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Theorem repswswrd 12747
Description: A subword of a "repeated symbol word" is again a "repeated symbol word". The assumption N <_ L is required, because otherwise ( L < N ):  ( ( S repeatS  L ) substr  <. M ,  N >. )  =  (/), but for M < N  ( S repeatS  ( N  -  M )
) )  =/=  (/)! The proof is relatively long because the border cases ( M  =  N,  -.  ( M..^ N )  C_  ( 0..^ L ) must have been considered. (Contributed by AV, 6-Nov-2018.)
Assertion
Ref Expression
repswswrd  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  L  e.  NN0 )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  N  <_  L )  ->  (
( S repeatS  L ) substr  <. M ,  N >. )  =  ( S repeatS  ( N  -  M )
) )

Proof of Theorem repswswrd
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 repsw 12738 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  V  /\  L  e.  NN0 )  -> 
( S repeatS  L )  e. Word  V )
2 nn0z 10883 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN0  ->  M  e.  ZZ )
3 nn0z 10883 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ZZ )
42, 3anim12i 564 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )
51, 4anim12i 564 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  L  e.  NN0 )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  (
( S repeatS  L )  e. Word  V  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )
6 3anass 975 . . . . 5  |-  ( ( ( S repeatS  L )  e. Word  V  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  <->  ( ( S repeatS  L )  e. Word  V  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )
75, 6sylibr 212 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  L  e.  NN0 )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  (
( S repeatS  L )  e. Word  V  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )
873adant3 1014 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  L  e.  NN0 )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  N  <_  L )  ->  (
( S repeatS  L )  e. Word  V  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )
9 swrdval 12633 . . 3  |-  ( ( ( S repeatS  L )  e. Word  V  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( S repeatS  L ) substr  <. M ,  N >. )  =  if ( ( M..^ N )  C_  dom  ( S repeatS  L ) ,  ( x  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) ) 
|->  ( ( S repeatS  L
) `  ( x  +  M ) ) ) ,  (/) ) )
108, 9syl 16 . 2  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  L  e.  NN0 )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  N  <_  L )  ->  (
( S repeatS  L ) substr  <. M ,  N >. )  =  if ( ( M..^ N )  C_  dom  ( S repeatS  L ) ,  ( x  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) ) 
|->  ( ( S repeatS  L
) `  ( x  +  M ) ) ) ,  (/) ) )
11 repsf 12736 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  V  /\  L  e.  NN0 )  -> 
( S repeatS  L ) : ( 0..^ L ) --> V )
12113ad2ant1 1015 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  L  e.  NN0 )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  N  <_  L )  ->  ( S repeatS  L ) : ( 0..^ L ) --> V )
13 fdm 5717 . . . . 5  |-  ( ( S repeatS  L ) : ( 0..^ L ) --> V  ->  dom  ( S repeatS  L )  =  ( 0..^ L ) )
1412, 13syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  L  e.  NN0 )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  N  <_  L )  ->  dom  ( S repeatS  L )  =  ( 0..^ L ) )
1514sseq2d 3517 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  L  e.  NN0 )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  N  <_  L )  ->  (
( M..^ N ) 
C_  dom  ( S repeatS  L )  <->  ( M..^ N
)  C_  ( 0..^ L ) ) )
1615ifbid 3951 . 2  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  L  e.  NN0 )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  N  <_  L )  ->  if ( ( M..^ N
)  C_  dom  ( S repeatS  L ) ,  ( x  e.  ( 0..^ ( N  -  M
) )  |->  ( ( S repeatS  L ) `  (
x  +  M ) ) ) ,  (/) )  =  if (
( M..^ N ) 
C_  ( 0..^ L ) ,  ( x  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  |->  ( ( S repeatS  L ) `  (
x  +  M ) ) ) ,  (/) ) )
17 fzon 11823 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  <_  M  <->  ( M..^ N )  =  (/) ) )
184, 17syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( N  <_  M  <->  ( M..^ N )  =  (/) ) )
1918adantl 464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  L  e.  NN0 )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  ( N  <_  M  <->  ( M..^ N )  =  (/) ) )
2019biimpac 484 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  <_  M  /\  ( ( S  e.  V  /\  L  e. 
NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 ) ) )  ->  ( M..^ N
)  =  (/) )
21 0ss 3813 . . . . . . . 8  |-  (/)  C_  (
0..^ L )
2220, 21syl6eqss 3539 . . . . . . 7  |-  ( ( N  <_  M  /\  ( ( S  e.  V  /\  L  e. 
NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 ) ) )  ->  ( M..^ N
)  C_  ( 0..^ L ) )
23 iftrue 3935 . . . . . . 7  |-  ( ( M..^ N )  C_  ( 0..^ L )  ->  if ( ( M..^ N
)  C_  ( 0..^ L ) ,  ( x  e.  ( 0..^ ( N  -  M
) )  |->  ( ( S repeatS  L ) `  (
x  +  M ) ) ) ,  (/) )  =  ( x  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) ) 
|->  ( ( S repeatS  L
) `  ( x  +  M ) ) ) )
2422, 23syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( N  <_  M  /\  ( ( S  e.  V  /\  L  e. 
NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 ) ) )  ->  if ( ( M..^ N )  C_  ( 0..^ L ) ,  ( x  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  |->  ( ( S repeatS  L ) `  ( x  +  M
) ) ) ,  (/) )  =  (
x  e.  ( 0..^ ( N  -  M
) )  |->  ( ( S repeatS  L ) `  (
x  +  M ) ) ) )
25 nn0re 10800 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  NN0  ->  M  e.  RR )
26 nn0re 10800 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  RR )
2725, 26anim12ci 565 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( N  e.  RR  /\  M  e.  RR ) )
2827adantl 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  L  e.  NN0 )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  ( N  e.  RR  /\  M  e.  RR ) )
29 suble0 10062 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  RR  /\  M  e.  RR )  ->  ( ( N  -  M )  <_  0  <->  N  <_  M ) )
3028, 29syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  L  e.  NN0 )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  (
( N  -  M
)  <_  0  <->  N  <_  M ) )
3130biimparc 485 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  <_  M  /\  ( ( S  e.  V  /\  L  e. 
NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 ) ) )  ->  ( N  -  M )  <_  0
)
32 0z 10871 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  ZZ
33 zsubcl 10902 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( N  -  M
)  e.  ZZ )
343, 2, 33syl2anr 476 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( N  -  M
)  e.  ZZ )
3534adantl 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  L  e.  NN0 )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  ( N  -  M )  e.  ZZ )
3635adantl 464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  <_  M  /\  ( ( S  e.  V  /\  L  e. 
NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 ) ) )  ->  ( N  -  M )  e.  ZZ )
37 fzon 11823 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  ( N  -  M
)  e.  ZZ )  ->  ( ( N  -  M )  <_ 
0  <->  ( 0..^ ( N  -  M ) )  =  (/) ) )
3832, 36, 37sylancr 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  <_  M  /\  ( ( S  e.  V  /\  L  e. 
NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 ) ) )  ->  ( ( N  -  M )  <_ 
0  <->  ( 0..^ ( N  -  M ) )  =  (/) ) )
3931, 38mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ( N  <_  M  /\  ( ( S  e.  V  /\  L  e. 
NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 ) ) )  ->  ( 0..^ ( N  -  M ) )  =  (/) )
4039mpteq1d 4520 . . . . . 6  |-  ( ( N  <_  M  /\  ( ( S  e.  V  /\  L  e. 
NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 ) ) )  ->  ( x  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) ) 
|->  ( ( S repeatS  L
) `  ( x  +  M ) ) )  =  ( x  e.  (/)  |->  ( ( S repeatS  L ) `  (
x  +  M ) ) ) )
41 oveq2 6278 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  =  N  ->  ( N  -  M )  =  ( N  -  N ) )
4241oveq2d 6286 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  =  N  ->  ( S repeatS  ( N  -  M
) )  =  ( S repeatS  ( N  -  N ) ) )
43 nn0cn 10801 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  CC )
4443adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  ->  N  e.  CC )
4544subidd 9910 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( N  -  N
)  =  0 )
4645adantl 464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  L  e.  NN0 )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  ( N  -  N )  =  0 )
4746oveq2d 6286 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  L  e.  NN0 )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  ( S repeatS  ( N  -  N
) )  =  ( S repeatS  0 ) )
48 repsw0 12740 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( S  e.  V  ->  ( S repeatS  0 )  =  (/) )
4948ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  L  e.  NN0 )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  ( S repeatS  0 )  =  (/) )
5047, 49eqtrd 2495 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  L  e.  NN0 )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  ( S repeatS  ( N  -  N
) )  =  (/) )
5142, 50sylan9eqr 2517 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  L  e. 
NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  M  =  N )  ->  ( S repeatS  ( N  -  M ) )  =  (/) )
5251ex 432 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  L  e.  NN0 )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  ( M  =  N  ->  ( S repeatS  ( N  -  M ) )  =  (/) ) )
5352adantl 464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  <_  M  /\  ( ( S  e.  V  /\  L  e. 
NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 ) ) )  ->  ( M  =  N  ->  ( S repeatS  ( N  -  M ) )  =  (/) ) )
5453com12 31 . . . . . . . 8  |-  ( M  =  N  ->  (
( N  <_  M  /\  ( ( S  e.  V  /\  L  e. 
NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 ) ) )  ->  ( S repeatS  ( N  -  M )
)  =  (/) ) )
55 elnn0z 10873 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  -  M )  e.  NN0  <->  ( ( N  -  M )  e.  ZZ  /\  0  <_ 
( N  -  M
) ) )
56 subge0 10061 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( N  e.  RR  /\  M  e.  RR )  ->  ( 0  <_  ( N  -  M )  <->  M  <_  N ) )
5726, 25, 56syl2anr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( 0  <_  ( N  -  M )  <->  M  <_  N ) )
5825, 26anim12i 564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( M  e.  RR  /\  N  e.  RR ) )
59 letri3 9659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( M  =  N  <-> 
( M  <_  N  /\  N  <_  M ) ) )
6058, 59syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( M  =  N  <-> 
( M  <_  N  /\  N  <_  M ) ) )
6160biimprd 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( M  <_  N  /\  N  <_  M
)  ->  M  =  N ) )
6261expd 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( M  <_  N  ->  ( N  <_  M  ->  M  =  N ) ) )
6357, 62sylbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( 0  <_  ( N  -  M )  ->  ( N  <_  M  ->  M  =  N ) ) )
6463com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( N  <_  M  ->  ( 0  <_  ( N  -  M )  ->  M  =  N ) ) )
6564adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  L  e.  NN0 )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  ( N  <_  M  ->  (
0  <_  ( N  -  M )  ->  M  =  N ) ) )
6665impcom 428 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  <_  M  /\  ( ( S  e.  V  /\  L  e. 
NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 ) ) )  ->  ( 0  <_ 
( N  -  M
)  ->  M  =  N ) )
6766com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 0  <_  ( N  -  M )  ->  (
( N  <_  M  /\  ( ( S  e.  V  /\  L  e. 
NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 ) ) )  ->  M  =  N ) )
6867adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  -  M
)  e.  ZZ  /\  0  <_  ( N  -  M ) )  -> 
( ( N  <_  M  /\  ( ( S  e.  V  /\  L  e.  NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 ) ) )  ->  M  =  N ) )
6955, 68sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  -  M )  e.  NN0  ->  ( ( N  <_  M  /\  ( ( S  e.  V  /\  L  e. 
NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 ) ) )  ->  M  =  N ) )
7069com12 31 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  <_  M  /\  ( ( S  e.  V  /\  L  e. 
NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 ) ) )  ->  ( ( N  -  M )  e. 
NN0  ->  M  =  N ) )
7170con3d 133 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  <_  M  /\  ( ( S  e.  V  /\  L  e. 
NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 ) ) )  ->  ( -.  M  =  N  ->  -.  ( N  -  M )  e.  NN0 ) )
7271impcom 428 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  M  =  N  /\  ( N  <_  M  /\  ( ( S  e.  V  /\  L  e.  NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 ) ) ) )  ->  -.  ( N  -  M )  e.  NN0 )
73 df-nel 2652 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  -  M )  e/  NN0  <->  -.  ( N  -  M )  e.  NN0 )
7472, 73sylibr 212 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  M  =  N  /\  ( N  <_  M  /\  ( ( S  e.  V  /\  L  e.  NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 ) ) ) )  ->  ( N  -  M )  e/  NN0 )
75 repsundef 12734 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  -  M )  e/  NN0  ->  ( S repeatS 
( N  -  M
) )  =  (/) )
7674, 75syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  M  =  N  /\  ( N  <_  M  /\  ( ( S  e.  V  /\  L  e.  NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 ) ) ) )  ->  ( S repeatS  ( N  -  M ) )  =  (/) )
7776ex 432 . . . . . . . 8  |-  ( -.  M  =  N  -> 
( ( N  <_  M  /\  ( ( S  e.  V  /\  L  e.  NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 ) ) )  ->  ( S repeatS  ( N  -  M )
)  =  (/) ) )
7854, 77pm2.61i 164 . . . . . . 7  |-  ( ( N  <_  M  /\  ( ( S  e.  V  /\  L  e. 
NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 ) ) )  ->  ( S repeatS  ( N  -  M )
)  =  (/) )
79 mpt0 5690 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  (/)  |->  ( ( S repeatS  L ) `  (
x  +  M ) ) )  =  (/)
8078, 79syl6reqr 2514 . . . . . 6  |-  ( ( N  <_  M  /\  ( ( S  e.  V  /\  L  e. 
NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 ) ) )  ->  ( x  e.  (/)  |->  ( ( S repeatS  L ) `  (
x  +  M ) ) )  =  ( S repeatS  ( N  -  M ) ) )
8124, 40, 803eqtrd 2499 . . . . 5  |-  ( ( N  <_  M  /\  ( ( S  e.  V  /\  L  e. 
NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 ) ) )  ->  if ( ( M..^ N )  C_  ( 0..^ L ) ,  ( x  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  |->  ( ( S repeatS  L ) `  ( x  +  M
) ) ) ,  (/) )  =  ( S repeatS  ( N  -  M
) ) )
8281expcom 433 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  L  e.  NN0 )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  ( N  <_  M  ->  if ( ( M..^ N
)  C_  ( 0..^ L ) ,  ( x  e.  ( 0..^ ( N  -  M
) )  |->  ( ( S repeatS  L ) `  (
x  +  M ) ) ) ,  (/) )  =  ( S repeatS  ( N  -  M ) ) ) )
83823adant3 1014 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  L  e.  NN0 )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  N  <_  L )  ->  ( N  <_  M  ->  if ( ( M..^ N
)  C_  ( 0..^ L ) ,  ( x  e.  ( 0..^ ( N  -  M
) )  |->  ( ( S repeatS  L ) `  (
x  +  M ) ) ) ,  (/) )  =  ( S repeatS  ( N  -  M ) ) ) )
84 ltnle 9653 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( M  <  N  <->  -.  N  <_  M )
)
8558, 84syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( M  <  N  <->  -.  N  <_  M )
)
8685bicomd 201 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( -.  N  <_  M 
<->  M  <  N ) )
87863ad2ant2 1016 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  L  e.  NN0 )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  N  <_  L )  ->  ( -.  N  <_  M  <->  M  <  N ) )
8823adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M..^ N ) 
C_  ( 0..^ L )  /\  ( ( ( S  e.  V  /\  L  e.  NN0 )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  N  <_  L )  /\  M  <  N ) )  ->  if ( ( M..^ N
)  C_  ( 0..^ L ) ,  ( x  e.  ( 0..^ ( N  -  M
) )  |->  ( ( S repeatS  L ) `  (
x  +  M ) ) ) ,  (/) )  =  ( x  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) ) 
|->  ( ( S repeatS  L
) `  ( x  +  M ) ) ) )
8943ad2ant2 1016 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  L  e.  NN0 )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  N  <_  L )  ->  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )
9089adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  L  e. 
NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  N  <_  L )  /\  M  <  N )  ->  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )
91 0zd 10872 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( S  e.  V  ->  0  e.  ZZ )
92 nn0z 10883 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( L  e.  NN0  ->  L  e.  ZZ )
9391, 92anim12i 564 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  e.  V  /\  L  e.  NN0 )  -> 
( 0  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ ) )
94933ad2ant1 1015 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  L  e.  NN0 )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  N  <_  L )  ->  (
0  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )
)
9594adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  L  e. 
NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  N  <_  L )  /\  M  <  N )  ->  (
0  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )
)
96 simpr 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  L  e. 
NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  N  <_  L )  /\  M  <  N )  ->  M  <  N )
97 ssfzo12bi 11888 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( 0  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  M  <  N )  ->  (
( M..^ N ) 
C_  ( 0..^ L )  <->  ( 0  <_  M  /\  N  <_  L
) ) )
9890, 95, 96, 97syl3anc 1226 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  L  e. 
NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  N  <_  L )  /\  M  <  N )  ->  (
( M..^ N ) 
C_  ( 0..^ L )  <->  ( 0  <_  M  /\  N  <_  L
) ) )
99 simpl1l 1045 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  L  e. 
NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  N  <_  L )  /\  M  <  N )  ->  S  e.  V )
10099ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( S  e.  V  /\  L  e.  NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  N  <_  L )  /\  M  <  N
)  /\  ( 0  <_  M  /\  N  <_  L ) )  /\  x  e.  ( 0..^ ( N  -  M
) ) )  ->  S  e.  V )
101 simpl1r 1046 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  L  e. 
NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  N  <_  L )  /\  M  <  N )  ->  L  e.  NN0 )
102101ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( S  e.  V  /\  L  e.  NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  N  <_  L )  /\  M  <  N
)  /\  ( 0  <_  M  /\  N  <_  L ) )  /\  x  e.  ( 0..^ ( N  -  M
) ) )  ->  L  e.  NN0 )
103 elfzonn0 11844 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  ->  x  e.  NN0 )
104 nn0addcl 10827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  NN0  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( x  +  M
)  e.  NN0 )
105104expcom 433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( x  e.  NN0  ->  ( x  +  M )  e. 
NN0 ) )
106105adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( x  e.  NN0  ->  ( x  +  M
)  e.  NN0 )
)
1071063ad2ant2 1016 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  L  e.  NN0 )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  N  <_  L )  ->  (
x  e.  NN0  ->  ( x  +  M )  e.  NN0 ) )
108107ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( S  e.  V  /\  L  e.  NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  N  <_  L )  /\  M  <  N )  /\  (
0  <_  M  /\  N  <_  L ) )  ->  ( x  e. 
NN0  ->  ( x  +  M )  e.  NN0 ) )
109103, 108syl5com 30 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  ->  ( (
( ( ( S  e.  V  /\  L  e.  NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  N  <_  L )  /\  M  <  N )  /\  (
0  <_  M  /\  N  <_  L ) )  ->  ( x  +  M )  e.  NN0 ) )
110109impcom 428 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( S  e.  V  /\  L  e.  NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  N  <_  L )  /\  M  <  N
)  /\  ( 0  <_  M  /\  N  <_  L ) )  /\  x  e.  ( 0..^ ( N  -  M
) ) )  -> 
( x  +  M
)  e.  NN0 )
11192adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( S  e.  V  /\  L  e.  NN0 )  ->  L  e.  ZZ )
1121113ad2ant1 1015 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  L  e.  NN0 )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  N  <_  L )  ->  L  e.  ZZ )
113112adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  L  e. 
NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  N  <_  L )  /\  M  <  N )  ->  L  e.  ZZ )
114 nn0re 10800 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( L  e.  NN0  ->  L  e.  RR )
115114adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( S  e.  V  /\  L  e.  NN0 )  ->  L  e.  RR )
116115, 58anim12ci 565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  L  e.  NN0 )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  (
( M  e.  RR  /\  N  e.  RR )  /\  L  e.  RR ) )
117 df-3an 973 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  L  e.  RR )  <->  ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  RR )  /\  L  e.  RR ) )
118116, 117sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  L  e.  NN0 )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  ( M  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  L  e.  RR ) )
119 ltletr 9665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  L  e.  RR )  ->  (
( M  <  N  /\  N  <_  L )  ->  M  <  L
) )
120118, 119syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  L  e.  NN0 )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  (
( M  <  N  /\  N  <_  L )  ->  M  <  L
) )
121 elnn0z 10873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( M  e.  NN0  <->  ( M  e.  ZZ  /\  0  <_  M ) )
122 0red 9586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( S  e.  V  /\  L  e.  NN0 ) )  ->  0  e.  RR )
123 zre 10864 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  RR )
124123adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( S  e.  V  /\  L  e.  NN0 ) )  ->  M  e.  RR )
125115adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( S  e.  V  /\  L  e.  NN0 ) )  ->  L  e.  RR )
126 lelttr 9664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  M  e.  RR  /\  L  e.  RR )  ->  (
( 0  <_  M  /\  M  <  L )  ->  0  <  L
) )
127122, 124, 125, 126syl3anc 1226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( S  e.  V  /\  L  e.  NN0 ) )  ->  (
( 0  <_  M  /\  M  <  L )  ->  0  <  L
) )
128127expd 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( S  e.  V  /\  L  e.  NN0 ) )  ->  (
0  <_  M  ->  ( M  <  L  -> 
0  <  L )
) )
129128impancom 438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  0  <_  M )  -> 
( ( S  e.  V  /\  L  e. 
NN0 )  ->  ( M  <  L  ->  0  <  L ) ) )
130121, 129sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( ( S  e.  V  /\  L  e.  NN0 )  -> 
( M  <  L  ->  0  <  L ) ) )
131130adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( S  e.  V  /\  L  e. 
