) )
164163impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( L  e.  NN0  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )
)  /\  ( x  e.  NN0  /\  x  < 
( N  -  M
) ) )  -> 
( N  <_  L  ->  ( x  +  M
)  <  N )
)
165164impac 621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( L  e. 
NN0  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 ) )  /\  ( x  e.  NN0  /\  x  <  ( N  -  M ) ) )  /\  N  <_  L )  ->  (
( x  +  M
)  <  N  /\  N  <_  L ) )
166 ltletr 9471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( x  +  M
)  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  L  e.  RR )  ->  (
( ( x  +  M )  <  N  /\  N  <_  L )  ->  ( x  +  M )  <  L
) )
167153, 165, 166sylc 60 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( L  e. 
NN0  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 ) )  /\  ( x  e.  NN0  /\  x  <  ( N  -  M ) ) )  /\  N  <_  L )  ->  (
x  +  M )  <  L )
168167exp31 604 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( L  e.  NN0  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )
)  ->  ( (
x  e.  NN0  /\  x  <  ( N  -  M ) )  -> 
( N  <_  L  ->  ( x  +  M
)  <  L )
) )
169168com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( L  e.  NN0  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )
)  ->  ( N  <_  L  ->  ( (
x  e.  NN0  /\  x  <  ( N  -  M ) )  -> 
( x  +  M
)  <  L )
) )
170169ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( L  e.  NN0  ->  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( N  <_  L  ->  ( ( x  e. 
NN0  /\  x  <  ( N  -  M ) )  ->  ( x  +  M )  <  L
) ) ) )
171170adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( S  e.  V  /\  L  e.  NN0 )  -> 
( ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( N  <_  L  ->  ( (
x  e.  NN0  /\  x  <  ( N  -  M ) )  -> 
( x  +  M
)  <  L )
) ) )
1721713imp 1181 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  L  e.  NN0 )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  N  <_  L )  ->  (
( x  e.  NN0  /\  x  <  ( N  -  M ) )  ->  ( x  +  M )  <  L
) )
173172ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( S  e.  V  /\  L  e.  NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  N  <_  L )  /\  M  <  N )  /\  (
0  <_  M  /\  N  <_  L ) )  ->  ( ( x  e.  NN0  /\  x  <  ( N  -  M
) )  ->  (
x  +  M )  <  L ) )
174173com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  NN0  /\  x  <  ( N  -  M ) )  -> 
( ( ( ( ( S  e.  V  /\  L  e.  NN0 )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  N  <_  L )  /\  M  <  N )  /\  (
0  <_  M  /\  N  <_  L ) )  ->  ( x  +  M )  <  L
) )
1751743adant2 1007 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  NN0  /\  ( N  -  M
)  e.  NN  /\  x  <  ( N  -  M ) )  -> 
( ( ( ( ( S  e.  V  /\  L  e.  NN0 )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  N  <_  L )  /\  M  <  N )  /\  (
0  <_  M  /\  N  <_  L ) )  ->  ( x  +  M )  <  L
) )
176140, 175sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  ->  ( (
( ( ( S  e.  V  /\  L  e.  NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  N  <_  L )  /\  M  <  N )  /\  (
0  <_  M  /\  N  <_  L ) )  ->  ( x  +  M )  <  L
) )
177176impcom 430 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( S  e.  V  /\  L  e.  NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  N  <_  L )  /\  M  <  N
)  /\  ( 0  <_  M  /\  N  <_  L ) )  /\  x  e.  ( 0..^ ( N  -  M
) ) )  -> 
( x  +  M
)  <  L )
178 elfzo0 11592 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  +  M )  e.  ( 0..^ L )  <->  ( ( x  +  M )  e. 