NN0 )  ->  ( M  <  L  ->  0  <  L ) ) )
132131impcom 428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  L  e.  NN0 )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  ( M  <  L  ->  0  <  L ) )
133120, 132syld 44 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  L  e.  NN0 )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  (
( M  <  N  /\  N  <_  L )  ->  0  <  L
) )
134133expcomd 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  L  e.  NN0 )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  ( N  <_  L  ->  ( M  <  N  ->  0  <  L ) ) )
1351343impia 1191 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  L  e.  NN0 )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  N  <_  L )  ->  ( M  <  N  ->  0  <  L ) )
136135imp 427 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  L  e. 
NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  N  <_  L )  /\  M  <  N )  ->  0  <  L )
137 elnnz 10870 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( L  e.  NN  <->  ( L  e.  ZZ  /\  0  < 
L ) )
138113, 136, 137sylanbrc 662 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  L  e. 
NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  N  <_  L )  /\  M  <  N )  ->  L  e.  NN )
139138ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( S  e.  V  /\  L  e.  NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  N  <_  L )  /\  M  <  N
)  /\  ( 0  <_  M  /\  N  <_  L ) )  /\  x  e.  ( 0..^ ( N  -  M
) ) )  ->  L  e.  NN )
140 elfzo0 11840 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  <->  ( x  e. 
NN0  /\  ( N  -  M )  e.  NN  /\  x  <  ( N  -  M ) ) )
141 nn0readdcl 10854 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( x  e.  NN0  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( x  +  M
)  e.  RR )
142141expcom 433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( x  e.  NN0  ->  ( x  +  M )  e.  RR ) )
143142ad2antrl 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( L  e.  NN0  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )
)  ->  ( x  e.  NN0  ->  ( x  +  M )  e.  RR ) )
144143impcom 428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( x  e.  NN0  /\  ( L  e.  NN0  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )
) )  ->  (
x  +  M )  e.  RR )
14526adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  ->  N  e.  RR )
146145adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( L  e.  NN0  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )
)  ->  N  e.  RR )
147146adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( x  e.  NN0  /\  ( L  e.  NN0  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )
) )  ->  N  e.  RR )
148114ad2antrl 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( x  e.  NN0  /\  ( L  e.  NN0  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )
) )  ->  L  e.  RR )
149144, 147, 1483jca 1174 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( x  e.  NN0  /\  ( L  e.  NN0  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )
) )  ->  (
( x  +  M
)  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  L  e.  RR ) )
150149ex 432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( x  e.  NN0  ->  ( ( L  e.  NN0  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )
)  ->  ( (
x  +  M )  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  L  e.  RR ) ) )
151150adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( x  e.  NN0  /\  x  <  ( N  -  M ) )  -> 
( ( L  e. 
NN0  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 ) )  -> 
( ( x  +  M )  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  L  e.  RR )
) )
152151impcom 428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( L  e.  NN0  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )
)  /\  ( x  e.  NN0  /\  x  < 
( N  -  M
) ) )  -> 
( ( x  +  M )  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  L  e.  RR )
)
153152adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( L  e. 
NN0  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 ) )  /\  ( x  e.  NN0  /\  x  <  ( N  -  M ) ) )  /\  N  <_  L )  ->  (
( x  +  M
)  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  L  e.  RR ) )
154 nn0re 10800 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( x  e.  NN0  ->  x  e.  RR )
155154adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( x  e.  NN0  /\  ( L  e.  NN0  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )
) )  ->  x  e.  RR )
15625ad2antrl 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( L  e.  NN0  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )
)  ->  M  e.  RR )
157156adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( x  e.  NN0  /\  ( L  e.  NN0  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )
) )  ->  M  e.  RR )
158155, 157, 147ltaddsubd 10148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( x  e.  NN0  /\  ( L  e.  NN0  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )
) )  ->  (
( x  +  M
)  <  N  <->  x  <  ( N  -  M ) ) )
159 idd 24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( x  e.  NN0  /\  ( L  e.  NN0  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )
) )  /\  N  <_  L )  ->  (
( x  +  M
)  <  N  ->  ( x  +  M )  <  N ) )
160159ex 432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( x  e.  NN0  /\  ( L  e.  NN0  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )
) )  ->  ( N  <_  L  ->  (
( x  +  M
)  <  N  ->  ( x  +  M )  <  N ) ) )
161160com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( x  e.  NN0  /\  ( L  e.  NN0  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )
) )  ->  (
( x  +  M
)  <  N  ->  ( N  <_  L  ->  ( x  +  M )  <  N ) ) )
162158, 161sylbird 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( x  e.  NN0  /\  ( L  e.  NN0  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )
) )  ->  (
x  <  ( N  -  M )  ->  ( N  <_  L  ->  (
x  +  M )  <  N ) ) )
163162impancom 438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( x  e.  NN0  /\  x  <  ( N  -  M ) )  -> 
( ( L  e. 
NN0  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 ) )  -> 
( N  <_  L  ->  ( x  +  M
)  <  N )
) )
164163impcom 428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( L  e.  NN0  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )
)  /\  ( x  e.  NN0  /\  x  < 
( N  -  M
) ) )  -> 
( N  <_  L  ->  ( x  +  M
)  <  N )
)
165164impac 619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( L  e. 
NN0  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 ) )  /\  ( x  e.  NN0  /\  x  <  ( N  -  M ) ) )  /\  N  <_  L )  ->  (
( x  +  M
)  <  N  /\  N  <_  L ) )
166 ltletr 9665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( x  +  M
)  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  L  e.  RR )  ->  (
( ( x  +  M )  <  N  /\  N  <_  L )  ->  ( x  +  M )  <  L
) )
167153, 165, 166sylc 60 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( L  e. 
NN0  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 ) )  /\  ( x  e.  NN0  /\  x  <  ( N  -  M ) ) )  /\  N  <_  L )  ->  (
x  +  M )  <  L )
168167exp31 602 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( L  e.  NN0  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )
)  ->  ( (
x  e.  NN0  /\  x  <  ( N  -  M ) )  -> 
( N  <_  L  ->  ( x  +  M
)  <  L )
) )
169168com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( L  e.  NN0  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )
)  ->  ( N  <_  L  ->  ( (
x  e.  NN0  /\  x  <  ( N  -  M ) )  -> 
( x  +  M
)  <  L )
) )
170169ex 432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( L  e.  NN0  ->  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( N  <_  L  ->  ( ( x  e. 
NN0  /\  x  <  ( N  -  M ) )  ->  ( x  +  M )  <  L
) ) ) )
171170adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( S  e.  V  /\  L  e.  NN0 )  -> 
( ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( N  <_  L  ->  ( (
x  e.  NN0  /\  x  <  ( N  -  M ) )  -> 
( x  +  M
)  <  L )
) ) )
1721713imp 1188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  L  e.  NN0 )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  N  <_  L )  ->  (
( x  e.  NN0  /\  x  <  ( N  -  M ) )  ->  ( x  +  M )  <  L
) )
173172ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( S  e.  V  /\  L  e.  NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  N  <_  L )  /\  M  <  N )  /\  (
0  <_  M  /\  N  <_  L ) )  ->  ( ( x  e.  NN0  /\  x  <  ( N  -  M
) )  ->  (
x  +  M )  <  L ) )
174173com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  NN0  /\  x  <  ( N  -  M ) )  -> 
( ( ( ( ( S  e.  V  /\  L  e.  NN0 )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  N  <_  L )  /\  M  <  N )  /\  (
0  <_  M  /\  N  <_  L ) )  ->  ( x  +  M )  <  L
) )
1751743adant2 1013 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  NN0  /\  ( N  -  M
)  e.  NN  /\  x  <  ( N  -  M ) )  -> 
( ( ( ( ( S  e.  V  /\  L  e.  NN0 )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  N  <_  L )  /\  M  <  N )  /\  (
0  <_  M  /\  N  <_  L ) )  ->  ( x  +  M )  <  L
) )
176140, 175sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  ->  ( (
( ( ( S  e.  V  /\  L  e.  NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  N  <_  L )  /\  M  <  N )  /\  (
0  <_  M  /\  N  <_  L ) )  ->  ( x  +  M )  <  L
) )
177176impcom 428 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( S  e.  V  /\  L  e.  NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  N  <_  L )  /\  M  <  N
)  /\  ( 0  <_  M  /\  N  <_  L ) )  /\  x  e.  ( 0..^ ( N  -  M
) ) )  -> 
( x  +  M
)  <  L )
178 elfzo0 11840 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  +  M )  e.  ( 0..^ L )  <->  ( ( x  +  M )  e. 
NN0  /\  L  e.  NN  /\  ( x  +  M )  <  L
) )
179110, 139, 177, 178syl3anbrc 1178 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( S  e.  V  /\  L  e.  NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  N  <_  L )  /\  M  <  N
)  /\  ( 0  <_  M  /\  N  <_  L ) )  /\  x  e.  ( 0..^ ( N  -  M
) ) )  -> 
( x  +  M
)  e.  ( 0..^ L ) )
180 repswsymb 12737 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S  e.  V  /\  L  e.  NN0  /\  (
x  +  M )  e.  ( 0..^ L ) )  ->  (
( S repeatS  L ) `  ( x  +  M
) )  =  S )
181100, 102, 179, 180syl3anc 1226 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( S  e.  V  /\  L  e.  NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  N  <_  L )  /\  M  <  N
)  /\  ( 0  <_  M  /\  N  <_  L ) )  /\  x  e.  ( 0..^ ( N  -  M
) ) )  -> 
( ( S repeatS  L
) `  ( x  +  M ) )  =  S )
182181mpteq2dva 4525 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( S  e.  V  /\  L  e.  NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  N  <_  L )  /\  M  <  N )  /\  (
0  <_  M  /\  N  <_  L ) )  ->  ( x  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) ) 
|->  ( ( S repeatS  L
) `  ( x  +  M ) ) )  =  ( x  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) ) 
|->  S ) )
183343ad2ant2 1016 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  L  e.  NN0 )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  N  <_  L )  ->  ( N  -  M )  e.  ZZ )
184183adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  L  e. 
NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  N  <_  L )  /\  M  <  N )  ->  ( N  -  M )  e.  ZZ )
185583ad2ant2 1016 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  L  e.  NN0 )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  N  <_  L )  ->  ( M  e.  RR  /\  N  e.  RR ) )
186 ltle 9662 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( M  <  N  ->  M  <_  N )
)
187185, 186syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  L  e.  NN0 )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  N  <_  L )  ->  ( M  <  N  ->  M  <_  N ) )
188273ad2ant2 1016 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  L  e.  NN0 )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  N  <_  L )  ->  ( N  e.  RR  /\  M  e.  RR ) )
189188, 56syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  L  e.  NN0 )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  N  <_  L )  ->  (
0  <_  ( N  -  M )  <->  M  <_  N ) )
190187, 189sylibrd 234 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  L  e.  NN0 )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  N  <_  L )  ->  ( M  <  N  ->  0  <_  ( N  -  M
) ) )
191190imp 427 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  L  e. 
NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  N  <_  L )  /\  M  <  N )  ->  0  <_  ( N  -  M
) )
192184, 191, 55sylanbrc 662 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  L  e. 
NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  N  <_  L )  /\  M  <  N )  ->  ( N  -  M )  e.  NN0 )
19399, 192jca 530 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  L  e. 
NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  N  <_  L )  /\  M  <  N )  ->  ( S  e.  V  /\  ( N  -  M
)  e.  NN0 )
)
194193adantr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( S  e.  V  /\  L  e.  NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  N  <_  L )  /\  M  <  N )  /\  (
0  <_  M  /\  N  <_  L ) )  ->  ( S  e.  V  /\  ( N  -  M )  e. 
NN0 ) )
195 reps 12733 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S  e.  V  /\  ( N  -  M
)  e.  NN0 )  ->  ( S repeatS  ( N  -  M ) )  =  ( x  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  |->  S ) )
196195eqcomd 2462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  e.  V  /\  ( N  -  M
)  e.  NN0 )  ->  ( x  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  |->  S )  =  ( S repeatS 
( N  -  M
) ) )
197194, 196syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( S  e.  V  /\  L  e.  NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  N  <_  L )  /\  M  <  N )  /\  (
0  <_  M  /\  N  <_  L ) )  ->  ( x  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) ) 
|->  S )  =  ( S repeatS  ( N  -  M ) ) )
198182, 197eqtrd 2495 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( S  e.  V  /\  L  e.  NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  N  <_  L )  /\  M  <  N )  /\  (
0  <_  M  /\  N  <_  L ) )  ->  ( x  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) ) 
|->  ( ( S repeatS  L
) `  ( x  +  M ) ) )  =  ( S repeatS  ( N  -  M )
) )
199198ex 432 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  L  e. 
NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  N  <_  L )  /\  M  <  N )  ->  (
( 0  <_  M  /\  N  <_  L )  ->  ( x  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) ) 
|->  ( ( S repeatS  L
) `  ( x  +  M ) ) )  =  ( S repeatS  ( N  -  M )
) ) )
20098, 199sylbid 215 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  L  e. 
NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  N  <_  L )  /\  M  <  N )  ->  (
( M..^ N ) 
C_  ( 0..^ L )  ->  ( x  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) ) 
|->  ( ( S repeatS  L
) `  ( x  +  M ) ) )  =  ( S repeatS  ( N  -  M )
) ) )
201200impcom 428 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M..^ N ) 
C_  ( 0..^ L )  /\  ( ( ( S  e.  V  /\  L  e.  NN0 )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  N  <_  L )  /\  M  <  N ) )  -> 
( x  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  |->  ( ( S repeatS  L ) `  ( x  +  M
) ) )  =  ( S repeatS  ( N  -  M ) ) )
20288, 201eqtrd 2495 . . . . . 6  |-  ( ( ( M..^ N ) 
C_  ( 0..^ L )  /\  ( ( ( S  e.  V  /\  L  e.  NN0 )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  N  <_  L )  /\  M  <  N ) )  ->  if ( ( M..^ N
)  C_  ( 0..^ L ) ,  ( x  e.  ( 0..^ ( N  -  M
) )  |->  ( ( S repeatS  L ) `  (
x  +  M ) ) ) ,  (/) )  =  ( S repeatS  ( N  -  M ) ) )
203 iffalse 3938 . . . . . . . 8  |-  ( -.  ( M..^ N ) 
C_  ( 0..^ L )  ->  if (
( M..^ N ) 
C_  ( 0..^ L ) ,  ( x  e.  ( 0..^ ( N  -  M ) )  |->  ( ( S repeatS  L ) `  (
x  +  M ) ) ) ,  (/) )  =  (/) )
204203adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  ( M..^ N
)  C_  ( 0..^ L )  /\  (
( ( S  e.  V  /\  L  e. 
NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  N  <_  L )  /\  M  <  N ) )  ->  if ( ( M..^ N
)  C_  ( 0..^ L ) ,  ( x  e.  ( 0..^ ( N  -  M
) )  |->  ( ( S repeatS  L ) `  (
x  +  M ) ) ) ,  (/) )  =  (/) )
20598notbid 292 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  L  e. 
NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  N  <_  L )  /\  M  <  N )  ->  ( -.  ( M..^ N ) 
C_  ( 0..^ L )  <->  -.  ( 0  <_  M  /\  N  <_  L ) ) )
206 ianor 486 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  ( 0  <_  M  /\  N  <_  L )  <-> 
( -.  0  <_  M  \/  -.  N  <_  L ) )
207 nn0ge0 10817 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( M  e.  NN0  ->  0  <_  M )
208 pm2.24 109 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 0  <_  M  ->  ( -.  0  <_  M  -> 
( S repeatS  ( N  -  M ) )  =  (/) ) )
209207, 208syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( -.  0  <_  M  ->  ( S repeatS  ( N  -  M ) )  =  (/) ) )
210209adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( -.  0  <_  M  ->  ( S repeatS  ( N  -  M )
)  =  (/) ) )
2112103ad2ant2 1016 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  L  e.  NN0 )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  N  <_  L )  ->  ( -.  0  <_  M  -> 
( S repeatS  ( N  -  M ) )  =  (/) ) )
212211adantr 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  L  e. 
NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  N  <_  L )  /\  M  <  N )  ->  ( -.  0  <_  M  -> 
( S repeatS  ( N  -  M ) )  =  (/) ) )
213212com12 31 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  0  <_  M  ->  ( ( ( ( S  e.  V  /\  L  e.  NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  N  <_  L )  /\  M  <  N )  ->  ( S repeatS  ( N  -  M
) )  =  (/) ) )
214 pm2.24 109 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  <_  L  ->  ( -.  N  <_  L  -> 
( S repeatS  ( N  -  M ) )  =  (/) ) )
2152143ad2ant3 1017 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  L  e.  NN0 )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  N  <_  L )  ->  ( -.  N  <_  L  -> 
( S repeatS  ( N  -  M ) )  =  (/) ) )
216215adantr 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  L  e. 
NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  N  <_  L )  /\  M  <  N )  ->  ( -.  N  <_  L  -> 
( S repeatS  ( N  -  M ) )  =  (/) ) )
217216com12 31 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  N  <_  L  ->  ( ( ( ( S  e.  V  /\  L  e.  NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  N  <_  L )  /\  M  <  N )  ->  ( S repeatS  ( N  -  M
) )  =  (/) ) )
218213, 217jaoi 377 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  0  <_  M  \/  -.  N  <_  L
)  ->  ( (
( ( S  e.  V  /\  L  e. 
NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  N  <_  L )  /\  M  <  N )  ->  ( S repeatS  ( N  -  M
) )  =  (/) ) )
219206, 218sylbi 195 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  ( 0  <_  M  /\  N  <_  L )  ->  ( ( ( ( S  e.  V  /\  L  e.  NN0 )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  N  <_  L )  /\  M  <  N )  ->  ( S repeatS  ( N  -  M
) )  =  (/) ) )
220219com12 31 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  L  e. 
NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  N  <_  L )  /\  M  <  N )  ->  ( -.  ( 0  <_  M  /\  N  <_  L )  ->  ( S repeatS  ( N  -  M )
)  =  (/) ) )
221205, 220sylbid 215 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  L  e. 
NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  N  <_  L )  /\  M  <  N )  ->  ( -.  ( M..^ N ) 
C_  ( 0..^ L )  ->  ( S repeatS  ( N  -  M ) )  =  (/) ) )
222221impcom 428 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  ( M..^ N
)  C_  ( 0..^ L )  /\  (
( ( S  e.  V  /\  L  e. 
NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  N  <_  L )  /\  M  <  N ) )  -> 
( S repeatS  ( N  -  M ) )  =  (/) )
223204, 222eqtr4d 2498 . . . . . 6  |-  ( ( -.  ( M..^ N
)  C_  ( 0..^ L )  /\  (
( ( S  e.  V  /\  L  e. 
NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  N  <_  L )  /\  M  <  N ) )  ->  if ( ( M..^ N
)  C_  ( 0..^ L ) ,  ( x  e.  ( 0..^ ( N  -  M
) )  |->  ( ( S repeatS  L ) `  (
x  +  M ) ) ) ,  (/) )  =  ( S repeatS  ( N  -  M ) ) )
224202, 223pm2.61ian 788 . . . . 5  |-  ( ( ( ( S  e.  V  /\  L  e. 
NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  N  <_  L )  /\  M  <  N )  ->  if ( ( M..^ N
)  C_  ( 0..^ L ) ,  ( x  e.  ( 0..^ ( N  -  M
) )  |->  ( ( S repeatS  L ) `  (
x  +  M ) ) ) ,  (/) )  =  ( S repeatS  ( N  -  M ) ) )
225224ex 432 . . . 4  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  L  e.  NN0 )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  N  <_  L )  ->  ( M  <  N  ->  if ( ( M..^ N
)  C_  ( 0..^ L ) ,  ( x  e.  ( 0..^ ( N  -  M
) )  |->  ( ( S repeatS  L ) `  (
x  +  M ) ) ) ,  (/) )  =  ( S repeatS  ( N  -  M ) ) ) )
22687, 225sylbid 215 . . 3  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  L  e.  NN0 )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  N  <_  L )  ->  ( -.  N  <_  M  ->  if ( ( M..^ N
)  C_  ( 0..^ L ) ,  ( x  e.  ( 0..^ ( N  -  M
) )  |->  ( ( S repeatS  L ) `  (
x  +  M ) ) ) ,  (/) )  =  ( S repeatS  ( N  -  M ) ) ) )
22783, 226pm2.61d 158 . 2  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  L  e.  NN0 )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  N  <_  L )  ->  if ( ( M..^ N
)  C_  ( 0..^ L ) ,  ( x  e.  ( 0..^ ( N  -  M
) )  |->  ( ( S repeatS  L ) `  (
x  +  M ) ) ) ,  (/) )  =  ( S repeatS  ( N  -  M ) ) )
22810, 16, 2273eqtrd 2499 1  |-  ( ( ( S  e.  V  /\  L  e.  NN0 )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  N  <_  L )  ->  (
( S repeatS  L ) substr  <. M ,  N >. )  =  ( S repeatS  ( N  -  M )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 366    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1398    e. wcel 1823    e/ wnel 2650    C_ wss 3461   (/)c0 3783   ifcif 3929   <.cop 4022   class class class wbr 4439    |-> cmpt 4497   dom cdm 4988   -->wf 5566   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   CCcc 9479   RRcr 9480   0cc0 9481    + caddc 9484    < clt 9617    <_ cle 9618    - cmin 9796   NNcn 10531   NN0cn0 10791   ZZcz 10860  ..^cfzo 11799  Word cword 12518   substr csubstr 12522   repeatS creps 12525
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-card 8311  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-hash 12388  df-word 12526  df-substr 12530  df-reps 12533
This theorem is referenced by:  repswcshw  12771
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