NN0  /\  L  e.  NN  /\  ( x  +  M )  <  L
) )
179110, 139, 177, 178syl3anbrc 1172 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( S  e.  V  /\  L  e.  NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  N  <_  L )  /\  M  <  N
)  /\  ( 0  <_  M  /\  N  <_  L ) )  /\  x  e.  ( 0..^ ( N  -  M
) ) )  -> 
( x  +  M
)  e.  ( 0..^ L ) )
180 repswsymb 12417 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S  e.  V  /\  L  e.  NN0  /\  (
x  +  M )  e.  ( 0..^ L ) )  ->  (
( S repeatS  L ) `  ( x  +  M
) )  =  S )
181100, 102, 179, 180syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( S  e.  V  /\  L  e.  NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  N  <_  L )  /\  M  <  N
)  /\  ( 0  <_  M  /\  N  <_  L ) )  /\  x  e.  ( 0..^ ( N  -  M
) ) )  -> 
( ( S repeatS  L
) `  ( x  +  M ) )  =  S )
182181mpteq2dva 4383 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( S  e.  V  /\  L  e.  NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  N  <_  L )  /\  M  <  N )  /\  (
0  <_  M  /\  N  <_  L ) )  ->  ( x  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) ) 
|->  ( ( S repeatS  L
) `  ( x  +  M ) ) )  =  ( x  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) ) 
|->  S ) )
183343ad2ant2 1010 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  L  e.  NN0 )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  N  <_  L )  ->  ( N  -  M )  e.  ZZ )
184183adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  L  e. 
NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  N  <_  L )  /\  M  <  N )  ->  ( N  -  M )  e.  ZZ )
185583ad2ant2 1010 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  L  e.  NN0 )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  N  <_  L )  ->  ( M  e.  RR  /\  N  e.  RR ) )
186 ltle 9468 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( M  <  N  ->  M  <_  N )
)
187185, 186syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  L  e.  NN0 )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  N  <_  L )  ->  ( M  <  N  ->  M  <_  N ) )
188273ad2ant2 1010 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  L  e.  NN0 )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  N  <_  L )  ->  ( N  e.  RR  /\  M  e.  RR ) )
189188, 56syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  L  e.  NN0 )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  N  <_  L )  ->  (
0  <_  ( N  -  M )  <->  M  <_  N ) )
190187, 189sylibrd 234 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  L  e.  NN0 )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  N  <_  L )  ->  ( M  <  N  ->  0  <_  ( N  -  M
) ) )
191190imp 429 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  L  e. 
NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  N  <_  L )  /\  M  <  N )  ->  0  <_  ( N  -  M
) )
192184, 191, 55sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  L  e. 
NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  N  <_  L )  /\  M  <  N )  ->  ( N  -  M )  e.  NN0 )
19399, 192jca 532 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  L  e. 
NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  N  <_  L )  /\  M  <  N )  ->  ( S  e.  V  /\  ( N  -  M
)  e.  NN0 )
)
194193adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( S  e.  V  /\  L  e.  NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  N  <_  L )  /\  M  <  N )  /\  (
0  <_  M  /\  N  <_  L ) )  ->  ( S  e.  V  /\  ( N  -  M )  e. 
NN0 ) )
195 reps 12413 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S  e.  V  /\  ( N  -  M
)  e.  NN0 )  ->  ( S repeatS  ( N  -  M ) )  =  ( x  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  |->  S ) )
196195eqcomd 2448 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  e.  V  /\  ( N  -  M
)  e.  NN0 )  ->  ( x  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  |->  S )  =  ( S repeatS 
( N  -  M
) ) )
197194, 196syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( S  e.  V  /\  L  e.  NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  N  <_  L )  /\  M  <  N )  /\  (
0  <_  M  /\  N  <_  L ) )  ->  ( x  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) ) 
|->  S )  =  ( S repeatS  ( N  -  M ) ) )
198182, 197eqtrd 2475 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( S  e.  V  /\  L  e.  NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  N  <_  L )  /\  M  <  N )  /\  (
0  <_  M  /\  N  <_  L ) )  ->  ( x  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) ) 
|->  ( ( S repeatS  L
) `  ( x  +  M ) ) )  =  ( S repeatS  ( N  -  M )
) )
199198ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  L  e. 
NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  N  <_  L )  /\  M  <  N )  ->  (
( 0  <_  M  /\  N  <_  L )  ->  ( x  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) ) 
|->  ( ( S repeatS  L
) `  ( x  +  M ) ) )  =  ( S repeatS  ( N  -  M )
) ) )
20098, 199sylbid 215 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  L  e. 
NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  N  <_  L )  /\  M  <  N )  ->  (
( M..^ N ) 
C_  ( 0..^ L )  ->  ( x  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) ) 
|->  ( ( S repeatS  L
) `  ( x  +  M ) ) )  =  ( S repeatS  ( N  -  M )
) ) )
201200impcom 430 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M..^ N ) 
C_  ( 0..^ L )  /\  ( ( ( S  e.  V  /\  L  e.  NN0 )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  N  <_  L )  /\  M  <  N ) )  -> 
( x  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  |->  ( ( S repeatS  L ) `  ( x  +  M
) ) )  =  ( S repeatS  ( N  -  M ) ) )
20288, 201eqtrd 2475 . . . . . 6  |-  ( ( ( M..^ N ) 
C_  ( 0..^ L )  /\  ( ( ( S  e.  V  /\  L  e.  NN0 )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  N  <_  L )  /\  M  <  N ) )  ->  if ( ( M..^ N
)  C_  ( 0..^ L ) ,  ( x  e.  ( 0..^ ( N  -  M
) )  |->  ( ( S repeatS  L ) `  (
x  +  M ) ) ) ,  (/) )  =  ( S repeatS  ( N  -  M ) ) )
203 iffalse 3804 . . . . . . . 8  |-  ( -.  ( M..^ N ) 
C_  ( 0..^ L )  ->  if (
( M..^ N ) 
C_  ( 0..^ L ) ,  ( x  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  |->  ( ( S repeatS  L ) `  (
x  +  M ) ) ) ,  (/) )  =  (/) )
204203adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  ( M..^ N
)  C_  ( 0..^ L )  /\  (
( ( S  e.  V  /\  L  e. 
NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  N  <_  L )  /\  M  <  N ) )  ->  if ( ( M..^ N
)  C_  ( 0..^ L ) ,  ( x  e.  ( 0..^ ( N  -  M
) )  |->  ( ( S repeatS  L ) `  (
x  +  M ) ) ) ,  (/) )  =  (/) )
20598notbid 294 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  L  e. 
NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  N  <_  L )  /\  M  <  N )  ->  ( -.  ( M..^ N ) 
C_  ( 0..^ L )  <->  -.  ( 0  <_  M  /\  N  <_  L ) ) )
206 ianor 488 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  ( 0  <_  M  /\  N  <_  L )  <-> 
( -.  0  <_  M  \/  -.  N  <_  L ) )
207 nn0ge0 10610 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( M  e.  NN0  ->  0  <_  M )
208 pm2.24 109 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 0  <_  M  ->  ( -.  0  <_  M  -> 
( S repeatS  ( N  -  M ) )  =  (/) ) )
209207, 208syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( -.  0  <_  M  ->  ( S repeatS  ( N  -  M ) )  =  (/) ) )
210209adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( -.  0  <_  M  ->  ( S repeatS  ( N  -  M )
)  =  (/) ) )
2112103ad2ant2 1010 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  L  e.  NN0 )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  N  <_  L )  ->  ( -.  0  <_  M  -> 
( S repeatS  ( N  -  M ) )  =  (/) ) )
212211adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  L  e. 
NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  N  <_  L )  /\  M  <  N )  ->  ( -.  0  <_  M  -> 
( S repeatS  ( N  -  M ) )  =  (/) ) )
213212com12 31 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  0  <_  M  ->  ( ( ( ( S  e.  V  /\  L  e.  NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  N  <_  L )  /\  M  <  N )  ->  ( S repeatS  ( N  -  M
) )  =  (/) ) )
214 pm2.24 109 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  <_  L  ->  ( -.  N  <_  L  -> 
( S repeatS  ( N  -  M ) )  =  (/) ) )
2152143ad2ant3 1011 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  L  e.  NN0 )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  N  <_  L )  ->  ( -.  N  <_  L  -> 
( S repeatS  ( N  -  M ) )  =  (/) ) )
216215adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  L  e. 
NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  N  <_  L )  /\  M  <  N )  ->  ( -.  N  <_  L  -> 
( S repeatS  ( N  -  M ) )  =  (/) ) )
217216com12 31 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  N  <_  L  ->  ( ( ( ( S  e.  V  /\  L  e.  NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  N  <_  L )  /\  M  <  N )  ->  ( S repeatS  ( N  -  M
) )  =  (/) ) )
218213, 217jaoi 379 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  0  <_  M  \/  -.  N  <_  L
)  ->  ( (
( ( S  e.  V  /\  L  e. 
NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  N  <_  L )  /\  M  <  N )  ->  ( S repeatS  ( N  -  M
) )  =  (/) ) )
219206, 218sylbi 195 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  ( 0  <_  M  /\  N  <_  L )  ->  ( ( ( ( S  e.  V  /\  L  e.  NN0 )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  N  <_  L )  /\  M  <  N )  ->  ( S repeatS  ( N  -  M
) )  =  (/) ) )
220219com12 31 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  L  e. 
NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  N  <_  L )  /\  M  <  N )  ->  ( -.  ( 0  <_  M  /\  N  <_  L )  ->  ( S repeatS  ( N  -  M )
)  =  (/) ) )
221205, 220sylbid 215 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  L  e. 
NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  N  <_  L )  /\  M  <  N )  ->  ( -.  ( M..^ N ) 
C_  ( 0..^ L )  ->  ( S repeatS  ( N  -  M ) )  =  (/) ) )
222221impcom 430 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  ( M..^ N
)  C_  ( 0..^ L )  /\  (
( ( S  e.  V  /\  L  e. 
NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  N  <_  L )  /\  M  <  N ) )  -> 
( S repeatS  ( N  -  M ) )  =  (/) )
223204, 222eqtr4d 2478 . . . . . 6  |-  ( ( -.  ( M..^ N
)  C_  ( 0..^ L )  /\  (
( ( S  e.  V  /\  L  e. 
NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  N  <_  L )  /\  M  <  N ) )  ->  if ( ( M..^ N
)  C_  ( 0..^ L ) ,  ( x  e.  ( 0..^ ( N  -  M
) )  |->  ( ( S repeatS  L ) `  (
x  +  M ) ) ) ,  (/) )  =  ( S repeatS  ( N  -  M ) ) )
224202, 223pm2.61ian 788 . . . . 5  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  L  e. 
NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  N  <_  L )  /\  M  <  N )  ->  if ( ( M..^ N
)  C_  ( 0..^ L ) ,  ( x  e.  ( 0..^ ( N  -  M
) )  |->  ( ( S repeatS  L ) `  (
x  +  M ) ) ) ,  (/) )  =  ( S repeatS  ( N  -  M ) ) )
225224ex 434 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  L  e.  NN0 )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  N  <_  L )  ->  ( M  <  N  ->  if ( ( M..^ N
)  C_  ( 0..^ L ) ,  ( x  e.  ( 0..^ ( N  -  M
) )  |->  ( ( S repeatS  L ) `  (
x  +  M ) ) ) ,  (/) )  =  ( S repeatS  ( N  -  M ) ) ) )
22687, 225sylbid 215 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  L  e.  NN0 )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  N  <_  L )  ->  ( -.  N  <_  M  ->  if ( ( M..^ N
)  C_  ( 0..^ L ) ,  ( x  e.  ( 0..^ ( N  -  M
) )  |->  ( ( S repeatS  L ) `  (
x  +  M ) ) ) ,  (/) )  =  ( S repeatS  ( N  -  M ) ) ) )
22783, 226pm2.61d 158 . 2  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  L  e.  NN0 )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  N  <_  L )  ->  if ( ( M..^ N
)  C_  ( 0..^ L ) ,  ( x  e.  ( 0..^ ( N  -  M
) )  |->  ( ( S repeatS  L ) `  (
x  +  M ) ) ) ,  (/) )  =  ( S repeatS  ( N  -  M ) ) )
22810, 16, 2273eqtrd 2479 1  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  L  e.  NN0 )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  N  <_  L )  ->  (
( S repeatS  L ) substr  <. M ,  N >. )  =  ( S repeatS  ( N  -  M )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    e/ wnel 2612    C_ wss 3333   (/)c0 3642   ifcif 3796   <.cop 3888   class class class wbr 4297    e. cmpt 4355   dom cdm 4845   -->wf 5419   ` cfv 5423  (class class class)co 6096   CCcc 9285   RRcr 9286   0cc0 9287    + caddc 9290    < clt 9423    <_ cle 9424    - cmin 9600   NNcn 10327   NN0cn0 10584   ZZcz 10651  ..^cfzo 11553  Word cword 12226   substr csubstr 12230   repeatS creps 12233
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-1o 6925  df-oadd 6929  df-er 7106  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-fin 7319  df-card 8114  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-nn 10328  df-n0 10585  df-z 10652  df-uz 10867  df-fz 11443  df-fzo 11554  df-hash 12109  df-word 12234  df-substr 12238  df-reps 12241
This theorem is referenced by:  repswcshw  12451
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